文档内容
知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1拔尖题】(多选)如图甲所示，长为L的木板水平放置，可绕左端的转轴O转动，
左端固定一原长为的弹簧，一质量为m的小滑块压缩弹簧到图甲中的a点(物体与弹簧不连
接)，Oa间距离为。将小滑块由静止释放后，木板不动，小滑块恰能到达木板最右端。将
木板绕O点逆时针转动37°后固定，如图乙所示，仍将物体在a点由静止释放，物体最多
运动到离O点的b点。已知弹簧的弹性势能E ＝kΔx2，其中k为劲度系数，Δx为弹簧的形
p
变量。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A.物体与木板间的动摩擦因数为
B.物体在a点时，弹簧的弹性势能为mgL
C.木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为mgL
D.木板水平放置时，物体运动过程中的最大动能为mgL
题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2拔尖题】某兴趣小组设计了一个“螺丝”形的竖直轨道模型，如图所示，将一质
量为m＝0.2 kg的小球(视为质点)放在O点，用弹簧装置将其由静止弹出，使其沿着半圆形
竖直光滑轨道OMA和ANB运动，BC、C′G是材料相同的水平面，其中BC段L＝
1 m，C′G足够长，C′DEFC′是与C、C′点相切的竖直圆形光滑管道(管径很小，C、
C′相互靠近且错开)，已知弧OMA的半径r＝0.05 m，圆弧ANB的半径R ＝0.1 m和
1
CDEFC′的半径R ＝0.2 m，小球与BC、C′G间的动摩擦因数均为μ＝0.2，其余轨道均
2
光滑，弹簧的最大弹性势能E ＝1.4 J，小球运动时始终没有脱离轨道(g取10 m/s2)．求：
pmax
(1)要使小球最终停在BC段，求弹簧弹性势能的范围；
(2)以C点为坐标原点，CG为x轴，从C到G方向为正方向，求出弹簧弹性势能E 与小球
p
停止位置坐标x的关系．
【典例2拔尖题对应练习】小伙同学设计的某款游戏装置由轨道ABCD，圆弧轨道和自行
设计轨道三部分构成。如图所示，该装置竖直放置；装置中轨道ABCD的动摩擦因数均为
=0.5，其余轨道摩擦不计。AB、CD为水平面，BC为斜面，AB与BC、BC与CD间均
由长度不计的圆弧连接，C点上方有一圆弧形弹性小挡板K，挡板末端水平。E点在D点
的正上方，DE间距不计。B点到E点的竖直高度h=0.08m，ABCD的水平长度为
L=0.12m；在水平轨道AB的左侧放有一弹射装置，已知弹簧的弹性势能大小与弹簧的压缩
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学科网（北京）股份有限公司量的平方成正比。将一可视为质点，质量m=1kg的物体紧贴弹簧由静止释放弹出，当弹簧
的压缩量为d时，物体由E点进入半径R=0.2m的半圆弧轨道EFG运动，物体在此轨道最
高点恰好不受任何挤压。忽略小物体在各轨道交接处因碰撞带来的机械能的损失。
（1）当弹簧的压缩量为d时，求小物体在半圆弧轨道中运动时的最小速度及此情况下弹射
装置弹簧的初始弹性势能；
（2）当弹簧的压缩量为1.5d时，求物体在运动至F点处对圆形轨道的压力；
（3）调整弹簧的压缩量和半圆弧轨道的半径后，小伙同学在距G点正下方H=3m处自行
设置了一顶点在G点正下方，倾角为 的足够长的固定斜面，要使物体最终打到斜面
上的落点与G点的距离最短，求通过G点的速度v 为多大？
1
考点二：物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型一：物体压轻弹簧+直线运动模型
【典例1拔尖题】如图所示，固定在水平面上的光滑斜面AB与水平方向的夹角θ＝45°，
A、B两点的高度差h＝4 m，在B点左侧的水平面上有一左端固定的轻质弹簧，自然伸长
时弹簧右端到B点的距离s＝3 m．质量为m＝1 kg的物块从斜面顶点A由静止释放，物块
进入水平面后向左运动压缩弹簧的最大压缩量 x＝0.2 m．已知物块与水平面间的动摩擦因
数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，不计物块在B点的机械能损失．求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)物块最终停止位置到B点的距离；
(3)物块在斜面上滑行的总时间(结果可用根式表示)．
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学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题对应练习】如图(a)，一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜
面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面
向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑
块沿斜面下滑的位移x的变化关系如图(b)所示。已知AB段长度为2 m，滑块质量为2 kg，
滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10
m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)当拉力为10 N时，滑块的加速度大小；
(2)滑块第一次到达B点时的动能；
(3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2拔尖题】如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道
的PQ段铺设可调节长度的特殊材料，调节其初始长度为 l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左
端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v 冲上轨
0
道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R＝0.4 m，l＝2.5
m，v ＝6 m/s，物块质量m＝1 kg，与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.4，轨道其他部分摩擦
0
不计．取g＝10 m/s2.求：
(1)物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力大小；
(2)物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能；
【典例2拔尖题对应练习】（多选）如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定且与水平地面相
切于A点，B为半圆轨道的最高点，半径R=1.6m，其右侧一定水平距离处固定一个斜面体。
E端固定一轻弹簧，原长为DE，斜面CD段粗糙而DE段光滑。现给一质量为2kg的小物
块（可看作质点）一个水平初速度v，使其从A处进入圆轨道，小物块恰能通过圆轨道最
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学科网（北京）股份有限公司高点B，离开B点后恰好沿斜面切线方向落到斜面顶端C处，物块沿斜面下滑压缩弹簧后
又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点C。已知物块与斜面CD段的动摩擦因数μ=
，斜面最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，斜面倾角θ=37°，重力加速度g=10m/s2，
，不计物块碰撞弹簧时的机械能损失。下列说法正确的是（ ）
A．物块运动的初速度v= m/s
0
B．物块从B运动到C的时间t=0.4s
C．粗糙斜面CD段的长度 m
D．经过足够长的时间后，小物块将在DE段做往复运动且小物块的机械能守恒
考点三：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体在水平面运动模型
【典例1拔尖题】（多选）如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块
相连．弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块
与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W.撤
去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g.则上述过程
中( )
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
题型二：轻弹簧连接体在杆上运动模型
【典例2拔尖题】如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为 m、套在粗糙竖直固定
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学科网（北京）股份有限公司杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从 A处由静止释放后，经过B处时速度最
大，到达C处(AC＝h)时速度减为零．若在此时给圆环一个竖直向上的速度v，它恰好能回
到A点．弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直增大
B．下滑过程中，摩擦力做的功为mv2
C．在C处弹簧的弹性势能为mgh－mv2
D．上、下两次经过B点的速度大小相等
【典例2拔尖题对应练习】(多选)如图所示，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直
放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，
弹簧处于原长l 。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其
0
中一个金属环，下列说法正确的是(弹簧的长度为l时弹性势能为k(l－l)2)( )
0
A.金属环的最大加速度为g
B.金属环的最大速度为g
C.金属环与细杆之间的最大压力为mg
D.金属环达到最大速度时重力的功率为mg2
考点四：轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体+直接接触体组合模型
【典例1拔尖题】如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A
紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，
A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当
速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、
B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性
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限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：E = kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变
P 2
量）
（1）求B、C向左移动的最大距离x 和B、C分离时B的动能E ；
0 k
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值F ；
min
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为x ，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B
BC
克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fx 的大小；
BC
（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，
并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。
以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点
在O位置。质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v 从斜面的顶端P点沿斜面向下运
0
动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。物块A离开
弹簧后，恰好回到P点。已知OP的距离为x，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾
0
角为θ。求：
（1）O点和O′点间的距离x；
1
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）设B的质量为βm，μ = tanθ，v = 3 。在P点处放置一个弹性挡板，将A
0
与另一个与A材料相同的物块B（可视为质点与弹簧右端不拴接）并排一起，使两根弹簧
仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后给A外加恒力 ，沿斜面
向上，若A不会与B发生碰撞，求β需满足的条件？
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学科网（北京）股份有限公司题型二：轻弹簧连接体+轻绳连接体组合模型
【典例2拔尖题】一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面
底端，上端连接物块Q.一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直
杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m．初始时在外力作用下，物块P在A
点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N．已知物块P的质量为m ＝0.8 kg，
1
物块Q的质量为m ＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2.现将物块P由静止释放，
2
求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x；
1
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功．
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，倾角为30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个
质量均为m＝1 kg的物体B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量
M＝8 kg的物体A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R＝2
m的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与粗糙水
平轨道bc相切，bc与一个半径r＝0.2 m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至
b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂。已知A与bc间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速
度g取10 m/s2，弹簧的形变始终在弹性限度内，所有装置在同一竖直平面内，细绳不可伸
长。
(1)求弹簧的劲度系数；
(2)求物体A滑至b处，绳子断开瞬间，A对圆弧轨道的压力大小；
(3)为了让物体A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件？
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学科网（北京）股份有限公司题型三：轻弹簧连接体+轻杆连接体组合模型
【典例3拔尖题】如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用
轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，初始时弹簧处于原长．
现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°.A、B、C在同一竖直
平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中( )
A. A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B. A的动能最大时，B受到地面的支持力等于 mg
C. 弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D. 弹簧的弹性势能最大值为mgL
【典例3拔尖题对应练习】一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球
以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转
轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为
，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩
擦和空气阻力，重力加速度为g，求
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度 ；
（3）弹簧长度从 缓慢缩短为 的过程中，外界对转动装置所做的功W．
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