文档内容
考点 29 动量和能量的综合应用
1. 3年真题考点分布
题型 选择题、解答题（居多）
1、应用动量、能量观点解决“子弹打木块问题”；
高考考点 2、应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型；
3、应用动量、能量观点解决“板块”模型；
2023 海南卷18题、全国甲卷25题、浙江卷21题、
新高考 2022 福建卷14题、河北卷13题、全国乙卷25题、
2021 海南卷17题、湖北卷15题、天津卷11题、湖南卷8题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于运动的描述考查共计10次，主要考查：
1. 应用动量、能量观点解决“子弹打木块问题”；
2. 应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型；
3. 应用动量、能量观点解决“板块”模型；
【备考策略】理解动能定理和动量定理的差别，掌握动能定理和动量定理解决复杂的物理模型；掌握机
械能守恒和能量守恒对全过程和分过程建立方程；熟练掌握动力学和运动学两种不同的解
题思路处理物体题型，并掌握它们的差异；
【命题预测】本节内容综合性较强，难度较大，在各省高考题中，常以压轴题的形式出现，板块模型考
察居多。此类题型对运动状态要求较高，可以从运动学或动力学角度解决此类题型。想获
得高分的2024年考生，务必熟练掌握本节内容。
1考法 1 应用动量、能量观点解决“子弹打木块”模型
v
0
s d
2
s
1
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止
的木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。
v
设质量为m的子弹以初速度 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，
d
子弹钻入木块深度为 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
要点诠释：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
mv =(M+m)v
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： 0 ……①
f
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为 ，设子弹、木块
s s s −s =d
的位移大小分别为 1、 2，如图所示，显然有 1 2
1 1
−f⋅s = mv2 − mv2
对子弹用动能定理： 1 2 2 0 ……②
1
f⋅s = Mv2
2 2
对木块用动能定理： ……③
1 1 Mm
f⋅d= mv2 − (M+m)v2 = v2
②相减得：
2 0 2 2(M+m) 0
……④
−f⋅t=mv−mv
对子弹用动量定理： 0 ……⑤
对木块用动量定理：
f⋅t=Mv
……⑥
2【典例1】（多选）（2023春·天津和平·高一天津市第二十一中学校考期中）如图所示，质量为M木块
静止在光滑的水平面上，一颗质量为m的子弹以速度v 水平射入木块并留在木块中，木块获得的速度为
0
v，子弹受到的平均阻力为f，射入深度为d，此过程中木块位移为s，下列说法正确的是（ ）
1
A．子弹损失的动能等于fd
B．子弹损失的动能等于
C．子弹损失的动能为
D．子弹、木块组成的系统损失的动能等于fd
【答案】BD
【详解】ABC．对子弹应用动能定理可得 ①
故子弹损失的动能为 ，AC错误，B正确；
D．对木板应用动能定理可得 ②
联立①②可得 ，故子弹、木块组成的系统损失的动能等于fd，D正确。
故选BD。
1．（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学周测）如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光
滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m 的子弹以大小为v 的水平速
0 0
度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的瞬间，速度大小为
B．木块摆至最高点时，速度大小为
3C．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力等于（M+m+m ）g
0
D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
【答案】B
【分析】子弹射入木块的过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出子弹穿入木块中时子弹和木块的共同
速度，由向心力公式求绳子拉力．子弹射入木块后的瞬间，对圆环，根据平衡知识分析环对轻杆的压力
大小；
【详解】A、子弹射入木块后的瞬间，取水平向右为正方向，由子弹和木块系统的动量守恒，则
，解得速度大小为 ，故A错误；
B、当木块摆至最高点时，子弹、木块以及圆环三者速度相同，以三者为系统水平方向动量守恒，则：
，即 ，故选项B正确；
C、子弹射入木块后的瞬间，设绳对木块和子弹的拉力为T，则对木块和子弹整体根据牛顿第二定律可得：
，可知绳子拉力 ；
子弹射入木块后的瞬间，对圆环，有： ，则由牛顿第三定律知，环对轻杆
的压力大于 ，故C错误；
D、子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，故D错误．
【点睛】本题是连接体水平方向动量守恒问题，关键要正确选择研究对象，明确研究的过程．
2．（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图所示，质量为m的子弹，以初速度 射入静止在光滑水平面上
的木块，并留在其中。木块质量为M，长度为L，子弹射入木块的深度为d，在子弹射入木块的过程中
木块移动距离为s。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．d可能大于s，也可能小于s
B．s可能大于L，也可能小于L
C．s一定小于d，s一定小于L
D．若子弹质量减小，d和s不一定同时变小
【答案】C
【详解】木块和子弹组成的系统合外力为零，系统动量守恒，有 ，解得
4木块增加的动能等于阻力与木块的位移乘积
系统损失的机械能等于阻力与两个物体相对位移的乘积
由此计算可得，s一定小于d，而d小于L，所以s一定小于L，若子弹质量减小，d一定变小，s一定变
小。
故选C。
考法二 应用动量、能量观点解决“弹簧碰撞”模型
v 1 v v 1 / v 2 /
A A B A B A
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远
大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。
m v m
仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为 1的物体A以速度 1向质量为 2的静止物
体B运动，B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；
到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，弹簧开始恢复原
v'和v'
长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为 1 2。全过程系统动量一定是守
恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。
（1）弹簧是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性
势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰
撞 。 由 动 量 守 恒 和 能 量 守 恒 可 以 证 明 A 、 B 的 最 终 速 度 分 别 为 ：
m −m 2m
v' = 1 2 v ,v' = 1 v
1 m +m 1 2 m +m 1
1 2 1 2 。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）
（2）弹簧不是完全弹性的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，
Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部
分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。
（3）弹簧完全没有弹性。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但
没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非
m
v' =v' = 1 v
1 2 m +m 1
弹性碰撞。可以证明，A、B最终的共同速度为 1 2 。在完全非弹性碰撞过程中，系统
的动能损失最大，为：
1 1 m m v2
ΔE = m v2 − (m +m )v¿= 1 2 1
k 2 1 1 2 1 2 2(m +m )
1 2 。
5【典例2】（2023·河北邯郸·统考三模）如图光滑水平面上有a、b、c、d四个弹性小球，质量分别为
m、9m、3m、m。小球a一端靠墙，并通过一根轻弹簧与小球b相连，此时弹簧处于原长。小球b和c
接触但不粘连。现给小球d一个向左的初速度 ，与小球c发生碰撞，整个碰撞过程中没有能量损失，
弹簧始终处于弹性限度之内。以下说法正确的是（ ）
A．整个过程中小球a、b、c、d和弹簧组成的系统动量守恒
B．整个过程中四个弹性小球a、b、c、d的机械能守恒
C．小球a速度的最大值为
D．弹簧弹性势能最大值为
【答案】C
【详解】A．由于墙壁对a球有弹力作用，整个过程中小球a、b、c、d和弹簧组成的系统动量不守恒，
故A错误；
B．整个过程中弹簧与四个弹性小球的系统机械能守恒，所以四个弹性小球a、b、c、d的机械能不守恒，
故B错误；
D．小球d与小球c碰撞，设小球c碰撞后速度为 ，小球d碰撞后速度为 ，由动量守恒和机械能守恒
定律得 ，
解得
小球c与小球b碰撞，设小球c碰撞后速度为 ，小球d碰撞后速度为 ，由动量守恒和机械能守恒定
律得 ，
解得
小球b向左运动速度为零时，弹簧弹性势能最大，则 ，故D错误；
C．小球b压缩弹簧，到弹簧恢复原长过程，小球b与弹簧组成的系统机械能守恒，小球b向右的速度大
小为 ；当小球a、b向右运动，弹簧原长时，小球a的速度最大，设小球a的速度大小为 ，小球b的
速度大小为 ，由动量守恒和机械能守恒定律得 ，
6解得 ，故C正确。
故选C。
1．（多选）（2021秋·江西南昌·高三进贤县第一中学校考阶段练习）如图所示，在光滑水平面上，质量
为m的小球A和质量为 的小球B通过轻弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球
C以初速度 ，沿A、B连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞。在小球B的右侧某位置固定一块
弹性挡板（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能
损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向
相反。则B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值 可能（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】A．系统的初动能为 ，而系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能不可能等于 ，故
A错误；
B．由于小球C与小球A质量相等，发生弹性正碰，则碰撞后交换速度，若在A与B动量相等时，B与挡
板碰撞，B碰撞后速度大小不变、方向相反，当两者速度同时减至零时，弹簧的弹性势能最大，最大值
为 ，故B正确；
CD．当B的速度很小（约为零）时，B与挡板碰撞时，当两球速度相等弹簧的弹性势能最大，设共同速
度为v，则由动量守恒得 ，得
最大的弹性势能为
则最大的弹性势能的范围为 ，故C正确，D错误。
故选BC。
2．（多选）（2021秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在光滑水平面上有质量为
的小球A和质量为 的小球B通过轻弹簧栓接并处于静止状态，质量也为 的小球C以速度 水
平向左匀速运动并与B发生弹性碰撞。已知在小球A的左端某处（图中未画出）固定有一弹性挡板（指
小球与挡板碰撞时不计机械能损失），且当小球A与挡板发生正碰后立即撤去挡板，碰撞时间极短．则
小球A与挡板碰撞后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值可能是（ ）
7A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】开始向左运动后，开始阶段B减速A加速，经分析当
时A与挡板相碰后反向，由动量守恒知以后有A、B速度同时为0的时刻，此时弹簧弹性势能最大值最大，为
当弹簧第二次回到原长时，v =0，若此时正好与挡板相接触，以后弹簧压缩至最短，最短时弹簧弹性势能最大值最小，有
A
解得
在这两者区间取值均可。故ABD正确；C错误。
故选ABD。
考法三 应用动量、能量观点解决“板块”模型
1．用动力学观点分析“滑块——木板”模型时要抓住一个转折和两个关联。
(1)一个转折——滑块与木板达到相同速度或者滑块从木板上滑下是受力和运动状态变化的转折点。
(2)两个关联——转折前、后受力情况之间的关联和滑块、木板位移和板长之间的关联。
2．用动量和功能观点分析“滑块——木板”模型要抓住一个条件和两个分析及一个规律。
(1)一个条件——滑块和木板组成的系统所受的合外力为零是系统动量守恒的条件。
(2)两个分析——分析滑块和木板相互作用过程的运动分析和作用前后的动量分析。
(3)一个规律——能量守恒定律是分析相互作用过程能量转化必定遵守的规律，且牢记摩擦生热的计算公
式Q＝f·d 。
相对
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道，半径 ，一质量
为 的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，
已知 ，B、C间动摩擦因数 ，C与地面间的动摩擦因数 ，C右端有一个挡板，C长
为 。
求：
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
8（2）若 未与 右端挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在 时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所
用的时间。
【答案】（1）30N；（2）1.6J；（3）
【详解】（1）滑块下滑到轨道底部，有 ，解得
在底部，根据牛顿第二定律 ，解得
由牛顿第三定律可知B对A的压力是 。
（2）当B滑上C后，对B分析，受摩擦力力向左，根据牛顿第二定律得
解得加速度向左为
对C分析，受B向右的摩擦力 和地面向左的摩擦力
根据牛顿第二定律
解得其加速度向左为
由运动学位移与速度关系公式 ，得B向右运动的距离
C向右运动距离
由功能关系可知，B、C间摩擦产生的热量 ，可得
（3）由上问可知，若B还末与C上挡板碰撞，C先停下，用时为 ，有 ，解得
B的位移为
则此刻的相对位移为 ，此时
由 ，一定是C停下之后，B才与C上挡板碰撞。设再经 时间B与C挡板碰撞，有
解得
9碰撞时B速度为
碰撞时由动量守恒可得
解得碰撞后B、C速度为
之后二者一起减速，根据牛顿第二定律得
后再经 后停下，则有
故 从滑上 到最终停止所用的时间总时间
判断系统的动量是否守恒，要注意动量守恒的条件是系统不受外力或受到的外力为零。因此，要分清系
统中的物体所受的例那些事内力，那些是外力，在同一物体
（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图所示，滑块A（可视为质点）位于小车B的最左端，二者
一起以 的初速度向右匀速运动，木块C静止在小车B的正前方，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰
撞时间极短可忽略不计。已知A、B、C的质量分别为 ，A与B之间、C与
水平地面之间的摩擦因数均为 ，不计小车B与地面之间的摩擦，小车的表面水平且足够长，重力
加速度 。求：
（1）小车B和木块C第1次碰撞后，A、B、C的加速度大小；
（2）小车B和木块C第2次碰撞前，滑块A与小车B摩擦产生的热量 ；
（3）小车B和木块C第3次碰撞前，木块C运动的位移 的大小。
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）设小车B和木块C第1次碰撞后速度分别为 和 ，弹性碰撞满足 ，
解得 ，
滑块 速度不变，滑块 和小车B发生相对滑动，由牛顿第二定律得， ， ，
10解得 ， ，
（2）小车B和木块C第1次碰撞后，滑块 匀减速，小车B匀加速，木块C匀减速，在小车B和木块C
第2次碰撞前，设滑块 和小车B已经达到相同速度 一起匀速运动，对滑块 和小车B系统，由动量
守恒得
解得
由能量守恒得
解得
（3）滑块 和小车B以速度 一起匀速运动，在小车B和木块C第2次碰撞前，假设木块C未停止运动，
速度为 ，两次碰撞之间小车B和木块C的位移均为 ，由运动学关系得 ，
解得 或 （舍）
所以假设成立，小车B和木块C第2次碰撞前木块C未停止运动
设小车B和木块C第2次碰撞后速度分别为 和 ，弹性碰撞满足 ，
解得 ，
设在小车B和木块C第3次碰撞前，滑块 和小车B已经达到相同速度 一起匀速运动，对滑块 和小
车B系统，由动量守恒得 ，解得
设小车B和木块C第2次碰撞后到第3次碰撞前的过程中，小车B和木块C的位移均为 ，第3次碰撞
前C的速度为 ，由运动学关系得 ，
解得 或 （舍），
同理，小车B和木块C第3次碰撞前木块C未停止运动
解得
【基础过关】
111．（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）如图所示，水平面左侧有一足够长的、相对
水平面高为H的光滑平台，质量为M的滑块与质量为m的小球之间有一个处于压缩且锁定状态的轻弹
簧（弹簧不与滑块和小球连接），系统处于静止状态。某时刻弹簧解除锁定，小球离开平台后做平抛运
动，落到水平面上时落点到平台的距离为s，重力加速度为g，则滑块的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球射出时，设其速度为 ，系统在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，对系统在水平方
向上，由动量守恒有
小球做平抛运动，有 ，
联立解得
故选C。
2．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）如图所示，光滑水平面的同一直线上放有n个
质量均为m的小滑块，相邻滑块之间的距离为L，某个滑块均可看成质点。现给第一个滑块水平向右的
初速度 ，滑块间相碰后均能粘在一起，则从第一个滑块开始运动到第 个滑块与第n个滑块相碰时
的总时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于每次相碰后滑块会粘在一起，根据动量守恒定律
可知第二个滑块开始运动的速度大小为
同理第三个滑块开始滑动的速度大小为
第（n-1）个球开始滑动的速度大小为
因此运动的总时间为
12故选B。
3．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）如图（a），质量分别为 、 的A、B两物体用轻弹
簧连接构成一个系统，外力 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为
。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的
图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内A、B的 图线与坐标轴所围面积大小。A
在 时刻的速度为 。下列说法正确的是（ ）
A．0到 时间内，墙对B的冲量大于
B．
C．B运动后，弹簧的最大形变量等于
D．
【答案】D
【详解】A．根据 图像的面积表示速度变化量可知，0到 时间内，物体A的速度变化量为 ，物体
撤去外力后受到的弹簧弹力冲量与弹簧对B的弹力冲量等大反向，0到 时间内，对 由动量定理有
可知墙壁对B的冲量大小等于 ，故A错误；
BD．根据 图像与坐标轴所围成面积的大小等于物体速度的变化量，因 时刻 的速度为零，则
时刻的速度大小
时刻， 的速度大小为
的速度大小为
由图（b）图像可知， 时刻A的加速度为零，此时弹簧恢复原长，B开始离开墙壁，到 时刻两者加速
度均达到最大，此时弹等伸长量达到最大，两者速度相同，即
则有
根据牛顿第二定律有
由图（b）图像可知， 时刻， 的加速度大于A的加速度，则有 ，故B错误，D正确；
13C．由上述分析可知， 时刻， 的速度为 ，B开始离开墙壁，且弹簧被拉伸，到 时刻两者加速度均
达到最大，此时弹等伸长量达到最大，两者速度相同不为零，即此时A、B的动能不为零，由能量守恒
定律可知，此时A、B的动能与弹簧的弹性势能之和与撤去外力时弹簧的弹性势能相等，则弹簧的形变
量最大时弹簧的弹性势能小于撤去外力时弹簧的弹性势能，弹簧的形变量最大时弹簧的形变量小于撤去
外力时弹簧的形变量 ，故C错误。
故选D。
4．（多选）（2023春·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考阶段练习）如图所示，质量分别为m
和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用水平力F将B向左压，
使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E。这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系
统，下列说法中正确的是（ ）
A．撤去F后，机械能守恒
B．撤去F后，A离开竖直墙前，机械能守恒
C．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为
D．撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
【答案】ABC
【详解】AB．撤去F后，A离开竖直墙前，只有弹簧的弹力对B做功，A、B和弹簧组成的系统机械能守
恒；A离开竖直墙后，只有弹簧的弹力对A、B做功，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒；故AB正确；
CD．撤去F后，A刚要离开墙时，设B的速度为 ，根据机械能守恒可得
A离开竖直墙后，A、B和弹簧组成的系统满足动量守恒，当A、B速度相同时，弹簧的形变量最大，弹
性势能最大，设A、B相同速度为 ，根据动量守恒可得
根据系统机械能守恒可得
联立解得最大弹性势能为 ，故C正确，D错误。
故选ABC。
5．（多选）（2023春·四川成都·高一棠湖中学校联考期末）如图，一质量为1 kg的滑块A从固定光滑
斜面顶端由静止开始下滑，斜面顶端距离光滑水平面的高度为5 m，斜面底端与水平面平滑连接。滑块
B和滑块C通过轻弹簧相连且均静止于水平面上，滑块B的质量为1kg，滑块C的质量为2 kg。开始时，
弹簧处于原长状态，滑块A滑到水平面与滑块B碰撞后粘在一起，滑块A、B、C均可视为质点，重力加
速度大小取 。下列说法正确的是（ ）
14A．滑块A滑至斜面底端时，其速度大小为10 m/s
B．滑块A与滑块B碰撞后的速度大小为2.5 m/s
C．弹簧的弹性势能最大时，滑块A、B、C的速度大小均为2.5 m/s
D．滑块A与滑块B碰撞的过程中，滑块A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能为37.5 J
【答案】AC
【详解】A．根据机械能守恒可知，滑块A滑至斜面底端时，其速度大小为 ，选项A正
确；
B．根据动量守恒可知
可得滑块A与滑块B碰撞后的速度大小为 ，选项B错误；
C．弹簧的弹性势能最大时，滑块A、B、C的速度相等，根据动量守恒 ，
解得v=2.5 m/s，选项C正确；
3
D．滑块A与滑块B碰撞的过程中，滑块A、B、C和弹簧组成的系统损失的机械能为
，选项D错误。
故选AC。
6．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）质量为 的箱子静止在光滑水平面上，箱子
内侧的两壁间距为 ，另一质量也为 且可视为质点的物体从箱子中央以 的速度
开始运动，如图所示。已知物体与箱底的动摩擦因数为 ，物体与箱壁间发生的是完全弹性碰撞，
。试求：（ ）
A．物体与箱子最多发生3次碰撞 B．物体最终停在距离箱子左壁 处
C．整个过程中系统产生的内能为 D．箱子对物体的总冲量大小为
【答案】BC
【详解】ABC．物体在摩擦力作用下最终与箱子以共同速度 向右匀速运动，物体与箱子组成的系统满
足动量守恒，则有 ，解得
15根据能量守恒可知，整个过程中系统产生的内能为
设整个过程物体与箱子发生的相对路程为 ，则有 ，解得 ，由于
可知物体与箱子最多发生4次碰撞，物体最终停在距离箱子左壁 处，故A错误，BC正确；
D．水平方向根据动量定理可得
可知箱子对物体的水平总冲量大小为 ，由于箱子对物体有支持力，在竖直方向有冲量，则箱子对
物体的总冲量大小一定大于 ，故D错误。
故选BC。
7．（2023春·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图所示，倾角为 、足够长的光滑斜面固
定在水平地面上，下端有一垂直斜面的固定挡板。质量均为 的小球 用劲度系数为 的轻质弹簧连
接并放置在斜面上，小球 靠在挡板上，两小球均保持保持静止。现对小球a施加一平行斜面向上、大
小为 的恒力。已知弹簧的弹性势能E弹与其形变量x满足 ，弹簧与斜面平行且形变始
终处于弹性限度内，重力加速度分析正确的是（ ）
A．小球 和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球 脱离挡板后，系统的总动量保持不变
C．小球 刚要运动时，小球 的动能为
D．小球 脱离挡板以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为
【答案】BC
【详解】A．小球 和弹簧组成的系统受外力F做功，系统机械能不守恒，故A错误；
B．根据分析，小球b脱离挡板后，将小球a，b以及弹簧看作一个整体，则整体受到的合外力为0，根
据所学的知识可知符合动量守恒的条件，因此系统总的动量保持不变。故B正确；
C．初始状态时，弹簧处于压缩状态，根据受力分析可得：
小球b刚要运动时 ，解得
且初末状态中弹簧形变量相同，弹性势能相同。则弹力做的总功为0。根据动能定理可得：
16，解得 ，故C正确；
D．小球b刚要运动时，根据上述分析可知小球a的速度为：
此时弹簧弹性势能为
弹簧弹性势能最大时两小球的速度相等，系统总动量守恒，选择初速度的方向为正方向，根据动量守恒
和能量守恒定律可得： ， ，解得
根据能量的转化特点可知系统动能的减少量为弹性势能的增加量，可得：
故弹性势能的最大值为： ，故D错误。
故选BC。
8．（2023春·四川眉山·高一校联考期末）一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量 ，小
车静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量 的小球以水平初速度 从圆弧下端
滑上小车，如图所示，取水平向左为正方向。 ，则（ ）
A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
B．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.4m
C．小球离开小车时的速度为
D．小球从滑上小车到离开小车的过程中对小车做的功为
【答案】CD
【详解】A．小球与小车组成的系统在水平方向受合外力是零，在竖直方向受合外力不是零，因此系统
只在水平方向动量守恒，故A错误；
B．系统在水平方向动量守恒，由动量守恒定律可得
系统的机械能守恒
当 时， 最大，则有高度h最大，联立解得 ，故B错误；
17C．设小球离开小车时的速度为v，小车的速度为v，取水平向左为正方向，系统在水平方向动量守恒和
3 4
系统的机械能守恒，则有 ，
联立解得 ， ，小球的速度方向向右，故C正确；
D．小球离开小车时小车在水平方向的速度为 ，由动能定理可得小球对小车做的功为
，故D正确。
故选CD。
9．（2023春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考阶段练习）如图所示，光滑水平面上，小物体
A以1.2v的速度向右运动，在其运动正前方有一与A大小相同的物体B静止。A和B发生弹性碰撞。已
知物体B的质量为m，碰后物体A的速度大小为0.8v，方向不变。求：
（1）物体A的质量和碰后物体B的速度；
（2）若物体A以相同速度碰物体B时，B的左侧连有一个处于原长状态的轻弹簧，如图所示，则弹簧弹
性势能的最大值。
【答案】（1）5m，2v；（2）
【详解】（1）由动量守恒定律
由能量守恒定律
解得
（2）弹簧压至弹性势能最大位置处时，由动量守恒定律可知
由机械能守恒定律可知
解得v = v，E = 0.6mv2
共 p
10．（2023春·河北石家庄·高一统考期末）如图甲所示，质量均为 的长板A和滑块C静置在光滑水
平地面上，长板A上表面左端有一小部分光滑、其余部分粗糙，滑块B（可视为质点）置于A的左端。
现使A、B一起以速度 向右运动，A与C发生碰撞（碰撞时间极短），经过一段时间后A、B再
次一起向右运动，且恰好不再与C相碰。以A与C发生碰撞时为计时起点，B的速度时间图像如图乙所
示，重力加速度g取 ，求：
（1）滑块B的质量 ；
（2）长板A与滑块C发生碰撞过程中损失的机械能 ；
（3）长板A的最小长度L。
18【答案】（1） ；（2） ；（3）6m
【详解】（1）设A、C碰后的速度为 和 ，由动量守恒定律可得
由图可知， 时刻A、B达到共同速度 ，此后恰好不再与C相碰，且 ，从A、C碰后，
到A、B达到共同速度 ，对于A、B动量守恒，有
解得 ，
（2）A、C碰撞过程，由能量守恒定律得
解得
（3）方法一：公式法
在0~1s内，A、B发生相对滑动，位移分别为 ，
在1s~2s内，A、B发生相对滑动，位移分别为 ，
A的最小长度
方法二：图像法
在0~1s内，A以速度 ，做匀速直线运动；在1s~2s内，A做匀加速直线运动，直到A、B再次共
速，做出其 图像，如图所示
图中阴影部分面积即为A的最小长度L，可得
【能力提升】
191．（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为 的木
块A放在长木板的左端，一颗质量为 的子弹以速度v 射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速
0
度为 ，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（ ）
A．木块获得的最大速度为
B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为
C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为
D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差
【答案】B
【详解】A．对子弹和木块A组成的系统，根据动量守恒定律
解得 ，此后木块A与子弹一起做减速运动，则此时木块的速度最大，选项A正确；
B．木块滑离木板时，对木板和木块 包括子弹 系统
解得 ，选项B错误；
C．对木板，由动量定理： ，解得
选项C正确；
D．由能量守恒定律可知，木块在木板上滑动时，因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减
少的动能与木板增加的动能之差，选项D正确。
本题选错误的，故选B。
2．（多选）（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图所示，光滑水平面上放置滑块A和左侧固
定轻质竖直挡板的木板B，滑块C置于B的最右端，三者质量分别为m =2kg、m =3kg、m =1kg。开始时
A B C
B、C静止，A以v=7.5m/s的速度匀速向右运动，A与B发生正撞（碰撞时间极短），经过一段时间，
0
B、C达到共同速度一起向右运动，且此时C再次位于B的最右端。已知所有的碰撞均无机械能损失，木
板B的长度为L=0.9m，B、C之间的动摩擦因数为μ，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
20A．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为5m/s
B．A与B碰撞后瞬间，B的速度大小为6m/s
C．C与B左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C对B摩擦力的冲量水平向左
D．μ=0.75
【答案】BD
【详解】AB．规定向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得 ，
，解得 ，故A错误，B正确；
C．C与B左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C的速度大于B的速度，C对B的摩擦力水平向右，此时C
对B摩擦力的冲量水平向右，故C错误；
D．由动量守恒定律和机械能守恒定律得 ， ，解
得 ，故D正确。
故选BD。
3．（多选）（2023·河南开封·统考三模）如图所示，一辆质量 的小车静止在光滑水平面上，小
车左边部分为半径 的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度 的水平粗
粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为 的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A
点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数 ，重力加速度取 ，则（ ）
A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为
B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为
C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为
D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为
【答案】BC
【详解】AB．小物块滑到圆弧轨道末端时，由能量守恒和水平方向动量守恒得 ，
21联立解得 ， ，故A错误、B正确；
C．小物块与右侧挡板碰撞前，由能量守恒和水平方向动量守恒得 ，
联立解得 ， ，故C正确；，
D．由水平方向动量守恒知，小物块和小车最终都静止，由能量守恒得
解得 ，则小物块最终距圆弧末端的距离 ，故D错误。
故选BC。
4．（多选）（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，有一个质量为 的物体A和一个质量为M的物体B
用轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上。二者初始静止，弹簧原长为 ，劲度系数为k，弹性势能表达
式 （x为弹簧的形变量）。现用一质量为m的子弹沿水平方向以初速度 打中物体A，并留在
物体A中（子弹与物体A达到相对静止的时间极短），然后压缩弹簧至最短，之后弹簧恢复原长，最后
被拉长至最长。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中子弹、物体A、物体B三者组成的系统动量守恒、机械能守恒
B．弹簧被压缩至最短时物体B的速度大小为
C．整个过程中弹簧的最大弹性势能为
D．物体B的最大加速度大小为
【答案】BD
【详解】A．水平地面光滑，子弹、物体A、物体B三者组成的系统所受合外力为零，因此动量守恒，子
弹打入物体A过程中，由于摩擦生热，故机械能不守恒，选项A错误；
B．当三者共速时，弹簧被压缩至最短，设共同速度为 ，根据动量守恒定律有
，解得 ，选项B正确；
C．当弹簧压缩至最短或伸长至最长时，弹性势能最大，此时三者共速，子弹打入物体A并留在A中时，
设此时A的速度大小为 ，对子弹与物体A，根据动量守恒定律 ，解得
从子弹打入物体A后至AB共速，弹性势能增加量等于系统动能减少量，故最大弹性势能为
22，选项C错误；
D．当弹簧形变量最大时，弹力最大，物体B的加速度最大
根据牛顿第二定律得 ，联立二式得 ，选项D正确。
故选BD。
5．（多选）（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B的质量分别
是 和 ，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另
有一物块C在 时刻以一定速度向右运动，在 时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，
物块C的 图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J
B．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为 ，方向向右
C．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J
D．物块B离开墙壁后，物块B的最大速度大小为
【答案】AD
【详解】A．AC碰撞过程中由动量守恒可得 ， ， ，解得
当AC速度减为零时弹簧压缩至最短，此时弹性势能最大 ，故
A正确；
B．4s到12s的时间内弹簧对AC的冲量为
由能量守恒可知12s B的速度为零，4s到12s的时间内对B由动量定理可得
得 ，即大小为 ，方向向左，故B错误；
C．当B的速度与AC相等时由动量守恒可得
解得 ，
所以弹簧的最大弹性势能为 ，故C错误；
D．当弹簧为原长时B的速度达到最大，由动量守恒和能量守恒可得 ，
23解得 ，故D正确。
故选AD。
6．（多选）（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图所示，一足够长的圆筒竖直固定放置，物块A、B、C的
质量均为m，B、C之间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，物块B、C静止。现将A从B的正上方 处静
止释放，之后A、B碰撞时间极短并粘合在一起。已知C与圆筒间最大静摩擦力为 ，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力；弹簧的弹性势能表达式为 ，式中x为弹簧的形变量；重力加速度大小为g。
下列说法正确的是（ ）
A．A、B碰撞结束时速度的大小为
B．A、B碰后整体第一次达到的最大速率为
C．从A静止释放到最终A、B、C及弹簧组成的系统共损失机械能为
D．A、B碰后整体将做简谐运动
【答案】AB
【详解】A．根据题意，设A碰撞前瞬间速度为 ，A、B撞后共同速度为 ，对A自由下落过程列动能
定理 ，解得 ，A、B碰撞过程满足动量守恒 ，解得 ，故
A正确；
B．A、B碰撞后整体运动到速度最大处满足加速度为0，既 ，解得
24从A、B撞后到速度最大列能量守恒定律
解得 ，故B正确；
CD．A、B碰撞过程损失的机械能为 ，解得
假设C不动，A、B碰撞后整体做简谐运动，关于速度最大的平衡位置下方也有一处速度为 ，根据简谐
运动的对称性，该处的合外力方向向上，大小与碰撞点相等为 ，对A、B整体受力分析得到此处弹簧
弹力应该为 ，此时C物块受力分析知C受到向下的力共为 ，C将开始运动，A、B整体运动不是
简谐运动，C运动后也将有摩擦内能生成，故CD错误。
故选AB。
7．（多选）（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，质量为1kg的
小物块B置于轻弹簧上端并处于静止状态，另一质量为3kg的小物块A从小物块B正上方h=0.8m处由静
止释放，与小物块B碰撞后（碰撞时间极短）一起向下压缩弹簧到最低点，已知弹簧的劲度系数
k=100N/m，弹簧的弹性势能表达式 （x为弹簧的形变量），重力加速度g=10m/s2，弹簧始终
在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．碰撞结束瞬间，小物块A的速度大小为1m/s
B．碰撞结束瞬间，小物块A的加速度大小为7.5m/s2
C．小物块A与B碰撞之后一起下落0.5m时的加速度大小为2.5m/s2
D．小物块A与B碰撞之后一起下落过程中，系统的最大动能为22.5J
【答案】BD
【详解】A．对小物块A应用动能定理可得
小物块A、B碰撞由动量守恒定律可得
联立解得 ，故A错误；
B．碰前小物块B的重力与弹簧弹力平衡，碰后瞬间弹簧弹力不突变，对小物块A、B整体应用牛顿第二
定律可得 ，解得 ，故B正确；
25C．下落 时，对小物块A、B整体应用牛顿第二定律可得
联立解得 ，故C错误；
D．开始时有 ，当
系统下落过程中有最大速度，由动能定理可得
联立解得 ，故D正确。，
故选BD。
8．（多选）（2023·山东济南·统考三模）如图所示，光滑水平面上有两个质量均为m的物体A、B，B上
连接一劲度系数为k的轻弹簧。物体A以初速度v 向静止的物体B运动。从A接触弹簧到第一次将弹簧
0
压缩到最短的时间为 ，弹簧弹性势能为 （x为弹簧的形变量），弹簧始终处于弹性
限度内，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大压缩量为
B．弹簧的最大压缩量为
C．从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A的位移为
D．从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B的位移为
【答案】BD
【详解】AB．弹簧压缩到最大时，A、B的速度相同，以A初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可
得
根据能量守恒定律可得 ，解得
根据弹性势能公式可得 ，故A错误，B正确；
CD．由动量守恒定律可得 ，则有
故
由AB选项分析可知 ，联合解得 ， ，故C错误，
26D正确。
故选BD。
9．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m
的小物块a连接，a静止在水平地面上的A处，此时弹簧处于原长状态，A左侧地面光滑；另一质量为
的小滑块b静止在B处，b与地面间的动摩擦因数为μ。现对b施加一水平向左、大小为
的恒定推力，经时间t后b与a发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰前瞬间撤去推力，a与b不再相碰。
已知重力加速度大小为g。求；
（1）b与a碰撞前瞬间的速度大小v以及A与B间的距离x；
0
（2）弹簧的最大弹性势能E 以及碰后b运动的路程L。
pm
【答案】（1）v = 2μgt，x = μgt2；（2） ，
0
【详解】（1）b从B运动到A的过程中做匀加速直线运动，设加速度大小为 ，则 ，
根据牛顿第二定律有 ，解得v = 2μgt，x = μgt2
0
（2）b与a发生弹性正碰，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，有 ，
解得 ，
a碰后向左运动到速度为零时弹簧的弹性势能最大，则
解得
b碰后向右做匀减速直线运动，设加速度大小为 ，则
根据牛顿第二定律有 ，解得
10.（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，质量 的长木板C静止在光滑的
水平面上，长木板C右端与竖直固定挡板相距 ，左端放一个质量 的小物块B（可视为质
点），与长木板C间的动摩擦因数为 。在小物块B的正上方，用不可伸长、长度 的轻绳
将质量 的小球A悬挂在固定点O。初始时，将轻绳拉直并处于水平状态，使小球A与O点等
27高，由静止释放。当小球A下摆至最低点时恰好与小物块B发生碰撞（碰撞时间极短），之后二者没有
再发生碰撞。已知A、B之间以及C与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取 。
（1）小球A与小物块B碰后瞬间，求小物块B的速度大小；
（2）为保证长木板C与竖直挡板碰撞时B、C能共速，求 应满足的条件；
（3）在（2）问的前提下，即与竖直挡板碰撞到B、C能共速，求长木板的最短长度。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球A由静止到最低点的过程，根据机械能守恒定律有
解得
设小球A与小物块B发生弹性碰撞后的速度分别为 、 ，根据动量守恒定律有
碰撞前后根据机械能守恒定律有
联立解得
（2）设B、C获得共同速度为 ，以水平向右为正方向，由动量守恒定律有
代入数据解得
若B、C共速时C刚好运动到挡板处，对C应用动能定理有
代入数据解得
则保证C运动到竖直挡板前B、C能够共速， 应满足的条件是
（3）第一次共速过程中，由能量守恒定律有
长木板C与挡板碰后速度方向反向，设B、C第二次获得共同速度为 ，以水平向左为正方向，由动量
守恒定律有
由能量守恒定律有
长木板的最短长度为
28联立解得
【真题感知】
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与
管的上端口距离为l，圆管长度为 。一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘
中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘
始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为
g。求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。
【答案】（1）小球速度大小 ，圆盘速度大小 ；（2）l；（3）4
【详解】（1）过程1：小球释放后自由下落，下降 ，根据机械能守恒定律
解得
过程2：小球以 与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有
，
解得 ，
即小球碰后速度大小 ，方向竖直向上，圆盘速度大小为 ，方向竖直向下；
（2）第一次碰后，小球做竖直上抛运动，圆盘摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度
比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，即 ，解得
根据运动学公式得最大距离为
29（3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有 ，即
解得
此时小球的速度
圆盘的速度仍为 ，这段时间内圆盘下降的位移
之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒
根据能量守恒
联立解得 ，
同理可得当位移相等时 ， ，解得
圆盘向下运动
此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度
有动量守恒
机械能守恒
得碰后小球速度为
圆盘速度
当二者即将四次碰撞时x = x ，即 ，得
盘3 球3
在这段时间内，圆盘向下移动
此时圆盘距离下端管口长度为20l－1l－2l－4l－6l = 7l
此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加2l，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动
x = 8l
盘4
则第四次碰撞后落出管口外，因此圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次。
2．（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角 的
直轨道 、螺旋圆形轨道 ，倾角 的直轨道 、水平直轨道 组成，除 段外各段轨
道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道 、 相切于 处．凹槽 底面 水平光
滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁 处，摆渡车上表面与直轨道下 、平台 位于
30同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径 ，B点高度为 ， 长度 ， 长度
，摆渡车长度 、质量 。将一质量也为 的滑块从倾斜轨道 上高度 处
静止释放，滑块在 段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁 立即静止，滑块视
为质点，不计空气阻力， ， ）
（1）求滑块过C点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
（2）摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数 ；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间 。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）滑块从静止释放到C点过程，根据动能定理可得
解得
滑块过C点时，根据牛顿第二定律可得 ，解得
（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为 ，从静止释放到G点过程，根据动能定理可得
，解得
摆渡车碰到 前，滑块恰好不脱离摆渡车，说明滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速 ，以滑块和
摆渡车为系统，根据系统动量守恒可得 ，解得
根据能量守恒可得 ，解得
（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
所用时间为
此过程滑块通过的位移为
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动，该过程所用时间为
31则滑块从G到J所用的时间为
3．（2022·海南·高考真题）有一个角度可变的轨道，当倾角为 时，A恰好匀速下滑，现将倾角调为
，从高为h的地方从静止下滑，过一段时间无碰撞地进入光滑水平面，与B发生弹性正碰，B被一根
绳子悬挂，与水平面接触但不挤压，碰后B恰好能做完整的圆周运动，已知A的质量是B质量的3倍，
求：
①A与轨道间的动摩擦因数 ；
②A与B刚碰完B的速度大小；
③绳子的长度L。
【答案】① ；② ；③0.6h
【详解】①倾角为 时匀速运动，根据平衡条件有
得
②③A从高为h的地方滑下后速度为 ，根据动能定理有
A与B碰撞后速度分别为 和 ，根据动量守恒、能量守恒有 ，
B到达最高点速度为 ，根据牛顿第二定律有
根据能量守恒有
解得 ，
4．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，
以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为
l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂
于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。
已知 ， ， ， ， ，物块与MN、CD之间的动摩擦因数 ，轨
道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE
平滑连接，物块可视为质点，取 。
32（1）若 ，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度 的大小；
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力 与h间满足的关系；
（3）若物块b释放高度 ，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，
水平向右为正，建立x轴）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）当
时， ，当 时，
【详解】（1）滑块b摆到最低点过程中，由机械能守恒定律
解得
与 发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 ， ，
联立解得
（2）由（1）分析可知，物块 与物块 在 发生弹性正碰，速度交换，设物块 刚好可以到达 点，
高度为 ，根据动能定理可得
解得
以竖直向下为正方向
由动能定理
联立可得
（3）当 时，物块位置在 点或 点右侧，根据动能定理得
从 点飞出后，竖直方向
水平方向
根据几何关系可得
联立解得
33代入数据解得
当 时，从 释放时，根据动能定理可得
解得
可知物块达到距离 点0.8m处静止，滑块a由E点速度为零，返回到 时，根据动能定理可得
解得
距离 点0.6m，综上可知当 时，
代入数据得
5．（2022·广东·高考真题）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置
在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度 为 向
上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为 ，滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一
起竖直向上运动。已知滑块的质量 ，滑杆的质量 ，A、B间的距离 ，重力加
速度g取 ，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小 和 ；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v ；
1
（3）滑杆向上运动的最大高度h。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）当滑块处于静止时桌面对滑杆的支持力等于滑块和滑杆的重力，即
当滑块向上滑动过程中受到滑杆的摩擦力为1N，根据牛顿第三定律可知滑块对滑杆的摩擦力也为1N，
方向竖直向上，则此时桌面对滑杆的支持力为
（2）滑块向上运动到碰前瞬间根据动能定理有 ，代入数据解得 。
（3）由于滑块和滑杆发生完全非弹性碰撞，即碰后两者共速，碰撞过程根据动量守恒有
34碰后滑块和滑杆以速度v整体向上做竖直上抛运动，根据动能定理有
代入数据联立解得 。
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