文档文本内容
知识点 51：应用三大观点解决滑块与轻弹簧碰撞问题
【知识思维方法技巧】
滑块与弹簧碰撞模型的特点：
（1）动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒．
（2）机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
（3）弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当
于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
（4）弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（相当于刚完成弹性碰撞）．
考点一：滑块与含弹簧滑块碰撞模型
【知识思维方法技巧】
①两小球速度相同时(相当于完全非弹性碰撞)，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：mv＝(m＋m)v，能量守恒：mv2＝(m＋m)v2＋E
1 0 1 2 1 0 1 2 pm
②弹簧恢复原长时(相当于完全弹性碰撞)，动量守恒：mv＝mv＋mv，能量守恒：mv2
1 0 1 1 2 2 1 0
＝mv2＋mv2，恢复原长时，v＝v，v＝v；
1 1 2 2 1 0 2 0
题型一：水平面运动模型
【典例1拔尖题】如图所示，在光滑水平面上有质量为m的小物块a以初速度v水平向右
0
运动，在小物块a左右两侧各放置完全相同的小物块b、c，小物块b、c上各固定一个轻弹
簧，小物块b、c的质量均为km，其中k＝1、2、3，…，弹簧始终处于弹性限度内．求：
（1）小物块a第一次与小物块c碰撞时，弹簧的最大弹性势能为多大？
（2）若小物块a至少能与小物块c碰撞2次，k的最小值为多少？
【典例1拔尖题】【答案】(1)·mv (2)5
【解析】(1)小物块a和c相互作用，两者速度相等时弹簧的弹性势能最大，对于小物块a
和c根据动量守恒定律有mv ＝(m＋km)v，根据能量转化和守恒定律有 E ＝mv－(m＋
0 pmax
km)v2联立解得E ＝·mv。
pmax
(2)设小物块a第一次离开小物块c时，小物块a和c的速度分别为v 、v ，对于小物块a和
1 2
c根据动量守恒定律有mv ＝mv ＋kmv ，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋kmv
0 1 2
联立解得，小物块a的速度为v＝v，小物块c的速度为v＝v。
1 2 0
小物块a离开c后与小物块b作用，当小物块a离开b时，小物块a和小物块b的速度分别
为v′、v′，对于小物块a和b，根据动量守恒定律有mv ＝mv ′＋kmv ′
1 2 1 1 2
根据机械能守恒定律有mv＝mv′＋kmv′联立解得v′＝2v
1 0
若小物块a和c至少碰撞2次，则有v′＞v，由数学知识可得k2－4k－1＞0
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
1
学科网（北京）股份有限公司解得k＞2＋，而k＝1、2、3…，故k ＝5
min
题型二：组合式运动模型
【典例2拔尖题】如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；
物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的
0
v－t图像如图(b)所示．已知从t＝0到t＝t 时间内，物块A运动的距离为0.36vt.A、B分
0 00
离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑
上斜面，达到的最高点与前一次相同．斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与水平面光滑连接．碰
撞过程中弹簧始终处于弹性限度内．求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数．
【典例2拔尖题】【答案】(1)0.6mv 2 (2)0.768vt (3)0.45
0 00
【解析】(1)当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时 A、B速度相等，即在t＝t 时
0
刻，根据动量守恒定律有m ·1.2v＝(m ＋m)v
B 0 B 0
根据能量守恒定律有E ＝m (1.2v)2－(m ＋m)v2联立解得m ＝5m，E ＝0.6 mv 2
pmax B 0 B 0 B pmax 0
(2)B接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B动量守恒，有m ·1.2v＝m v ＋mv
B 0 B B A
对方程两边同时乘以时间Δt，有6mv Δt＝5mv Δt＋mv Δt
0 B A
0～t 之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得6mv t＝5ms ＋ms ，将s ＝0.36vt
0 00 B A A 00
代入可得s ＝1.128vt，则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值Δs＝s －s ＝0.768vt
B 00 B A 00
(3)物块A第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A第二次与B分离后速度大小
仍为2v ，方向水平向右，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为v ′，取向左为正方向，
0 A
根据动量守恒定律可得mv ′－5m·0.8v＝m·(－2v)＋5mv ′,根据能量守恒定律可得mv ′2＋·5
A 0 0 B A
m·(0.8v)2＝ m·(－2v)2＋·5mv ′2联立解得v ′＝v
0 0 B A 0
方法一：设在斜面上滑行的长度为L，上滑过程，根据动能定理可得
－mgLsin θ－μmgLcos θ＝0－m(2v)2
0
下滑过程，根据动能定理可得mgLsin θ－μmgLcos θ＝mv 2－0联立解得μ＝0.45
0
方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A上滑和下滑时的加速度大小，
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma ，mgsin θ－μmgcos θ＝ma
上 下
上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，设在斜面上滑行的位移为L，由匀变速直线运动的
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
2
学科网（北京）股份有限公司位移速度关系可得2a L＝(2v)2－0,2a L＝v ′2联立可解得μ＝0.45.
上 0 下 A
考点二：滑块与弹簧连接体碰撞模型
题型一：弹簧连接体两端滑块的压缩（伸长）模型
【典例1拔尖题】（多选）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m 和m 的两物
1 2
块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，速
度—时间图像如图乙，则有( )
A．在t、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
B．从t 到t 时刻弹簧由压缩状态恢复原长
3 4
C．两物块的质量之比为m∶m＝1∶2
1 2
D．在t 时刻A与B的动能之比E ∶E ＝1∶8
2 k1 k2
【典例1拔尖题】【答案】CD
【解析】由题图乙可知t 、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且此时系统动能最小，根据
1 3
系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t 时刻弹簧处于压缩状态，而t 时刻处于伸长状
1 3
态，故A错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时 A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧
被压缩，t 时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧
1
逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，t 时刻，弹簧恢复原长状态，
2
由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，在 t 时刻，两物
3
块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t 到t 过程中弹簧由伸长状态恢复原长，
3 4
故B错误；根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t 时刻系统总动量相等，有mv ＝(m ＋
1 1 1 1
m)v ，其中v ＝3 m/s，v ＝1 m/s，解得m∶m ＝1∶2，故C正确；在t 时刻A的速度为
2 2 1 2 1 2 2
v ＝－1 m/s，B的速度为v ＝2 m/s，根据m∶m＝1∶2，求出E ∶E ＝1∶8，故D正确．
A B 1 2 k1 k2
【典例1拔尖题对应练习】（多选）如图(a)，质量分别为m 、m 的A、B两物体用轻弹簧
A B
连接构成一个系统，外力F作用在A上，系统静止在光滑水平面上(B靠墙面)，此时弹簧
形变量为x.撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的at图像如图(b)所示，S 表示0到t
1 1
时间内A的at图线与坐标轴所围面积大小，S 、S 分别表示t 到t 时间内A、B的at图线
2 3 1 2
与坐标轴所围面积大小．A在t 时刻的速度为v.下列说法正确的是( )
1 0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
3
学科网（北京）股份有限公司A．0到t 时间内，墙对B的冲量等于m v B．m > m
1 A 0 A B
C．B运动后，弹簧的最大形变量等于x D．S－S＝S
1 2 3
【典例1拔尖题对应练习】【答案】ABD
【解析】将A、弹簧、B看成一个系统，0到t 时间内，重力、支持力对系统的冲量的矢量
1
和为零，墙对系统的冲量等于系统动量的变化量，即墙对B的冲量等于m v ，A正确；t
A 0 1
时刻之后，A、B组成的系统动量守恒，由题图(b)可知，t 到t 这段时间内，S ＞S ，故B
1 2 3 2
物体速度的变化量大于A物体速度的变化量，可知A物体的质量大于B物体的质量，B正
确；撤去外力F后，A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，B运动后，A、B具有动能，根
据系统机械能守恒可知，弹簧的最大形变量小于x，C错误；t 时刻，A、B的加速度均最
2
大，此时弹簧拉伸到最长，A、B共速，设速度为v，at图像与时间轴所围图形的面积代表
速度的变化量，0～t 时间内，A的速度变化量为S －S ，t ～t 时间内，B的速度变化量为
2 1 2 1 2
S，两者相等，即S－S＝S，D正确．
3 1 2 3
题型二：滑块与弹簧连接体水平式碰撞模型
【典例2拔尖题】如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块 B上，另一端与滑块C接触但
未连接，该整体静止放在离地面高为H＝5 m的光滑水平桌面上．现有一滑块A从光滑曲
面上离桌面h＝1.8 m高处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑
块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动一段后从桌面
边缘飞出．已知m ＝1 kg，m ＝2 kg，m ＝3 kg，取g＝10 m/s2.求：
A B C
（1）滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小；
（2）被压缩弹簧的最大弹性势能；
（3）滑块C落地点与桌面边缘的水平距离．
【典例2拔尖题】【答案】(1)2 m/s (2)3 J (3)2 m
【解析】(1)滑块A从光滑曲面上h高处由静止开始滑下的过程机械能守恒，设其滑到底面
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
4
学科网（北京）股份有限公司的速度为v，由机械能守恒定律有m gh＝m v2，解得v＝6 m/s
1 A A 1 1
滑块A与B碰撞的过程，A、B系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度，设为v ，
2
由动量守恒定律有m v＝(m ＋m )v，解得v＝v＝2 m/s
A 1 A B 2 2 1
(2)滑块A、B发生碰撞后与滑块C一起压缩弹簧，压缩的过程机械能守恒，被压缩弹簧的
弹性势能最大时，滑块A、B、C速度相等，设为v ，由动量守恒定律有m v ＝(m ＋m ＋
3 A 1 A B
m )v ，解得v ＝v ＝1 m/s，由机械能守恒定律有E ＝(m ＋m )v2－(m ＋m ＋m )v2解得
C 3 3 1 p A B 2 A B C 3
E ＝3 J
p
(3)被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，设滑块A、B的速度为v ，滑块C
4
的速度为v，由动量守恒定律和机械能守恒定律有(m ＋m )v＝(m ＋m )v＋m v
5 A B 2 A B 4 C 5
(m ＋m )v2＝(m ＋m )v2＋m v2解得v ＝0，v ＝2 m/s，滑块C从桌面边缘飞出后做平抛
A B 2 A B 4 C 5 4 5
运动s＝vt，H＝gt2解得s＝2 m.
5
【典例2拔尖题对应练习】如图所示为某种弹射装置的示意图，光滑的水平导轨 MN右端
N处与水平传送带理想连接，传送带长度 L＝4.0 m，传送带以恒定速率v＝3.0 m/s沿顺时
针方向匀速传送．三个质量均为m＝1.0 kg的滑块A、B、C置于水平导轨上，开始时滑块
B、C之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，处于静止状态．滑块A以初速度v ＝2.0
0
m/s沿B、C连线方向向B运动，A与B发生弹性碰撞后黏合在一起，碰撞时间极短，可认
为A与B碰撞过程中滑块C的速度仍为零．因碰撞使连接B、C的细绳受到扰动而突然断
开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离．滑块C脱离弹簧后以速度v ＝2.0 m/s滑上传送带，
C
并从右端滑出落至地面上的P点．已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加
速度g取10 m/s2.
(1)求滑块C从传送带右端滑出时的速度大小；
(2)求滑块B、C用细绳相连时弹簧的弹性势能E ；
p
(3)若每次实验开始时弹簧的压缩情况相同，要使滑块C总能落至P点，则滑块A与滑块B
碰撞前速度的最大值v 是多少？
m
【典例2拔尖题对应练习】【答案】见解析
【解析】(1)滑块C滑上传送带后做匀加速运动，设滑块C从滑上传送带到速度达到传送带
的速度v所用的时间为t，加速度大小为a，在时间t内滑块C的位移为x，由牛顿第二定律
得μmg＝ma，由运动学公式得v＝v ＋at，x＝v t＋at2，代入数据可得x＝1.25 m<L，故滑
C C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
5
学科网（北京）股份有限公司块C在传送带上先加速，达到传送带的速度v后随传送带匀速运动，并从右端滑出，则滑
块C从传送带右端滑出时的速度为3.0 m/s.
(2)设A、B碰撞后的速度为v ，A、B与C分离时的速度为v ，由动量守恒定律有m v ＝
1 2 A 0
(m ＋m )v ，(m ＋m )v ＝(m ＋m )v ＋m v ，A、B碰撞后，弹簧伸开的过程中系统能量
A B 1 A B 1 A B 2 C C
守恒，则有E ＋(m ＋m )v＝(m ＋m )v＋m v，代入数据可解得E ＝1.0 J.
p A B A B C p
(3)在题设条件下，若滑块A在碰撞前速度有最大值v ，则碰撞后滑块C的速度有最大值，
m
它减速运动到传送带右端时，速度应当恰好等于传送带的速度v，设A与B碰撞后的速度
为v′ ，与滑块C分离后A与B的速度为v′ ，滑块C的速度为v′ ，C在传送带上做匀减速
1 2 C
运动的末速度为v＝3 m/s，加速度大小为2 m/s2，由匀变速直线运动的速度－位移公式得
v2－v′＝2(－a)L，解得v′ ＝5 m/s，以水平向右为正方向，由动量守恒定律可得，A、B碰
C
撞过程有m v ＝(m ＋m )v′，弹簧伸开过程有(m ＋m )v′＝m v′ ＋(m ＋m )v′，在弹簧伸
A m A B 1 A B 1 C C A B 2
展的过程中，由能量守恒定律得E ＋(m ＋m )v′＝(m ＋m )v′＋m v′，联立以上几式并代入
p A B A B C
数据解得v ＝7.1 m/s.
m
题型三：滑块与弹簧连接体斜面式及竖直式碰撞模型
【典例3拔尖题】如图所示，一根劲度系数为k＝3 N/cm的轻质弹簧竖直放置，上、下两
端各固定质量均为m ＝3 kg的物体A和B(均视为质点)，物体B置于水平地面上，整个装
0
置处于静止状态，一个质量为m＝2 kg的小球P从物体A正上方距其高度h＝5 m处由静
止自由下落。与物体A发生弹性正碰(碰撞时间极短且只碰一次)，弹簧始终处于弹性限度
内，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：
（1）碰撞后瞬间物体A的速度大小；
（2）当地面对物体B的弹力恰好为零时，物体A的速度大小。
【典例3拔尖题】【答案】(1)8 m/s (2)2 m/s
【解析】(1)设碰撞前瞬间小球P的速度为v，碰撞后瞬间小球P的速度为v，物体A的速
0 1
度为v，小球P自由下落，由动能定理可得mgh＝mv 2，解得v＝10 m/s，小球P与物体A
2 0 0
碰撞过程由动量守恒定律和能量守恒定律得mv ＝mv ＋mv，mv 2＝mv 2＋mv2解得v＝
0 1 0 2 0 1 0 2 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
6
学科网（北京）股份有限公司－2 m/s，v＝8 m/s故碰撞后瞬间物体A的速度大小是8 m/s。
2
(2)设开始A静止时弹簧的压缩量为x，对A有mg＝kx 解得x＝0.1 m
1 0 1 1
当地面对物体B的弹力恰好为零时，弹簧的伸长量为x，对B有mg＝kx，解得x＝0.1 m
2 0 2 2
可见x＝x，故两个状态弹簧的弹性势能相等；从P与A碰撞后瞬间到地面对B的弹力恰
1 2
好为零的过程，由系统机械能守恒得mv2＝mv2＋mg(x＋x)，解得此时A的速度大小为
0 2 0 3 0 1 2
v＝2 m/s。
3
【典例3拔尖题对应练习】如图所示，倾角θ＝37°的光滑固定斜面上放有A、B、C三个质
量均为m的物块(均可视为质点)，A固定，C与斜面底端处的挡板接触，B与C通过轻弹簧
相连且均处于静止状态，A、B间的距离为d.现由静止释放A，一段时间后A与B发生碰撞，
重力加速度大小为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.(B与C始终未接触，弹簧始终在弹性
限度内)
（1）求A与B碰撞前瞬间A的速度大小v；
0
（2）若A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去A，且B沿斜面向下运动到速度为零时，
弹簧的弹性势能增量为E ，求B沿斜面向下运动的最大距离x；
p
（3）若A下滑后与B碰撞并粘在一起，且C刚好要离开挡板时，A、B的总动能为E ，求
k
弹簧的劲度系数k.
【典例3拔尖题对应练习】【答案】(1) (2)－d (3)
【解析】(1)根据机械能守恒定律：mgdsin θ＝mv 2解得v＝
0 0
(2)设碰撞后瞬间A、B的速度大小分别为v、v，根据动量守恒定律：mv ＝mv ＋mv
1 2 0 1 2
由能量关系：mv 2＝mv 2＋mv 2解得v ＝0，v ＝v ＝；A、B碰撞后，对B沿斜面向下压缩
0 1 2 1 2 0
弹簧至B速度为零的过程，根据能量关系：E ＝mv 2＋mgxsin θ 解得x＝－d (3)A、B碰
p 2
撞前，弹簧的压缩量：x ＝ 设A、B碰撞后瞬间的共同速度大小为v ，则：mv ＝2mv 解
1 3 0 3
得v＝，当C恰好要离开挡板时，弹簧的伸长量为：x＝
3 2
可见，在B开始沿斜面向下运动到C刚好要离开挡板的过程中，弹簧的弹性势能改变量为
零，根据机械能守恒定律：×2mv 2＝E ＋2mg(x＋x)sin θ 解得：k＝.
3 k 1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
7
学科网（北京）股份有限公司
