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大题03 功能关系与能量守恒定律
功能关系与能量守恒定律多与动力学、动量结合，常出现多物体/多过程问题（如2024 年黑吉辽卷
两个连接的物体经过弹簧弹出→平抛→水平面滑行停止过程；2023 年辽宁卷飞机在水面上由静止→匀
加速直线运动→离开水面匀速飞行），且大部分题目需先通过牛顿定律分析运动过程（如加速度、速
度变化），再应用能量守恒计算。题目综合能力较强，备考时要进行多过程拆解训练，将复杂问题分
解为“加速—碰撞—减速”等阶段，逐一应用功能关系与动量守恒进行计算。
题型一 直线运动中的能量问题
【例1】（2024·黑龙江·三模）风洞是测试飞机性能、研究流体力学的一种必不可
少的重要设施，我国的风洞技术处于世界领先地位。某次风洞实验可提供恒定的水平风力，如图所示，
一小球先后经过A、B 两点时的速度大小分别为v 和
，其中在A 点的速度水平向右，在B 点的速度
竖直向下。已知A、B 连线长为d，小球质量为m。（重力加速度g 未知）求：小球从A 点运动到B 点
的过程中。
1
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（1）所用的时间t；
（2）最小的动能Ek；
（3）损失的机械能
。
直线运动中的能量分析
1、斜面模型：物体冲上（滑下）斜面或者在外力作用下沿斜面运动，若斜面粗糙，从做功角度看，涉及
到外力、重力、摩擦力对物体做功；从能量角度看，涉及到重力势能、动能和热量的相互转化。
（1）冲上（滑下）斜面
冲上斜面过程中：动能转化为内能和重力势能，重力做功为
；下滑过程中重力势能转化
为内能和动能，重力做功为
。
克服摩擦力做功转化为内能，即
，物块动能变化量为
。
（2）物体受外力沿粗糙斜面上滑
重力对物体做负功：
，物体重力势能增加
，增加的重力势能等于物体克服
重力做的功。克服摩擦力做功转化为内能，即
。合外力对物体做正功，增加的动
能等于合外力做的功，
。
2、板块模型
木板静止在光滑水平面，物块滑上粗糙的木板，恰好共速或物块刚好不滑离木板。
2
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对物体有
；对木板有
；
对系统有
。
1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示为某工厂的货物传送装置，倾斜传送带AB 与一斜面BC 平滑连接，
AB、BC 与水平面夹角均为37°角，B 点到C 点的距离为
，传送带顺时针运行，速度恒为
，传送带长为
。现将一质量为
的小货物（可视为质点）轻轻放于A 点，小货
物恰好能到达C 点。已知小货物与传送带间的动摩擦因数
，取
，
，
重力加速度g 取10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）小货物从A 点运动到B 点所经历的时间；
（2）小货物与斜面间的动摩擦因数
；
（3）传送带因传送该货物而多消耗的电能。
2．（24-25 高一上·贵州安顺·期末）如图甲是消防逃生滑道，可简化为乙图所示的斜面。某逃生滑道的倾
3
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角为
，高度
，人与滑道间动摩擦因数
。逃生时人从滑道顶端A 处由静止开始滑
下，不计空气阻力，人可视为质点，重力加速度大小为
。
（1）在图乙中
处画出人下滑过程中的受力示意图，并求出下滑加速度
的大小；
（2）求人滑到斜面底端
处时速度的大小和下滑过程所用的时间；
（3）为了保障最高安全性，应使人滑到
处时速度正好为零。可把滑道分成等长的两段，即
。
段动摩擦因数仍然为
，求
段动摩擦因数
；
（4）随着新材料新工艺的发展，人们制成了动摩擦因数
与滑动位移
成正比的特殊材料滑道，如图
丙所示，已知
。若采用该特殊材料的滑道，人从A 点静止滑到C 点，求人滑到C 点时的速度
大小。
3．（2025·河南信阳·二模）图甲为某学生的书桌抽屉。已知抽屉的质量
kg，长度
m，其中
放有质量
kg，长
m 的书本，书本的四边与抽屉的四边均平行。书本的右端与抽屉的右端
相距也为s，如图乙所示。不计柜体和抽屉的厚度以及抽屉与柜体间的摩擦，书本与抽屉间的动摩擦因
4
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数
。现用水平力F 将抽屉抽出，抽屉遇到柜体的挡板时立即锁定不动。重力加速度
m/s2。
（1）
N 时，书本和抽屉一起向右运动，求与挡板碰前瞬间抽屉的速度大小v；
（2）
N 时，求书本最终停止时，书本和抽屉因摩擦产生的内能
。
4．（24-25 高三上·安徽宿州·期末）如图甲所示，轻质弹簧竖直固定在水平面上，上端与木板A 相连，物
块B 置于木板A 上，F=60N 的力竖直向下作用在B 上使系统处于静止状态。撤去外力F 后，B 竖直上
升至最高点P 处时AB 间压力恰好为零，上升高度h1=0.6m。现将小球C 置于弹簧上端，用外力将弹簧
压至与图甲相同状态，如图乙所示。随后撤去外力，当C 球上升至高度h2的Q 点时，C 球恰好进入竖
直向下运动的足够长竖直圆管内（圆管此时速度v=3m/s）。已知C 球与圆管之间的滑动摩擦力f=5N，
mA=2kg，mB=4kg，mC=1kg，h2=1.8m，圆管质量M=0.2kg。圆管全程处于竖直状态，不计空气阻力，g
取10m/s2。求：
（1）图甲中，当撤去力F 时，A 对B 的支持力大小；
（2）图乙中，C 球自释放到上升至最高点的过程中，系统因摩擦产生的内能ΔU 内及C 球距释放点N 上
升的最大高度H。
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题型二 曲线运动中的能量问题
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，粗糙水平面NQ 右侧固定一个弹性挡板，
左侧在竖直平面内固定一个半径
、圆心角
的光滑圆弧轨道MN。半径ON 与水平面垂直，
N 点与挡板的距离
。可视为质点的滑块质量
，从P 点以初速度
水平抛出，
恰好在M 点沿切线进入圆弧轨道。已知重力加速度g 取
，
。
（1）求滑块经过N 点时对圆弧轨道的压力大小；
（2）若滑块与挡板只发生一次碰撞且不能从M 点滑出轨道，求滑块与水平面间的动摩擦因数
的取值
范围。
曲线运动中的能量分析
1、斜抛运动（到达最高点时，动能最小）
能量关系式：
.
2、竖直方向上的圆周运动（不脱离圆轨道）
（1）能做完整的圆周运动
6
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若轨道光滑：
； 若轨道粗糙：
.
（2）只在下半圆周上运动
若轨道光滑：
；若轨道粗糙：
.
1．（2025·贵州毕节·一模）如图，质量为1kg 的小车右端紧靠竖直墙面而不粘连，小车上表面固定着一
“7”字形轻杆（高度超过1m），长为1m 的轻绳一端固定在轻杆上的O 点，另一端连着质量为0.5kg 的
小球，整个系统静置于光滑水平地面上。向右拖动小球，使轻绳与竖直方向的夹角为
并由静止释放，
不计空气阻力，重力加速度g 取
。求：
（1）小球第一次运动至最低点时速度的大小；
（2）小球运动至左端最高点时相对于最低点的高度。
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2．（24-25 高三上·云南红河·阶段练习）2024 年夏天，我国奥运健儿在第33 届夏季奥运会上摘得40 枚金
牌，取得参加境外奥运会的史上最好成绩，邓雅文获得自由式小轮车女子公园赛金牌。邓雅文比赛中
的一段赛道简化为半径为
的圆弧形光滑轨道AB 和水平轨道BC，轨道AB 与水平地面相切，A 为
圆弧轨道的最低点，AB 所对应的圆心角为
，如图所示。邓雅文（含小轮车）无动力地从A 点以
的速度冲上圆弧形轨道AB，从B 点冲出轨道，又从C 点落回轨道。若邓雅文（含小轮车）
可视为质量为
的质点，不计空气阻力，取
，
。重力加速度
。
求：
（1）邓雅文（含小轮车）经过B 点时对轨道的压力大小；
（2）BC 之间的距离。
3．（2024·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角
的直轨道
，半径
、圆心角为
的圆弧
，半径为
，圆心角为
的圆弧
组成，轨道末端的
点为圆弧的
最高点，轨道间平滑连接。质量
的物块
从轨道
上高度
处以初速度
下滑，经圆
弧轨道
滑上轨道
。物块
与轨道
间的动摩擦因数
，其余轨道光滑。（不计空气阻力，
物块
视为质点，
，
，
）
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（1）若初速度
，求物块
第一次通过
点时速度大小
；
（2）若初速度
，求物块
在轨道
上运动的总路程；
（3）若物块
沿轨道
从
点滑出，
应满足什么条件？
4．（2024·湖北·模拟预测）如图所示为固定在竖直平面内半径为R = 1 m 的半圆形粗糙轨道，A 为最低点，
B 为圆心等高处，C 为最高点。一质量为m = 1 kg 的遥控小车（可视为质点）从A 点水平向右以v0 = 8
m/s 无动力进入轨道，上升高度为H = 1.8 m 时脱离轨道，重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求：
（可保留根号或π 的形式，或对应结果保留1 位小数）
（1）小车脱离轨道时的速度大小；
（2）小车从A 至脱离过程克服摩擦力所做的功；
（3）开启动力后，小车以v0 = 8 m/s 匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力
的k = 0.25 倍，求小车从A 到C 过程中电动机做的功。
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题型三 连接体中的能量问题
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面
对称固定在水平地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均
为2m 的滑块B、C，质量为m 的物块A 悬挂在细绳上的O 点，O 点与两滑轮的距离均为l。先托住A，
使两滑轮间的细绳呈水平状态，然后将A 由静止释放。A 下落过程中未与地面接触，B、C 运动过程中
均未与滑轮发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，
，
。求：
（1）物块A 下落的最大高度H；
（2）从A 开始下落直至结点O 两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A 机械能的变化量。
连接体中的能量转化分析
类型
图示
条件
思路
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轻绳模型
忽略空气阻力和各
种摩擦，静止释放
两物体速度大小相等，单个物体的机械能不
守恒，系统的机械能守恒。小球B 减少的重
力势能转化为两小球增加的动能和小球A 增
加
的
重
力
势
能
，
即
轻杆模型
忽略空气阻力和各
种摩擦，一起沿斜
面运动下滑
平动时两物体沿杆的分速度大小相等，转动
时两物体的角速度相等。系统机械能守恒：
轻弹簧模型
忽略空气阻力和各
种摩擦，物体的速
度不一定沿弹簧轴
线方向
单个物体的机械能不守恒，但系统的机械能
守恒。列机械能守恒方程时，一般选用
的形式（但要注意
包括重
力势能和弹性势能的变化量）
1．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，倾角
的光滑斜面固定在水平面上，轻弹簧一端固定在斜
面底端的挡板
上，另一端与物块B 相连，不可伸长的细线一端固定在斜面上的
点，另一端绕过轻
滑轮
和定滑轮
连接物块A，物块B 与轻滑轮
相连。已知物块A、B 的质量分别为
，弹簧的劲度系数
，弹簧的弹性势能
（
为弹簧的形变量），
重力加速度
。开始时用手托着物块A 使其处于静止状态，此时细线恰好伸直但无作用力，然
后由静止释放物块A，在之后运动的过程中物块
未到达
点，物块A 未着地，弹簧始终在弹性限度
内，两物块A、B 均可视为质点。求：
（1）物块B 的最大速度；（结果可用根式表示）
（2）物块A 下降的最大距离。
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2．（2024·江苏徐州·三模）如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔
，细线穿
过小孔，将小球A、B、C 拴接。小球A 在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C 自然下垂处于静止状
态。已知小球A、B、C 的质量均为
，小球A 到小孔
的距离为
，重力加速度为
。
（1）求小球A 做圆周运动的速度大小
；
（2）剪断B、C 间细线瞬间，小球A 的加速度大小为
，求此时小球B 的加速度大小
；
（3）剪断B、C 间细线后，小球B 运动到最高点的过程中（小球B 未与板接触），细线对小球B 做的
功为
，求小球B 运动到最高点时小球A 的角速度大小
。
3．（2024·广西贺州·一模）向楼房的高层运输建筑材料时为了尽可能节省能量，小明同学设计了如图所示
的定滑轮装置。P 为质量为m 的待运输材料，Q 为与待运输材料质量相等的配重，距离地面的高度为
h。在Q 上加上一定质量的物块，P 将加速向上运动，当Q 落地后，P 将减速运动。不计定滑轮的重力、
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空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，为了使P 上升至
时速度恰好减小到零被工人接住。求：
（1）在Q 上加上的物块的质量
；
（2）P 加速上升时，固定定滑轮的N 处承受的拉力。
4．（2024·湖南邵阳·一模）如图，A、B 可看做质点的两个小球分别固定在轻杆的两端，整个装置静止靠
着竖直墙面，受轻微扰动后，B 球开始沿水平面向右运动，两球质量均为m，轻杆长为L，重力加速度
为g，两球始终在同一竖直面内，不计一切摩擦，只考虑A 球落地前的运动。
（1）当杆与水平面的夹角为
时（此时A 球还未离开竖直面），则此时A、B 两球速度的大小
、
分别为多少？（
）
（2）B 球运动过程中的最大速度
的大小为多少？此时地面对B 球的支持力
大小是多少？
（3）求A 球的最大速度
的大小和方向。（方向可用三角函数表示）
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题型四 弹簧中的能量问题
【例1】（2024·安徽合肥·二模）如图所示，小物块A 和B 通过轻质弹簧相连接，
竖直静置于水平地面上。若给小物块A 一竖直方向的瞬时冲量，其大小为
，随后B 恰好不能离开
地面。已知A、B 质量分别为
、
，弹簧的劲度系数
，弹簧始终处于弹性限度内，重
力加速度g 取
。
（1）从开始至B 恰好不离开地面的过程，求弹簧弹性势能的变化量；
（2）若用大小为
的竖直向上恒力作用于A，使之由静止开始运动，直至B 刚离开地面时，求A
的速度大小。
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弹簧不同阶段的能量转化关系
运动过程
临界状态分析
能量分析
物块C 与B 碰撞后一起
向右运动
B、C 在弹簧弹力作用下一起向右做
减速运动速度减为零时，弹簧压缩
量最大，弹力最大
B、C 与弹簧组成的系统机械能守
恒，物块B、C 的动能与弹簧的弹性
势能相互转化，动能最大时弹性势能
最小；弹性势能最大时，动能最小
物块B、C 从速度为零
开始向左加速至B、C
分离前瞬间
B、C 在弹簧弹力作用下相一起向左
做加速运动，弹弹簧恢复原长时，
B、C 最速度最大，A 即将离开右侧
挡板
弹簧恢复原长后B、C
分离，C 向左匀速运
动，B 向左减速运动，
A 向左加速运动
B、C 分离后，A、B 共速时，弹簧
形变量最大
A、B 与弹簧组成的系统机械能守
恒，物块A、B 的动能与弹簧的弹性
势能相互转化，A、B 共速时弹簧弹
性势能最大，物块动能最小
1．（24-25 高一上·河北保定·期末）如图所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形导轨在B 点相切，半圆
形导轨的半径为R。一个质量为m 的物体将弹簧压缩至A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某
一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7 倍，之后向上运
动恰能到达最高点C，C、O、B 三点在同一竖直线上。（不计空气阻力）试求：
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（1）物体到达B 点时的速度大小；
（2）物体在A 点时弹簧的弹性势能；
（3）物体从B 点运动至C 点的过程中克服摩擦力做的功。
2．（24-25 高三上·江西·期中）如图所示，三个质量均为
的小物块A、B、C，放置在水平地面上，
A 紧靠竖直墙壁，一劲度系数为
的轻弹簧两端分别与A、B 水平连接，C 紧靠B，开始时弹
簧处于原长，A、B、C 均静止。现给C 施加一水平向左、大小为
的恒力，使B、C 一起向左运
动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A 离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C
与地面间的动摩擦因数均为
，弹簧的弹性势能可表示为：
（
为弹簧的劲度系数，
为弹簧的形变量）。假设上述运动过程中弹簧始终在弹性限度内。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重
力加速度为
，求：
（1）B、C 向左移动的最大距离
；
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（2）物块C 离开初位置的最大距离
；
（3）改变恒力
大小，为保证A 能离开墙壁，求恒力的最小值
。（结果可用根式表示）
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的
光滑斜面上，斜面的倾角
。B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 放
在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用。同时保证滑轮左侧细线竖直、右
侧细线与斜面平行。已知A 的质量为4m，B、C 的质量均为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的
摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑的最大速度 v，试求：
（1）A 速度最大时弹簧弹力大小F；
（2）弹簧开始时弹性势能Ep；
（3）将B 转移和A 固定在一起，绳子直接连在弹簧上，用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作
用，开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，当C 离开地面前瞬间，求A 的速度。
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1．（2025·河南郑州·一模）如图甲，古老的牧羊人跳”是利用一根长杆从高处安全跳下。某同学将该过程
简化为物块与杆在竖直方向的运动，如图乙，质量
的物块套在长杆上，距长杆下端的长度
。初始时，物块与长杆从某一高度自由下落，长杆碰到地面后保持静止（插人地面长度可忽
略）；物块继续向下运动，受到杆的阻力
。为保证安全，物块到达地面时速度应小于
。重力加速度大小取
，求：
（1）在保证安全的前提下，物块下落过程中最大速度的大小
；
（2）物块能安全下落的最大高度
。
2．（2025·河南安阳·一模）如图所示，足够长的水平传送带MN 以速度
自西向东匀速运动，某时
刻将一质量
的小物块轻放在传送带上，离放置小物块的位置足够远的地方固定有南北方向的
竖直挡板ABCD，当小物块运动到此处时，挡板可阻止小物块继续向东运动。已知小物块与传送带之
间的动摩擦因数
，与挡板之间的动摩擦因数
，重力加速度g 取
。求：
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（1）在小物块到达挡板之前，物块与传送带间因摩擦产生的热量Q；
（2）小物块被挡板阻止后，对小物块施加一水平向南的拉力F，使小物块相对地面以
的速度
向南匀速滑动，该拉力F 的大小。
3．（2025·内蒙古·模拟预测）投沙包游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界AB 一定的距离外将沙包抛
出，每个得分区域的宽度d = 0.15 m，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小v0 = 5 m/s、方
向垂直于AB 且与水平地面夹角53°的初速度斜向上抛出沙包，出手点距AB 的水平距离L = 2.7 m，距
地面的高度h = 1 m。落地碰撞瞬间竖直方向速度减为零，水平方向速度减小。落地后沙包滑行一段距
离，最终停在9 分、7 分得分区的分界线上。已知沙包与地面的动摩擦因数μ = 0.25，sin53° = 0.8，
cos53° = 0.6，取重力加速度大小g = 10 m/s2，空气阻力不计。求：
（1）沙包从出手点到落地点的水平距离x；
（2）沙包与地面碰撞前、后动能的比值k。
4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，竖直平面内固定两根足够长的细杆
、
，两杆不接触，且两杆间的距
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离忽略不计．两个小球a、b（视为质点）质量均为m，a 球套在竖直杆
上，b 球套在水平杆
上，
a、b 通过铰链用长度为l 的刚性轻杆L 连接，将a 球从图示位置（轻杆与
杆夹角为
）由静止释放，
不计一切摩擦，已知重力加速度为g．在此后的运动过程中，求：
（1）b 球的速度为零时，a 球的加速度大小；
（2）b 球的最大速度
为多大；
（3）L 杆与竖直方向夹角θ 的余弦值为多大时，a 球的速度最大，最大速度
为多大。
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图（a），某生产车间运送货物的斜面长8m，高2.4m，一质量为200kg
的货物（可视为质点）沿斜面从顶端由静止开始滑动，经4s 滑到底端。工人对该货物进行质检后，使
用电动机通过一不可伸长的轻绳牵引货物，使其沿斜面回到顶端。如图（b）所示，已知电动机允许达
到的最大输出功率为2200W，轻绳始终与斜面平行，重力加速度大小取
，设货物在斜面上运动
过程中所受摩擦力大小恒定。
（1）求货物在斜面上运动过程中所受摩擦力的大小；
（2）若要在电动机输出功率为1200W 的条件下，沿斜面向上匀速拉动货物，货物速度的大小是多少？
（3）启动电动机后，货物从斜面底端由静止开始沿斜面向上做加速度大小为
的匀加速直线运动，
直到电动机达到允许的最大输出功率，求货物做匀加速直线运动的时间。
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6．（2024·辽宁朝阳·三模）如图是小明家汽车的动力系统，该汽车发动机实质是汽油机，g 取
，
请回答下列问题：
（1）汽车整车质量约为
，静止时车轮与地面的总接触面积约为
，则汽车静止时对水平地面
的压强是多少？
（2）已知汽车匀速行驶
用时
，则汽车行驶的速度是多少？
（3）汽车在平直公路上行驶时所受阻力约为车重的0.3 倍，则行驶过程中汽车发动机的输出功率是多
少？
（4）请描述汽车行驶时能量转化的情况。
7．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，圆心为O、半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直平面
内。质量为m 的小球（可视为质点）静止在最低点，现给小球一水平初速度，已知重力加速度大小为
g，不计空气阻力。
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（1）若小球能做完整的圆周运动，求小球在最低点和最高点所受圆轨道的弹力大小之差；
（2）若小球上升到某一点时脱离圆轨道，之后恰好经过O 点，求小球初速度的大小。（结果可用根式
表示）
8．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，长L=1.5m、质量M=2kg 的木板静止放在光滑的水平地面上，木
板左端距障碍物的距离
，障碍物恰好与木板等高。质量m=1kg 的滑块（可视为质点）静止放
在木板右端，木板与滑块之间的动摩擦因数为0.8，滑块在9N 的水平力F 作用下从静止开始向左运动。
木板与障碍物碰撞后以原速率反弹，经过一段时间滑块恰在障碍物处脱离木板。假设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力。
（1）求木板第一次与障碍物碰撞前，木板的加速度a；
（2）求滑块与木板间因摩擦产生的总热量Q；
（3）求木板与障碍物碰撞的次数。
9．（2024·全国·模拟预测）如图甲所示，高为
的光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上，
用质量为
的小球压缩弹簧的另一端，使弹簧具有弹性势能。小球被释放后，在弹簧作用下从静止开
始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面右端水平飞出。距离桌面右端水平距离为
处，有竖直放置
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的、下端固定在水平地面上的、高为
的探测屏
。现把弹簧压缩到不同长度，使小球飞出。不计
空气阻力，小球可视为质点，小球落地后立即停止运动，重力加速度为
。
（1）为使小球能打在探测屏上，求开始释放小球时弹簧的弹性势能
需满足的条件；
（2）现将探测屏由图甲所示位置水平向右移动距离
（未知），如图乙所示，当小球打在
点的动能
等于小球打在图甲中
点的动能时，求
的值。
10．（2024·江苏淮安·一模）如图甲所示，电动机驱动水平传送带以
的速度匀速穿过固定竖直光
滑挡板，挡板与传送带边缘间的夹角
。质量
的圆柱形物块从传送带左端由静止释放，
经一段时间做匀速直线运动，接着撞击挡板，撞击挡板前后沿挡板的分速度不变、垂直挡板的分速度
减为零，撞击后紧贴挡板运动
滑离传送带，俯视图如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩
擦因数
，g 取
。求：
（1）物块由静止开始做加速运动的时间t；
（2）物块紧贴挡板运动时所受摩擦力的大小和方向；
（3）上述过程中，因传送该物块电动机多消耗的电能E。
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11．（2024·安徽·模拟预测）如图，轻质弹簧的一端固定在水平地面上，另一端与质量为
的薄木
板A 相连，质量为
的小球B 放在木板A 上，弹簧的劲度系数为
。现用一竖直向
下、大小
的力作用在B 上使系统处于静止状态，在B 正上方处有一固定的四分之一内壁光滑
的竖直圆弧轨道，轨道半径
，轨道下端P 点距离静止时薄木板A 高度为
。撤去外力
F 后，B 竖直上升刚好能到达P 点，求：
（1）撤去外力F 时，A 对B 的弹力大小；
（2）若将B 球换成质量为
的C 球，再次用外力压到原来相同位置保持静止，随后撤去外力，
则判断小球C 能不能到达Q 点?若能到达则小球C 在Q 点时对轨道的压力为多少?
1．（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞
机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s 时离开水面，该过程滑行距离
L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机攀升高度h=100m 时速度达到v₂=100m/s，之后保
持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求：
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（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a 的大小及滑行时间t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。
2．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度
，静止在光滑水平面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，
并与其水平相切，滑板质量
，一质量为
的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑
上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行
停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为
，忽略空气阻力，重
力加速度
，求：
（1）游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
3．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD
和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为
的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF 与轨道
CD 和足够长的水平直轨道FG 平滑相切连接。质量为3m 的滑块b 与质量为2m 的滑块c 用劲度系数
的轻质弹簧连接，静置于轨道FG 上。现有质量
的滑块a 以初速度
从D 处进入，经DEF 管道后，与FG 上的滑块b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以
的速率顺时针转动，滑块a 与传送带间的动摩擦因数
，其它摩擦和阻力
均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能
（x 为形变量）。
（1）求滑块a 到达圆弧管道DEF 最低点F 时速度大小vF和所受支持力大小FN；
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（2）若滑块a 碰后返回到B 点时速度
，求滑块a、b 碰撞过程中损失的机械能
；
（3）若滑块a 碰到滑块b 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差
。
4．（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为
2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固定光滑圆弧轨道
在同一竖直
平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A 点切入挡板内侧，
从B 点飞出桌面后，在C 点沿圆弧切线方向进入轨道
内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物
块与桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D 点的速度大小；
（2）B 和D 两点的高度差；
（3）小物块在A 点的初速度大小。
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5．（2023·全国·高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的小球
压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与
弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间
相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重
力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
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