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知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1基础题】（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为
弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最
远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大 B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功 D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
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学科网（北京）股份有限公司题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2基础题】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量
为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 l.现将该弹簧水平放置，一
端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径
为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩
擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重
力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位
置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
【典例2基础题对应练习】如图所示，用内壁光滑的细圆管弯成的半圆形APB(圆半径远大
于细管的内径)和直轨道BC组成的装置，把它竖直放置并固定在水平面上，已知半圆轨道
半径R＝1 m，质量m＝100 g物体(视为质点)压缩弹簧由静止释放，物体从A点弹入圆轨
道，从C点以v＝8 m/s离开轨道随即进入长L＝2 m、μ＝0.1的粗糙水平地面(图上对应
0
为CD)，最后能通过光滑轨道DE，从E点水平射出，E距离地面的高度为h，除CD段其
他摩擦阻力忽略不计．重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物体到达C点时对圆管的压力；
(2)弹簧储存的弹性势能；
考点二：物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型一：物体压轻弹簧+直线运动模型
【典例1基础题】质量为m的物体以初速度v 沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹
0
簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹
簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为
(重力加速度为g)( )
2
学科网（北京）股份有限公司A．mv－μmg(s＋x) B．mv－μmgx C．μmgs D．μmg(s＋x)
【典例1基础题对应练习】如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的
质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块
向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性
限度．在上述过程中( )
A．弹簧的最大弹力为μmg B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs D．物块在A点的初速度为
题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2基础题】如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，
OA之间的水平面光滑，固定曲面在B处与水平面平滑连接．AB之间的距离s＝1 m．质量
m＝0.2 kg的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.
现给物块一个水平向左的初速度v＝5 m/s，g取10 m/s2.
0
(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能E ；
p
(2)求物块返回B点时的速度大小；
(3)若物块能冲上曲面的最大高度h＝0.2 m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量．
【典例2基础题对应练习】如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定在AB杆上，杆长L＝1
m，半圆与水平方向相切于B点，半径R＝0.5 m，距其右侧一定水平距离处固定一个斜面
体．斜面C端离地高度h＝0.8 m，E端固定一轻弹簧，弹簧原长为DE，DE＝0.375 m，斜
面CD段粗糙而DE段光滑．现将一质量为1 kg的物块(可看作质点)从圆轨道某处静止释放，
离开最低点B后恰能落到斜面顶端C处，且速度方向恰好平行于斜面，物块沿斜面下滑压
缩弹簧后又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点 C.斜面倾角θ＝53°，重力加速度g
＝10 m/s2.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)物块运动到B点时对轨道的压力大小；
(2)物块在粗糙斜面CD段上能滑行的总路程s.
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学科网（北京）股份有限公司考点三：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体在水平面运动模型
【典例1基础题】如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放
在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将 Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉
力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速
度大小为g。若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(
)
A. B. C. D.
题型二：轻弹簧连接体在杆上运动模型
【典例2基础题】如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，
小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点
由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D
点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定小于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【典例2基础题对应练习】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆
环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆
环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
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学科网（北京）股份有限公司A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
考点四：轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体+直接接触体组合模型
【典例1基础题】（多选）如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端
连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．
整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中( )
A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和 B对弹簧的拉力做
功的和
题型二：轻弹簧连接体+轻绳连接体组合模型
【典例2基础题】(多选)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物
体A、B的质量分别为2m、m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地
面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为
v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下
列说法中正确的是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为
D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
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学科网（北京）股份有限公司【典例2基础题对应练习】（多选）如图，劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角
为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q，Q同时与和斜面平行的轻绳相连，轻绳跨过
固定在斜面顶端O点的定滑轮与套在光滑竖直杆上的物块P连接，图中O、B两点等高，
间距d＝0.3 m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h＝0.4 m，此时
轻绳中张力大小为50 N。已知P质量为0.8 kg，Q质量为5 kg。现将P由静止释放(不计
滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，下列说法正确的是(
)
A．P位于A点时，弹簧的伸长量为0.1 m
B．P上升至B点时的速度大小为m/s
C．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功为6 J
D．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对P做的功等于Q机械能的减少量
题型三：轻弹簧连接体+轻杆连接体组合模型
【典例3基础题】某缓冲装置的理想模型如图4所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆
相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为 f。轻杆向右移动不超过l时，
装置可安全工作。一质量为m的小车若以速度v撞击弹簧，可使轻杆向右移动了。轻杆与
0
槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。
(1)若弹簧劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
(2)求小车离开弹簧瞬间的速度v；
(3)在轻杆运动的过程中，试分析小车的运动是不是匀变速运动？如果不是请说明理由，如
果是请求出加速度a。
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