文档文本内容
知识点 59：电场力的理解及应用
考点一：电场力（库仑力）的计算问题
题型一：点电荷之间电场力（库仑力）的计算
【知识思维方法技巧】
（1）二个点电荷之间的电场力（库仑力）大小满足库仑定律F＝k（将q 、q 绝对值代入
1 2
公式计算），r指两点电荷间的距离。库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。带电体在电场中受到的电场力 F＝qE（将q绝对
值代入公式计算），正电荷的受力方向与电场场强方向相同，负电荷的受力方向与电场场
强方向相反。
（2）某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
类型一：库仑定律与电荷守恒定律的结合
【知识思维方法技巧】
两个完全相同的带电金属球接触时电荷的分配规律：
（1）如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q 和q ，两球接触时，总电荷量平
1 2
均分配，两球的电荷量都等于。
（2）如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q 和q ，且q ＞q ，接触时，先中和
1 2 1 2
再将剩余的电荷量(q－q)平均分配，两球的电荷量都等于。
1 2
【典例1a提高题】使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的
电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F 。现用绝缘工具使两
1
小球相互接触后，再将它们固定在相距为 2a的两点，它们之间库仑力的大小为 F 。则F
2 1
与F 之比为( )
2
A.2∶1 B.60∶1 C.16∶1 D.15∶4
【典例1a提高题】【答案】B
【解析】开始时由库仑定律得F ＝k ①，现用绝缘工具使两小球相互接触后，电荷量先
1
中和再平分，各自带电为Q，因此此时F ＝k ②，由①②得F ＝F ，则F 与F 之比为
2 2 1 1 2
60∶1，故选项B正确。
【典例1a提高题对应练习】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间
的距离远大于小球的直径。球1的带电荷量为＋q，球2的带电荷量为＋nq，球3不带电且
离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。现使球3先与球2接触，再与球
1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。由此可
知( )
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
【典例1a提高题对应练习】【答案】D
【解析】由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷。由库仑定律 F
＝k知，两点电荷间距离不变时，两电荷间静电力大小与两点电荷所带电荷量的乘积成正
比。由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q·nq＝· ，解得n＝6，D正确。
1
学科网（北京）股份有限公司类型二：库仑力的叠加计算
【知识思维方法技巧】
某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
【典例1b提高题】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，
bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于 a、b的连线．设小球a、b所
带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
【典例1b提高题】【答案】D
【解析】由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对
c的库仑力F ＝，b对c的库仑力F ＝，设合力向左，如图所示，根据相似三角形得＝，得
a b
k＝＝＝，若合力向右，结果仍成立，D正确．
【典例1b提高题对应练习】如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，
其中a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合
力大小是( )
A．0 B． C． D．
【典例1b提高题对应练习】【答案】D
【解析】b、d电荷给a的库仑力大小均为F ＝F ＝k，F 方向竖直向上，F 方向水平向右，
b d b d
这两个力的合力F ＝，方向与ad连线成45°指向右上方。c对a的库仑力F＝，方向由a
bd c
指向c，F 与F 垂直，a电荷受的电场力的大小为F＝＝，选项D正确。
c bd
题型二：均匀带电球体（球壳）与点电荷之间电场力的计算
【知识思维方法技巧】
（1）对于均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r指球心与点电荷间
的距离。可以用挖补法思维求库仑力。
2
学科网（北京）股份有限公司（2）对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布及不均匀分布情况，如图所示．同
种电荷：F＜k；异种电荷：F＞k.
【典例2提高题】如图，两个带电金属小球中心距离为r，带电荷量相等为Q，则它们之间
电荷的相互作用力大小F的说法正确的是 ( )
A．若是异种电荷F<k
B．若是同种电荷F>k
C．若是异种电荷F>k
D．不论是何种电荷F＝k
【典例2提高题】【答案】C
【解析】当是异种电荷时，电荷间相互吸引，导致电荷间距比 r还小，因此库仑力F>k，
故A错误，C正确；若是同种电荷，则出现相互排斥，导致电荷间距比r还大，因此库仑
力F<k，故B、D错误。
【典例2提高题对应练习】两个完全相同的金属球半径为r，分别带上等量的异种电荷，电
荷量均为Q，两球心相距R，R＝3r，则两球间的库仑力F的大小应满足( )
A．F＝k B．F＝k C．F＞k D．F＞k
【典例2提高题对应练习】【答案】D
【解析】由于异种电荷相互吸收，致使两球相对的一面电荷分布比较密集，电荷中心间的
距离d＜R，又d＞r，结合库仑定律知，F＞k，选项D正确。
考点二：有静电力参与的平衡问题
【知识思维方法技巧】
涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础
上多了静电力，具体步骤如下：
3
学科网（北京）股份有限公司注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。
题型一：计算有静电力参与的三个自由点电荷平衡的问题
【知识思维方法技巧】
三个自由点电荷平衡的特点：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【典例1提高题】a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知
a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q＞q。关于电荷c，下列判断正确的是(
)
A．c一定带负电
B．c所带的电荷量一定大于q
C．c可能处在a、b之间
D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定
【典例1提高题】【答案】B
【解析】三个点电荷保持平衡，应处于同一条直线上，且“两同夹异”，“两大夹小”，
因为Q＞q，所以c所带电荷量一定大于q，且c必须带正电，在b的另一侧，选项A、C错
误，B正确；如果固定a、b，因Q＞q，则在a、b形成的静电场中，只有b的另一边仅存
在一点电场强度为零，c放在此处时受力平衡，因位置固定，电荷量和电性均不确定，D
错误。
【典例1提高题对应练习】如图，三个带电小球用等长的绝缘细线悬挂于水平天花板上，
当R带负电时，三条细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A. P带正电荷
B. Q带负电荷
C. P带电荷量大于Q所带电荷量
D. R带电荷量小于Q所带电荷量
【典例1提高题对应练习】【答案】C
4
学科网（北京）股份有限公司【解析】根据“两大夹一小，两同夹一异”，P带负电荷，Q带正电荷，P和R的带电
荷量都大于Q，A、B、D错误，C正确．
题型二：计算有静电力参与的静态平衡问题
类型一：绝缘接触面模型
【典例2a提高题】如图所示，两个带电荷量分别为Q 与Q 的小球固定于相距为5d的光滑
1 2
水平面上，另有一个带电小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q 的距离为4d，离Q 的距
1 2
离为3d.现将带电小球A置于水平面上某一位置，发现A刚好静止，则此时小球A到Q 、
1
Q 的距离之比为( )
2
A.∶2 B．2∶ C．3∶4 D．4∶3
【典例2a提高题】【答案】B
【解析】小球A悬浮于空中时，Q 对其库仑力F ＝k，Q 对其库仑力F ＝k，受力分析如
1 1 2 2
图所示，
由几何关系知θ＝37°，由平衡条件知F ＝mgsin 37°，F ＝mgcos 37°，得＝.将A置于水平
1 2
面上静止，则k＝k，得＝，故选B.
【典例2a提高题对应练习】如图所示，在两个对接的绝缘光滑斜面上放置了电荷量大小均
为q的两个小球A和B(均可看成质点)，两个斜面的倾角分别是30°和45°，小球A和B的
质量分别是m 和m 。若平衡时，两小球均静止在离斜面底端高度为 h的同一水平线上，
1 2
斜面对两个小球的弹力分别是F 和F ，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
N1 N2
A．q＝h
B．＝
C．＝
D．若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，则两球仍能平衡
【典例2a提高题对应练习】【答案】A
5
学科网（北京）股份有限公司【解析】A处于静止，受力如图所示。设A受到的库仑力为F ，支持力为F ，由平衡条
1 N1
件可得tan 30°＝，F ＝，同理可得，对B满足tan 45°＝，F ＝，由于F ＝F ＝F，对比
N1 N2 1 2
可得＝＝，＝＝，B、C错误；两电荷间距为l＝＋＝(＋1)h，由库仑定律可得F＝k，由
B、C的分析可得F＝mgtan 45°，联立解得q＝h，A正确；若同时移动两球在斜面上的位
2
置，由于距离变化导致库仑力变化，重力mg和支持力F 不变，不再满足原来的平衡关系，
N
故两球不能处于原来的平衡状态，D错误。
类型二：绝缘轻绳连接体模型
【典例2b提高题】(多选)如图所示，a、b、c三球分别用三根绝缘细线悬挂在同一点 O，
细线的长度关系为Oa＝Ob<Oc，让三球带电后它们能静止在图中位置，此时细线 Oc沿竖
直方向，a、b、c连线恰构成一等边三角形，则下列说法正确的是( )
A.a、b、c三球质量一定相等
B.a、b两球所带电荷量一定相等
C.细线Oa、Ob所受拉力大小相等
D.a、b、c三球所受库仑力大小一定相等
【典例2b提高题】【答案】BC
【解析】对a、b受力分析可知：因为a、b连线水平，则m ＝m ，但与c的质量关系不能
a b
确定，A错误；由于细线Oc沿竖直方向，而c所受重力及细线拉力均沿竖直方向，所以 a
对c的库仑力与b对c的库仑力关于Oc对称且相等，根据库仑定律可知q ＝q ，B正确；
a b
因c对a、b的库仑力关于Oc对称且相等，由受力分析知，细线Oa、Ob所受拉力大小相
等，C正确；c所带电荷量与a、b所带电荷量不一定相等，所以 a、b、c所受库仑力大小
不一定相等，D错误。
【典例2b提高题对应练习】（多选）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。
6
学科网（北京）股份有限公司两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均
为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q＞0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ
＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力
常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．M带正电荷 B．N带正电荷 C．q＝L D．q＝3L
【典例2b提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由题图可知，对小球M受力分析如图甲所示，对小球N受力分析如图乙所示，由
受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，A错误，B正确；由几何关系可知，两小
球之间的距离为r＝L，当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得mgtan 45°＝qE－k；
两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得mgtan 45°＝2qE－k，整理解
得q＝L，C正确，D错误。
类型三：绝缘轻弹簧连接体模型
【典例2c提高题】如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同
的绝缘轻弹簧连接构成等边三角形，轻弹簧均处于原长．现让每个小球带上相同的电荷量
q，当三角形的面积增大到原来的4倍时重新达到平衡状态．已知每根弹簧的原长为l ，静
0
电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为( )
A． B． C． D．
【典例2c提高题】【答案】A
【解析】三角形的面积为S＝l2sin 60°，则当面积增大到原来的4倍时，边长变为原来的2
倍，即当每个小球带上相同的电荷量时，弹簧伸长了 l ，则对其中一个小球受力分析可知
0
2Klcos 30°＝2kcos 30°，解得K＝，故选A.
0
【典例2c提高题对应练习】如图所示，内壁光滑粗细均匀的玻璃管竖直固定，在玻璃管内
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学科网（北京）股份有限公司有大小和质量均相等的A、B、C三只小球，A、B小球之间用轻质绝缘弹簧连接，C小球
置于玻璃管底部。当A、B、C小球均处于静止时，A、B小球之间距离与B、C小球之间
距离相等，已知A、B两只小球带电荷量均为q(q>0)，C小球带电荷量为Q(Q>0)，小球直
径略小于玻璃管内径，它们之间距离远大于小球直径，则( )
A.若Q＝3q，弹簧对小球A为向上的弹力
B.若Q＝2q，弹簧对小球A为向上的弹力
C.若Q＝3q，弹簧对小球B为向上的弹力
D.若Q＝2q，弹簧对小球B为向下的弹力
【典例2c提高题对应练习】【答案】A
【解析】设A、B的质量为m，AB与BC之间的距离为L，假设当弹簧处于压缩状态时，
此时A球受到向上的弹力，根据平衡条件对 A列出平衡方程，对A球mg＝k＋k＋F，对
A、B两球整体分析k＋k＝2mg，若假设成立则F≥0，联立可以得到Q≥q，若Q＝3q>q，
此时弹簧对小球A的弹力方向向上，对小球B的弹力方向向下，故A正确，C错误；若Q
＝2q<q，此时弹簧对小球A的弹力方向向下，对小球B的弹力方向向上，故B、D错误。
题型三：有静电力参与的动态平衡问题
【知识思维方法技巧】
涉及库仑力的动态平衡问题，其解题思路方法与力学中的动态平衡问题一样，只是在原来
受力的基础上多了电场力库仑力。
类型一：接触连接体模型
【典例2a提高题】如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为
m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，则( )
A．电场强度的最小值为E＝
B．若电场强度E＝，则电场强度方向一定竖直向上
8
学科网（北京）股份有限公司C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大
D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大
【典例2a提高题】【答案】C
【解析】如图所示，电场力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面
向上，mgsin θ＝qE ，解得电场强度的最小值为E ＝，选项A错误；若电场强度E＝，
min min
则电场力与重力大小相等，由图可知，电场力方向可能竖直向上，也可以斜向下，选项 B
错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场力逐渐变大，
电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误．
【典例2a提高题对应练习】如图所示，在一绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止
状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，
已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质
点．关于此过程，下列说法正确的是( )
A．地面对斜面C的摩擦力先增大后减小 B．地面对斜面C的摩擦力逐渐减小
C．物体A受到斜面的支持力一直减小 D．物体A受到斜面的支持力一直增大
【典例2a提高题对应练习】【答案】B
【解析】如图所示，以A和C整体为研究对象，设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向
的夹角为θ，根据平衡条件得F＝Fsin θ，由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的
f
摩擦力逐渐减小，故A错误，B正确；以A为研究对象，分析可知，B对A的库仑力垂直
于斜面方向的分力先逐渐增大后逐渐减小，设该分力为F′，斜面倾角为α，根据平衡条件，
斜面对A的支持力F ′＝mgcos α＋F′，可知F ′先增大后减小，故C、D错误．
N N
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学科网（北京）股份有限公司类型二：绝缘细线连接体模型
【典例2b提高题】(多选)如图所示，两个带电小球A、B穿在同一根光滑绝缘的细绳上，
细绳两端固定在天花板的O点，当整个系统保持平衡时，两小球连线恰好水平，且两小球
与悬点O恰好构成一个正三角形，则下列判断正确的是( )
A.两小球质量一定相同
B.两小球带电荷量一定相同
C.细绳张力与两小球之间库仑力之比2∶3
D.A球在缓慢漏电过程，细绳张力始终保持不变
【典例2b提高题】【答案】AC
【解析】设绳张力为F ，对A或B球所受绳子张力的合力为F＝2F cos 30°＝F ，对两小
T T T
球受力分析如图，由图可知，Fcos 60°＝mg，则m＝，由于同一根绳子，所以绳子的拉力
F 相同，故F相同，则两小球质量一定相同，故A正确；由几何关系可得F ＝Fcos 30°，
T AB
F ＝Fcos 30°，则两小球间的库仑力大小相等，由F＝k可知，不能说明两小球带电荷量
BA
一定相同，故B错误；由几何关系得＝＝＝，则＝，故C正确；A球在缓慢漏电过程，
A、B球的库仑力减小，说明A、B两球间的距离减小，上面两绳的夹角变小，则绳子张力
变化，故D错误。
【典例2b提高题对应练习】(多选)如图所示，带正电的小球A用竖直立在地面上的绝缘杆
支撑固定，带正电的小球B用绕过A球正上方的定滑轮的绝缘细线挂着，开始时A、B在
同一水平线上并处于静止状态，不计两个小球的大小。现用手拉细线，使小球 B缓慢向上
移动，小球B在向上移动过程中A、B两球的电荷量保持不变，不计两球间的万有引力，
则在B球缓慢移动一小段距离的过程中 ( )
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学科网（北京）股份有限公司A．A、B两球间的距离在减小
B．小球的运动轨迹是一段圆弧
C．细线上的张力一直减小
D．细线上的张力可能先变小后变大
【典例2b提高题对应练习】【答案】BC
【解析】B受到的重力为mg，A、B两球的带电荷量分别为q、q，两球间的距离为r，A
1 2
球与定滑轮的距离为h，定滑轮与B球的距离为d，在B球移动过程中任取一位置，对B
球受力分析如图所示，根据相似三角形知识可知，＝＝，解得r＝，由此可见，在小球B
移动过程中，r不变，因此小球的运动轨迹是一段圆弧，选项A错误、B正确；又根据F
＝，由于d在减小，因此F在减小，选项C正确、D错误。
考点三：有静电力参与的动力学问题
【知识思维方法技巧】
涉及电场力库仑力的动力学问题，其解题思路方法与力学中的动力学问题一样，只是在原
来受力的基础上多了电场力或库仑力。
题型一：有静电力参与的动力学瞬时性问题
【典例1提高题】(多选)如图所示，在夹角为2θ的V形绝缘槽里，离底端h高处有用细
线相连的两个相同带电小球处于静止状态．F 为细线上的张力，每个小球的质量为m，重
T
力加速度为g，槽面摩擦不计，则下列说法正确的是( )
A. 改变两球之间的细线长度，小球在另一高度平衡时，小球受槽面的支持力不变
B. 两球之间库仑力大小为F ＋mgtanθ
T
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学科网（北京）股份有限公司C. 烧断细线瞬间小球的加速度大小为
D. 烧断细线后小球的机械能将减小
【典例1提高题】【答案】AC
【解析】如图所示，右侧槽面上的小球进行受力分析，有F sinθ＝mg，F ＝ ，可知小
N N
球所受支持力与所处高度无关，A正确；右侧槽面上的小球受到的库仑力为F＝F cosθ＋
N
F ，则F＝ ＋F ，B错误；烧断细线瞬间，小球的加速度沿槽面向上，有a＝
T T
＝ ，C正确；烧断细线后，小球沿槽面向上运动，静电力做正功，机械
能增加，D错误．
题型二：有静电力参与的动力学计算问题
【典例2提高题】如图所示，光滑绝缘水平面上两个相同的带电小圆环A、B，电荷量均为
q，质量均为m，用一根光滑绝缘轻绳穿过两个圆环，并系于结点O。在O处施加一水平恒
力F使A、B一起加速运动，轻绳恰好构成一个边长为l的等边三角形，则( )
A.小环A的加速度大小为
B.小环A的加速度大小为
C.恒力F的大小为
D.恒力F的大小为
【典例2提高题】【答案】B
【解析】设轻绳的拉力为F ，则对A：F ＋F cos 60°＝k，F cos 30°＝ma ，联立解得a
T T T T A A
＝，故B正确，A错误；恒力F的大小为F＝2ma ＝，故C、D错误。
A
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学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题对应练习】（多选）质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为
l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加
一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，
F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常
量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为
D．恒力F的大小为
【典例2提高题对应练习】【答案】BC
【解析】根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量
大小为q ，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为F ＝，C球对A球的库仑引力为
C BA
F ＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：F sin 30°＝F ，
CA CA BA
F cos 30°＝ma，解得：q ＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正
CA C
确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝，故D错误。
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