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知识点 72：在电场中运动带电连接体的力与功能关系的
问题
考点一：带电轻绳连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动
【典例1拔尖题】如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)与绝缘不
可伸长的轻绳相连，绳子另一端固定在拉力传感器上的O点(拉力传感器没有画出)，O
点距离水平地面的高度为2R，空间存在竖直向下的匀强电场．现使小球获得一初速度
后绕O点在竖直平面内做半径为R的圆周运动，拉力传感器显示出绳子拉力的最小值
为0，最大值为12mg，g为重力加速度．求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)若小球运动到最低点时绳子断裂，小球落地点到O点的水平距离．
【典例1拔尖题】【答案】(1) (2) R
【解析】(1)依题意，小球通过最高点时，
由牛顿第二定律mg＋qE＝m ①
从最高点到最低点，据动能定理可得
(mg＋qE)·2R＝ mv2－ mv 2②
0
通过最低点时12mg－(mg＋qE)＝m ③
解得E＝ ④
(2)绳断后小球做类平抛运动
R＝ at2⑤
x＝vt⑥
据牛顿第二定律可得mg＋qE＝ma⑦
1
学科网（北京）股份有限公司解得x＝ R.
题型二：带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型
【典例2拔尖题】用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为
2.0×10－8 C 的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与
铅垂线成37°角，如图6所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝
0.6，取g＝10 m/s2)( )
A.该匀强电场的场强为3.75×107 N/C
B.平衡时细线的拉力为0.17 N
C.经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s
D.小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s
【典例2拔尖题】【答案】C
【解析】小球处于平衡状态时，受力分析如图所示，则可知qE＝mgtan 37°，则该匀强电
场的电场强度E＝＝3.75×106 N/C，选项A错误；细线的拉力
F＝＝0.125 N，故选项B错误；在外力作用下，小球拉至细线水平时，由静止释放，如图
所示，小球在电场力和重力的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动至B点，
∠OAB＝∠OBA＝53°，OA＝OB＝l＝1.4 m，在此过程中，细线处于松弛状态，无拉力作
用，小球运动至B点时，细线绷紧，匀加速直线运动结束。根据牛顿第二定律可知小球匀
加速直线运动时的加速度a＝＝＝ m/s2＝12.5 m/s2，假设经过0.5 s后，小球仍在沿AB方
向做匀加速直线运动，则小球的速度v＝at＝6.25 m/s，经过的距离x＝at2＝×12.5×0.52 m＝
1.562 5 m，A、B间的距离|AB|＝2×l×cos 53°＝1.68 m，x＜|AB|，假设成立，故0.5 s时，
小球的速度大小为6.25 m/s，故选项C正确；小球运动至B点时，细线绷紧，小球沿细线
方向的分速度减为零，动能减小，假设细线绷紧过程小球机械能损失ΔE，此后在电场力、
重力和细线拉力作用下沿圆弧运动至O点正下方，根据能量守恒定律，可知(qE＋mg)·l－
ΔE＝mv2，可得v＜7 m/s，故选项D错误。
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根
长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.20 kg，带有q＝6.0×10－4 C正电荷的金属小球
悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°.已知A、C两点分别为细
线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
2
学科网（北京）股份有限公司(1)A、B两点间的电势差U .
AB
(2)将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力F
的大小．
(3)如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初
速度v的大小．
0
【典例2拔尖题对应练习】【答案】(1)－400 V (2)3 N (3) m/s
【解析】(1)带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得：qE＝mgtan θ，
得：E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，由U＝Ed有：U ＝－EL(1－sin θ)＝－2.5×103×0.4×(1－
AB
sin 37°) V＝－400 V.
(2)设小球运动至C点时速度为v ，则：mgL－qEL＝mv，解得：v ＝ m/s，在C点，小球
C C
所受重力和细线的合力提供向心力：F－mg＝m，联立解得：F＝3 N.
(3)分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最
小速度为v，则：mgcos θ＋qEsin θ＝，－mgLcos θ－qEL(1＋sin θ)＝mv2－mv，联立解得：
v＝ m/s.
0
题型三：带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题
【知识思维方法技巧】
带电轻绳连接体在水平匀强电场中作完整圆周运动的处理方法：等效方法
（1）等效最“高”点与最“低”点的寻找：
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线
反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效
最“低”点。
（2）带电体在等效最“高”点运动情况，用类比“绳球”“杆球”模型临界值的情况进行
分析解答。
【典例3拔尖题】如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m，电荷量
为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点由静
止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0。
(1)求小球的带电性质及电场强度E。
(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度v的大小(可含根式)。
A
【典例3拔尖题】【答案】(1)正电 (2)
3
学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电。小球由A点释放到速度等于零，
由动能定理有EqLsin α－mgL(1－cos α)＝0，解得E＝。
(2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝mg，方向与竖直方向成
30°角偏向右下方。若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点：m＝mg，由A点到等效
最高点，根据动能定理得－mgL(1＋cos 30°)＝mv2－mv 2，联立解得v ＝ 。
A A
【典例3拔尖题对应练习】如图所示，在水平向右的匀强电场中，一质量为 m、带正电的
小球用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止在B点时，细线与竖直方向的夹角为θ.
现给小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(重力加速
度为g)
(1)小球做圆周运动的过程中，在哪一位置时速度最小？速度最小值为多大？
(2)小球在B点的初速度为多大？
【典例3拔尖题对应练习】【答案】(1)与B点关于O点对称的位置 (2)
【解析】(1)如图所示，
小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝.重力场与电场的叠加场为等效重
力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为 g′＝，其方向与F同向，因此
B点为等效最低点，A点为等效最高点，小球在A点速度最小，设为v ，此时细线的拉力
A
为零，等效重力提供向心力，则mg′＝m，解得小球的最小速度为v ＝.
A
(2)设小球在B点的初速度为v ，由能量守恒定律得mv 2＝mv 2＋mg′·2l，解得v ＝.
B B A B
考点二：带电轻杆连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻杆连接体的转动模型
【典例1拔尖题】如图所示，水平向右的匀强电场中电场强度大小E＝ ，质量分别为
m、2m的小球A、B固定在直角形轻质绝缘轻杆两端，顶点O处有固定的光滑转动轴，BO
＝2AO＝l，B球带电量为＋q，A球不带电，重力加速度为g，此装置从图示位置由静止释
放后的转动过程中，下列说法中正确的是( )
4
学科网（北京）股份有限公司A. A球、B球和杆组成的系统机械能守恒 B. 小球A的最大速度为v ＝
m
C. 转动过程中静电力不可能做正功 D. B球达到O点正下方时机械能最大
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】转动过程中，由于静电力做功，因此A球、B球和杆组成的系统机械能不守恒，
A错误；在B球转回到初始位置的过程中，静电力做正功，C错误；设OA转动θ角时球A
的速度为v，由系统的动能定理可得2mglsinθ－qEl(1－cosθ)－mg· l·(1－cosθ)＝ ×2m(2v)2
＋ mv2，解得 mv2＝2mglsinθ＋ mglcosθ－ mgl，A球速度最大，需要2mglsinθ＋ mglcosθ
最大，解得tanθ＝ ，θ＝53°，则A球速度最大为v ＝ ，B正确；B球在初始位置时
m
克服静电力做功为零，其他位置都克服静电力做功，因此B球在初始位置时系统机械能最
大，D错误．
题型二：带电轻杆连接体的平动模型
【典例2拔尖题】如图所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均
为m的带电小球A和B.A球的带电量为＋2q，B球的带电量为－3q，两球组成一带电系统．
虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时A和B分别静止于虚线MN的两侧，虚线MN恰为
AB两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN、PQ间加上
水平向右的电场强度为E的匀强电场后，系统开始运动．试求：
（1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
（2）带电系统向右运动的最大距离和此过程中B球电势能的变化量；
（3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间．
5
学科网（北京）股份有限公司【典例2拔尖题】【答案】(1) (2)4qEL(3)(3－2)
【解析】(1)设B球刚进入电场时带电系统速度为v，由动能定理得2qEL＝·2mv 解得v
1 1
＝ .(2)带电系统向右运动分三段：B球进入电场前、带电系统在电场中、A球出电场．设A
球出电场的最大位移为x，由动能定理得2qEL－qEL－3qEx＝0解得x＝则s ＝L，B球从
总
刚进入电场到带电系统从开始运动到速度第一次为零时位移为L，其电势能的变化量为
ΔE ＝－W＝3qE·L＝4qEL。
p
(3)取向右为正方向，第一段加速 a＝＝，t＝＝ ，第二段减速a＝－，设A球刚出电场
1 1 2
速度为v，由动能定理得－qEL＝×2m(v－v)解得 v＝ ，t＝＝2(－1) 。解得总时间t＝t
2 2 2 1
＋t＝(3－2)
2
考点三：带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题
题型一：弹簧伸长模型
【典例1拔尖题】在如图所示的竖直平面内，物体A和带正电的物体B用跨过定滑轮的绝
缘轻绳连接，分别静止于倾角θ＝37°的光滑斜面上的M点和粗糙绝缘水平面上，轻绳与对
应平面平行．劲度系数k＝5 N/m的轻弹簧一端固定在O点，一端用另一轻绳穿过固定的
光滑小环D与A相连，弹簧处于原长，轻绳恰好拉直，DM垂直于斜面．水平面处于场强
E＝5×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中．已知A、B的质量分别为m ＝0.1 kg和m ＝
A B
0.2 kg，B所带电荷量q＝＋4×10－6 C．设两物体均视为质点，不计滑轮质量和摩擦，绳不
可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物体B的带电量不变．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37° ＝0.8.
（1）求B所受静摩擦力的大小；
（2）现对A施加沿斜面向下的拉力F，使A以加速度a＝0.6 m/s2开始做匀加速直线运动．
A从M到N的过程中，B的电势能增加了ΔE ＝0.06 J．已知DN沿竖直方向，B与水平面
p
间的动摩擦因数μ＝0.4.求A到达N点时拉力F的瞬时功率．
【典例1拔尖题】【答案】(1)0.4 N (2)0.528 W
【解析】(1)据题意静止时由平衡条件得：对物体A，有m gsin θ＝F ，对物体B，有qE＋
A T
f＝F ′，又F ＝F ′，代入数据得f＝0.4 N.
0 T T T 0
(2)据题意对物体A运动到N点时受力分析如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由牛顿第二定律得：对物体A，有F＋m gsin θ－F －F sin θ＝m a,对物体B，有F ′－qE
A T k A T
－F＝m a,其中F＝μm g,F ＝kx,F ＝F ′,由电场力做功与电势能的关系得ΔE ＝qEd
f B f B k T T p
由几何关系得x＝－,物体A由M运动到N，由v2＝2ad,得物体A运动到N点时的速度v
＝，拉力F在N点的瞬时功率P＝Fv,由以上各式代入数据得P＝0.528 W.
题型二：弹簧压缩模型
【典例2拔尖题】如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为 m、电荷量为＋q
的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下
落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度
为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的电场强度为
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】带电物块由静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，
解得：E＝，故A错误；从A到C的过程中，除重力和弹簧弹力以外，只有电场力做功，
电场力做功为：W＝－qE(H＋h)＝－，可知机械能减少量为，故B错误；从A到C过程中，
电场力做功为－，则电势能增加量为，故C错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W ＝0
弹
－0，解得弹力做功为：W ＝－，即弹簧弹性势能增加量为，故D正确．
弹
【典例2拔尖题对应练习】如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，
电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块（可视为质点）质量为m，
电量为+q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，
建立坐标系，物块动能E 与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x 处为弹簧原长
k 1
7
学科网（北京）股份有限公司位置，O~x 段为直线，坐标x 处动能最大，坐标x 处动能为零。下列说法正确的是
1 2 4
（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．从坐标x 处到坐标x 处，物块所受力的合力先增加后减小
1 4
C．从坐标x 处到坐标x 处弹簧弹性势能增加了
1 3
D．从坐标x 处到坐标x 处，弹簧弹性势能增加量的大小等于电势能减少量的大小
1 2
【典例2拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】由动能定理可知， 物体做匀加速直线运动，则 在 处物体动能
最大，此时物体加速度为零，则 即 解得 故A正确；
从坐标x 处到坐标x 处，在 处 所以 阶段 ， 变大，则 变
1 4
小，而从 到 对应 ， 变大， 变大，所以合力先减小后增大，故B错
误；从坐标x 处到坐标x 处，弹簧弹性势能变大，而电场力做功全部转化为弹簧的弹性势
1 3
能，即有 故C正确；从坐标x 处到坐标x 处，弹性势能增加、动能增加，
1 2
电场力做正功，电势能减小，可知弹簧弹性势能增加量和动能的增加量之和大小等于电势
能减少量的大小，故D错误。故选AC。
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学科网（北京）股份有限公司
