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7.3 空间角（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 线线角
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为
的正三角形， ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴ ∥ ， , , ;
在 中，由余弦定理可知∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为 ，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知 ， ， ，
所以 ， ，
则 ，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为 .故选：D
【一隅三反】
1．（2022·新疆·三模（理））在正方体 中，E为 的中点，平面 与平面 的
交线为l，则l与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】延长 ， 交直线于点M，延长 交于点 ，连接 ，
则直线 即为交线 ，
又 ，则 即为l与 所成的角，设正方体棱长为1，
因为E为 的中点， ，
所以 为 的中点， 为 的中点，点 为 的中点， 为 的中点，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则 ， ， ，所以 ，
即l与 所成角的余弦值为 .故选：D.
2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 交 于 ，若 是 的中点，连接 ，
由 为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知： 是 的中点，
所以 ，故直线 与直线 夹角，即为 与 的夹角 或补角，
若 ，则 ， ，
面 ， 面 ，则 ，
而 ，又 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以 .
所以 ， ，在△ 中 .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分
别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点P为坐标原点，以 ， ， 方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角
坐标系，
令 ，则 ， ， ， ，
则 ， ，
设异面直线PN和BM所成角为 ，则 .故选：B.
考点二 线面角
【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ，且 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 .
得证.
(2)如图，以 为坐标原点，分别以 、 、 所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则
点 ， ， ， ，则
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 可得平面 的法向量为 ，
设直线PB与平面ADP所成角为 ，则.
直线PB与平面ADP所成角的正弦值为 .
【例2-2】（2022·云南）已知正方体 的棱长为1，点P在线段 上，且 ，则
AP与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ，
因为 在平面ABCD上的投影为 ，故作 于 ，且 平面 ，
连接 ，则AP与平面ABCD所成角为 .
因为 ，故 ，且 ，故 .
所以AP与平面ABCD所成角的正切值为故选：D
【例2-3】．（2022·河南安阳）如图，在圆锥 中， 为圆锥的底面直径， 为等腰直角三
角形，B为底面圆周上一点，且 ，M为 上一动点，设直线 与平面 所成的角为 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点 作 于点 ，连 ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，
故 为直线 与平面 所成的角，在 中， 越小， 越大， 越大，当 时，
最小，此时 最大，∵ 为等腰直角三角形，又 ，在 中，
,在 中， ，则 ,在等腰直角三角形 中， ，在中， , ,则 ，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）如图，在四面体ABCD中， ， ，E为BD的中点，F为AC上一点.
(1)求证：平面 平面BDF；
(2)若 ， ， ，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】(1)在四面体ABCD中， ，E为BD的中点，则 ，
而 ， 平面 ，于是得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平
面 .(2)依题意不妨设 ， ，则 ，又 ，则
， ．
在 中， ，所 ，则 ，
．
由（1）得， ，因 ，即 ，则
．
设点B到平面ACD的距离为h，则 ，解得 ，所以点B到平面ACD
的距离为 .
设直线BF与平面ACD所成角为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故当 时， 最短，此时 ，
正弦值最大为 ．
2．（2022·北京）如图，四棱锥 的底面是梯形， ，
，E为线段 中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)取 中点F，连接 交 于点O，连接 ，
由 ，且梯形 ，有 且 ，
故平行四边形 ，又 ，故 为菱形，
所以 为 的中点，故 .
又因为 ，故 ，
因为 ， 面 ，
故 面 ，又 面 ，故 ．
(2)解析1：几何法
在 中， ，故 ，
因为 ，故 ，由 ，即 ，即 ，故 面 ，
又 ，故 面 ， 面 ，故面 面 ，
作 ，面 面 ， 面 ，故 面 ，
在 中， ，因为 ，故B到面 距离等于 ，
设 与平面 所成角为 ， ，
故 ，故 与平面 所成角的正弦值为 ．
解析2：向量法
在 中， ，故 ，
因为 ，故 ，由 ，即 ，
即 ，故 面 ，
以 为x轴， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，故 ，
故 ，
设面 的法向量为 ，则 ，令 ，故 ，
所以 ，故 与平面 所成角的正弦值为 ．
考点三 二面角
【例3-1】（2022·云南师大附中）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是 的中点，
G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的射影为点G．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)连接 ，因 是等边三角形， 是 的中点， 是 的重心，所以 在 上， ，
又点 在平面 的射影为点 ，即 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
(2)
过点 作 ，连接 ，与 ， 分别交于点 ，点 .因为 分别是 ， 的中点，所以
，
所以 ， 是平面 与平面 的交线.由 是等边三角形， 是 的重心，
知点 ，点 分别是线段 ， 的中点. 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，则 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，于是 ， ， 为平面 与平面 所成二面角的平面角.
由等边三角形 的边长为 ，可得 ， ， ， ，
，在 中，由余弦定理，得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【例3-2】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD，
为等边三角形， ， ，M是棱上一点，且 .(1)求证： 平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.
由 ，得 ， ，又 ，则 ，
∴ ，又 平面MBD， 平面MBD，
∴ 平面MBD.
(2)记O为CD的中点，连接PO，BO.
∵ 为等边三角形，∴ ，
∵平面 平面ABCD，平面 平面ABCD＝CD，
∴ 平面ABCD.
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，则 ， ， ， ， ，
， .
设平面BDM的法向量 ，则 ，
取x＝1得 ，
平面BCD的一个法向量 .
设二面角M－BD－C的平面角为θ，则 .
∴二面角M－BD－C的余弦值为 .
【一隅三反】
1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【解析】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则 以点
为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、
、 、 、 ，则 ，易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，故 ， 平面 ，故 平面 .
（2）解： ， ， ，设平面 的法向量为 ，则
，取 ，可得 ， .因此，直线 与平面
夹角的正弦值为 .
（3）解： ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，则 ，因此，平面 与平面 夹角
的余弦值为 .
2．（2022·江西）如图，在三棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ， ，
D为 上靠近A的三等分点．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：因为 是边长为2的正三角形，所以 ， ，又 ，所以
，从而 ．因为 ， ，所以 ．又因为D为 上靠近A
的三等分点，所以 ，在 中，由余弦定理得 ．因此
，所以 ．因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以
平面 平面 ．
（2）解：由题意当三棱锥 的体积最大时，有平面 平面 ．取 的中点O，连接 ，
，则 ，平面 平面 ， 平面 ，从而 平面 ，又， 为 的中点，所以 ；以O点为原点，以 为 轴正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，从而
， ， ，设平面 的法向量为 ，则
从而 ，取 ，则 ．设平面 的法向量为 ，则
从而 ，取 ，则 ． ，由图可知二面
角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．
3．（2022·广西玉林·模拟预测（理））如图，在直三棱柱 中，D，E别是棱 、 上的点，
， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面ABC所成的角为 ，且 ，求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取 中点 ，AB中点O，连 交 于F，连 ， ，则 ，∵
，∴ ，∴ 是平行四边形，∴ ，∵ ，
∴ ．又在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，∴ ，
平面 ，结合 ，∴ 平面 ，∴ 平面 ，又 平面
，∴平面 平面 ．
（3）由（1）知，OC、OB、 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，取 上一点M，使
，连AM，则 ，又 平面ABC， 与平面ABC所成角为 ，∴ ，
∴ ，不妨设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ．设平面 的一个法向量为 ，则 ，∴ ， ，取 ，得
，平面 的一个法向量 ， ，∴二面角
的平面角的正弦值为 ．
考点四 空间角的综合运用
【例4】（2022·重庆南开中学）（多选）已知正四棱锥 的侧面是边长为6的正三角形，点M在
棱PD上，且 ，点Q在底面 及其边界上运动，且 面 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B． 与CD所成角的范围为
C． 的最小值为
D．二面角 的正切值为
【答案】ACD【解析】对于A，取点 , ，使得 ， ，连接 , ，如图，
由线段成比例可得 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可得 平面 ，
又 平面 ， ，所以平面 平面 ，
故当点 时，总有 面 ，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；
对于B，由 知 与CD所成角即为 与NE所成角，在 中，
，由余弦定理可得 ，由
，可知 ，即 运动到 点时，异面直线所成的角小于 ，故
B错误；
对于C，当 时， 最小，此时 ，故C正确；
对于D，二面角 即平面 与底面 所成的锐角，连接 相交于 ，连接 ，取
点H，使得 ，连接MH，过H作 于G，连接 ，如图，由正四棱锥可知， 面 ，由 ， 知 ，
，由 可得 ，
， 面 ， ，又 ， ， 平面 ，
， 即为二面角的平面角， ，故D正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体 的边长为2，M为 的中点，
P为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 平面
C． 与 所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 ，
所以 ，
由 平面 ，得 ，即 ，
化简可得： ，
所以动点P在直线 上，
对于选项A： ，所以 与 不
垂直，所以A选项错误；
对于选项B： 平面 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
对于选项C： ，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线 上，且P为侧面 上的动点，则P在线段 上， ，
所以 ，D选项正确；
故选：BCD.2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体 中， ，点E为平面 内的动
点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
【答案】
【解析】如图所示，连接 交平面 于 ，连接 ，
由题意可知 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角，
所以 ＝ .
由 可得 ，即 .
在四面体 中， , ,
所以四面体 为正三棱锥， 为 的重心，
如图所示：
所以解得 ， ,又因为 ，
所以 ，
即 在平面 内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以 .
故答案为: .
