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知识点 69：带电粒子在电场的偏转运动
【知识思维方法技巧】
（1）带电粒子在电场中类平抛运动的处理方法：用分解的思想来处理，即将带电粒子的
运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动，根据
运动的合成与分解的知识解决有关问题。
（2）计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法：
①y＝y＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
0
②y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；
③y＝y＋v·；④根据三角形相似＝.
0 y
考点一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
【典例1提高题】（多选）如图所示，一带电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点
射入匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成
30°角。已知匀强电场区域的宽度为d，P、Q两点的电势差为U，不计重力作用，设P点的
电势为零。则下列说法正确的是( )
A．带电粒子在Q点的电势能为－qU
B．带电粒子带负电
C．此匀强电场的电场强度大小为E＝
D．此匀强电场的电场强度大小为E＝
【典例1提高题】【答案】AC
【解析】由题图，粒子的运动轨迹向上弯曲，则粒子所受的电场力向上，与电场方向相同，
所以该粒子带正电，B错误；粒子从P到Q，电场力做正功为W＝qU，则粒子的电势能减
少了qU，P点的电势为零，则知带电粒子在Q点的电势能为－qU，故A正确；设带电粒
子在P点时的速度为v，粒子在电场中做类平抛运动，在Q点v＝v，粒子在电场方向上
0 y 0
的位移为y＝t，水平方向d＝vt，解得y＝，则场强为E＝，联立解得E＝，故C正确，D
0
错误。
【典例1提高题对应练习】如图所示，场强大小为E、方向竖直向下的匀强电场中有一矩
形区域abcd，水平边ab长为s，竖直边ad长为h.质量均为m、带电量分别为＋q和－q的
两粒子，由a、c两点先后沿ab和cd方向以速率v进入矩形区(两粒子不同时出现在电场
0
中)．不计重力．若两粒子轨迹恰好相切，则v等于( )
0
1
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】两粒子垂直进入电场的初速度大小、加速度大小均相同，所以两粒子的运动轨迹
应具有对称性，故轨迹的切点应位于矩形区域的中心．由＝vt，＝··t2，解得v＝，B正确．
0 0
题型二：带电粒子在组合电场中的加速+类平抛运动模型
【典例2提高题】如图所示，虚线MN左侧有一场强为E ＝E的匀强电场，在两条平行的
1
虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E ＝2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距
2
为L处有一与电场E 平行的屏。现将一电子(电荷量为e，质量为m)无初速度地放入电场
2
E 中的A点，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，求：
1
（1）电子从释放到打到屏上所用的时间；
（2）电子刚射出电场E 时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tan θ；
2
（3）电子打到屏上的点P′到点O的距离x。
【典例2提高题】【答案】(1)3 (2)2 (3)3L
【解析】(1)电子在电场E 中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a，时间为t，
1 1 1
由牛顿第二定律和运动学公式得：a＝＝，＝at2，v＝at，t＝，运动的总时间为t＝t＋
1 11 1 11 2 1
t＝3。(2)设电子射出电场E 时沿平行电场线方向的速度为v，根据牛顿第二定律得，电子
2 2 y
在电场中的加速度为a＝＝，t＝，v＝at，tan θ＝解得：tan θ＝2。(3)如图，设电子在
2 3 y 23
电场中的偏转距离为x，x＝at2 ， tan θ＝ ，解得：x＝x＋x＝3L。
1 1 23 1 2
2
学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题对应练习】(多选)如图所示，xOy坐标系的第一象限存在水平向左的匀强电
场。第二象限存在竖直向下的匀强电场，y轴上c点和x轴上d点连线为电场的下边界。相
同的带电粒子甲、乙分别从a点和b点由静止释放，两粒子均从c点水平射入第二象限，
且均从c、d连线上射出，已知ab＝bc，下列说法正确的是( )
A．带电粒子甲、乙在c点速度之比为2∶1
B．带电粒子甲、乙在c点速度之比为∶1
C．带电粒子甲、乙在第二象限电场内的位移之比为∶1
D．带电粒子甲、乙在第二象限射出电场时速度方向相同
【典例2提高题对应练习】【答案】BD
【解析】相同的带电粒子甲、乙分别从a点和b点由静止释放，两粒子均从c点水平射入
第二象限，且均从c、d连线上射出，已知ab＝bc，由v2＝2ax可得带电粒子甲、乙在c点
速度之比为v ∶v ＝∶1，故A错误，B正确；甲、乙两粒子从c点水平射入第二象限，
甲 乙
设位移与水平方向夹角为θ，甲、乙两粒子位移与水平方向的夹角θ相同
由平抛运动知识可知x＝vt①
0
tan θ＝＝＝②
y＝xtan θ＝vttan θ③
0
综合①②③可得
s＝＝v
可知带电粒子甲、乙在第二象限电场内的位移之比为 2∶1，故C错误；设速度方向与水平
方向夹角为α，tan α＝，tan α＝2tan θ，甲、乙在第二象限射出电场时速度方向与水平方
向夹角α相同，故D正确。
考点二：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
题型一：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
【典例1提高题】如图所示，一重力不计的带电粒子以初速度v射入水平放置、距离为d
0
的两平行金属板间，射入方向沿两极板的中心线．当极板间所加电压为U 时，粒子落在A
1
3
学科网（北京）股份有限公司板上的P点．如果将带电粒子的初速度变为2v，同时将A板向上移动后，使粒子由原入
0
射点射入后仍落在P点，则极板间所加电压U 为( )
2
A．U＝3U B．U＝6U
2 1 2 1
C．U＝8U D．U＝12U
2 1 2 1
【典例1提高题】【答案】D
【解析】板间距离为d，射入速度为v ，板间电压为U 时，在电场中有＝at2，a＝，t＝，
0 1
解得U ＝；A板上移，射入速度为2v ，板间电压为U 时，在电场中有d＝a′t′2，a′＝，t′
1 0 2
＝，解得U＝，即U＝12U，故选D.
2 2 1
【典例1提高题对应练习】如图所示，一个质量为m、带电荷量为q的粒子从两带电平行
板的正中间沿与匀强电场垂直的方向射入，不计粒子所受的重力．当粒子的入射速度为v
时，它恰能穿过一电场区域而不碰到金属板上．现欲使质量为m、入射速度为的粒子也能
恰好穿过这一电场区域而不碰到金属板，在以下的仅改变某一物理量的方案中，不可行的
是( )
A．使粒子的带电荷量减少为原来的
B．使两板间所接电源的电压减小到原来的一半
C．使两板间的距离增加到原来的2倍
D．使两极板的长度减小为原来的一半
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】设平行板长为l，板间距为2d，板间电压为U，恰能穿过一电场区域而不碰到金
属板上，则沿初速度方向做匀速运动：t＝，垂直初速度方向做匀加速运动：a＝，d＝at2
＝，欲使质量为m、入射速度为的粒子也能恰好穿过这一电场区域而不碰到金属板，则沿
初速度方向距离仍是l，垂直初速度方向距离仍为d，使粒子的带电荷量减少为原来的，则
y＝·＝d，故A可行；使两板间所接电源的电压减小原来的一半，y＝·＝2d，故B不可行；
使两板间的距离增加到原来的2倍，此时垂直初速度方向距离应为2d，y＝＝2d，故C可
行；使两极板的长度减小为原来的一半，y＝＝d，故D可行．
题型二：带电粒子在组合平行板电容器中的加速+类平抛运动（示波器模型）
【典例2提高题】如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y′长为L，相距为d，
足够大的竖直屏与两板右侧相距b.在两板间加上可调偏转电压U ，一束质量为m、带电
YY′
荷量为＋q的粒子(不计重力)从两板左侧中点A以初速度v沿水平方向射入电场且能穿出．
0
(1)证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点；
4
学科网（北京）股份有限公司(2)求两板间所加偏转电压U 的范围；
YY′
(3)求粒子可能到达屏上区域的长度．
【典例2提高题】【答案】(1)见解析 (2)－≤U ≤(3)
YY′
【解析】(1)设粒子在电场中的加速度大小为a，离开偏转电场时偏转距离为y，沿电场方向
的速度为v，偏转角为θ，其反向延长线通过O点，O点与板右端的水平距离为x，如图所
y
示，则有y＝at2，L＝vt，v＝at，tan θ＝＝，联立解得x＝，即粒子飞出电场后的速度方
0 y
向的反向延长线交于两板间的中心O点．
(2)由牛顿第二定律，得qE＝ma，又U＝Ed，联立解得y＝，当y＝时，U ＝，则两板间
YY′
所加电压的范围为－≤U ≤.
YY′
(3)当y＝时，粒子在屏上侧向偏移的距离最大，设其大小为y，则y＝y＋btan θ，又tan θ
0 0
＝＝，联立解得y＝，故粒子在屏上可能到达的区域的长度为H＝2y＝.
0 0
【典例2提高题对应练习】如图所示是一个说明示波管工作原理的示意图，电子经电压U
1
加速后垂直进入偏转电场，离开电场时的偏转量是h，两平行板间的距离为d，电势差为
U，板长为L。为了提高示波管的灵敏度(每单位电压引起的偏转量)可采用的方法是( )
2
A．增大两板间的电势差U
2
B．尽可能使板长L短些
C．使加速电压U 升高些
1
D．尽可能使板间距离d小些
【典例2提高题对应练习】【答案】D
【解析】带电粒子加速时，由动能定理得qU＝mv2，带电粒子偏转时，由类平抛运动规律
1
得L＝vt，h＝at2，又由牛顿第二定律得a＝，联立以上各式可得h＝，由题意，灵敏度为
＝，可见灵敏度与U 无关，要提高示波管的灵敏度，可使板长L长些、板间距离d小一些、
2
使加速电压U 降低一些，故D正确。
1
5
学科网（北京）股份有限公司考点三：带电粒子在匀强电场（径向电场）中的偏转运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场类斜抛运动的处理方法：
（1）常规分解法：将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场
力方向上的匀速直线运动，根据运动的合成与分解的知识解决有关问题．
（2）逆向思维法：把带电粒子的运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运动
可以从最高点分段研究，后半段相当于类平抛运动，前半段相当于反向的类平抛运动，且
两段运动时间、位移和速度具有对称性．
【典例1提高题】在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E(图中未画出)，
由A点斜射出一质量为m、带电量为＋q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图
所示，其中l 为常数．粒子所受重力忽略不计。求：
0
（1）粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
（2）粒子从A到C过程所经历的时间；
（3）粒子经过C点时的速率。
【典例1提高题】【答案】(1)3qEl (2)3 (3)
0
【解析】(1)W ＝qE(y －y )＝3qEl(2)根据抛体运动的特点，粒子在x方向做匀速直线运动，
AC A C 0
由对称性可知轨迹最高点D在y轴上，可令t ＝t ＝T，T ＝T。由qE＝ma，得a＝，又
AD DB BC
y ＝aT2，y ＋3l＝a(2T)2，解得T＝。则A→C过程所经历的时间t＝3。
D D 0
(3)粒子在DC段做类平抛运动，于是有2l＝v (2T)，v ＝a(2T)，v ＝＝
0 Cx Cy C
【典例1提高题对应练习】在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 O为圆心、半径
为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内
自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度
为零的粒子，自圆周上的C点以速率v 穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°。运动中粒子仅
0
受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
6
学科网（北京）股份有限公司（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv ，该粒子进入电场时的速度应为多大？
0
【典例1提高题对应练习】【答案】(1) (2)v (3)0或v
0 0
【解析】(1)初速度为零的粒子，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。
由几何关系和电场强度的定义知l ＝R，F＝qE。由动能定理有F·l ＝mv 2联立得E＝。
AC AC 0
(2)如图所示，由几何关系知AC⊥BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线
与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最
大。由几何关系知∠PAD＝30°，l ＝R，l ＝R。设粒子以速度v 进入电场时动能增量最
AP DP 1
大，在电场中运动的时间为t。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等
1
于l ；在垂直于AC的方向上做匀速运动，运动的距离等于l 。由牛顿第二定律和运动学
AP DP
公式有F＝ma，l ＝at2，l ＝vt，联立得v＝v。
AP 1 DP 11 1 0
(3)法一：设粒子以速度v进入电场时，在电场中运动的时间为t。以A为原点，粒子进入电
场的方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。
由运动学公式有y＝at2， x＝vt。粒子离开电场的位置在圆周上，有＋＝R2，粒子在电场中
运动时，其x方向的动量不变，y方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小
为mv 的粒子，离开电场时其y方向的速度分量为v ，由题给条件及运动学公式有mv ＝
0 2 2
mv ＝mat，联立得v＝0和v＝v。
0 0
法二：由题意知，初速度为0时，动量增量的大小为mv ，此即问题的一个解。自A点以
0
不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿y方向位移相等时，所用时间都相同。因
此，不同粒子运动到线段CB上时，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变
化也为mv ，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率v＝v。
0 0
题型二：带电粒子在径向电场中的偏转运动
【典例2提高题】(多选) “电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成．
7
学科网（北京）股份有限公司偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为R 和R 的同心金属半球面A和B构成，A、B分别
A B
是电势为φ 、φ 的等势面，其过球心的截面如图所示．一束电荷量为－e(e>0)、质量为m
A B
的电子以不同的动能从偏转器左端M的正中间小孔垂直入射，进入偏转电场区域，最后到
达偏转器右端的探测板N.其中动能为E 的电子沿电势为φ 的等势面C做匀速圆周运动到
k0 C
达N板的正中间，到达N板左、右边缘处的电子，经过偏转电场前、后的动能改变量分别
为ΔE 和ΔE 电场的边缘效应、电子之间的相互影响均可忽略．下列判断正确的是(
k左 k右．
)
A．偏转器内的电场是匀强电场
B．等势面C处的电场强度大小为E＝4
C．到达N板左、右边缘处的电子，其中左边缘处的电势能大
D．|ΔE |>|ΔE |
k左 k右
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】匀强电场的特点是电场强度大小处处相等，方向相同，故A错误；电子做匀速圆
周运动的向心力由静电力提供，由题意可知 Ee＝，r＝，E ＝mv2，联立解得E＝4，故B
k0
正确；从左侧边缘出来的电子，静电力做正功，电势能减小，从右侧边缘出来的电子，静
电力做负功，电势能增大，故C错误；从左侧边缘出来的电子所处区域的电场线密集，平
均电场强度大，平均静电力做功多，故动能的改变量较大，故D正确．
【典例2提高题对应练习】(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的
半圆柱形带电导体极板(半径分别为R和R＋d)和探测器组成，其横截面如图(a)所示，点O
为圆心．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到 O点的距离成反比，方向指向O
点.4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器．不计重力．粒子1、2做圆周运动，
圆的圆心为O、半径分别为r 、r(Rm，可得mv 2<＝mv 2，粒子1入射时的
2 3 1
动能大于粒子3入射时的动能，故D正确．
考点四：带电粒子在交变电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在交变电场中运动的处理技巧：分段研究，化变为恒．
（1）粒子做偏转运动：一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公
式或者动能定理等求解。
（2）当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场力方
向的分运动可能具有周期性.
（3）可以作出粒子在某一方向上的v－t图象，借助图象、结合轨迹，使运动过程更直观。
转换思路如下：――→a－t图象――→v－t图象
题型一：带电粒子在方波电场中的偏转运动
【典例1提高题】(多选)如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有
一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v、电荷量为＋q、质量为m的粒子。在两板间
0
存在如图乙所示的交变电场，取竖直向下为电场正方向，不计粒子重力。以下判断正确的
是( )
9
学科网（北京）股份有限公司A．粒子在电场中运动的最短时间为
B．射出粒子的最大动能为mv
C．t＝时刻进入的粒子，从O′点射出
D．t＝时刻进入的粒子，从O′点射出
【典例1提高题】【答案】AD
【解析】由题图可知电场强度大小E＝，则粒子在电场中运动的加速度大小a＝＝，则粒
子在电场中运动的最短时间满足＝at，解得t ＝，选项A正确；能从板间射出的粒子在板
min
间运动的时间均为t＝，则任意时刻射入的粒子若能射出电场，射出电场时沿电场方向的速
度均为0，可知粒子射出电场时的动能均为mv，选项B错误；t＝＝时刻进入的粒子，在沿
电场方向的运动是先向下加速，后向下减速速度到零；然后向上加速，再向上减速速度到
零……如此反复，则最后射出时有沿电场方向向下的位移，即粒子将从O′点下方射出，故
C错误；t＝＝时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是先向上加速，后向上减速速度到零；
然后向下加速，再向下减速速度到零……如此反复，则最后射出时沿电场方向的位移为零
即粒子将从O′点射出，选项D正确。
【典例1提高题对应练习】图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，
电压u随时间t变化的图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v 沿中
0
线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述错误的是( )
A．t＝0时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大
B．t＝T时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最大
C．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向都水平
D．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】粒子在电场中运动的时间是相同的，t＝0时入射的粒子，在竖直方向先加速，然
10
学科网（北京）股份有限公司后减速，最后离开电场区域，故t＝0时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大，选项
A正确；t＝T时入射的粒子，在竖直方向先加速，然后减速，再反向加速，最后反向减速
离开电场区域，故此时刻射入的粒子离开电场时速度方向和中线在同一直线上，选项B错
误；因粒子在电场中运动的时间等于电场变化的周期T，根据动量定理，竖直方向电场力
的冲量的矢量和为零，故所有粒子离开电场时的竖直方向分速度为零，即最终都垂直电场
方向射出电场，离开电场时的速度大小都等于初速度，选项C、D正确。
题型二：带电粒子在锯齿波（正弦波）电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其
中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
【典例2提高题】如图所示，板长L＝30 cm的两金属板A、B平行正对，板间距离d＝2
cm，A、B间接u＝91sin (100πt) V交流电源．持续均匀的电子束以速度v＝3×107 m/s沿
0
着A板射入电场，若电子与金属板接触会被吸收，但对板间电压的影响可忽略．已知电子质
量m＝0.91×10－30 kg，电子电荷量q＝1.6×10－19 C，不计重力．求：
(1)交流电源的周期和电子穿过板间的时间；
(2)电子从B板边缘飞出电场时的板间电压；
(3)求飞出电场的电子占飞入电场的电子的百分比．
【典例2提高题】【答案】(1)0.02 s 10－8 s (2)45.5 V (3)16.7%
【解析】(1)交流电源电压的变化周期T＝＝＝0.02 s，电子沿极板方向的分速度不变，穿过
板间的时间t＝＝ s＝10－8 s
(2)穿过板间的时间远远小于交流电源电压的变化周期，可以认为电子穿过板间时两板之间
为匀强电场，电子从B板边缘飞出电场，有E＝，F＝qE，a＝，d＝at2，联立解得U＝45.5
V
(3)电子有半个周期向上偏转，被金属板A吸收，另外半个周期内部分电子能飞出电场
由于＝，arcsin ＝，所以这半个周期内有时间内有电子飞出电场，在一个完整的周期内，
有的电子飞出电场，占比16.7%.
【典例2提高题对应练习】一平行板电容器长l＝10 cm，宽a＝8 cm，板间距d＝4 cm，
在板左侧有一足够长的“狭缝”离子源，沿着两板中心平面，连续不断地向整个电容器射
入离子，它们的比荷均为2×1010 C/kg，速度均为4×106 m/s，距板右端l/2处有一屏，如
图甲所示，如果在平行板电容器的两极板间接上如图乙所示的交流电，由于离子在电容器
中运动所用的时间远小于交流电的周期，故离子通过电场的时间内电场可视为匀强电场．
试求：
(1)离子打在屏上的区域面积；
11
学科网（北京）股份有限公司(2)在一个周期内，离子打到屏上的时间．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)64 cm2 (2)0.012 8 s
【解析】(1)设离子恰好从极板边缘射出时极板两端的电压为U，水平方向：l＝vt①，竖
0 0
直方向：＝at2②，又a＝③，由①②③得U＝＝128 V，即当U≥128 V时离子打到极板上，
0
当U<128 V时离子打到屏上，利用推论：打到屏上的离子好像是从极板中心沿直线射到屏
上，由此可得：＝，解得y＝d，又由对称性知，打到屏上的总长度为2d，则离子打到屏上
的区域面积为S＝2da＝64 cm2.
(2)在前T，离子打到屏上的时间：t＝×0.005 s＝0.003 2 s，又由对称性知，在一个周期内，
0
打到屏上的总时间t＝4t＝0.012 8 s.
0
12
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