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知识点 39：轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：速率相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；对多个物体组成的系统要注意判断
物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。解题时要注意寻找用绳相连接的物体间的速度
关系和位移关系。分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
题型一：悬吊式模型的力与能量问题
【典例1基础题】(多选)如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑
轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升。摩擦
及空气阻力均不计。则( )
A.升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能
B.升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
C.升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
D.升降机上升的全过程中，钢绳拉力做的功大于升降机和人增加的机械能
【典例1基础题】【答案】BC
【解析】根据动能定理可知，合力对物体做的功等于物体动能的变化量，所以升降机匀加
速上升过程中，升降机底板对人做的功与人的重力做功之和等于人增加的动能，故A错误；
1
学科网（北京）股份有限公司除重力外，其他力对人做的功等于人机械能的增加量，B正确；升降机匀速上升过程中，
升降机底板对人做的功等于人克服重力做的功(此过程中动能不变)，即增加的机械能，C
正确；升降机上升的全过程中，钢绳拉力做的功等于升降机和人增加的机械能，D错误。
【典例1基础题对应练习】（多选）如图所示，A物体用板托着，细绳跨过轻质光滑定滑
轮与A、B相连，绳处于绷直状态，已知A、B的质量分别为2m和m.现将板抽走，则A下
落一段距离的过程中( )
A．A物体减少的机械能大于B物体增加的机械能
B．A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能
C．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力大于3mg
D．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力小于3mg
【典例1基础题对应练习】【答案】BD
【解析】对A、B组成的系统，没有机械能与其他形式能的转化，因此系统的机械能守恒，
A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，A错误，B正确；对滑轮受力分析，根据
平衡条件得F＝2F ，对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝3ma，对B
T
物体受力分析得F －mg＝ma，联立得F＝mg，C错误，D正确．
T
题型二：斜面式模型的力与能量问题
【典例2基础题】(多选)如图所示，卷扬机的绳索通过光滑轻质定滑轮用力F拉位于粗糙
斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动．在移动过程中，下列说法正确的是( )
A．力F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
B．力F对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力所做的功之和
C．木箱增加的机械能等于力F、重力及摩擦力对木箱所做的功之和
D．木箱增加的动能等于力F、重力及摩擦力对木箱所做的功之和
【典例2基础题】【答案】BD
【解析】根据功和能量转化的关系可知，力F对木箱做的功应等于木箱增加的动能、木箱
克服摩擦力做的功以及木箱增加的重力势能的总和，即力 F对木箱做的功应等于木箱增加
2
学科网（北京）股份有限公司的机械能与木箱克服摩擦力所做的功之和，故A错误，B正确；根据功和能量转化的关系
可知，木箱增加的机械能等于力F和摩擦力对木箱所做的功之和，故C错误；根据动能定
理可知，木箱增加的动能等于力F、重力及摩擦力对木箱所做的功之和，故D正确．
【典例2基础题对应练习】（多选）如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面
ab与水平面的夹角为60°，光滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮．
质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与
斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞．若不计
滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A．轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下
B．拉力和重力对M做功之和大于M动能的增加量
C．拉力对M做的功等于M机械能的增加量
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【典例2基础题对应练习】【答案】BD
【解析】根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形
定则可知，合力方向与绳子方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向
下的，故A错误；对M受力分析，受到重力、斜面的支持力、绳子拉力以及滑动摩擦力作
用，根据动能定理可知，M动能的增加量等于拉力和重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力
做负功，则拉力和重力对M做功之和大于M动能的增加量，故B正确；根据除重力以外
的力对物体做功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对 M做的功之和等于M机
械能的增加量，故C错误；对两滑块组成系统分析可知，除了重力之外只有摩擦力对 M做
功，所以两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功，故D正确．
考点二：速率不相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
用绳连接的两物体速率不相等，但是物体沿轻绳方向速率相等。
题型一：轻绳连接体在固定杆上运动模型
【典例1基础题】(多选)如图所示，不可伸长的轻绳通过定滑轮将物块甲、乙(均可视为质
点)连接，物块甲套在固定的竖直光滑杆上，用外力使两物块静止，轻绳与竖直方向夹角 θ
＝37°，然后撤去外力，甲、乙两物块从静止开始运动，物块甲恰能上升到最高点P，P点
与滑轮上缘O在同一水平线上，甲、乙两物块质量分别为m、M，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，重力加速度为g，不计空气阻力，不计滑轮的大小和摩擦．设物块甲上升到最高点 P
时加速度为a，则下列说法正确的是( )
3
学科网（北京）股份有限公司A．M＝2m B．M＝3m C．a＝g D．a＝0
【典例1基础题】【答案】AC
【解析】设QP间的距离为h，OQ间的绳长L＝＝，则乙下降的高度为h′＝L－htan 37°
＝，则根据机械能守恒定律可知mgh＝Mgh′，解得M＝2m，故A正确，B错误．甲上升
到最高点P时，由于不受摩擦力，所以在竖直方向上只受重力，水平方向上弹力与绳子的
拉力平衡，因此甲的加速度为g，故C正确，D错误．
【典例1基础题对应练习】（多选）如图所示，物块套在固定竖直杆上，用轻绳连接后跨
过定滑轮与小球相连．开始时物块与定滑轮等高．已知物块的质量m ＝3 kg，球的质量m
1 2
＝5 kg，杆与滑轮间的距离d＝2 m，重力加速度g＝10 m/s2，轻绳和杆足够长，不计一切摩
擦，不计空气阻力．现将物块由静止释放，在物块向下运动的过程中( )
A．物块运动的最大速度为 m/s B．小球运动的最大速度为 m/s
C．物块下降的最大距离为3 m D．小球上升的最大距离为2.25 m
【典例1基础题对应练习】【答案】AD
【解析】当物块所受的合外力为0时，物块运动的速度最大，此时，小球所受合外力也为
0，则有绳的张力等于小球的重力，即 F ＝mg＝50 N。对物块受力分析，如图，可知
T 2
F cos θ＝mg，对物块的速度v沿绳的方向和垂直绳的方向分解，则沿绳方向的分速度即为
T 1
小球的速度，设为v ，则有v ＝vcos θ，对物块和小球组成的系统，由机械能守恒定律可
1 1
知mg－mg(－d)＝mv2＋mv2，代入数据可得v＝ m/s，v＝ m/s，故A正确，B错误；设
1 2 1 2 1 1
物块下落的最大高度为h，此时小球上升的最大距离为h ，则有h ＝－d，对物块和小球组
1 1
成的系统，由机械能守恒定律可得mgh＝mgh ，联立解得h＝3.75 m，h ＝2.25 m，故C
1 2 1 1
4
学科网（北京）股份有限公司错误，D正确．
题型二：轻绳连接体在固定圆弧上运动模型
【典例2基础题】如图所示，一半径为R的光滑硬质 圆环固定在竖直平面内，在最高点的
竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C，质量为m的小球A穿在
环上，且可以自由滑动，小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为 m的小球
B，细线搭在滑轮上，现将小球A从环上最高点由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻
力，A在环上运动过程中，下列说法正确的是( )
A. 两小球组成的系统运动过程中机械能先减小后增大
B. 细线的拉力对A球做功的功率小于对B球做功的功率
C. 释放后小球B的速度为零时，小球A的动能为 mgR
D. 小球A运动到环上最低点时的速度为2
【典例2基础题】【答案】C
【解析】两小球组成的系统只有重力做功，所以系统运动过程中机械能守恒，则细线拉力
对两小球在任意时刻做功的代数和为零，细线的拉力对A球做功的功率的绝对值等于对B
球做功的功率的绝对值，故A、B错误；根据速度的合成与分解可知，A球的速度在沿细
线方向的分量大小等于B的速度大小，当小球B的速度为零时，小球A的速度方向与细线
垂直，根据几何关系可知此时细线与水平方向的夹角为45°，根据机械能守恒定律可得此
时小球A的动能为E ＝mgRsin 45°＋mg ＝ mgR，故C正确；小球
kA
A运动到环上最低点时，A、B的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律可得mgR＝
×2mv2，解得v＝ ，故D错误．
题型三：轻绳连接体在轮轴上转动模型
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学科网（北京）股份有限公司【典例3基础题】(多选)轮轴机械是中国古代制陶的主要工具。如图所示，轮轴可绕共同
轴线O自由转动，其轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别
在绳的下端吊起质量为2 kg、1 kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均
做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取10
m/s2。在P从静止下降1.2 m的过程中，下列说法正确的是( )
A.P、Q速度大小始终相等
B.Q上升的距离为0.6 m
C.P下降1.2 m时Q的速度大小为2 m/s
D.P下降1.2 m时的速度大小为4 m/s
【典例3基础题】【答案】BD
【解析】由题意知，轮半径R＝20 cm，轴半径r＝10 cm，根据线速度与角速度关系可知
＝＝，故A项错误；在P从静止下降1.2 m的过程中，由题意得＝＝，解得h ＝0.6 m，故
Q
B项正确；根据机械能守恒得m gh ＝m v＋m v＋m gh ，代入数值解得v ＝2 m/s，v ＝4
P P P Q Q Q Q P
m/s，故C项错误，D项正确。
考点三：轻绳摆球模型的力与能量问题
【典例1基础题】如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，
摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R
＝0.3 m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭 A孔．已知摆线长L＝2
m，θ＝53°，小球质量为m＝0.5 kg，D点与A孔的水平距离s＝2 m，g取10 m/s2.(sin 53°
＝0.8，cos 53°＝0.6)
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大；
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求摆球与粗糙水平面间的动摩擦因数 μ的范
围．
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学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题】【答案】(1)9 N (2)0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025
【解析】(1)当摆球由C到D运动，根据动能定理有mg(L－Lcos θ)＝mv 2
D
在D点，由牛顿第二定律可得F －mg＝m，可得F ＝1.8mg＝9 N
m m
(2)小球不脱离圆轨道分两种情况
①要保证小球能到达A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，由动能定理可得－μmgs＝0
1
－mv 2，可得μ ＝0.4，若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做往返运动，不脱离
D 1
轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由动能定理可得－mgR＝0－mv 2
A
由动能定理可得－μmgs＝mv 2－mv 2，可求得μ＝0.25
2 A D 2
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，当小球恰好到达最高点时，在圆周的最高
点，由牛顿第二定律可得mg＝m，由动能定理可得－μmgs－2mgR＝mv2－mv 2，解得μ
3 D 3
＝0.025。综上所述，动摩擦因数μ的范围为0.25≤μ≤0.4或者μ≤0.025.
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