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训练 8 函数中的综合问题
一、单项选择题
1．(2024·赤峰模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，f 为偶函数，当0<x≤时，f(x)＝，则f(2 023)
＋2f(2 024)等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由题意知，f ＝f 等价于f ＝f(－x)⇒f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)的周期为3，
f(2 023)＋2f(2 024)＝f(1)＋2f(－1)＝－f(1)
＝－.
2．(2024·烟台模拟)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则方程f(x)＋x2＝2的根的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 要求方程f(x)＋x2＝2的根的个数，即为求f(x)与y＝2－的交点个数，
由题设知，f(x)与y＝2－在(0，＋∞)上的图象如图所示，
∴由图知，在(0，＋∞)上f(x)与y＝2－的图象有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)
上是偶函数，
∴在(－∞，0)上也有3个交点，故一共有6个交点．
3．(2023·内江模拟)某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到
100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放
置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为 y＝ ＋b(a，b为常数), 通常
这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么
按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
答案 C
解析 由题意，当0≤t≤5时，函数y的图象是一个线段，当t≥5时，
函数的解析式为y＝80· ＋b，
将点(5,100)和点(15,60)，代入解析式，
得 解得a＝5，b＝20，
故函数的解析式为y＝ ＋20，当t≥5时，令y＝40，解得t＝25，
故最少需要的时间为25 min.
4．(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－log (x＋1)恰有3个零点，则实数a的
a
取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－log (x＋1)＝0，可得f(x)＝log (x＋1)，
a a
所以曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)有三个交点，
a
当a>1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)只有一个交点，不符合题意；
a
当0<a<1时，若使得曲线y＝f(x)与曲线y＝log (x＋1)有三个交点，
a则解得<a<.
二、多项选择题
5．(2023·日照模拟)已知x＋log x＝0，x＋log x＝0，则( )
1 3 1 2 2 2
A．0<x<x<1
2 1
B．0<x<x<1
1 2
C．xlg x－xlg x<0
2 1 1 2
D．xlg x－xlg x>0
2 1 1 2
答案 BC
解析 由x＝－log x>0可得0<x<1，同理可得0<x<1，
1 3 1 1 2
因为当x∈(0,1)时，
恒有log x<log x，
2 3
所以x－x＝log x－log x<log x－log x，
1 2 2 2 3 1 3 2 3 1
若x≥x，则x－x≥0，
1 2 1 2
且log x－log x≤0，矛盾，故x<x，故A错误，B正确；
3 2 3 1 1 2
因为0<x<x<1，
1 2
所以lg x<lg x<0，
1 2
即0<－lg x<－lg x，
2 1
由不等式性质可得－xlg x<－xlg x，
1 2 2 1
即xlg x－xlg x<0，故C正确，D错误．
2 1 1 2
6．(2024·扬州、盐城、南通联考)已知函数f(x)＝若存在实数x ，x ，x ，x(x<x<x<x)满足
1 2 3 4 1 2 3 4
f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝m，则( )
1 2 3 4
A．0≤m≤1 B．x＋x＝
1 2
C．xx－x－x＝0 D．x＋x>8
3 4 3 4
答案 CD
解析 当－≤x≤时，－≤x≤，
∴f(x)∈[－2,2]，
当x>时，x－1>，|log (x－1)|≥0，如图，画出函数的图象，
2
对于A，f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝m，
1 2 3 4
则0<m<2，A错误；
对于B，x，x 关于x＝－对称，
1 2
∴x＋x＝－，B错误；
1 2
对于C，|log (x－1)|＝|log (x－1)|，
2 3 2 4
∴log (x－1)＋log (x－1)＝0，
2 3 2 4
∴log [(x－1)(x－1)]＝0.
2 3 4∴(x－1)(x－1)＝1，即xx－x－x＝0，
3 4 3 4 3 4
C正确；
对于D，由选项C知xx＝x＋x，
3 4 3 4
∴＋＝1>2，
∴xx>4，x＋x>2xx>8，D正确．
3 4 3 4
三、填空题
7．(2024·十堰调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝2，f(1)＝3.写出f(x)的一
个解析式为________________．
答案 f(x)＝x2＋2(答案不唯一)
解析 设二次函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，显然满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，
由f(0)＝2⇒b＝2，
由f(1)＝3⇒a＋2＝3⇒a＝1，
所以f(x)＝x2＋2.
8．(2023·焦作联考)已知函数f(x)＝x3＋lg(x＋)，若|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，则实数a的取值
范围是________________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由题意得，f(x)＝x3＋lg(x＋)的定义域为R，
∵f(－x)＝－x3＋lg(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝x3＋lg(x＋)－x3＋lg(－x＋)＝lg 1＝0，
即f(x)为定义域在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增(增函数＋增函数＝增函数)，
当a＝1时，不等式显然不成立，
当a≠1时，∵|a－1|>0，
∴|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，即为f(2a－3)＋f(2)>0，
即f(2a－3)>－f(2)，
∴f(2a－3)>f(－2)，
则2a－3>－2⇒a>，
故实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
四、解答题
9．已知函数y＝x＋有如下性质：当x>0时，如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．(1)当t＝2时，写出函数y＝x＋(x>0)的单调区间；
(2)已知f(x)＝，x∈[0,2]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．
解 (1)当t＝2时，函数y＝x＋(x>0)的单调递减区间为(0，]，单调递增区间为[，＋∞)．
(2)f(x)＝
＝x＋1＋－6，x∈[0,2]，
设t＝x＋1，则y＝t＋－6，t∈[1,3]，
由已知性质得，当1≤t≤2，即0≤x≤1时，f(x)单调递减，
当2≤t≤3，即1≤x≤2时，f(x)单调递增，
故f(x)的单调递减区间为[0,1]，单调递增区间为[1,2]，由f(0)＝－1，f(1)＝－2，f(2)＝－，
得f(x)的值域为[－2，－1]．
10．函数y＝f(x)的定义域D＝{x|x∈R且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x ，x ，都有
1 2
f(x)＋f(x)＝f(xx)成立．
1 2 1 2
(1)求f(－1)的值并证明y＝f(x)为偶函数；
(2)若x>1时，f(x)<0，解关于x的不等式f(x－3)≥0；
(3)若x>1时，f(x)<0，且不等式f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)对任意实数x恒成立，求非
零实数a的取值范围．
解 (1)取x＝x＝1得到f(1)＋f(1)＝f(1)，得到f(1)＝0，
1 2
取x＝x＝－1得到f(－1)＋f(－1)＝f(1)＝0，得到f(－1)＝0，
1 2
取x＝－1得到f(x)＋f(－1)＝f(－x)，
2 1 1
即f(x)＝f(－x)，故函数y＝f(x)为偶函数．
1 1
(2)设x>x>0，
2 1
则f(x)－f(x)＝f －f(x)＝f ＋f(x)－f(x)＝f ，
2 1 1 1 1
>1，故f <0，即f(x)－f(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
2 1
因为函数f(x)为偶函数，故函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
f(x－3)≥0，故－1≤x－3≤1，且x－3≠0，
解得x∈[2,3)∪(3,4]．
(3)f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)＝f(ax2－2ax＋2a)，
根据(2)知，|2x2－3x＋3|≥|ax2－2ax＋2a|，因为2x2－3x＋3>0，x2－2x＋2>0恒成立，
故≥|a|，
因为＝2＋，
当x＝1时，＝2，
当x>1时，2＋>2，
当x<1时，2＋＝2－≥2－＝，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，又x≠0，故2＋>.综上所述，|a|≤，解得－≤a≤，又a≠0，故a∈∪.
