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知识点 39：轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：速率相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；对多个物体组成的系统要注意判断
物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。解题时要注意寻找用绳相连接的物体间的速度
关系和位移关系。分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
题型一：悬吊式模型的力与能量问题
【典例1拔尖题】如图所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻
质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦
现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是( )
A．A物体的加速度为
B．A、B组成系统的重力势能增大
C．下落t秒时，B所受拉力的瞬时功率为mg2t
D．下落t秒时，A的机械能减少了mg2t2
【典例1拔尖题】【答案】D
【解析】A与B的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对 A、B整体有：a＝＝g，故
A错误；A、B组成系统的机械能不变，动能增大，重力势能减小，故 B错误；B受到的拉
力：F＝m(g＋a)＝，下落t秒时，B的速度：v＝at＝gt，所受拉力的瞬时功率为P＝Fv＝
mg2t，C错误；对A有：2mg－F ＝2ma，得细绳的拉力F ＝mg.下落t秒时，A下落的高
T T
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1
学科网（北京）股份有限公司度为h＝at2＝gt2，则A克服细绳拉力做功为W＝F h＝mg2t2.根据功能关系得知：A的机械
T
能减少量为ΔE ＝W＝mg2t2，故D正确．
A
【典例1拔尖题对应练习】（多选）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 P和Q用不
可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量 m >m ，t＝0时刻将两物体由静止释放，物体
Q P
Q的加速度大小为.T时刻轻绳突然断开，物体P能够达到的最高点恰与物体Q释放位置处
于同一高度，取t＝0时刻物体P所在水平面为零势能面，此时物体Q的机械能为E.重力加
速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点．下列说法正确的是( )
A．物体P和Q的质量之比为1∶3 B．2T时刻物体Q的机械能为
C．2T时刻物体P重力的功率为 D．2T时刻物体P的速度大小为
【典例1拔尖题对应练习】【答案】BCD
【解析】开始释放时物体Q的加速度大小为，则有m g－F ＝m ·，F －m g＝m ·，
Q T Q T P P
解得F ＝m g，＝，选项A错误；在T时刻，两物体的速度大小v ＝，P上升的距离h ＝
T Q 1 1
×T2＝，轻绳断后P能上升的高度h ＝＝，则开始时P、Q竖直方向上的距离为h＝h ＋h
2 1 2
＝，开始时P所处的水平面为零势能面，则开始时Q的机械能E＝m gh＝，从开始到轻绳
Q
断裂，轻绳的拉力对Q做负功，大小为W ＝F h＝，则绳断裂时物体Q的机械能E′＝E－
F T 1
W ＝＝，此后物体Q的机械能守恒，则在2T时刻物体Q的机械能仍为，选项B正确；在
F
2T时刻，重物P的速度v ＝v －gT＝－，方向向下，此时物体P重力的瞬时功率P ＝m g|
2 1 G P
v|＝·＝＝，选项C、D正确．
2
题型二：斜面式模型的力与能量问题
【典例2拔尖题】如图所示，一劈形滑梯固定在水平地面上，高 h ＝12 m，底角分别为
1
37°、53°，A、B两小物块质量分别为m ＝2 kg、m ＝4 kg，用轻绳连接，通过滑梯顶端的
A B
小滑轮跨放在左右两斜面上，轻绳伸直时，两物块离地高度h＝4 m，在滑轮处压住细绳，
2
已知物块与斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.1，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8.
(1)若在压绳处突然剪断绳，求A、B下滑过程中加速度之比；
(2)若松开绳，求B滑到底端时的速度大小；
(3)松开绳，当B滑到底端后，A沿斜面继续向上滑行的距离．
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2
学科网（北京）股份有限公司【典例2拔尖题】【答案】(1) (2) m/s (3) m
【解析】(1)对 A 分析 F ＝m gsin 37°－μm gcos 37°，对 B 分析 F ＝m gsin 53°－
A A A B B
μm gcos 53°，又F＝ma，综上所述，解得＝，＝
B
(2)由动能定理：m gh－m gh －(μm gcos 53°＋μm gcos 37°)·x＝(m ＋m )v2，由几何关系得
B 2 A A B A A B
h ＝·sin 37°＝3 m，x＝＝5 m，联立解得B滑到底端的速度v＝ m/s.
A
(3)A沿斜面上行，a ′＝gsin 37°＋μgcos 37°＝6.8 m/s2，由v＝2a ′x v ＝v＝ m/s，上行距
A A A A
离：x ＝ m
A
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，有A、B、C三个物块，一根轻绳绕过光滑的轻质定
滑轮，两端分别连接物块A与物块B，物块B的下面通过轻绳与物块C连接，物块B和C
的质量均为m，物块A的质量为3m，物块A锁定在光滑的斜面上的P点(P点离滑轮足够
远)，斜面倾角θ＝30°，轻绳始终平行于斜面。物块B与物块C之间的轻绳长度为L，初始
时C离地的高度也为L。解除对物块A的锁定，物块开始运动。设物块A可视为质点，物
块B与物块C落地后不反弹，重力加速度大小为g。求：
（1）A刚上升时的加速度；
（2）A上升过程的最大速度；
（3）A能上升的最高位置离P点的距离。
【典例2拔尖题对应练习】【答案】(1) (2) (3) L
【解析】(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度a大小相等，设轻
绳对A和B的拉力大小为F ，由牛顿第二定律得对A：F －3mgsin θ＝3ma，对B、C：
T T
(m＋m)g－F ＝(m＋m)a联立解得a＝g
T
(2)对物块C刚着地时，A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由动能定理得
2mgL－3mgLsin θ＝(2m)v＋(3m)v解得v ＝
max
(3)设C落地后A沿斜面继续上升d时速度为零，此时B下降d未接触C，A和B组成的系
统由动能定理得mgd－3mgdsin θ＝0－(m＋3m)v联立解得d＝L
由于d＝L<L，B不会触C，所以A能上升的最高位置离P点的距离H＝L＋d＝L
考点二：速率不相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
用绳连接的两物体速率不相等，但是物体沿轻绳方向速率相等。
题型一：轻绳连接体在固定杆上运动模型
【典例1拔尖题】（多选）如图所示，质量为m的小环套在固定的光滑竖直杆上，一足够
长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为 M的物块相连，
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3
学科网（北京）股份有限公司已知M＝2 m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为3 m，定滑轮大小及质量可忽略
现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列
说法正确的是( )
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
【典例1拔尖题】【答案】AD
【解析】由机械能守恒得：mgL ＝Mg(－3)，解得：L ＝4 m，故A正确；设小环静止于
AC AC
C点，绳中的拉力等于2mg，对小环有：T＝＝mg≠2mg，小环不能静止，所以假设不成立，
故B错误；由机械能守恒可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能
和小环增加的动能，故C错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即
为物块的速度即为v ＝v cos 60°，由动能表达式E ＝mv2可知，小环与物块的动能之比为
M m k
2∶1，故D正确。
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，质量均为m完全相同的两个弹性圆环A、B用不可
伸长的、长为L的轻绳连接，分别套在光滑水平细杆OM和足够长光滑竖直细杆ON上，
杆OM与杆ON在O点用一小段圆弧平滑相连，A环通过O点时速率不变．现将轻绳拉至
水平位置伸直，B环位于O点，并同时由静止释放两环．(重力加速度为g)
(1)若B环下降高度h(h<L)时，B环加速度恰好为零，求此时绳中拉力大小；
(2)求A环从开始运动到O点过程中，轻绳对A环拉力所做的功；
【典例1拔尖题对应练习】【答案】(1) (2)mgL (3)
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4
学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)若B环下降高度h(h<L)，加速度为零时，设轻绳与竖直方向夹角θ，如图所示。
因B环加速度恰好为零，则有Fcosθ＝mg，cosθ＝ ，联立解得F＝ ＝ .
(2)设A环到达O点时速度为v ′，此时B环的速度等于0，B环下降L过程中，A、B系统
A
机械能守恒，有mgL＝ mv ′2，解得v ′＝ ，轻绳对A环拉力所做的功W＝ mv ′2＝
A A A
mgL.
(3)A环过O点后做初速度为v ′、加速度为g的匀加速直线运动，B环做自由落体运动，设
A
从A环经过O点开始，追上B环用时为t，A、B即将发生第一次碰撞时二者的速度分别为
v、v，则有v ′t＋ gt2＝L＋ gt2，解得t＝ ，故A环追上B环时v＝v ′＋gt＝ ，
1 2 A 1 A
v＝gt＝ .
2
题型二：轻绳连接体在固定圆弧上运动模型
【典例2拔尖题】如图所示，弯成四分之三圆弧的细杆竖直固定在天花板上的 N点，细杆
上的PQ两点与圆心O在同一水平线上，圆弧半径为0.8 m．质量为0.1 kg的有孔小球A(可
视为质点)穿在圆弧细杆上，小球A通过轻质细绳与质量也为0.1 kg的小球B相连，细绳绕
过固定在Q处的轻质小定滑轮(未画出)．将小球A在圆弧细杆上某处由静止释放，则小球
A沿圆弧杆下滑，同时带动小球B运动，当小球A下滑到D点时其速度大小为4 m/s，此时
细绳与水平方向的夹角为37°，已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，cos
16°＝0.96.问：
(1)小球A下滑到D点时，若细绳的张力F ＝x(N)，则圆弧杆对小球A的弹力是多大？
T
(2)小球A下滑到D点时，小球B的速度是多大？方向如何？
(3)如果最初释放小球A的某处恰好是P点，请通过计算判断圆弧杆PD段是否光滑．
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5
学科网（北京）股份有限公司【典例2拔尖题】【答案】(1)2.96－0.8x (N) (2)2.4 m/s 竖直向下 (3)见解析
【解析】(1)当小球A运动到D点时，设圆弧杆对小球A的弹力大小为F ，由牛顿第二定
N
律有F ＋F cos 37°－mgcos 16°＝，解得F ＝2.96－0.8x (N)
N T N
(2)小球A在D点时，小球B的速度大小v ＝v sin 37°＝2.4 m/s，方向竖直向下．
B A
(3)由几何关系有＝2Rcos 37°＝1.6R，h＝sin 37°＝0.96R，若圆弧杆不光滑，则在小球A从
P点滑到D点的过程中，必有摩擦力对小球A做功．设摩擦力对小球A做功为W，对A、
f
B两小球由动能定理得，mgh＋mg(2R－)＋W＝mv 2＋mv 2，代入数据解得W＝0，所以圆
f A B f
弧杆PD段是光滑的．
题型三：轻绳连接体在轮轴上转动模型
【典例3拔尖题】如图所示，半径为r、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂
直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点正下方
离O点处固定一个质量也为m的小球B，放开盘让其自由转动。
(1)当A转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A球转到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
【典例3拔尖题】【答案】(1)mgr (2) (3)37°
【解析】(1)以通过固定轴O的水平面为零势能面，开始时两球的重力势能之和为：
E ＝E ＋E ＝0－mgr＝－mgr，当小球A转至最低点时两小球重力势能之和为：E ＝
p1 pA pB p2
E ＋E ＝－mgr＋0＝－mgr，故两球重力势能之和减少量为：ΔE ＝E －E ＝－mgr－
pA pB p减 p1 p2
(－mgr)＝mgr。
(2)由于圆盘转动过程中，系统只有动能和重力势能相互转化，系统的机械能守恒，因此系
统的重力势能的减少一定等于两球动能的增加。设A球转至最低点时，A、B的线速度分
别为v 和v ，则mgr＝mv 2＋mv 2。因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相
A B A B
等，故线速度的关系为v ＝2v ，解得v ＝ 。
A B A
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6
学科网（北京）股份有限公司(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，如图所示，该位置小球的速度为零，故系
统的机械能为：E ＝E ＝mgsin θ－mgrcos θ。开始时系统的机械能为：E ＝E ＝－mgr，
3 p3 1 p1
对系统由机械能守恒得：－mgr＝mgrsin θ－mgrcos θ，所以sin θ＝(舍去负值)，即θ＝
arcsin＝37°。
考点三：轻绳摆球模型的力与能量问题
【典例1拔尖题】如图所示，一根长为l、不可伸长的轻绳，其一端固定于O点，另一端系
着一质量为m的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的P点，此时绳刚好伸直且无
张力。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)为使小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在P点至少应施加给小球多大的水平速度v
0?
(2)若在P点将小球以速度v＝水平抛出，求小球经过最低点时受到轻绳的拉力。
2
【典例1拔尖题】【答案】(1) (2)5mg 方向竖直向上
【解析】(1)小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动时，在P点小球只受重力作用，由牛
顿第二定律得mg＝m，解得v＝。
0
(2)当小球平抛到与圆心同一高度时l＝gt2，水平位移x＝vt，由以上两式得x＝l，即此位置
2
轻绳刚好绷紧，轻绳拉紧瞬间，小球速度方向变为垂直轻绳方向，其大小为v＝gt＝
y
之后小球机械能守恒，设经最低点时速度为v ，则有mgl＝mv－mv，受力分析有F －mg
1 T
＝，解得F ＝5mg，方向竖直向上
T
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学科网（北京）股份有限公司
