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训练 31 圆锥曲线的综合问题
一、单项选择题
1．(2024·南宁模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为圆x2＋(y－1)2＝2的圆心，又经过
抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则AB等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
2．(2024·无锡模拟)已知F ，F 是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F 引
1 2 1
∠FPF 的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为( )
1 2
A．1 B．2 C．4 D．5
3．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂
足记为点N，点M(3,4)，则PM＋PN的最小值是( )
A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1
4．(2023·桂林模拟)已知椭圆＋y2＝1的上顶点为 A，B，C为椭圆上异于 A的两点，且
AB⊥AC，则直线BC过定点( )
A．(1,0) B．(，0)
C. D.
二、多项选择题
5．(2023·南京模拟)定义曲线Γ：＋＝1为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的伴随曲线，则( )
A．曲线Γ有对称轴
B．曲线Γ没有对称中心
C．曲线Γ有且仅有4条渐近线
D．曲线Γ和椭圆C有公共点
6．(2024·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶
1 2
点分别为A，A，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
1 2
A．|PA－PA|＝2a
1 2
B．若焦点F 关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
2
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA 的斜率与直线PA 的斜率之积为1
1 2
D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠APA＝3∠PAA，则∠PAA＝
1 2 1 2 1 2
三、填空题
7．抛物线x2＝2py(p>0)的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，则p＝__________.
8.(2024·苏州模拟)设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，过F 作x轴的垂线与
1 2 2
C交于A，B两点，若△ABF 为正三角形，则a的值为________．
1四、解答题
9．(2024·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶
点分别为A，B，其图象经过点(，1)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点E，F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证：∠EAF＝∠EBF.
10．(2024·衡阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率
为，AB＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为－.
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
