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第 10 讲 “板—块”＋“传送带”问题
——划重点之精细讲义系列
考点一 “板—块”模型
1．模型特点
上、下叠放两个物体，在摩擦力的相互作用下两物体发生相对滑动．
2．两种位移关系
滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若
滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运
动时，位移之和等于板长．
3．解题方法
整体法、隔离法．
4．解题思路
（1）审题建模：求解时，应先仔细审题，清楚题目的含义、分析清楚每一个物体
的受力情况、运动情况。
（2）求加速度：因题目所给的情境中至少涉及两个物体、多个运动过程，并且物
体间还存在相对运动，所以应准确求出各物体在各运动过程的加速度（注意两过程的
连接处加速度可能突变）。
（3）明确关系：对滑块和滑板进行运动情况分析，找出滑块和滑板之间的位移关
系或速度关系，建立方程。这是解题的突破口。特别注意滑块和滑板的位移都是相对
地的位移。求解中更应注意联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程
的初速度。
状态 板、块速度不相等 板、块速度相等瞬间 板、块共速运动
方法 隔离法 假设法 整体法
假设两物体间无相对滑动，先用整体法算 将滑块和木板看
对滑块和木板进行隔
出一起运动的加速度，再用隔离法算出其 成一个整体，对
离分析，弄清每个物
步骤 中一个物体“所需要”的摩擦力F；比较 整体进行受力分
体的受力情况与运动 f
F 与最大静摩擦力F 的关系，若F>F ， 析和运动过程分
过程 f fm f fm
则发生相对滑动 析
临界 ①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变②当木板的长度一定时，滑块可能
从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界
条件 条件
原理 时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等
【典例1】长为L＝1.5 m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】度v 从木板B的左端滑上长木板B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为
0
v＝0.4 m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了s＝8.0 cm后停下．若小物块A可视
为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ＝0.25，取g＝10 m/s2.求：
1
(1)木板与冰面的动摩擦因数μ；
2
(2)小物块A的初速度v；
0
(3)为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上木板的最大初速度v 应为
0m
多少？
解析 (1)小物块和木板一起运动时，受冰面的滑动摩擦力，做匀减速运动，则加
速度
a＝＝1.0 m/s2
由牛顿第二定律得μmg＝ma
2
解得μ＝0.10.
2
(2)小物块相对木板滑动时受木板对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，其加速度
a＝μg＝2.5 m/s2
1 1
小物块在木板上滑动，木板受小物块的滑动摩擦力和冰面的滑动摩擦力，做匀加
速运动，则有
μmg－μ(2m)g＝ma
1 2 2
解得a＝0.50 m/s2.
2
设小物块滑上木板经时间t后小物块、木板的速度相同为v，则
对于木板v＝at
2
解得t＝＝0.8 s
小物块滑上木板的初速度v＝v＋at＝2.4 m/s.
0 1
(3)小物块滑上木板的初速度越大，它在木板上相对木板滑动的距离越大，当滑动
距离等于木板长时，小物块到达木板B的最右端，两者的速度相等(设为v′)，这种情
况下小物块的初速度为保证其不从木板上滑落的最大初速度v ，则
0m
v t－at2－at2＝L
0m 1 2
v －v′＝at
0m 1
v′＝at
2
由以上三式解得v ＝3.0 m/s.
0m
答案 (1)0.10 (2)2.4 m/s (3)3.0 m/s
【典例2】质量为m＝20 kg、长为L＝5 m的木板放在水平面上，木板与水平面的
0
动摩擦因数为μ ＝0.15.将质量m＝10 kg 的小木块(可视为质点)，以v ＝4 m/s的速度
1 0
从木板的左端被水平抛射到木板上(如图所示)，小木块与木板面的动摩擦因数为 μ ＝
2
0.4(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)．则下列判断中正确的是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．木板一定静止不动，小木块不能滑出木板
B．木板一定静止不动，小木块能滑出木板
C．木板一定向右滑动，小木块不能滑出木板
D．木板一定向右滑动，小木块能滑出木板
解析：选A.木板与地面间的摩擦力为F ＝μ(m ＋m)g＝0.15×(20＋10)×10 N＝45
f1 1 0
N，小木块与木板之间的摩擦力为F ＝μmg＝0.4×10×10 N＝40 N，F >F ，所以木
f2 2 f1 f2
板一定静止不动；设小木块在木板上滑行的距离为x，v＝2μgx，解得x＝2 mv时，可能一直减速，
0
也可能先减速再匀速
情景二
(2)vv返回时速度为v，当
0
vv ，则物
物 传 物 传
体减速），直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够
长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速。
计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：①若二者同向，则Δs＝|s －s |；
传 物
②若二者反向，则Δs＝|s |＋|s |。
传 物
（3）求解水平传送带问题的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。
判断摩擦力时要注意比较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位
移x（对地）的过程中速度是否和传送带速度相等。物体的速度与传送带速度相等的时
刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
【典例1】(多选)如图所示，水平传送带以速度v 匀速运动，小物体P、Q由通过
1
定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t＝0时刻P在传送带左端具有速度v ，P与定滑轮间
2
的绳水平，t＝t 时刻P离开传送带．不计定滑轮质量和摩擦，绳足够长．正确描述小
0
物体P速度随时间变化的图象可能是( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 若v>v ，且P受到的滑动摩擦力大于Q的重力，则可能先向右匀加速，加
1 2
速至v 后随传送带一起向右匀速，此过程如图B所示，故B正确．若v>v，且P受到
1 1 2
的滑动摩擦力小于Q的重力，此时P一直向右减速，减速到零后反向加速．若v>v ，
2 1
P受到的滑动摩擦力向左，开始时加速度a ＝，当减速至速度为v 时，摩擦力反向，
1 1
若有F >μmg，此后加速度a＝，故C正确，A、D错误．
T 2
答案 BC
【典例2】如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v 运行．初速度大小为
1
v 的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带．若从小物块滑上传
2
送带开始计时，小物块在传送带上运动的 v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示．已
知v>v，则( )
2 1
A．t 时刻，小物块离A处的距离达到最大
2
B．t 时刻，小物块相对传送带滑动的距离最大
2
C．0～t 时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
2
D．0～t 时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
3
解析：选B.物块滑上传送带后将做匀减速运动，t 时刻速度为零，此时小物块离A
1
处的距离达到最大，选项A错误；然后在传送带滑动摩擦力的作用下向右做匀加速运
动，t 时刻与传送带达到共同速度，此时小物块相对传送带滑动的距离最大，选项 B
2
正确；0～t 时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右，选项C错误；t ～t 时间内小
2 2 3
物块不受摩擦力，选项D错误．
【典例3】(多选)如图所示，质量为m的物体用细绳拴住放在粗糙的水平传送带上，
物体距传送带左端的距离为L.当传送带分别以v 、v 的速度逆时针转动(v ＜v)，稳定
1 2 1 2
时绳与水平方向的夹角为θ，绳中的拉力分别为F ，F ；若剪断细绳时，物体到达左
1 2
端的时间分别为t、t，则下列说法正确的是( )
1 2
A．F＜F B．F＝F
1 2 1 2
C．t 一定大于t D．t 可能等于t
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析：选BD.绳剪断前物体的受力情况如图所示，由平衡条件得F ＋Fsin θ＝
N
mg，F＝μF ＝Fcos θ，解得F＝，F的大小与传送带的速度无关，选项A错误，B正
f N
确；绳剪断后m在两速度的传送带上的加速度相同，若L≤，则两次都是匀加速到达
左端，t＝t，若L＞，则物体在传送带上先加速再匀速到达左端，在速度小的传送带
1 2
上需要的时间更长，t＞t，选项C错误，D正确．
1 2
考点三 倾斜传送带问题
（1）滑块在倾斜传送带上运动常见的四个情景
项目 图示 滑块可能的运动情况
①可能一直加速
情景一
②可能先加速后匀速
①可能一直加速
情景二 ②可能先加速后匀速
③可能先以a 加速后以a 加速
1 2
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景三
③可能一直匀速
④可能先以a 加速后以a 加速
1 2
①可能一直加速
情景四 ②可能一直匀速
③可能先减速后反向加速
（2）物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：物体由底端向上运动，或
者由顶端向下运动。解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsin θ与μmgcos θ的大小和
方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况。
（3）求解倾斜传送带问题的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从
而确定其是否受到滑动摩擦力作用。如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和
方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动情况。当物体速度与传送带速度相等
时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【典例1】如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为 v＝10
m/s，在传送带顶端A处无初速度的释放一个质量为m＝0.5 kg的物体，已知物体与传
送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．
解析 (1)传送带顺时针转动时，物体相对传送带向下运动，则物体所受滑动摩擦
力沿斜面向上，相对传送带向下匀加速运动，根据牛顿第二定律有
mg(sin 37°－μcos 37°)＝ma
则a＝gsin 37°－μgcos 37°＝2 m/s2，
根据l＝at2得t＝4 s.
(2)传送带逆时针转动，当物体下滑速度小于传送带转动速度时，物体相对传送带
向上运动，则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下，设物体的加速度大小为a ，由牛顿
1
第二定律得
mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
1
则有a＝＝10 m/s2.
1
设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t ，位移为x ，则有t ＝＝
1 1 1
s＝1 s，
x＝at＝5 m＜l＝16 m.
1 1
当物体运动速度等于传送带速度瞬间，有mgsin 37°＞μmgcos 37°，则下一时刻物
体相对传送带向下运动，受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变．设当物
体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a，则a＝＝2 m/s2
2 2
x＝l－x＝11 m
2 1
又因为x＝vt＋at，
2 2 2
则有10t＋t＝11
2
解得t＝1 s(t＝－11 s舍去)
2 2
所以t ＝t＋t＝2 s.
总 1 2
答案 (1)4 s (2)2 s
【典例2】如图所示，A、B两个皮带轮被紧绷的传送皮带包裹，传送皮带与水平
面的夹角为θ，在电动机的带动下，可利用传送皮带传送货物．已知皮带轮与皮带之
间无相对滑动，皮带轮不转动时，某物体从皮带顶端由静止开始下滑到皮带底端所用
的时间是t，则( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定大于t
B．当皮带轮逆时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
C．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间可能等于t
D．当皮带轮顺时针匀速转动时，该物体从顶端由静止滑到底端所用时间一定小于t
解析：选D.传送带不动物体下滑时，物体受摩擦力向上，故加速度 a＝gsin θ－
μgcos θ； 当传送带向上运动时，摩擦力一定也是向上，而摩擦力的大小不变，故 a
不变，所以物体运动到B的时间不变，故A、B错误；当皮带向下运动时，物体受摩
擦力开始是向下的，故加速度开始一定增大，位移不变，故由A滑到B的时间小于t，
故C错误，D正确．
【典例3】如图所示为上、下两端相距 L＝5 m、倾角α＝30°、始终以v＝3 m/s的
速率顺时针转动的传送带(传送带始终绷紧)．将一物体放在传送带的上端由静止释放滑
下，经过t＝2 s到达下端，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)传送带与物体间的动摩擦因数多大？
(2)如果将传送带逆时针转动，速率至少多大时，物体从传送带上端由静止释放能
最快地到达下端？
解析：(1)物体在传送带上受力如图所示，物体沿传送带向下匀加速运动，设加速
度为a.
由题意得L＝at2
解得a＝2.5 m/s2
由牛顿第二定律得
mgsin α－F＝ma
f
又F＝μmgcos α
f
故μ＝0.29.
(2)如果传送带逆时针转动，要使物体从传送带上端由静止释放能最快地到达下端，
则需要物体有沿传送带向下的最大加速度即所受摩擦力沿传送带向下，设此时传送带
速度为v ，物体加速度为a′.
m
由牛顿第二定律得mgsin α＋F＝ma′
f
又v＝2La′
故v ＝＝8.66 m/s.
m
答案：(1)0.29 (2)8.66 m/s
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．(多选)如图所示是某工厂所采用的小型生产流水线示意图，机器生产出的物体
源源不断地从出口处以水平速度v 滑向一粗糙的水平传送带，最后从传送带上落下装
0
箱打包．假设传送带静止不动时，物体滑到传送带右端的速度为 v，最后物体落在P
处的箱包中．下列说法正确的是( )
A．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度小于v，物体仍落在P点
B．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v，物体仍落在P点
0
C．若传送带随皮带轮顺时针方向转动起来，且传送带速度大于v，物体仍落在P点
D．若由于操作不慎，传送带随皮带轮逆时针方向转动起来，物体仍落在P点
解析：选AD.若传送带静止，物体滑到传送带右端的过程中，物体一直减速，其
加速度a＝μg，v2－v＝2aL，当传送带顺时针转且速度小于v时，物体仍一直减速，到
达传送带右端速度仍为v，因而物体仍落在P点，A正确；当传送带顺时针转且速度大
于v 时，物体应先加速，因而到达右端时速度一定大于v，应落在P点右侧，B错误；
0
当传送带顺时针转且速度大于v时，物体在传送带上应先减速，当速度达到传送带速
度时便和传送带一起匀速运动，到达右端时速度大于v，应落在P点右侧，C错误；当
传送带逆时针转时，物体一直减速，到达右端时速度为v，仍落在P点，D正确．
2．如图所示，在水平桌面上叠放着质量均为M的A、B两块木板，在木板A的上
面放着一个质量为m的物块C，木板和物块均处于静止状态．A、B、C之间以及B与
地面之间的动摩擦因数都为μ.若用水平恒力F向右拉动木板A，使之从C、B之间抽出
来，已知重力加速度为g，则拉力F的大小应该满足的条件是(已知最大静摩擦力的大
小等于滑动摩擦力)( )
A．F＞μ(2m＋M)g B．F＞μ(m＋2M)g
C．F＞2μ(m＋M)g D．F＞2μmg
解析：选C.无论F多大，摩擦力都不能使B向右滑动，而滑动摩擦力能使C产生
的最大加速度为μg，故＞μg时，即F＞2μ(m＋M)g时A可从B、C之间抽出，选项C
正确．
3．如图所示，水平桌面由粗糙程度不同的 AB、BC两部分组成，且AB＝BC，小
物块P(可视为质点)以某一初速度从A点滑上桌面，最后恰好停在C点，已知物块经过
AB与BC两部分的时间之比为1∶4，则物块P与桌面上AB、BC部分之间的动摩擦因
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】数μ、μ 之比为(P物块在AB、BC上所做两段运动可看做匀变速直线运动)( )
1 2
A．1∶1 B．1∶4
C．4∶1 D．8∶1
解析：选D.设到达B点速度为v ，由于AB与BC段的位移相等，则有t ＝t ，其
1 1 2
中t∶t ＝1∶4，故v ＝，AB段的加速度为a ＝＝－，BC段的加速度为a ＝＝－，根
1 2 1 1 2
据牛顿第二定律得，AB段－μmg＝ma ，BC段－μmg＝ma ，解得μ∶μ ＝a∶a ＝
1 1 2 2 1 2 1 2
8∶1，故选项D正确．
4．一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为m ＝1 kg和m ＝2
A B
kg的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因数都为μ＝0.2，水平恒力F作用在A
物块上，如图所示(重力加速度g取10 m/s2)．则( )
A．若F＝1 N，则物块、木板都静止不动
B．若F＝1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N
C．若F＝4 N，则B物块所受摩擦力大小为4 N
D．若F＝8 N，则B物块的加速度为1 m/s2
解析：选D.物块A的滑动摩擦力为F ＝μm g＝2 N，物块B的滑动摩擦力为F ＝
fA A fA
μm g＝4 N．若F＝1 N<2 N，则两物块相对木板静止不动，而木板向左加速运动，A
B
错误；若F＝1.5 N<2 N，对两木块与木板整体由牛顿第二定律得共同加速度为 a＝＝
m/s2＝0.5 m/s2，对A有F－F＝m a，解得F＝1 N，B错误；当F＝4 N>2 N时，木块
f A f
A与木板相对滑动，此时木板和 B的加速度为a＝＝1 m/s2，此时B物块所受摩擦力大
小为F＝m a＝2 N，C错误；同理若F＝8 N，木块A与木板相对滑动，此时木板和B
f B
的加速度为a＝＝1 m/s2，D正确．
5．(多选)如图所示，用皮带输送机将质量为M的物块向上传送，两者间保持相对
静止，则下列关于物块所受摩擦力F 的说法正确的是( )
f
A．皮带传送的速度越大，F 越大
f
B．皮带加速运动的加速度越大，F 越大
f
C．皮带速度恒定，物块质量越大，F 越大
f
D．F 的方向一定与皮带速度方向相同
f
解析：选BC.若物块匀速运动，由物块的受力情况可知，摩擦力 F＝Mgsin θ，与
f
传送带的速度无关，A项错误；物块质量M越大，摩擦力F 越大，C项正确；皮带加
f
速运动时，由牛顿第二定律可知，F－Mgsin θ＝Ma，加速度a越大，摩擦力F 越大，
f f
B项正确；若皮带减速上滑，则物块所受摩擦力方向有可能沿皮带方向向下，D项错
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】误．
6．一小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞行的子弹击中并从
物块中穿过，如图甲所示．固定在传送带右端的位移传感器记录了小物块被击中后的
位移x随时间的变化关系如图乙所示(图象前3 s内为二次函数，3 s～4.5 s内为一次函
数，取向左运动的方向为正方向)．已知传送带的速度v 保持不变，g取10 m/s2.
1
(1)求传送带速度v 的大小；
1
(2)求零时刻物块速度v 的大小；
0
(3)在图丙中画出物块对应的v－t图象．
解析：(1)由x－t的图象可知，物块被击穿后，先向左减速，2 s末减到v＝0，然
后向右加速，3 s末后与传送带共速v＝＝2 m/s，以后随传送带一起做匀速运动．
1
(2)2 s～3 s内，物块向右匀加速运动，加速度大小a＝μg，v＝aΔt
1 1
0～2 s内，物块向左匀减速运动，加速度大小a＝μg
解得零时刻物块的速度v＝aΔt＝4 m/s.
0 2
(3)根据x－t的图象分析得到的运动规律用v－t图象画出如图所示．
答案：(1)2 m/s (2)4 m/s (3)见解析图
7．如图甲所示，足够长的水平传送带以 v ＝2 m/s的速度匀速运行．t＝0时，在
0
最左端轻放一个小滑块，t＝2 s时传送带突然制动停下. 已知滑块与传送带之间的动摩
擦因数为μ＝0.2, g＝10 m/s2.在图乙中，关于滑块相对地面运动的v－t图象正确的是(
)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析：选D.滑块放在传送带上受到滑动摩擦力作用做匀加速运动，a＝μg＝2
m/s2，滑块运动到与传送带速度相同时需要的时间t＝＝1 s，然后随传送带一起匀速运
1
动的时间t ＝t－t ＝1 s，当传送带突然制动停下时，滑块在传送带摩擦力作用下做匀
2 1
减速运动直到静止，a′＝－a＝－2 m/s2，运动的时间t ＝1 s，所以速度—时间图象对
3
应D选项．
8．(多选)如图所示，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为 M 和M
1 2
的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块．开始时，各物
均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F 、F ，当物块和木板分离时，两木板的速
1 2
度分别为v 和v，物体和木板间的动摩擦因数相同，下列说法正确的是( )
1 2
A．若F＝F，M＞M，则v＞v
1 2 1 2 1 2
B．若F＝F，M＜M，则v＞v
1 2 1 2 1 2
C．若F＞F，M＝M，则v＞v
1 2 1 2 1 2
D．若F＜F，M＝M，则v＞v
1 2 1 2 1 2
解析：选BD.若F ＝F ，M>M ，且假设M 远大于M ，则可认为M 不动，则物
1 2 1 2 1 2 1
体在M 上运动的时间会小于在M 上运动的时间，又木板的加速度a＝，故a ＜a ，所
1 2 1 2
以v ＜v ，A错误；同理可判断B正确；若 F>F ，M ＝M ，则在M 上的物块的加速
1 2 1 2 1 2 1
度较大，而两板的加速度大小相同，所以在M 上的物块在板上的运动时间较短，所以
1
v＜v，C错误；同理可判断D正确．
1 2
9．(多选)如图所示为粮袋的传送装置，已知AB间长度为L，传送带与水平方向的
夹角为θ，工作时其运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工
人在A点将粮袋放到运行中的传送带上，关于粮袋从 A到B的运动，以下说法正确的
是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．粮袋到达B点的速度与v比较，可能大，也可能相等或小
B．粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcos θ)，若L足够大，则以后将一定以速
度v做匀速运动
C．若μgsin θ
解析：选AC.开始时，粮袋相对传送带向上运动，受重力、支持力和沿传送带向
下的摩擦力，由牛顿第二定律可知，mgsin θ＋μF ＝ma，F ＝mgcos θ，解得 a＝gsin
N N
θ＋μgcos θ，B错误；粮袋加速到与传送带相对静止时，若 mgsin θ>μmgcos θ，即当
μ
