文档内容
考向 30 空间几何体的结构特
征、直观图与体积
1．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】
作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 ，
下底面面积 ，上底面面积 ，
所以该棱台的体积 .
故选：D.2．（2021·全国高考真题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中
点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】
（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【详解】
（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连EM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
则 为二面角E-BC-D的平面角,因为 , 为正三角形,所以 为直角三角形
因为 ,
从而EF=FM=
平面BCD,
所以
【点睛】
二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.
1、解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，
即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
2、三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，
看不到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然
后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是
否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合
空间想象将三视图还原为直观图．
3、几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数
量关系．
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体 结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公
棱柱
共边都互相平行
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
矩形一边所在的直线
圆柱 矩形
或对边中点连线所在直线
一直角边所在的直线或等腰
圆锥 直角三角形或等腰三角形
三角形底边上的高所在直线
直角腰所在的直线或
圆台 直角梯形或等腰梯形 等腰梯形上下底中点
连线所在直线
球 半圆或圆 直径所在的直线
2.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体
画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图侧面积公式 S ＝2πrl S ＝πrl S ＝π(r＋r′)l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
锥 体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
台 体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝4πR2 V＝πR3
【知识拓展】
常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知四棱锥 的侧棱均相等，其各个顶点都在球 的球面上，
， ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南昆明市·高三（文））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B． C． D．
3．（2021·全国）在一个棱长为 的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，
小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.
4．（2021·全国高三）已知正方形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，将 沿
折起，使得 ，则折起后四棱锥 的体积为________．
1．（2021·全国高三专题练习）已知多面体 中， ， ， 两两互相垂直，平面
平面 ，平面 平面 ， ， ，则该多面体的体积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021·全国高三月考（理））某几何体由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，该几何体的三视图如图
所示，若三棱锥的体积为 ，四棱锥的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三月考（文））在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平
面 以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形
C．正五边形 D．正六边形4．（2021·全国高三专题练习）四面体 的棱 、 、 两两垂直，设 、 、 、 分别为顶
点V、A、B、C所对面的面积，则有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆锥的侧面积（单位： ）为 ，且它的侧面展开图是
一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·贵州（理））如图，E是正方体ABCD-ABC D 棱DD 的中点，F是棱BC 上的动点，现有下
1 1 1 1 1 1 1
列命题：①存在点F使得CF⊥EB；②存在点F使得DF//BE；③存在点F使得△BEF的正视图和侧视图的
1
面积相等；④四面体EBFC的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①③④ B．①③ C．③④ D．①②④
7．（2021·全国高一课时练习）设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四
棱锥的体积为（ ）
A．12 B．24 C．4 D．308．（2021·全国高三专题练习）如图所示，三棱柱 中，若E、F分别为 、 的中点，平
面 将三棱柱分成体积为 和 两部分，那么 ______.
9．（2021·全国高一课时练习）轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为 ，则其轴截面面积为________．
10．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二开学考试）在棱长为1的正方体 中， 为线段
上的动点，下列说法正确的是________.（1）对任意点 ， 平面 ； （2）三棱锥
的体积为 ；（3）线段 长度的最小值为 ；（4）存在点 ，使得 与平面 所成角的大小为
11．（2021·全国高三专题练习）如图所示，已知平行六面体 ，E是 中点，过 的截面
把平行六面体分成两个部分，求左右两部分体积之比.12．（2021·全国高三专题练习）如图所示，已知直三棱柱 中， 是用一平面截得的截面，
且 ， ， ，若 的面积为S，求证：介于截面与下底面之间的几何体的体积为
.
1．（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）A．26% B．34% C．42% D．50%
3．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体
截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山东高考真题）直棱柱的底面是边长为 的菱形，侧棱长为 ，那么直棱柱的侧面积是______．
8．（2020·山东高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是______.
9．（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为
________.
10．（2021·湖南高考真题）如图，四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD，E为PD
的中点.
（1）证明： 平面ACE；
（2）设 ， ，直线PB与平面ABCD所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
1．【答案】A
【分析】
由四点共圆，可得出 ，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾
股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.
【详解】如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，
∵各个顶点都在球 的球面上， ，
∴ 四点共圆，且 为直径，
∴ ，
又∵ ， ，∴
在 ，解得 ，同理可得 .
∵三棱锥 的体积为 ,
∴ ，解得 ，
设 ，则 ，在 中， ，解得 .
球 的表面积为 .
故选：A
2． 【答案】B
【分析】
根据三视图得到该几何体是一个底面边长为2等边三角形，高为2的三棱锥求解.，
【详解】
由三视图知：该几何体是一个底面边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥，
如图所示：所以该几何体的体积为 ，
故选：B
3．【答案】
【分析】
如图所示，为组合体的中截面，易知当小球的表面积最大时大球半径 和小球半径 满足
，计算即可.
【详解】
如图所示，为组合体的中截面，
易知当小球的表面积最大时大球半径 和小球半径 满足 ， ，解得 ，
故小球表面积的最大值为 .
故答案为：
4．【答案】
【分析】
由勾股定理逆定理证得 ，从而得证 平面 ，再证得 ，然后由求得点 到平面 的距离为 ，从而求得体积．
【详解】
由题意， ， ， ，
∴ ，∴ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
设点 到平面 的距离为 ， ，
即 ，解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
1．【答案】B
【分析】
本题给出的是一个不规则几何体，分割成两个三棱柱或补成一个正方体，即可求出体积.
【详解】
解法一（割）：如图1所示，过点C作 于H，联结 ，
把多面体分割成一个直三棱柱 和一个斜三棱柱 .于是所求几何体的体积为 .
解法二（补）：如图2所示，将多面体补成棱长为2的正方体.
显然，由对称性，所求的多面体的体积为该正方体体积的一半.
于是所求几何体的体积为 .
故选：B
2．【答案】A
【分析】
由三视图还原该组合体的直观图，再求出 即可求解
【详解】
由三视图可知，该组合体的直观图如下：
则 ， ，
所以 ．
故选：A．
3．【答案】C
【分析】
在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况
都可构造例子.
【详解】
画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A正确；
在正方体 中，作截面 （如图所示）交 ， ， ， 分别于点 ， ， ，
，根据平面平行的性质定理可得四边形 中， ，且 ，故四边形 是平行四
边形，此四边形不一定是矩形，故B正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C错误；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确．
故选：C4． 【答案】D
【分析】
设计一个特殊图形，侧棱两两垂直的正三棱锥 ，并取特殊值 ，然后计算出各个面
的面积进行验证即可
【详解】
设计一个特殊图形，侧棱两两垂直的正三棱锥 ，并取特殊值 ，则
，于是 ， ，代入检验可得D.
故选：D
5．【答案】B
【分析】
利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】
设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故选：B
6．【答案】A
【分析】
设正方体 的棱长为2，以D为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,求出需要的点的坐标，利用空间向量的坐标运算来判断①②；当F与 重合时可判断③；点E到
平面 的距离为定值， 的面积也为定值可判断④.
【详解】
设正方体 的棱长为2，以D为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直
角坐标系，则 .
设 ，则 .
若 ，则 ，即当F为 的中点时， ，故①正确；
因为 ，所以不存在点F使得 ，故②错误；
当F与 重合时， 的正视图和侧视图的面积相等，故③正确；
因为点E到平面 的距离为定值， 的面积也为定值，所以四面体 的体积为定值，故④正
确.
故选：A.
7．【答案】C
【分析】
求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.
【详解】所求的体积为 ，
故选：C.
8．【答案】7:5
【分析】
特殊值法，由于题中没有给出三棱柱中的尺寸，暗示 为定值，因此赋予特殊值，棱柱是直棱柱，底
面积是4，高是1，求出棱柱的体积，棱台的体积 后可得 ，得比值．
【详解】
题设没有给出底面边长和侧棱长，暗示 为定值，于是赋值于一个特殊的几何体.直三棱柱且底面面积
为4，高为1，则 ＝4， ， ，故 .
柱 柱
故答案为： ．
9．【答案】
【分析】
首先根据圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为 ，再求其面积即可.
【详解】
由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为 ，
所以 ．
故答案为：
10．【答案】（1）（2）（3）
【分析】
结合线面平行、锥体体积、线段长度、线面角等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
根据正方体的性质可知 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，由于 ，所以平面 平面 ，所以 平面 .所以（1）
正确.由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 到平面 的
距离为定值 ，所以三棱锥 的体积为 ，所以（2）正确.
由于 ，所以当 为 中点时， 最小，且最小值为 ，所以（3）正确.
由于 的最小值为 ，最大值为 ， 到平面 的距离为 ，设直线 与平面 所成角为
，则 的最小值为 ， 的最大值为 ，所以 ，所以（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）
11．【答案】7：17
【分析】
被截面 分割成的左边的几何体是个三棱台，要求其体积，由于E为中点，可补成锥体 ，
也即补上一个全等的平行六面体 就能迅速求解.【详解】
的延长线交 延长线于 ，由E为 中点知A为 中点，联结 ，则 和 的交点必在
F.作 ， ， ，即补上一个全等的平行六面体.
，
，
.
又
， .
12．【答案】证明见解析
【分析】
由于几何体 是一个不规则的几何体，为求得其体积，采用分割或补形的方法来求解即可.
【详解】证法一（分割）：为了讨论方便，不妨设 .如图所示.
可将几何体 分割成一个小直三棱柱与两个三棱锥.
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，联结 、 ，
则几何体 被分割成：
直三棱柱 ，三棱锥 ，三棱锥 .
设 ，A到 的距离为d，则 ，由于
，
，
故 .
证法二（补形）：将几何体 以 为底面进行两次等几何体补形，
使侧棱的长均为 ，这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱，
而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的 ，
故 .
1． 【答案】C
【分析】
根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.
【详解】
根据题意作图，设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有 ， .
该圆锥的底面积与侧面积比值为 .
故选：C.
2．【答案】C
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
3．【答案】A
【分析】
根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为 ，
故选：A.4．【答案】B
【分析】
设圆锥的母线长为 ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得 的值，即为所求.
【详解】
设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 .
故选：B.
5．【答案】D
【分析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为故选：D
6．【答案】A
【分析】
由题可得 为等腰直角三角形，得出 外接圆的半径，则可求得 到平面 的距离，进而求得
体积.
【详解】
， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾
股关系求解.
7．【答案】
【分析】
直棱柱的四个侧面都是长为 ，宽为 的矩形，依此计算侧面积即可.
【详解】
直棱柱的四个侧面都是长为 ，宽为 的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和，
所以直棱柱的侧面积是 .
故答案为： .
8．【答案】
【分析】
根据公式即可求解.【详解】
解：球的体积为： ,
故答案为：
9．【答案】
【分析】
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴ .
故答案为： .
10．【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
(1) 连接 交 于点 ，连接 ，由三角形的中位线定理可知 ，结合线面平行的判定定理可证
明 平面 .(2)由题意可知 ，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接 交 于点 ，连接 . 在 中，因为 ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）因为 平面ABCD，所以 就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以四棱锥 的体积 ，
所以四棱锥 的体积为 .
