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知识点 51：应用三大观点解决滑块与轻弹簧碰撞问题
【知识思维方法技巧】
滑块与弹簧碰撞模型的特点：
（1）动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒．
（2）机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
（3）弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当
于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
（4）弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（相当于刚完成弹性碰撞）．
考点一：滑块与含弹簧滑块碰撞模型
【知识思维方法技巧】
①两小球速度相同时(相当于完全非弹性碰撞)，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：mv＝(m＋m)v，能量守恒：mv2＝(m＋m)v2＋E
1 0 1 2 1 0 1 2 pm
②弹簧恢复原长时(相当于完全弹性碰撞)，动量守恒：mv＝mv＋mv，能量守恒：mv2
1 0 1 1 2 2 1 0
＝mv2＋mv2，恢复原长时，v＝v，v＝v；
1 1 2 2 1 0 2 0
题型一：水平面运动模型
【典例1基础题】如图所示，质量为M的物块甲，以速度v沿光滑水平地面向前运动，连
0
接有轻弹簧、质量为m的物块乙静止在正前方，物块甲与弹簧接触后压缩弹簧，则下列判
断错误的是( )
A.仅增大v，弹簧的最大压缩量增大
0
B.仅增大m，弹簧的最大压缩量增大
C.仅增大M，弹簧的最大压缩量增大
D.v一定，m＋M一定，弹簧的最大压缩量一定
0
【典例1基础题】【答案】D
【解析】根据动量守恒定律，有Mv ＝(m＋M)v，最大压缩量时对应的弹性势能E ＝Mv－
0 p
(m＋M)v2＝＝＝，根据弹性势能于压缩量之间的关系可知，A、B、C正确，D错误。
题型二：组合式运动模型
【典例2基础题】如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水
平地面在P点相切，一个质量为2m的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左端固定有
1
学科网（北京）股份有限公司水平轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的左端点，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙、动
摩擦因数为μ＝0.5，Q点右侧水平地面光滑，现将质量为m的物块A(可视为质点)从圆弧
轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g.求：
(1)物块A沿圆弧轨道滑至P点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A最终停止位置到Q点的距离．
【典例2基础题】【答案】(1)3mg (2)mgR (3)R
【解析】(1)物块A从静止沿圆弧轨道滑至P点，设物块A在P点的速度大小为v ，
P
由机械能守恒定律有：mgR＝mv，在最低点轨道对物块的支持力大小为F ，由牛顿第二定
N
律有：F －mg＝m，联立解得：F ＝3mg，由牛顿第三定律可知物块对轨道P点的压力大
N N
小为3mg.
(2)设物块A与弹簧接触前瞬间的速度大小为 v ，由动能定理有mgR－μmgR＝mv－0，解
0
得v ＝，当物块A、物块B具有共同速度v时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有：
0
mv＝(m＋2m)v，mv＝(m＋2m)v2＋E ，联立解得E ＝mgR.
0 pm pm
(3)设物块A与弹簧分离时，A、B的速度大小分别为v、v，规定向右为正方向，则有
1 2
mv ＝－mv ＋2mv ，mv＝mv＋(2m)v，联立解得：v ＝，设A最终停在Q点左侧距Q点x
0 1 2 1
处，由动能定理有：－μmgx＝0－mv，解得x＝R.
考点二：滑块与弹簧连接体碰撞模型
题型一：弹簧连接体两端滑块的压缩（伸长）模型
【典例1基础题】A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的
质量分别为m和M(m<M)．若使A球获得瞬时速度v(如图甲)，弹簧压缩到最短时的长度
为L ；若使B球获得瞬时速度v(如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L ，则L 与L 的大
1 2 1 2
小关系为( )
A．L>L B．L<L
1 2 1 2
C．L＝L D．不能确定
1 2
【典例1基础题】【答案】C
【解析】当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取 A的初速度方向为正方向，
2
学科网（北京）股份有限公司由动量守恒定律得：mv＝(m＋M)v′，由机械能守恒定律得：E ＝mv2－(m＋M)v′2 ，联
p
立解得弹簧压缩到最短时E ＝，同理：对题图乙取B的初速度方向为正方向，当弹簧压缩
p
到最短时有：E ＝，故弹性势能相等，则有：L＝L，故A、B、D错误，C正确．
p 1 2
题型二：滑块与弹簧连接体水平式碰撞模型
【典例2基础题】如图所示，水平地面上A、B两个木块用轻弹簧连接在一起，质量分别
为2m、3m，静止时弹簧恰好处于原长。一质量为m的木块C以速度v水平向右运动并与
0
木块A相撞。不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，则碰后弹簧的最大弹性势能不可
能为( )
A.mv B.mv
C.mv D.mv
【典例2基础题】【答案】A
【解析】当C与A发生弹性正碰时，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 mv ＝mv ＋
0 1
2mv ，mv＝mv＋×2mv，联立解得v ＝v ，当A、B速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共
2 2 0
同速度为v，以A的初速度方向为正方向，则由动量守恒定律得2mv ＝(2m＋3m)v，得v＝
2
v 。由机械能守恒定律可知，弹簧的最大弹性势能为E ＝×2mv－×5mv2，解得E ＝mv；当
0 p p
C与A发生完全非弹性正碰时，根据动量守恒定律有mv ＝3mv ′，当A、B、C速度相等时
0 1
弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v′，则由动量守恒定律得3mv ′＝6mv′。由机械能守恒
1
定律可知，弹簧的最大弹性势能为E ＝×3mv ′2－×6mv′2，解得E ＝mv，由此可知碰后弹
p 1 p
簧的最大弹性势能范围是mv≤E ≤mv，故选A。
p
【典例2基础题对应练习】两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于
原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上向右运动，质量为4 kg的物
块C静止在B的右边，如图所示．已知B与C碰撞后二者会粘在一起运动．求：
（1）当弹簧的弹性势能最大时，A的速度；
（2）系统中弹性势能的最大值．
【典例2基础题对应练习】【答案】(1)3 m/s (2)12 J
【解析】(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，根据A、B、C三者组成
的系统动量守恒，取向右为正方向，有(m ＋m )v＝(m ＋m ＋m )v ，代入数据解得v
A B A B C ABC ABC
3
学科网（北京）股份有限公司＝3 m/s.
(2)B、C碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰撞后瞬间B、C的共同速度为v ，则有
BC
m v＝(m ＋m )v 代入数据解得v ＝2 m/s，当A、B、C三者的速度相等时，弹簧的弹性
B B C BC BC
势能最大，设为E ，在B、C碰撞后，A与B、C组成的系统通过弹簧相互作用的过程中机
p
械能守恒．根据机械能守恒定律得E ＝(m ＋m )v＋m v2－(m ＋m ＋m )v＝12 J.
p B C A A B C
题型三：滑块与弹簧连接体斜面式及竖直式碰撞模型
【典例3基础题】如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量均为m的小车A和B，两车
之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v向右运动，另有一质量为m的黏性物体，从高
0
处自由落下，正好落在A车上，并与之粘合在一起，粘合之后的运动过程中，弹簧获得的
最大弹性势能为( )
A．mv B．mv
C．mv D．mv
【典例3基础题】【答案】C
【解析】黏性物体落在A车上，由动量守恒有mv ＝2mv ，解得v ＝，之后整个系统动量
0 1 1
守恒，当系统再次达到共同速度时，有2mv ＝3mv ，解得v ＝，此时弹簧获得的弹性势能
0 2 2
最大，最大弹性势能E ＝mv＋×2m－×3m＝mv，所以C正确．
p
【典例3基础题】(多选)如图，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系一圆盘A，处于静止状
态．一圆环B套在弹簧外，与圆盘A距离为h，让环自由下落撞击圆盘，碰撞时间极短，
碰后圆环与圆盘共同向下开始运动，下列说法正确的是( )
A．整个运动过程中，圆环、圆盘与弹簧组成的系统机械能守恒
B．碰撞后环与盘一起做匀加速直线运动
C．碰撞后环与盘一块运动的过程中，速度最大的位置与h无关
D．从B开始下落到运动到最低点过程中，环与盘重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的
增加量
【典例3基础题】【答案】CD
【解析】圆环与圆盘碰撞过程，时间极短，内力远大于外力，系统总动量守恒，由于碰后
4
学科网（北京）股份有限公司速度相同，为完全非弹性碰撞，机械能不守恒，故A错误；碰撞后环与盘一起向下运动过
程中，受重力和弹簧弹力，由于弹力增大，整体受到的合力变化，所以加速度变化，故 B
错误；碰撞后平衡时，有kx＝(m＋M)g，即碰撞后新平衡位置与下落高度h无关，故C正
确；从B开始下落到运动到最低点过程中，环与盘发生完全非弹性碰撞，有能量损失，故
环与盘重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．
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