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7.4空间距离（精讲）
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线
段的长度叫做这个点到该平面的距离；
⃗AP ⃗AP ⃗AQ
设 ＝ ，直线l的一个单位方向向量为 ，则向量 在直线l上的投影向量 ＝ ，在Rt△APQ
√|⃗AP|2-|⃗AQ|2
中，由勾股定理，得PQ＝ ＝
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为 ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α
的垂线l，交平面α于点Q，则 是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是
⃗AP在直线l上的投影向
⃗QP
量 的长度.因此
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的法向量为 ，则
两条异面直线间的距离就是 在 方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式 求解.
考点一 点线距
【例1-1】（2023春·江西南昌）如图， 是棱长为 的正方体，若 在正方体内部且满足
，则 到 的距离为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以A为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
，
，
且 为锐角， ，
点 到 的距离 .
故选：D.
【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，直线 的方程为 ，
即 ，则直线 的方向向量为 ，又因为过点 ，
， ，则 ，
故 在 上的射影为： ，
故点 到直线 的距离为： .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形 的边长为4， ，E为AB的中点（如图
1），将 沿直线DE翻折至 处（如图2），连接 ， ，若四棱锥 的体积为 ，
点F为 的中点，则F到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 ，因为四边形 为菱形，且 ，所以 为等边三角形，
因为 E为AB的中点，所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为菱形 的边长为4，所以 ，
所以直角梯形 的面积为 ，
设四棱锥 的高为 ，则 ，得 ，
所以 ，所以 平面 ，
所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则
，
所以 ，
所以
所以 ，
所以F到直线BC的距离为 ，
故选：A
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱
长都是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在平行六面体 中，不妨设 ， ， ．
, ，
， ，
所以 ， ，
，
所以E到直线 的距离为 ，
故选：A
考点二 线线距
【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体 中， ， ， 为 的中点，
则异面直线 与 之间的距离是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设 与 的公垂线的一个方向向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，即 ，
又 ，
所以异面直线 与 之间的距离为 ．
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则异面直线
与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线 与 的公垂线的方向向量为
则
不妨令
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又
则异面直线 与 之间的距离
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 为直线 上任意一点， 过 作 ，垂足为 ，可知此时 到直线 距离最短
设 ， ，
则 ，
，
， ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
，
，
，
当 时， 取得最小值 ，
故直线 与 之间的距离是 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的
距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ， ，
设 和 的公垂线的方向向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
故选：D.
考点三 点面距
【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
是边长为 的正三角形，平面 平面 ， ．
(1)求证：平行四边形 为矩形；
(2)若 为侧棱 的中点，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， 为正三角形，则 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面 ，故 ，又 ， 面 ， ，
所以 面 ， 面 ，故 ，则平行四边形 为矩形.
（2）如下图，以 为原点， 为 轴， 为 轴建立坐标系，设 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
由 ，解得 ，
则面 的法向量为 ， ，
点 到平面 的距离 .
【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体 中，
．点 为棱 上的点，且 ，三棱锥 的体
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】积为 ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
由已知 ，所以 ，
由 平面 平面 ，得平面 平面 ，
因此 在平面 内的射影就是直线 ，
设 在面 的射影为 ，则 在直线 上，
由题意知 ,则 ,
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 与 重合，所以 平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 点坐标为 ，
．
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ，即 ，
所以点A到平面 的距离 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
故 ，
所以 ，
由于平面 与平面 夹角范围为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥 中，底面ABCD为正方形， 为等边
三角形，面 底面ABCD，E为AD的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 .
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)①点 的位置是线段 上靠近 的三等分点；②
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ,
为等边三角形,
,
面 底面 ，
面 底面 ，
面 ，
面 ，
，
，
，
又 ，
面 ，
面 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）①如图以 为原点， 为 轴， 为 轴建立空间
直角坐标系.设 ，
， ， ， , ,
， ， ， ，
，
设 是平面 的一个法向量
则有 ，
令 解得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 与平面 所成角的正弦值为
即
解得 ，所以点 的位置是线段 上靠近 的三等分点，
② ， ，
，
点 到平面 的距离 .
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知 为圆锥的顶点， 为底面的圆心，其母线长
为6，边长为 的等边 内接于圆锥底面， 且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 中点，射线 与底面圆周交于点 ，当二面角 的余弦值为 时，求点 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）因为 为圆锥的顶点， 为底面的圆心，所以 面 .
又因为 面 ，所以 ，即 .
因为 为 外接圆圆心，且 为正三角形，所以 .
又因为 且 ， 面 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以面 面 .
（2）作 交 于 ，取 中点为 .
因为 ， ，所以 .
因为 面 ， ， 面 ，所以 ， .
如图，以点 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 .
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ， .
由 ，得 ， ， ，
， .
设面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，所以 .
设面 的法向量为 ，则 ,
取 ，则 ， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，且 ，
解得 ，所以 ， .
又因为 ，所以 ，
所以 到面 的距离 .
考点四 面面距
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之
间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的一个法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
显然平面 平面 ，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底
面 ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点．求：
(1)直线 与平面 的距离；
(2)平面 与平面 的距离．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】1）解：因为 平面 ，四边形 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ， ，
所以，直线 与平面 的距离为 .
（2）解：因为平面 平面 ，则平面 与平面 的距离为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱
， 分别为 的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）法一:证明：连接 分别为 的中点，
分别是 的中点，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平行且等于 ，
是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 平面 ；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
，
，
， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 平面 ，
（2）法一:平面 与平面 的距离 到平面 的距离 ．
中， ， ， ，
由等体积可得 ， ．
法二:
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则可取 ，
，
平面 与平面 的距离为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AB，
BC， 的中点．
(1)求证：平面 平面EFG；
(2)求平面 与平面EFG间的距离．
【答案】(1)证明见详解；
(2) ﹒
【解析】（1）∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC得，EF∥AC，
∵ 是平行四边形，
∴ ，
又 平面 平面 ，
∥平面 ，
同理，连接 可得 ，可得EG∥平面 ，
与 平面EFG，
∴平面 ∥平面EFG﹒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如图：
以D为原点，DA、DC、 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
则平面 与平面EFG间的距离为 ﹒
4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱 中， 分别为棱 的中
点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 .（不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱
的截面）；
(2)若 ，求平面 与平面 的距离 .
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）
如图，取 的中点 ，连接 ，则平面 即为所求平面 .
证明：由 , 平面 ， 平面 ，可得 平面 .
由 ， 平面 ， 平面 ，可得 平面 .
, 平面 ， 平面 ,故可得平面 平面 ，即平面 .
（2）如图，连接 , 交 于 ，
在直棱柱 中，底面为菱形，
，
分别以 所在的直线为 轴， 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又 所有棱长为2，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，即
令 得 ， ，
点 到平面 的距离 ，
平面 与平面 的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
