文档内容
考向 31 与球有关的切、接应
用问题
1．（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用
锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 ，
设圆锥 和圆锥 的高之比为 ，即 ，
设球的半径为 ，则 ，可得 ，所以， ，
所以， ， ，，则 ，所以， ，
又因为 ，所以， ，
所以， ， ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 .
故选：B.
2．（2016·全国高考真题（文））在封闭的直三棱柱 内有一个体积为V的球，若 ，
， ，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：设 的内切圆半径为 ，则 ，
故球的最大半径为 ，故选B.
考点：球及其性质.
1、解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆
的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位
置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
2、求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利
用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r的关系为r＝
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，
则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【知识拓展】
与球有关的组合体的常用结论
（1）长方体的外接球：
①球心：体对角线的交点；
a2 b2 c2
②半径：r (a,b,c为长方体的长、宽、高).
2
（2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：
3
①外接球：球心是正方体的中心，半径r a(a为正方体的棱长)；
2
a
②内切球：球心是正方体的中心，半径r (a为正方体的棱长)；
2
2
③与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径r a(a为正方体的棱长).
2
（3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：
6
①外接球：球心是正四面体的中心，半径r a(a为正四面体的棱长)；
4
6
②内切球：球心是正四面体的中心，半径r a(a为正四面体的棱长).
121．（2021·河南驻马店市·高三月考（理））三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是
等边三角形， 底面 ， ， .若点 在线段 上，且 ，则过点 的平面截球
所得截面的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三月考（理））某圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，正方体
内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体 的体积的比值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·山西长治市·高三月考（文））已知三棱锥A－BCD中，BC＝CD＝2，BD＝2 ，△ABD是等边
三角形，平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为__________.
4．（2021·全国高一课时练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是
_______．
1．（2021·河南（文））已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥
的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一课时练习）一个棱长为 的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南高三月考（理））已知三棱柱 的 个顶点全部在球 的表面上， ，
，三棱柱 的侧面积为 ，则球 表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高一单元测试）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国高三专题练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北沧州·高三月考）（多选题）下图中正方体 边长为2，则下列说法正确
的是（ ）
A．平面 平面
B．正方体 外接球与正四面体 外接球半径相等均为
C．正四面体 内切球半径为
D．四面体 内切球半径为7．（2021·全国高一课时练习）如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则
该半球的表面积为________．
8．（2021·全国高一课时练习）一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，
则该球的表面积为_________．
9．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，
平面 ， ， ， ， ，若 为 的中点，过点 作球 的截面，则截
面面积的最小值是___________.
10．（2021·广东高三月考）已知在四面体 中， ，则四面
体 的外接球表面积为______.
11．（2021·四川成都七中高二开学考试（文））如图，在棱长为1的正方体 中．求：
（1）直线 与 所成的角的大小；
（2）直线 与平面 所成的角的余弦值；
（3）正方体 的外接球体积．
12．（2021·全国高一课时练习）如图，在等腰梯形 中， ， 为 的
中点，将 与 分别沿 向上折起，使 重合于点P，求三棱锥 的外接球的体积.
1．（2020·天津高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（理））已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙
的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若
球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边
长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
5．（2013·辽宁高考真题（文））已知直三棱柱
A． B． C． D．
6．（2011·全国高考真题（理））已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且，则棱锥 的体积为_____．
7．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为_________．
8．（2013·天津高考真题（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方
体的棱长为 .
9．（2013·福建高考真题（理））已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_____
10．（2012·辽宁（文））已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长
为2 正方形．若PA=2 ，则△OAB的面积为______________.1．【答案】A
【分析】
如图，设 外接圆的圆心为 ，求出 和外接球的半径 ,取 的中点 ，求出 ,即得解.
【详解】
如图，设 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则外接球的半径 .
取 的中点 ，由 ， ，得 ， .
则过点 的平面截球 所得截面圆的最小半径为 ，
过点 的平面截球 所得截面的最小面积为 .
故选：A
2．【答案】B
【分析】
由侧面展开图的半径，求圆锥底面半径及内切球半径，利用圆锥的体积公式求体积，再由正方体的外接球
为圆锥的内切球，求正方体棱长，进而求体积，即可知它们的体积比.
【详解】
根据题意，设圆锥的底面半径为 ，则 ，得 ，∴圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，其内切圆半径为 ，
设正方体的棱长为 ，则 ，得 ，
∴正方体的体积为 ，又圆锥的高为 ，则体积为 ，
∴圆锥的体积与正方体 的体积的比值为 ．
故选：B
3．【答案】
【分析】
由己知得出 ，再由平面ABD⊥平面BCD，可得出 的外心 就是三棱锥 外接球球心，
由此可得半径，从而得面积．
【详解】
因为BC＝CD＝2，BD＝2 ，所以 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ， 则 外心，
△ABD是等边三角形， ，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD，
所以 平面 ，三棱锥 外接球球心在 上，所以 的外心 就是三棱锥 外
接球球心， ，
球面积为 ．
故答案为： ．4．【答案】
【分析】
由球与正方体的各棱相切可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】
过正方体的对角面作截面如图，故球的半径 ，
其表面积 ．
故答案为： .
1．【答案】A
【分析】
先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径
为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 的扇形得：
，解得： .
作出圆锥的轴截面如图所示：
设圆锥的高为h，则 .
设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有 ，
即 ，解得：R=3，
所以该圆锥的外接球的体积为 .
故选：A.
2．【答案】C
【分析】
在一个棱长为 的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正
四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长，由此能求出
正方体的外接球的表面积．
【详解】
解：∵正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，
∴正方体在正四面体的内切球中，
∴正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，
点O为内切球的圆心，连接PO并延长交底面ABC与点D，
点D是底面三角形ABC的中心，
∴PD⊥底面ABC，∴OD为内切球的半径，连接BO，则BO＝OP，在 △BDP中，BD ，
PD ，
在 △BDO中，OD2＝OB2﹣BD2＝OP2﹣BD2＝（PD﹣OD）2 ﹣BD2，
代入数据得OD ，令正方体棱长为a，则3a2 ，解得a ，
∴正方体棱长的最大值为 ，
此时正方体的外接球半径：r ．
∴当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：
S＝4πr2＝4 12π．
故选：C．
3．【答案】B
【分析】
设三棱柱 的高为 ， ，根据题意得出 ，设 的外接圆半径为 、球
的半径为 ，根据勾股定理得出 的表达式，结合基本不等式即可得出结果.
【详解】
设三棱柱 的高为 ， .
因为 ，
所以 ，则该三棱柱的侧面积为 ，故 .
设 的外接圆半径为 ，则 .
设球 的半径为 ，则 （当且仅当 时，等号成立），
故球 的表面积为 .
故选：B
4．【答案】C
【分析】
先求出正方体的边长，得到外接球的半径，即可求出外接球的表面积.
【详解】
∵正方体的体积是64，
正方体的棱长为4，
正方体的外接球的半径 ，即
正方体的外接球的表面积 .
故选：C.
5．【答案】B
【分析】
设圆柱的底面半径为r，则由题意可得 ，求出 ，从而可求出圆柱的体积
【详解】
设圆柱的底面半径为r，则 ，解得 （负值舍去），
所以圆柱的体积为 ．
故选：B．
6． 【答案】BCD
【分析】
取 的中点 ，连接 和 ，计算二面角 的平面角 即可判断A；由正四面体与正方体有同一个外接球可判断B，利用等体积求内切球的半径可判断CD，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为正方体的边长为 ，所以 ，
所以 和 是等边三角形，取 的中点 ，连接 和 ，
则 ， ，所以 即为二面角 的平面角，
因为 ， ，因为 ，
所以 不等于 ，即二面角 的平面角不等于 ，所以平面 平面 不成立，
故选项A不正确；
对于B：正四面体 的四个顶点都是正方体的顶点，所以正四面体 与正方体
有同一个外接球，且外接球的半径为 ，故选项B正确；
对于C：正四面体 内切球半径为 ，正四面体 的高为
，
由体积相等可得： ，可得 ，故选项C正确；
对于D：设四面体 内切球半径为 ，
由体积相等可得： ，
即 ，解得： ，
故选项D正确；
故选：BCD.7．【答案】
【分析】
设球体半径为 可得 ，根据棱锥的体积求 ，进而求半球的表面积.
【详解】
如图，连接 ， 交点为 ，设球的半径为 ，
由题意知： ．则 ，
四棱锥的体积为 ，解得 ，
∴该半球的表面积为 ．
故答案为：
8．【答案】
【分析】
易知球心 在正四棱锥的高 上，可利用勾股定理构造出关于外接球的半径 ，解方程求得 后，利用
球的表面积公式可得结果.
【详解】
如图所示， 为底面正方形的中心，则 ， ，则正四棱锥的外接球的球心 在 上，
则外接球的半径 满足 ，解得： ，
该球的表面积 ．
故答案为： .
9．【答案】
【分析】
过底面 外接圆的圆心 作垂直于底面的直线，则球心 在该直线上，若 是 的中点，则 ，
重合，过点 作球 的截面，则截面面积最小时是与 垂直的面，即是三角形 的外接圆，然后算出
答案即可.
【详解】
如图所示：由题意知， ，则底面三角形 为直角三角形，若 是 的中点，则 ，
重合，过点 作球 的截面，
则截面面积最小时是与 垂直的面，即是三角形 的外接圆，
而三角形 的外接圆半径是斜边的一半，即 ，所以截面面积为 .
故答案为： .
10．【答案】【分析】
把四面体 补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.
【详解】
对于四面体 中，因为 ，
所以可以把四面体 还原为一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：
，解得：
点A、B、C、D均为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的顶点，
且四面体 的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为 ，∴ ，
∴外接球的表面积为 .
故答案为： .
11．【答案】（1）60°；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）作出直线 与 所成的角，由此求得所成角的大小.
（2）判断出直线 与平面 所成的角，由此求得所成角的大小.
（3）求得外接球的半径，进而求得外接球的体积.
【详解】（1）连接 ， ，如图所示，
∵ ，
∴直线 与 所成的角可转化为直线 与 所成角，即 为所求角，
又∵ 是等边三角形，∴ ，
∴直线 与 所成的角的大小为60°．
（2）由题意可知 平面 ，则 ，
∴ 为直线 与平面 所成的角，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴直线 与平面 所成的角的余弦值 ．
（3）由题意，该正方体的外接球以正方体的中心为球心，对角线 为直径，
∴其半径 ，
∴该外接球体积 ．12．【答案】 .
【分析】
由题意可知，三棱锥 为正三棱锥，建立关于球半径的关系式可求.
【详解】
由题意可知，三棱锥 为正三棱锥，
P点在底面 的投影为等边 的中心，设中心为O，
则 ，
在直角 中， .
易知外接球的球心必在 上，设球心为 ，则 ，
设 ，
则在直角 中， ，即 ，
，解得 ，
三棱锥 的外接球的体积为 .1．【答案】C
【分析】
求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】
这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体
的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体
的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球
的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何
体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
2．【答案】A
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．【答案】C
【分析】
根据球 的表面积和 的面积可求得球 的半径 和 外接圆半径 ，由球的性质可知所求距离
.
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【点睛】
本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性
质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
4．【答案】D
【分析】
先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分，进而知正方体的体
对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一: 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥，
，又 ， 分别为 、 中点，
， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
， 为正方体一部分， ，即
，故选D．解法二:
设 ， 分别为 中点，
，且 ， 为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理 ，作 于 ， ，
为 中点， ， ，
， ，又 ， 两两垂直，
， ， ，故选D.
【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
5．【答案】C
【详解】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取
1
BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCCB内，矩形BCCB的对角线长即为球直径，所以2R＝
1 1 1 1
＝13，即R＝
6．【答案】
【分析】
由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形所在平面的距离，满足勾股定理，求出棱锥的
高，即可求出棱锥的体积．
【详解】
矩形的对角线的长为：
所以球心到矩形所在平面的距离为：
所以棱锥 的体积为：
本题正确结果：
【点睛】
本题是基础题，考查球内接几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．
7．【答案】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为 ，由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确
定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方
体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
8．【答案】
【分析】
根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.
【详解】
因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得： ，
即 ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.
9．【答案】
【详解】
试题分析：因为该组合体的正视图、侧视图、俯视图均是圆及边长为 的正方形，所以该组合体是棱长为
的正方体及其外接球，可知外接球直径 等于正方体对角线长 ，所以该球的表面积是 ，
故答案为 .
考点：1、几何体三视图的应用；2、球的表面积公式.
10．【答案】
【分析】
如图所示，
∵ ∴ .
可知PC为球O直径，取PC的中点为O，取AC的中点为 ，
则 ，
又∵ ， ，
∴
∴球半径 .
∴ 为等边三角形.
∴ .考点定位：本小题考查球的知识，意在考查考生对球的图形的理解，利用球中的几何体求解
