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7.4 空间距离（精练）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是棱长为1的正方体，则平面 与平面 的
距离为 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体 如图所示， 分别为直线 上
的动点，则线段 长度的最小值为 ．
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中， ， ，沿对角线
BD将 折起，使点A，C之间的距离为 ，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的
最小值为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，AB＝1，M，N分别是棱AB， 的
中点，E是BD的中点，则异面直线 ，EN间的距离为 .5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点
M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，N是棱AD的中点，M是棱
1 1 1 1
CC 上的点，且CC =3CM，则直线BM与BN之间的距离为 .
1 1 1
7．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，
且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱 上的动点.(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
8．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 ， 交
于点 ， ， ， ， 底面 ，设点 是 的中点．
(1)直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)点 到平面 的距离.
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．(1)求三角形 重心 到直线 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点
为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点 到直线 的距离.11．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ．点 ，
， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到直线 的距离；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的值，若不存在，说明理由．12．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形. ，E，
F分别为AC和 的中点， .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)是否存在点D在直线 上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不
存在，请说明理由.13．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥 中， ， ， .记
中点为 ， 中点为
（1）求异面直线 与 的距离；
（2）求二面角 的余弦值.
14．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱底面 ， ，E是 的中点，作 交 于点F．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求点F到平面 的距离．
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为 ，点
在下底面 的投影为 的中点 .
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离.16．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在直角梯形 中， ， ，
，现将 沿着对角线 折起，使点D到达点P位置，此时二面角 为 ．
(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值；
(2)求点A到平面 的距离．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为1，点E、O分别是 、 的中
点，P在正方体内部且满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面 的距离为
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
2．（2023·北京·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，，点 在棱 上，点 在棱 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 的体积的最大值为 ；
② 的最小值为 ；
③点 到直线 的距离的最小值为 ．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023春·河南·高三阶段练习）（多选）如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左
上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的
所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若 ，则（ ）
A．
B．该水晶多面体外接球的表面积为C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．点 到平面 的距离为
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）在正方体 中， 分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．直线 与平面 平行
D． 与 的夹角为
5．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）（多选）如图，在棱长为1正方体 中， 为 的中
点， 为 与 的交点， 为 与 的交点，则下列说法正确的是（ ）A． 与 垂直
B． 是异面直线 与 的公垂线段，
C．异面直线 与 所成的角为
D．异面直线 与 间的距离为
6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体 中，点 为 的中点，
点 ， 分别为线段 ， 上的动点，则（ ）
A． B．平面 可能经过顶点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
7（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）（多选）已知正方体 的棱长为1， 为棱 （包
含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．点 到平面 距离的取值范围是D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
8．（2023·湖南·校联考模拟预测）（多选）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶
的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋
顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面
为矩形， ， ，且 ， 、 分别为 、 的中点，
与底面 所成的角为 ，过点 作 ，垂足为 ．下列说法正确的有（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
9（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）正方体 棱长为 是直
线 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为C．若 为直线 上一动点，则线段 的最小值为
D．当 时，过点 作三棱锥 的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
10．（2023·云南·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点P在
线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．点B到平面 的距离为
B．直线AP//平面
C．异面直线 与 所成角的取值范围是[ , ]
D．三棱锥 的体积为定值
11．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
沿对角线 将△ 折起到△ 的位置，使得平面 平面 ，下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥 四个面都是直角三角形 B．平面 平面C． 与 所成角的余弦值为 D．点 到平面 的距离为
12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知正方体 的棱长为2，棱AB的中点为M，点
N在正方体的内部及其表面运动，使得 平面 ，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．当 最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等
D．若 ，则点N的轨迹长度为
