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训练 9 导数的概念与运算、导数与函数的单调性
一、单项选择题
1．已知f′(x)为函数f(x)＝ax－bln x的导函数，且满足f′(1)＝0，f′(3)＝2，则f′(2)等于
( )
A．1 B．－ C. D.
答案 C
解析 由f′(x)＝a－，
得f′(1)＝a－b＝0，f′(3)＝a－＝2，
解得a＝b＝3，则f′(x)＝3－，所以f′(2)＝.
2．(2023·茂名模拟)若曲线y＝f(x)＝x2＋ax＋b在点(1，f(1))处的切线为3x－y－2＝0，则有(
)
A．a＝－1，b＝1 B．a＝1，b＝－1
C．a＝－2，b＝1 D．a＝2，b＝－1
答案 B
解析 将x＝1代入3x－y－2＝0得y＝1，
则f(1)＝1，
则1＋a＋b＝1，①
∵f(x)＝x2＋ax＋b，
∴f′(x)＝2x＋a，则f′(1)＝3，即2＋a＝3，②
联立①②，解得a＝1，b＝－1.
3．(2023·无锡质检)已知函数f(x)＝在定义域上单调递增，且关于x的方程f(x)＝x＋2恰有一
个实数根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D．(0,1)
答案 C
解析 f(x)在定义域上单调递增，∴
∴≤a<1，
∵y＝ex＋4a在x＝0处的切线为y－(4a＋1)＝x，即y＝x＋4a＋1，
又4a＋1≥2，故y＝x＋2与y＝ex＋4a(x>0)没有公共点，
∴y＝x＋2与y＝2－log (x＋1)有且仅有一个公共点且为(0,2)，
a
∴y＝2－log (x＋1)在x＝0处的切线的斜率必须大于等于1，y′＝－，k＝－≥1，
a
∴ln a≥－1，∴a≥，
综上所述，≤a<1.
4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋x＋f′(x)＋1>2e－x，f(0)＝5，则不等式f(x)>(2x＋5)e－x
－x的解集为( )
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，0)∪(5，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(5，＋∞)
答案 C
解析 令g(x)＝ex[f(x)＋x]－2x，
则g′(x)＝ex[f(x)＋x]＋ex[f′(x)＋1]－2
＝ex[f(x)＋x＋f′(x)＋1]－2>ex·2e－x－2＝0，所以g(x)在R上单调递增，
又因为g(0)＝e0[f(0)＋0]－2×0＝5，由f(x)>(2x＋5)e－x－x，得f(x)＋x>(2x＋5)e－x，两边同时
乘以ex，得ex[f(x)＋x]>2x＋5，得ex[f(x)＋x]－2x>5，即g(x)>g(0)，解得x>0，即不等式的解
集是(0，＋∞)．
二、多项选择题
5．已知函数f(x)＝x3＋，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在，上是减函数
C．f(x)的单调递增区间为和
D．f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数
答案 BCD
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝′＝16x2－＝
＝
＝ ，
令f′(x)>0，得x<－或x>，
所以f(x)的单调递增区间为和，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
令f′(x)<0，得－1 D．f′>0
2
答案 ABD
解析 令g(x)＝xln x(x>0)，
则g′(x)＝1＋ln x，
当0时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
又x→0＋时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→＋∞，
且g(1)＝0，g＝－，
作出函数g(x)的大致图象如图．
函数f(x)＝xln x－a有两个零点x，x(00，
∴H(x)在上单调递增．
∵H＝0，
∴H(x)<0，∴g(x)，
而－＝>0，
∴>>.
又∵f′(x)＝1＋ln x单调递增，
∴f′>f′＝0，∴D正确．
三、填空题
7．若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－e]
解析 由题意知，
f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，
得a≤(－ex) ，
min
又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，
所以(－ex) ＝－e，所以a≤－e.
min
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝__________________.
①f ＝f ；
②f 为偶函数；
③当x∈时，导函数f′(x)<0.
答案 －sin 2x(答案不唯一)
解析 对于①，由f ＝f ，可知f(x＋π)＝f(x)，故π为f(x)的一个周期；
对于②，由f 为偶函数，易知f(x)的图象关于直线x＝对称；
对于③，由当x∈时，导函数f′(x)<0，可知f(x)在上单调递减，
综上所述，f(x)＝－sin 2x满足题意．
四、解答题
9．已知函数f(x)＝aln x－，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝＋.
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.
(2)由于f′(x)＝.
当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f′(x)>0在定义域上恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当a<0时，由f′(x)＝0，
得x＝－∈(0，＋∞)．
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a<0时，
函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
10．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x) ＝h()＝2e，
min
则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，
故a的取值范围是[－，]．
