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秘籍07 碰撞类问题与动量守恒的综合应用
【解密高考】
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【题型二】 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型
【题型三】悬绳模型
【题型四】“滑块—木板”模型
【题型五】“子弹打木块”模型
：高考对动量守恒定律及其应用的考查主要集中在“碰撞”类问题，主要考查方式有两种：
（1）以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；（2）以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运运用。
：掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守
恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
【题型一】“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和
除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展
模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
【例1】如图所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，A 与轻弹簧相连，C 沿水平面以一定初速度向右运
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动，与B 碰后粘在一起，二者向右运动一小段距离后与弹簧接触，一段时间后与弹簧分离，则（ ）
A．A 加速过程中，加速度越来越大
B．A、B、C 共速时，B 所受合力为0
C．A、B、C 共速时，弹簧弹性势能最大
D．B、C 碰撞过程中，B、C 系统机械能守恒
“弹簧类”模型的解题思路
(1)系统的动量守恒。
(2)系统的机械能守恒。
(3)应用临界条件：两物体共速时，弹簧的弹性势能最大。
【变式1】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，与静止的带轻质弹簧的小球B
发生正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图乙所示，
时刻图线的切线斜率最大，
此时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球A、B 的直径相同，则（ ）
A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【变式2】（多选）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B 用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原
长。t = 0 时，A 以水平向左的初速度v0开始运动，B 的初速度为0，A、B 运动的v − t 图像如图乙所示。已
知A 的质量为m，0 ~ t0时间内B 的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（ ）
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A．B 的质量为2m
B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为
D．橡皮绳的原长为v0t0
【题型二】“光滑圆弧轨道＋滑块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m 与M 具有共同水平速度v 共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，
mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模
型)。
(2)最低点：m 与M 分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰
撞拓展模型)。
【例1】（多选）如图所示，质量为M 的四分之一光滑圆弧滑块下端与光滑水平面相切。给质量为m 的小
球一水平向右的初速度，如果圆弧滑块固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为
R （R 为圆弧的
半径），如果圆弧滑块不固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为
R。重力加速度为g，下列说
法正确的是（ ）
A．小球的初速度大小为
B．M=2m
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点的过程中，水平位移为R
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终的速度大小为
【例2】如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ 是以O 为圆心、半径为R 的四分之一光
滑圆弧轨道，左端P 与平台等高且平滑对接（不粘连）。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方
向上小球与小车的速度大小分别为
，作出
图像，如图乙所示。已知P 点距地面高
，重力
加速度为g，则（ ）
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A．小车质量是小球质量的2 倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为R
D．小球落地时与小车左端P 点的水平距离为2R
【变式1】（多选）如图，小车的上面固定一个光滑弯曲圆管道，整个小车（含管道）的质量为m，原来
静止在光滑的水平面上。有一个可以看做质点的小球，质量也为m，半径略小于管道半径，以水平速度v
从左端滑上小车，小球恰好能到达管道的最高点，然后从管道右端滑离小车。不计空气阻力，关于这个过
程，下列说法正确的是（ ）
A．小球滑离小车时，小车回到原来位置
B．小球滑离小车时的速度大小为v
C．到达最高点时小球上升的竖直高度为
D．小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，小车所受合外力冲量大小为
【变式2】（多选）如图，水平地面上有一质量为m 的“
”形木板A，其水平部分表面粗糙，长度
为2R，
圆弧部分的半径为R、表面光滑，两部分平滑连接。现将质量也为m、可视为质点的滑块B 从圆
弧的顶端由静止释放。若地面粗糙，滑块B 恰好能滑到此木板的最左端，此过程中木板A 始终处于静止状
态，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．此过程中，A 对水平地面的最大压力为4mg B．B 与A 水平部分上表面的动摩擦因数为0.2
C．若水平地面光滑，滑块B 将从木板A 的左端滑出D．若水平地面光滑，A 向右运动的最大位移为
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1.5R
【变式3】（多选）质量为
的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静
止释放一质量为
、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动
过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为
。下列说法正确的是
（ ）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．
时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．
时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【题型三】悬绳模型
悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守
恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。
【例1】（多选） 如图所示，质量为0.3kg 的滑块套在水平固定的光滑轨道上，质量为0.2kg 的小球（视为
质点）通过长为0.75m 的轻杆与滑块上的光滑轴O 连接，可绕O 点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静
止，轻杆处于水平状态。小球以3m/s 竖直向下的初速度
开始运动，g 取
，则（ ）
A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块向右移动了0.30m
B．小球第一次到达最低点时，滑块的速度大小为2m/s
C．小球第一次到达最低点时，轻杆对小球的拉力为5.84N
D．小球相对于初始位置可以上升的最大高度为0.45m
【例2】质量为2m 的物体A 穿在光滑的水平杆上，用长为L 的细绳与质量为m 的小球B 相连，如图甲所
示，初始时A、B 在同一水平面上（细绳平行于水平杆），且细绳刚好拉直，将小球B 由静止释放，当细
绳刚好竖直、小球B 运动到最低点时绳子恰好绷断，已知A、B 均可视为质点，重力加速度为g，求：
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(1)小球B 运动到最低点时，物体A 的速度大小以及A 相对于初始位置运动的距离；
(2)细绳的最大张力；
(3)以A 物体的初始位置为坐标原点建立如图乙所示平面直角坐标系xOy，求出绳断之前小球B 运动的轨迹
方程。
【变式1】如图所示，轻杆两端分别系着质量为
的圆环A 和质量为
的小球B，轻杆与A
的连接处有光滑铰链，轻杆可以绕铰链自由转动，A 套在光滑的水平固定横杆上且能自由滑动，A、B 静止
不动时B 球恰好与光滑地面接触，在B 的左侧是半径为
的
圆弧，质量为
的小球C 以
的速度向左与B 球发生正碰，已知碰后C 小球恰好能做平抛运动，小球B 在运动过程中恰好能与
横杆接触。重力加速度取
，则：
(1)碰后C 球平抛的水平位移大小；
(2)碰后瞬间B 球的速度大小；
(3)A、B 间轻杆的长度。
【变式2】质量均为
的木块
和
，并排放在光滑水平面上，如图所示。
上固定一竖直轻杆，轻杆
上端的
点系一长为的细线，细线另一端系一质量也为
的球
。现将球
拉起使细线水平伸直，并由
静止释放球
。
(1)若木块
固定在水平面上，求球
向左摆动能达到的最大高度；
(2)若木块
不固定，求球
第一次摆到最低点时球
的位移大小。
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【题型四】“滑块—木板”模型
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑块C（可视为质点）置于B 的右端，
三者质量均为
。A 以
的速度向右运动，B 和C 一起以
的速度向左运动，A 和B 发生碰撞后粘
在一起不再分开。已知A 和B 的长度均为0.75m，C 与A、B 间动摩擦因数均为0.5，则（ ）
A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6m
【例2】如图甲所示，质量为
的薄板
静止在水平地面上，质量为
的物块
静止在
的右端。
时刻对
施加一水平向右的作用力
，
的大小随时间的变化关系如图乙所示。已知
与
之间、
与地面之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
始终未脱离
。取
，
下列说法正确的是（ ）
A．
时，
与
发生相对滑动
B．
时，
的加速度大小为
C．
时，
的速度大小为
D．
时，
、
动量之和为
【变式1】（多选）如图所示，足够长的木板M 放在光滑水平面上，滑块N 放在木板上的左端，二者之
间接触面粗糙，水平地面的右侧固定一竖直挡板。木板M 和滑块N 以相同的速度水平向右运动，木板M
和挡板发生弹性碰撞，碰撞时间可忽略不计。以木板M 第一次与挡板发生碰撞的时刻为计时起点，水平向
右为正方向，以下描述木板M 和滑块N 的速度随时间变化规律的图像（用实线表示滑块N 的速度变化规律，
用虚线表示木板M 的速度变化规律）可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）如图甲所示，足够长的木板A 静止于光滑水平面上，t=0 时小物块B 以4m/s 的水平初
速度从左端滑上A，图乙为A 的动能Ek随时间t 变化的关系图像，t=0.4s 后图线为平行于t 轴的直线。已知
A、B 间的动摩擦因数为0.5，g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．t=0.4s 时A、B 速度相同
B．B 的质量为2.0kg
C．A 的长度至少为1.0m
D．整个过程系统因摩擦产生的内能为4.0J
【变式3】质量为
的长木板A 在光滑水平面上以
的速度向左运动，某时刻质量为
的小木块B 以
的速度从左端向右滑上长木板，经过时间
小木块B 相对A 静止，
求：
(1)两者相对静止时的运动速度。
(2)从木块滑上木板到相对木板静止的过程中，木板A 的动量变化量的大小。
(3)小木块与长木板间的动摩擦因数
。
“滑块—木板”模型的解题思路
(1)系统的动量守恒。
(2)在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。
(3)在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。
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(4)在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。
(5)滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度。
【题型五】“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v；
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。
【例1】如图所示，光滑的地面上有一个木块C，C 上面通过一个弹性棒连接木块B，弹性棒可以弯曲但不
改变长度。开始弹性棒处于竖直状态，一颗子弹A 以水平初速度
射入B 但没有穿出，射入过
程时间极短，之后 AB 整体在弹性棒上面反复左右摇摆。已知
，
，
，整
个运动过程C 始终没有脱离地面且没有翻倒，下列说法正确的是（ ）
A．子弹A 射入木块B 过程中AB 系统机械能守恒
B．弹性棒向右弯曲最大时AB 整体的速度为
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小等于子弹射入木块B 之后系统减少的动能
D．弹性棒第一次回到竖直状态时C 的速度大小为
【例2】（多选）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两完全相
同的钢板A、B 厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B 焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m 的
子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B 间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平
射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重
力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
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A．第一次子弹穿过A、B 所用时间之比为
B．第二次子弹能击穿两钢板
C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B 的深度为
D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
【变式1】如图所示，在有圆孔的水平支架上放置一物块，子弹从圆孔下方以大小为
的速度竖直向上击
中物块并留在物块中。已知子弹的质量为
，物块的质量为
，重力加速度大小为
。物块（含子弹）
在空中运动时所受阻力大小为它们所受总重力的
。子弹与物块相对运动的时间极短，不计物块厚度的影
响，求：
(1)子弹在物块中相对物块运动的过程中，系统损失的机械能；
(2)物块（含子弹）落回支架前瞬间的速度大小。
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