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大题04 动量的综合应用
动量多与能量守恒、力学过程结合（如碰撞、弹簧系统、多物体相互作用）。动量守恒定律作为
高频考点，考查情境：完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、反冲运动等，经常出现多物体系统动量守恒
（如2024 年黑吉辽卷弹簧连接的AB 两个物块整体动量守恒、2023 年辽宁卷板块模型木块和木板整体
动量守恒）。2025 年大概率还会考查弹性碰撞与能量结合，在平时的练习中，关注多物体系统：滑板
模型、传送带与物块联动问题（需注意系统动量守恒条件是否成立）。
题型一 滑块—斜（曲）面模型
【例1】（2024·辽宁辽阳·模拟预测）如图所示，质量为4m、半径为R 的光滑四分
之一圆弧体A 静止在足够大的光滑水平面上，水平面刚好与圆弧面的最底端相切，轻弹簧放在光滑水
平面上，左端固定在竖直固定挡板上，用外力使质量为m 的小球B 压缩弹簧（B 与弹簧不连接），由
静止释放小球，小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时，恰好与圆弧体相对静止，不计小球的大小，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧具有的最大弹性势能；
1
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（2）小球B 第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小；
（3）小球B 第二次滚上圆弧面后，上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）设弹簧开始具有的最大弹性势能为 Ep，设小球被弹开后速度大小为v0，滚上圆弧面最高
点后速度大小为v1，根据能量守恒有
根据动量守恒
解得
（2）由（1）可解得
小球B 第一次滚上圆弧面的一瞬间
解得
根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧面的压力大小
（3）设小球第一次离开圆弧面时，小球的速度大小为v2、圆弧体的速度大小为v3，根据动量守恒有
根据能量守恒有
2
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从小球第二次滚上圆弧面到上升到最高点过程中，设上升到最高点时共同速度为v4，上升的最大高度
为h，根据动量守恒有
根据能量守恒有
解得
滑块—斜（曲）面模型中的动量守恒分析
1、滑块到达最高点时，与斜（曲）面体具有共同的水平速度v 共。
（1）系统水平方向动量守恒：
。
（2）系统机械能守恒：
，其中h 为为滑块能上升的最大高度，不一定等于
斜（曲）面体的高度。
2、滑块返回最低点时，与斜（曲）面体即将分离。
（1）整个过程系统水平方向动量守恒：
。
（2）整个过程系统机械能守恒：
。
1．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）如图，质量都为m 的A 和B 两物体并排静止放在光滑的水平面上，其
中A 物体的凹槽为半径R 的光滑半圆弧，质量为m，体积可以忽略的小球C 某时刻起从A 物体上方高
度R 的位置自由下落，假设在进入半圆弧的过程中没有能量的损失，求：
3
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（1）C 球刚刚到达物体A 圆弧时速度；
（2）A 和B 分离时，A、B、C 各自的速度大小；
（3）C 球第一次刚要从A 左端飞出时，C 球对圆弧槽的压力大小。
【答案】（1）
（2）A、B 的速度大小为
，C 的速度大小为
（3）
【解析】（1）C 球到达物体A 圆弧过程，根据动能定理有
解得
（2）C 运动到A 圆弧最低点时，A、B 恰好分离，此时A、B 速度相等，C 速度方向水平向左，A、B
速度方向水平向右，则有
解得
，
则A、B 的速度大小为
，C 的速度为
。
（3）C 从圆弧最低点到第一次刚要从A 左端飞出时，水平方向动量守恒有
解得
4
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，
根据牛顿第二定律有
结合牛顿第三定律可知，C 球对圆弧槽的压力大小为
2．（23-24 高三上·辽宁抚顺·期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为
的滑块，滑
块右侧面的
圆弧形槽
的半径为
点切线水平，离地面的距离为
。质量为
、可视为质点的小
球以一定的水平速度从
点冲上滑块，恰好能到达
点，重力加速度大小为
，不计空气阻力，求：
（1）滑块的最大速度
；
（2）小球离开滑块时受到的支持力大小
；
（3）小球落地时到滑块上
点的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）以水平向左为正方向，设小球冲上滑块时的速度大小为
，小球到达
点时两者的速度
大小为
，小球返回
点时的速度为，结合动量守恒定律有
5
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解得
（2）由（1）解得
有
解得
（3）设小球从
点离开后做平抛运动的时间为，则有
解得
3．（2024·天津红桥·二模）如图所示，质量为
，半径
的四分之一光滑圆弧槽静置于光
滑水平地面上，有两个大小、形状相同的可视为质点的光滑小球
、
，
、
，
右侧与球心等高处连接一轻质弹簧，弹簧的另一端距圆弧槽底有一定距离。现将
从圆弧槽顶端由
静止释放，重力加速度
，求：
（1）若圆弧槽固定不动，小球
滑离圆弧槽时的速度大小
；
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（2）若圆弧槽不固定，小球
滑离圆弧槽时的速度大小
；
（3）圆弧槽不固定的情况下弹簧压缩过程中的最大弹性势能。
【答案】（1）；
（2）
；（3）
【解析】（1）圆弧槽固定，小球机械能守恒
解得
（2）圆弧槽不固定，槽和小球组成的系统在水平方向动量守恒，若以向右为正方向，在水平方向，由
动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
（3）当小球
、
速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，根据动量守恒解得
解得
根据能量守恒可得
代入数据可得
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题型二 碰撞模型
【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量
的长木板A 静止放
置于光滑水平地面上，其左端放置一个质量
的物块B。在物块B 的上方高
处有一悬
挂点O，通过轻绳悬挂质量
的小球C，小球C 静止时与物块B 等高且恰好无相互作用力接触。
现将小球C 拉至轻绳与竖直方向的夹角
处由静止释放，小球C 下摆至最低点时与物块B 发生碰
撞并粘在一起（C 不与A 接触），同时轻绳被刀片割断。已知物块B 与长木板A 间的动摩擦因数
，物块B 不会从A 上滑离，取重力加速度大小
，物块B、小球C 均可看成质点，不
计空气阻力。求：
（1）小球C 与物块B 碰后瞬间的速度大小；
（2）长木板A 的最小长度。
【答案】（1）
；（2）0.32m
【解析】（1）小球C 由静止释放到第一次到达最低点的过程中，由动能定理有
解得
小球C 与物块B 碰撞过程，由动量守恒定律有
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解得
（2）假设长木板A 与B、C 达到共同速度
，由动量守恒定律有
解得
设此过程长木板A 的长度为x，由功能关系有
解得
即长木板A 的最小长度为0.32m。
碰撞中的动量守恒和能量守恒
1、子弹打入水平面上的物块（地面光滑）
（1）子弹嵌入木块中（未穿出）：两者速度相等，机械能损失最多（完全非弹性碰撞）。
①动量守恒：
。
②能量守恒：
。
（2）子弹穿透木块：两者速度不相等，机械能有损失（非弹性碰撞）。
①动量守恒：
。
②能量守恒：
。
2、两球（或物块）在水平面上碰撞
（1）“弹性碰撞”：碰撞前后系统动量守恒、机械能不变。
（2）“碰撞时间极短”：碰撞过程中系统动量守恒。
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1．（2024·湖南益阳·一模）如图所示，足够长“L”型平板B 静置在地面上，上表面光滑，物块A 处于平板
B 上的
点，用长为0.8m 的轻绳将质量为3kg 的小球悬挂在
点正上方的O 点。轻绳处于水平拉直状
态，小球可视为质点，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A 发生弹性碰撞。物块A 沿平板滑
动直至与B 右侧挡板发生碰撞，假设小物块A 与平板B 的碰撞均为弹性碰撞，测得小物块A 与平板
B。发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是9m，整个过程中A 始终在B 上，所有碰撞时
间忽略不计，不计空气阻力，已知A 的质量为1kg，B 的质量0.5kg，g 取
，求：
（1）小球摆至最低点与小物块A 发生弹性碰撞前轻绳的拉力；
（2）小物块A 第一次与平板B 碰撞后到第二次碰撞的时间；
（3）平板B 在水平面上通过的总路程。
【答案】（1）90N （2）
（3）
【解析】（1）静止释放至最低点过程机械能守恒，有
得
在最低点由牛顿第二定律得
联立解得
90N
（2）A 与B 发生弹性碰撞，有
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解得
接着A 与B 发生弹性碰撞
解得
=8
设A 与B 碰后经过时间t1最大距离为Δx=9m，有
（vA1+vB1）t1-vA1t1=Δx
得
则B 的加速度
2
B 第一次碰后至停下的时间
则B 在t2时间内前进的位移为
=1m
A 从最大位移处与平板B 第二次相撞的时间
=5s
所以
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（3）由题意可知，A、B 最终停止运动，则对AB 由能量守恒得
对B 由牛顿第二定律得
解得
2．（2024·广东深圳·三模）如图所示，ABC 是光滑轨道，其中BC 部分是半径为R 的竖直放置的半圆，AB
部分与BC 部分平滑连接。一质量为M 的小木块放在轨道水平部分，木块被水平飞来的质量为m 的子
弹射中，子弹留在木块中。子弹击中木块前的速度为
。若被击中的木块能沿轨道滑到最高点C，重力
加速度为g，求：
（1）子弹击中木块后的速度；
（2）子弹击中木块并留在其中的过程中子弹和木块产生的热量Q；
（3）若
，且
，求木块从C 点飞出后落地点与B 点的距离s。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）子弹击中木块，整个系统动量守恒，有
解得子弹击中木块后的速度
（2）根据能量守恒定律可得
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（3）子弹击中木块后，根据机械能守恒定律可知
解得
木块的落地时间
所以木块从C 点飞出后落地点与B 点的距离
3．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图所示，PQ 为光滑水平面，QN 为粗糙水平面，两者之间平滑连接。两
物体A 和B 并排静置于光滑水平地面PQ 上，它们的质量M 均为0.5kg。一颗质量m=0.1kg 的子弹以
v0=34m/s 的水平速度从左边射入A，射出A 后继续进入B 中且当子弹与B 保持相对静止时，A 和B 都
还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A 和B 中所受阻力相同且一直保持不变，A 的长度为
LA=0.23m，A 离开光滑水平面后在QN 粗糙水平面内位移为x=2m。A、B 与QN 间的动摩擦因数μ 都为
0.1，不计空气阻力，g 取10m/s2。
（1）求物体A 和物体B 离开光滑水平面时的速度大小vA、vB；
（2）求子弹在物体B 中穿过的距离LB。
【答案】（1）2m/s，4m/s；（2）0.03m
【解析】（1）A 离开光滑水平面时的速度vA，则
解得
根据动量守恒定律可得
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B 离开光滑水平面时的速度
（2）子弹穿透A 时的速度v 弹，则
解得
子弹在物体B 中穿过的距离LB，由能量守恒定律可得
子弹在物体A 中穿过的距离LA，由能量守恒定律可得
解得
题型三 弹簧中的动量问题
【例1】（2024·辽宁·一模）如图所示，倾角
的足够长的光滑斜面固定在水
平地面上，斜面下端垂直斜面固定着一挡板，物块A 与物块B 用轻弹簧连接并静止在斜面上，物块A
与挡板接触。现将距物块B 为
的物块C 从斜面上由静止释放，物块C 与物块B 发生弹性碰撞，
碰后将物块C 取走，物块B 在斜面上做简谐运动。已知
，重力加速度g 取
，
，弹簧的劲度系数为
，且弹簧始终在弹性限度内，物块A、B、C 均
可视为质点。
（1）求C 与B 碰后瞬间两物块的速度大小；
（2）已知弹簧的弹性势能为
（k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量），求C 与B 碰后B
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做简谐运动的振幅；
（3）若C 从斜面上某高度处由静止释放后，C 与B 碰后并粘在一起做简谐运动且A 恰好未离开挡板，
求A 对挡板压力的最大值。
【答案】（1）4m/s，2m/s；（2）
；（3）108N
【解析】（1）物块C 从斜面上由静止释放，根据机械能守恒定律有
得
设碰撞后瞬间C、B 的速度大小分别为vC，vB，根据动量守恒有
mCv0=mvB+mCvC
A、B 碰撞过程机械能守恒，有
解得
，
C 与B 碰后瞬间两物块的速度大小分别为4m/s 和2m/s；
（2）将物块C 取走，物块B 在斜面上做简谐运动。在平衡位置时弹簧的压缩量为
在平衡位置速率最大，从平衡位置向下运动到振幅最低位置，系统机械能守恒，以最低位置为零势能
面，有
解得
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（3）若C 从斜面上某高度处由静止释放后，C 与B 碰后并粘在一起做简谐运动，两物块在平衡位置时
的形变量为
，则有
解得
且A 恰好未离开挡板，则BC 上升到最高位置时，A 对挡板的压力为零，此时弹簧的拉伸量为
所以振幅为
BC 向下运动到最低点时，由对称性可知其压缩量为
物块A 受到挡板的最大支持力为
根据牛顿第三定律得，物块A 对挡板压力的最大值为108N。
弹簧中的动量分析
水平地面光滑，A、B 与轻弹簧（开始处于原长）相连，A 以初速度运动。A、B 相互作用过程中，
A、B 与弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒。运动过程分析如下：
1、弹簧被压缩到最短时，系统弹性势能最大动能损失最多，A、B 第一次共速。(类比完全非弹性碰撞)
2、弹簧第一次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等。B 速度最大，A 速度最小。(类比弹
性碰撞)
①m1＝m2时，A 的速度为0；②m1＜m2时，vA＜0，A 反向；③m1＞m2时，vA＞0，A 运动方向不变。
3、弹簧被拉伸到最长时，系统弹性势能最大，动能损失最多，A、B 第二次共速。(类比完全非弹性碰撞)
4、弹簧第二次恢复原长时，系统弹性势能为0，动能与初状态相等，vA＝v0，vB＝0。（类比弹性碰撞，
回到初始状态）
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1．（2024·天津宁河·二模）如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为m 的物块A、B、C，物
块B 的左侧固定一轻弹簧。给A 一个初速度v0，使其向B 运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），
当弹簧第一次压缩到最短时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞时间极
短，求：
（1）B 与C 碰撞前的瞬间，B 的速度大小
（2）从A 开始运动到弹簧压缩最短时C 受到的冲量大小；
（3）从A 开始运动到A 与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能；
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v1时，对A、B 与弹簧组成的系统，根据动量守恒
定律得
解得
（2）A、B、C 三者速度相同，设此时速度为v3，由动量守恒定律得
对C 根据动量定理
联立可得
（2）B 与C 发生完全非弹性碰撞时，设碰撞后的瞬时速度为v2，对B、C 组成的系统，由动量守恒定
律得
B 与C 发生完全非弹性碰撞，只有B 与C 碰撞损失机械能，设为
，对B、C 组成的系统，由能量守
恒定律得
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得
2．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，a、b、c 均为质量为m 的物块，其中b、c 通过轻弹簧连接并静置在
水平地面上，弹簧的劲度系数为k，a 物块从距离b 高为h 处由静止释放，与b 碰撞后黏在一起，碰撞
时间极短。重力加速度为g，则：
（1）求a、b 碰撞后瞬间a、b 整体的速度和加速度大小；
（2）若a 物块从距离b 高为h0处由静止释放，弹簧恰好能恢复原长，求初始时弹簧的弹性势能（结果
用含h0的式子表示）；
（3）若a 物块从距离b 高为hx处由静止释放，c 恰好能离开地面，求hx为多少？
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）a 做自由落体运动，有
解得
a、b 碰撞过程动量守恒，则
所以
碰撞后瞬间，对a、b 整体，根据牛顿第二定律有
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解得加速度大小为
（2）若a 物块从距离b 高为h0处由静止释放，则有
a、b 碰撞过程动量守恒，则
弹簧恰好能恢复原长，根据能量守恒可得
联立可得
（3）若a 物块从距离b 高为hx处由静止释放，且c 恰好能离开地面，则
联立可得
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，质量
、半径
的四分之一光滑圆弧abc 静止
在足够长的光滑水平面上，末端与水平面相切，圆弧右侧有一质量为
的小物块B，B 的左侧固定一
水平轻弹簧，将质量为
的小物块A 从圆弧顶端由静止释放，在小物块B 的右侧有一竖直挡板
（图中未画出，挡板和B 的间距可调），当小物块B 与挡板发生一次弹性正碰后立刻将挡板撤去，且
小物块A 与弹簧接触后即与弹簧固定连接，已知重力加速度
，不计空气阻力，A、B 均可视
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为质点。求：
（1）若圆弧固定，小物块A 到达圆弧底端时的速度的大小；
（2）若圆弧不固定，小物块A 到达圆弧底端的速度的大小以及圆弧体的位移大小；
（3）若圆弧不固定，小物块B 与挡板发生碰撞后的运动过程中，当弹簧最短时弹簧弹性势能的范围。
【答案】（1）
m/s；（2）15m/s；3.75m；（3）
【解析】（1）若圆弧固定，小物块A 到达圆弧底端的过程中，根据动能定理有
解得
m/s
（2）若圆弧不固定，小物块A 与圆弧组成的系统动量守恒，则有
根据能量守恒定律有
解得
m/s
同时根据动量守恒定律有
根据几何关系可知
解得
m
（3）设物块B 碰撞挡板的速度为0，则碰后AB 总动量最大，弹簧最短时动能最大，弹性势能最小，
根据动量守恒定律与能量守恒定律有
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解得
J
物块B 碰撞挡板的速度最大，则碰后AB 总动量最小，两者共速时动能最小，弹簧弹性势能最大，设B
的最大速度为
，根据动量守恒定律与能量守恒定律可知
解得
m/s
碰后总动量最小为
则AB 共速的速度为
m/s
弹性势能为
解得
J
则当弹簧最短时弹簧弹性势能的范围为
题型四 板块中的动量问题
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【例1】（2024·新疆·一模）如图所示，在光滑水平地面上静置着一块质量为
的木板，一质量为
的物块（视为质点），以大小
水平向右的初速度滑上木
板左端，重力加速度大小
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若物块与木板间的动摩擦因数
要使物块不从木板上落下，求木板的最小长度；
（2）若物块与木板间的动摩擦因数从左到右逐渐减小，且满足
（x 为物块到木板左端的
距离），求物块相对木板运动的最大位移（物块始终在木板上）。
【答案】（1）4m （2）1m
【解析】（1）物块与木板组成的系统动量守恒
假设物块刚好到木板最右端时二者共速，系统能量守恒
联立上式得，木板的最小长度为
（2）物块与木板组成的系统动量守恒
系统能量守恒
由于摩擦力随相对位移线性变化，可作出图像（如图）
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联立上式得
或
（舍）
故
板块中的动量守恒和能量守恒
水平地面光滑，木板长为滑块和木板间的摩擦力为Ff。
1、滑块未滑离木板
（1）动量守恒：
。
（2）能量守恒：
。
2、滑块滑离木板
（1）动量守恒：
。
（2）能量守恒：
。
【注】1、系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移大小的乘积等于系统减少的机械
能，即摩擦生热。
2、若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，二者相对位移最大。
1．（2024·广西河池·一模）如图所示，一足够长倾斜角
的斜面顶端放置一长木板A，木板A 上表
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面的某处放置一小滑块B（可看成质点），已知A 和B 的质量分别为2m 和3m，木板A 顶端与滑块B
相距为
的地方固定一光滑小球C（可看成质点），已知小球C 的质量为m，A 与B 之间的动摩
擦因数
，A 与斜面间动摩擦因数
，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
，将固定的光滑小球C 由静止释放，C 与B 会发生弹性碰撞，求：
（1）小球C 与滑块B 碰后瞬间各自的速度分别多大；
（2）要使小球C 再次碰到滑块B 之前B 未能滑出A 下端，则木板A 至少多长；
（3）A 和B 共速时，滑块B 与小球C 距多远。
【答案】（1）1.5m/s；1.5m/s；（2）1.2m；（3）0.6m
【解析】（1）由于A 与B 之间的动摩擦因数及A 与斜面间动摩擦因数均不大于
，则在BC 相碰前，
AB 均相对斜面静止，小球在由释放到碰B 过程中，根据动能定理
解得
BC 碰撞过程，根据动量守恒和能量守恒可得
解得小球C 与滑块B 碰后瞬间各自的速度
，
（2）BC 碰后，对ABC 分别根据牛顿第二定律
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假设C 再次碰到B 之前，AB 尚未共速，根据位移关系有
解得
此时A 的速度
B 的速度
显然假设不成立；在C 再次碰到B 之前，AB 发生向下的共速，在BC 碰后到AB 共速过程
解得
，
此后由于
，则AB 相对静止，因此要使小球C 再次碰到滑块B 之前B 未能滑出A 下端，则木板
A 的长度最少为
（3）AB 发生向下的共速时滑块B 与小球C 相距
2．（2024·江苏苏州·三模）如图所示，长为L、质量为m 的木板静止于光滑的水平面上，在木板上右端固
定一竖直轻质弹性挡板，一质量也为m 的小木块以初速度
水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，
已知重力加速度大小为
。
（1）求小木块的最终速度大小v；
25
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（2）若小木块以
的速度水平冲上静止的木板，求最终小木块与挡板间的距离d；（木块与挡板碰
撞时间极短）
（3）在（2）的条件下，求木块与木板相对静止前木板通过的位移大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）小木块恰好不与挡板碰撞，根据动量守恒定律有
解得
对系统，由能量守恒定律有
解得
若小木块以
的速度水平冲上静止的木板，对系统，根据动量守恒定律有
解得
对系统，根据能量守恒定律有
解得
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则有
（3）设木块与挡板碰撞前瞬间木块速度大小为
，木板速度大小为
，则有
，
解得
，
由于两者质量相等，碰撞后速度交换，即有
，
碰撞前木板做加速度大小为
的匀加速直线运动，碰撞后木板做加速度大小为
的匀减速直
线运动，则有
3．（2024·全国·一模）如图甲所示，长木板放置在光滑的水平地面上，木块（视为质点）放置在木板的正
中央，现突然给木块一个水平向右的速度
，经过一段时间
，木块刚好不从木板的最右端离开，
已知木块与木板的质量相等；把长木板放置在粗糙的水平地面上，木块放置在木板的最左端，已知木
板与地面间的动摩擦因数为
，如图乙所示，现同时给木块、木板水平向右的速度
，重力加速
度为g。
（1）求甲图中木块与木板间的动摩擦因数以及木板的长度；
（2）求乙图中木块与木板加速度的大小分别为多少；
（3）求乙图中木块与木板的运动时间之差以及木块在木板上滑行的距离。
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
，
【解析】（1）根据题意可知，木块刚好不从木板的最右端离开，即木块滑到木板的最右端时，木块与
木板共速，设此时的速度为
，由动量守恒定律有
解得
设甲图中木块与木板间的动摩擦因数为
，对木块有
又有
联立解得
设木板的长度为
，由能量守恒定律有
解得
（2）由（1）分析，结合牛顿第二定律可得，乙图中木块的最大加速度的大小为
若乙图中木块与木板一起向右减速，则加速度大小为
可知，乙图中木块与木板相对滑动，由牛顿第二定律，对木块有
解得
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对木板有
解得
（3）假设木块减速到0 时未从木板上掉落，由运动学公式可得，木块减速到0 的时间为
运动的位移为
木板减速到0 的时间为
运动的位移为
乙图中木块与木板的运动时间之差
乙图中木块在木板上滑行的距离
即假设成立，则乙图中木块与木板的运动时间之差为
，木块在木板上滑行的距离为
。
题型五 含有动量守恒的多过程问题
【例1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，足够长的光滑水平地面上有
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2024 个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为L，将其从左到右依次编号。质量为m 的小圆环A
套在足够长的光滑水平杆上，位于1 小球正上方L 处。现将质量为
的小球B 通过长度为L 的轻绳与
A 连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，A、B 均静止。某时刻释放小球B，B 到达最低点时轻绳恰好
断裂，之后B 在水平地面上向右运动，已知1 号小球的质量为
，2~2024 号小球的质量均为m。题中
所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，小球大小忽略不计。
求：
（1）轻绳断裂时B 的速度大小；
（2）1 号球与2 号球第一次碰撞过程中，对2 号球所做的功；
（3）若1 号球与2 号球第一次碰撞后，立即给1 号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F 远远
小于1、2 球碰撞时的作用力），使1 号球每次与2 号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前瞬间1 号
球的速度相等，直到1~2024 号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力F 的大小、外力F 作用下1
号球的位移及最终1 号球与2024 号球之间距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
，
【解析】（1）小球B 开始释放至轻绳断裂，A、B 组成的系统水平方向动量守恒，以向左为正方向，
则有
由A、B 组成的系统机械能守恒有
解得小球B 的速度大小为
（2）绳断后，B 球在水平地面向右运动与1 号球碰撞，设碰后B 球和1 号球速度分别为
、
，由动
量守恒定律和能量守恒定律得
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解得
，
1、2 号球碰撞前后动量和机械能守恒，分别有
解得
对②号球，由动能定理得
（3）1、2 号球碰后，2 号小球以速度
向右运动一个L，与3 号小球碰撞后速度交换。由（2）问解得
l 号小球由速度
开始匀变速运动，经位移L，以速度
与2 号球发生下一次碰撞。这一过程，对1 号
球由动能定理有
解得
F 作用下1 号球的总位移记为x，对整体，由动能定理有
即
解得
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最终所有小球的速度均为
，F 作用的总时间记为t，对整体由动量定理有
即
解得
最终1 号球与2024 号球间距离为
1．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，下表面光滑的木板B 静置在水平地面上，B 右侧静置着一物块
C，物块A 以初速度
从左端滑上木板B，当物块A 与木板B 刚好共速的瞬间，木板B 与物块C
发生碰撞，碰撞时间忽略不计。已知木板B 与物块C 之间的碰撞均为弹性碰撞。物块A 的质量
，木板B 的质量
，物块A 与木板B 间的动摩擦因数
，物块C 的质量
，物块C 与地面间的动摩擦因数
，重力加速度g 取
，物块A 始终未滑离木板
B，求：
（1）初始时，木板B 与物块C 之间的距离；
（2）木板B 与物块C 从第一碰撞后到第二次碰撞的过程中，木板B 与物块C 之间的最大距离；
（3）木板B 与物块C 第二次碰撞前瞬间，木板B 与物块C 的速度大小。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
和
【解析】（1）物块A 以初速度
从左端滑上木板B 到与木板B 刚好共速的过程，动量守恒
解得AB 的共同速度
对木板B，根据牛顿第二定律
解得
根据运动规律
解得初始时，木板B 与物块C 之间的距离
（2）木板B 与物块C 从第一碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒
联立解得
B 和C 碰撞后B 向左、A 和C 向右均做匀减速直线运动，设A、B、C 的加速度大小分别为
、
、
，
根据牛顿第二定律可得
解得
、
、
假设碰撞后B 与C 达到速度相同（设此速度为
）时C 没有停止运动，且A、B 没有共速，则有
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解得
，
此时A 的速度为
故假设成立。
碰撞后到B 与C 达到速度相同的过程，C 相对于B 的位移为
解得
故木板B 与物块C 从第一碰撞后到第二次碰撞的过程中，木板B 与物块C 之间的最大距离为
。
（3）木板B 与物块C 第一次碰撞后到AB 再次共速，AB 组成的系统动量守恒
解得共同速度
从木板B 向左匀减速直线运动到速度减为零至再次共速，木板B 向右做匀加速直线运动，加速度大小
为
这段时间为
向右运动的距离为
此时物块C 刚好停下，速度为零，之后AB 一起匀速运动到与C 相碰，故木板B 与物块C 第二次碰撞
前瞬间，木板B 与物块C 的速度大小分别为
和
。
2．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，半径为R 的
竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑
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连接，水平轨道上有2024 个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1 号球
的质量为2m，2~2024 号球的质量均为m。若将质量为2m 的A 球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有
球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。
（1）求1 号球与2 号球第一次碰撞后1 号球的速度大小；
（2）若1 号球与2 号球第一次碰撞后，立即给1 号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F 远小
于1、2 号球碰撞时的相互作用力），使1 号球每次与2 号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1 号
球的速度相等，直到1~2024 号球速度第一次都相等时撤去外力，求
ⅰ.外力F 的大小；
ⅱ.最终1 号球与2024 号球之间的距离。
【答案】（1）
（2）i.
；ii.
【解析】（1）A 球运动至水平轨道，根据机械能守恒有
解得
A 球与1 号球发生弹性碰撞，因两球质量相等，故交换速度，即碰后1 号球的速度为
，1 号
球与2 号球发生弹性碰撞，根据动量守恒和能守恒有
，
联立解得碰撞后1 号球的速度为
，
（2）ⅰ.F 作用在1 号球上，使其速度大小由
增大到
，由动能定理得
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解得
ii. 设F 作用下1 号球的总位移为x，对
号小球组成的整体，由动能定理得
最终，
号小球的速度大小均为
，设F 作用的总时间为t，对整体，由动量定理得
1 号球与2024 号球之间的距离为
联立解得
1．（2024·吉林长春·一模）如图（a），质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分
的上表
面粗糙，竖直半圆形部分
的内表面光滑，半径
，B、C 分别为半圆形轨道的最低点和最高
点。质量为m 的物块（可视为质点）静置在轨道上左端A 处，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静
摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度
。
（1）若轨道固定，物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到C 点，求物块在B 点的速度大小v；
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（2）若轨道不固定，对物块施加水平向右逐渐增大的推力F，物块在轨道AB 段运动时，物块和轨道
的加速度a 与F 对应关系如图（b）所示，求μ 和m；
（3）在（2）问条件下，在A 处对物块施加水平向右
的恒力，当物块运动到B 点时撤去F，物
块可沿轨道到达C 点且恰好与轨道无作用力，运动过程中轨道AB 段始终未脱离地面。求轨道AB 段的
长度L。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
【解析】（1）物块以一定的初速度沿轨道恰好运动到C 点，设物块到达
点的速度为
，则有
根据机械能守恒可得
联立解得物块在B 点的速度大小为
（2）根据图像可知，当
时，物块与轨道相对静止，加速度
根据图像斜率可知
当
时，物块与轨道相对运动，物块加速度
根据图像斜率可知
可得
轨道加速度
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解得
（3）
时，则物块与轨道相对运动，由图可知，物块加速度
，轨道加速度
；
设运动到
点所用时间为，则物块速度
则轨道速度
有
设物块运动到
点时速度为
，轨道运动到
点时速度为
，则有
且在最高点时满足
联立解得
，
，
，
，
物块运动到
点过程中位移为
此过程中轨道位移为
则轨道水平部分长度为
2．（2025·山西临汾·一模）如图所示，质量为
的木板A 置于长
的光滑凹槽左端，木板
A 的上表面与水平面MN、PQ 在同一高度。质量为
的滑块B 放置在水平面MN 上，在外力作
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用下，紧靠在弹簧右端（与弹簧不拴接）。撤去外力，滑块B 运动
时与弹簧分离，刚好以
的速度滑上木板A 的左端。运动过程中滑块B 恰好不脱离木板A，之后滑块B 进入水平面
PQ。已知滑块B 与水平面MN、木板A 的动摩擦因数均为
，重力加速度的大小
。求：
（1）弹簧开始的弹性势能；
（2）木板A 的长度L；
（3）滑块B 从离开MN 到刚滑上PQ 所用的时间。
【答案】（1）8.2J （2）3m （3）4s
【解析】（1）根据能量守恒定律，弹簧开始的弹性势能
解得
（2）滑块B 滑上木板A 后，A、B 构成的系统动量守恒，设A、B 共速的速度为v，有
解得
此过程中，根据功能关系
解得
（3）滑块B 从滑上木板A 到与之共速期间
解得
在时间
内，木板A 运动的位移
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滑块B 与木板A 共速后，一起匀速运动用时
，则有
滑块B 从离开MN 到刚滑上PQ 所用的时间
3．（2025·云南昆明·一模）如图所示，有三个小球A、B、C 静止在光滑水平面上，B、C 之间用轻弹簧连
接，三个小球处于同一直线上。使A 以速度
向右运动，与B 发生正碰后反弹，反弹的速度大小为
。已知A、B 碰撞时间极短，小球A、B、C 的质量分别为m、2m、2m，弹簧始终在弹性限度内。
求：
（1）A、B 碰撞后瞬间，B 的速度大小；
（2）弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）A、B 碰撞过程中动量守恒，规定水平向右为正方向，则
解得
（2）当B、C 共速时，弹簧的压缩量最大，由动量守恒定律得
由能量守恒定律得
解得
4．（2025·广东珠海·一模）如图所示，卡车
上放有一块木板
，木板与卡车间的动摩擦因数
，
木板质量
。木板右侧壁（厚度不计）到左端的距离
，到驾驶室距离
。一质量
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与木板相等的货物
（可视为质点）放在木板的左端，货物与木板间的动摩擦因数
。现卡车、
木板及货物整体以
的速度匀速行驶在平直公路上。某时刻，司机发现前方有交通事故后以
的恒定加速度刹车，直到停下。司机刹车后瞬间，货物相对木板滑动，木板相对卡车静止。
货物与木板右侧壁碰撞后粘在一起，碰撞时间极短。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
取
。求：
（1）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，货物的加速度大小；
（2）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，木板受到卡车的摩擦力大小；
（3）木板最终是否会与驾驶室相碰？如果不会，最终木板右侧与驾驶室相距多远？
【答案】（1）
（2）
（3）不会，1.6m
【解析】（1）在刹车过程中，货物与木板右侧壁碰撞前，货物C 相对木板B 滑动，对货物C 受力分析，
根据牛顿第二定律有
解得
（2）在刹车过程，货物C 与木板B 右壁碰撞前，木板B 与卡车A 相对静止，对木板受力分析，根据牛
顿第二定律有
解得
（3）货物C 在木板B 上滑动，则有
解得
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在
内，木板B 与卡车A 一起减速，则有
货物C 在木板B 上减速滑动，则有
货物C 与木板B 碰撞，动量守恒，则有
解得货物C 与木板B 的共同速度为
因
，所以货物C 与木板B 整体相对卡车A 会滑动，对BC，根据牛顿第二定律有
解得
则卡车刹停的时间为
从货物C 与木板B 相碰到卡车A 停止的时间
在
时间内，货物C 与木板B 整体减速到
继续向前减速到0，货物C 与木板B 的共速度到停下的位移为
在在
时间内卡车刹停的位移为
因
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所以卡车刹停时，木板右侧不会与驾驶室相碰，则木板右侧与驾驶室相距的距离为
5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，质量为2m 的长木板B 放在光滑水平地面上，B 上方最左端放有质
量为m 的物块A，A、B 间动摩擦因数为
。一劲度系数为k 的轻质弹簧固定在右侧墙面底端。已知最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，物块始终不从长木板上滑下。
（1）使A、B 以共同速度同时向右滑行，全过程A、B 间无相对滑动，求系统初动能应满足的条件；
（2）使A 以某一速度向右滑行，B 接触弹簧后A、B 间恰无相对滑动，求A 的初速度大小和长木板B
的最短长度。
【答案】（1）
（2）
，
【解析】（1）设总动能为
时全过程A、B 间恰好无相对滑动。A、B 接触弹簧后一起向右减速，B
受弹簧弹力和A 对B 的摩擦力，当A、B 速度减为0 时弹簧压缩量达到最大，A、B 间摩擦力恰好达到
最大静摩擦力。设此时弹簧压缩量为
，再向左弹回时，弹簧弹力逐渐减小，A、B 间摩擦力小于最大
静摩擦力，A、B 间不会发生相对滑动。由牛顿第二定律对A、B 分别有
又弹簧弹力随压缩量均匀变化，结合平均力和能量守恒知识可得
联立解得
当
时，全过程A、B 间均无相对滑动。
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（2）结合以上分析可知，当A、B 速度相等且总动能为
时，接触弹簧后全过程恰好不发生相对滑动
有
A 在B 上运动过程动量守恒，有
根据功能关系，有
联立解得
6．（2025·重庆·一模）如图所示，半径为R 的光滑圆弧面AB 与光滑水平面BC 平滑连接（圆弧的圆心在B
的正下方），其中A、B 两点的水平距离和竖直距离分别为d、h。长为
的轻杆上端固定在光滑水平
转轴O，下端固定一个小球，小球刚好与水平面接触。质量为M 的物块在水平恒力作用下从A 点由静
止运动到B 点、物块在B 点处时撤去水平恒力，此时物块对圆弧面的压力为零。最后物块与小球发生
一次弹性正碰，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。忽略一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）物块到达B 点的速度v0；
（2）水平恒力F 的大小；
（3）小球质量m 的取值范围。
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【答案】（1）
或
（2）
或
（3）
或
【解析】（1）由B 点压力为零，则有
可得
（或者
，
）
（2）物块从A 到B 由动能定理，有
解得
（或者
）
（3）物块与小球发生弹性正碰，有
小球恰做完整圆周运动，最高点v > 0；碰后小球从最低点运动到最高点，由动能定理得
解得
所以小球质量取值范围
（或者
）
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7．（2024·云南丽江·一模）如图，一长为L（L 是未知量）、质量为
的长木板放在光滑水平地面
上，物块A、B、C 放在长木板上，物块A 在长木板的左端，物块C 在长木板上的右端，物块B 与物块
A 的距离
，所有物块均保持静止。现对物块A 施加一个水平向右的推力
，在物块A、
B 即将发生碰撞前的瞬间撤去推力F。已知物块A 的质量为
，物块B、C 的质量为
，物块A、B、C 与长木板的动摩擦因数均为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g
取
，物块A、B、C 均可视为质点，物块间的碰撞均无机械能损失。求：
（1）施加推力时，物块A 的加速度的大小；
（2）物块A、B 碰撞后的瞬间各自的速度大小；
（3）若将长木板换成质量不计的轻质薄板，且物块A、B 碰撞后瞬间，轻质薄板和物块A 粘在一起，
求从施加推力F 到物块A、B、C 与轻质薄板共速所需的时间（最后结果保留两位小数，整个过程中物
块B、C 不相碰）。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
【解析】（1）A、B 能发生碰撞说明A 与木板相对运动，对A 进行受力分析可得
代入题中数据解得
（2）假设长木板、物体B、C 一起加速，加速度为
，则有
因为
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假设成立，所以
设物体A 与物体B 碰前所需时间为t，则
解得
设物体A、B 碰前速度为
、
，则
，
解得
，
物体A、B 碰后速度为
、
，则根据动量守恒定律和能量守恒定律可得
解得
，
（3）对A 有
得
轻质薄木板与B、C 相对静止，有相同的加速度
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设物体A 与物体B 碰前所需时间为
，物体A、B 碰前速度为
、
，则
得
且
，
物体A、B 碰后速度为
、
，则根据动量守恒定律和能量守恒定律可得
解得
，
A、B 碰后，物块A 与薄板粘在一起以
匀速（BC 对薄板摩擦力等大反向），B 匀减速，C 匀
加速至
，时间
，则
此时B 的速度
此后，物体A、C 和薄板相对静止，一起匀加速，B 匀减速至共速，物体A、C 的加 速度大小
物体B 的加速度大小
由
得
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则所需总时间
8．（2025·江西新余·一模）如图，平板小车C 静止在水平面上，左端紧靠平台且与平台等高，平台边缘正
上方用长H=0.8m 的轻绳悬挂质量为m 的物块A，悬点正下方静置一质量为
的物块B，将A 向
左拉至轻绳水平由静止释放，A 与B 发生正碰，碰后A 的速度为零。已知A 与B 碰撞过程中的恢复系
数
，该系数是一个定值，只与发生碰撞物体材料有关。现将A、B 互换角色，将B
悬挂起来从水平位置由静止释放，与A 发生正碰后，A 滑上小车后，立即取走B，经过一段时间作用，
小车C 停止且A 不滑出小车。已知物块A 和小车C 质量都为m=2kg，物块A 与小车C 上表面间的动摩
擦因数
，小车C 与地面摩擦因素
，重力加速度
，A、B 均可视作质点，不计
空气阻力。求：
（1）物块B 与物块A 碰撞前速度
；
（2）A 刚滑上小车时的速度大小
；
（3）小车C 最少需要的长度L，及最后小车离开平台的位移x。
【答案】（1）4m/s （2）4m/s （3）
，
【解析】（1）对B 进行分析，根据动能定理有
，解得
（2）当A 向左拉至轻绳水平由静止释放至最低点过程，根据动能定理有
49
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解得
A 碰撞B 过程，根据动量守恒定律有
解得
则A 与B 碰撞过程中的恢复系数
B 碰撞A 过程，根据动量守恒定律有
B 与A 碰撞过程中的恢复系数
由于B 质量大于A 质量，碰撞后A、B 速度方向相同，且A 的速度大于B 的速度，则解得
，
（3）A 滑上C 后，A 先向右做匀减速直线运动，对A 进行分析，根据牛顿第二定律有
解得
C 先向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
解得
历时
，A、C 达到相同速度，则有
解得
，
此后A、C 保持相对静止，向右做匀减速直线运动，则小车C 的最小长度
50
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解得
上述过程C 的位移
A、C 保持相对静止，根据牛顿第二定律有
解得
减速至0 过程，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有
解得
则最后小车离开平台的位移
解得
9．（2025·云南大理·二模）在竖直平面内，质量
的小球A 用长为
的不可伸长的轻绳悬
挂于
点，
点正下方距离
点0.4m 有一点
，
点用长为
的不可伸长的轻绳竖直悬挂一质
量也为0.1kg 的小球B。把小球A 拉到如图所示位置，轻绳恰好伸直，且轻绳与竖直方向的夹角
。由静止释放小球A，A 球自由下落，当轻绳再次伸直时到达
点，小球沿轻绳方向的速度瞬
间变为0，之后两小球发生弹性碰撞。两球都可视为质点，忽略空气阻力，取
，
，
。求：
51
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（1）求小球A 由静止释放后，轻绳再次伸直前瞬间，小球A 的速度大小；
（2）A、B 两球碰撞后瞬间，小球A 的速度大小；
（3）判断小球B 能否以
为圆心到达圆周的最高点，如果不能，请说明理由；如果能，求出小球B 在
最高点时对轻绳的拉力大小。
【答案】（1）
（2）
（3）能，
【解析】（1）解法1：球A 开始时做自由落体运动，设下落高度为
，则有
由几何关系得
解得
解法2：球A 由静止下落，由动能定理有
由几何关系得
解得
（2）把竖直速度分解为沿轻绳方向的速度
和垂直轻绳方向的速度
，则
设小球A、B 碰撞前瞬间，球A 的速度为
，由动能定理可得
A、B 两球发生两球弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
52
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，
得A、B 两球碰撞后瞬间
（3）假设小球B 能以
为圆心到达圆周的最高点，由动能定理可得
得
，能到达圆周最高点；
由牛顿第二定律得
解得
1．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲
度系数k = 20N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg 的小物块以水平向右的速度
滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x 的关系为
。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大
小；
（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0 所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度
首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。
53
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【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；
；（3）
【解析】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有
m2v0= (m1＋m2)v1
代入数据有
v1= 1m/s
对m1受力分析有
则木板运动前右端距弹簧左端的距离有
v1
2= 2a1x1
代入数据解得
x1= 0.125m
（2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有
kx = (m1＋m2)a 共
对m2有
a2= μg = 1m/s2
当a 共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量
x2= 0.25m
对m1、m2组成的系统列动能定理有
代入数据有
（3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块
54
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m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，
共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有
－μm2g∙2t0= m2v3－m2v2
解得
则对于m1、m2组成的系统有
U = Wf
联立有
2．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于轨
道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B
正碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均
为R = 0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
（1）与B 碰前瞬间A 的速度大小；
（2）A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
【答案】（1）4 m/s （2）11.2 N
【解析】（1）根据题意，设小球A 从最低点开始运动时的速度为v0，由动量定理有
设与B 碰前瞬间A 的速度大小v，从最低点到最高点，由动能定理有
联立代入数据解得
55
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（2）A 与用轻绳悬挂的静止小球B 正碰并粘在一起，由动量守恒定律有
设A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小为F，由牛顿第二定律有
联立代入数据解得
3．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg 的小球A（视为质点）在细绳
和OP 作用下处于平衡状
态，细绳
，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg 的木板B 静止在光滑水平面上，质
量为2kg 的物块C 静止在B 的左端。剪断细绳
，小球A 开始运动。（重力加速度g 取
）
（1）求A 运动到最低点时细绳OP 所受的拉力。
（2）A 在最低点时，细绳OP 断裂。A 飞出后恰好与C 左侧碰撞（时间极短）、碰后A 竖直下落，C
水平向右运动。求碰后C 的速度大小。
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速。求C 和B 之间的动摩擦因数。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】根据题意，设AC 质量为
，B 的质量为
，细绳
长为
，初始时细线
与竖直方向夹角
。
（1）A 开始运动到最低点有
对最低点受力分析，根据牛顿第二定律得
56
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解得
，
（2）A 与C 相碰时，水平方向动量守恒，由于碰后A 竖直下落可知
故解得
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速，则对CB 分析，过程中根据动量守恒可得
根据能量守恒得
联立解得
4．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑
四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球
用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释
放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线
长
。小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。
圆弧轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取
值范围。
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【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）
【解析】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理
解得
在最低点，对小球由牛顿第二定律
解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
（3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
58
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若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值范围为
5．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R 的
光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE 平滑连接。长为L、质量为M 的平板紧靠长为d 的固定凹
槽EFGH 侧壁EF 放置，平板上表面与DEH 齐平。将一质量为m 的小滑块从A 端弹射，经过轨道BCD
后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG 即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，
M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG 间的动摩擦因数为μ2。滑块视为
质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H 点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s
【解析】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时
从滑块离开弹簧到C 过程，根据动能定理
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解得
（2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒
根能量守恒
解得
（3）若μ2=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为
共速后，共同加速度大小为
考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速；
假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程
共速过程，滑块、木板位移分别为
共速时，相对位移应为
解得
，
随后共同减速
60
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到达H 速度
说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。
6．（2024·湖南·高考真题）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A 和
B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞。不计小球与
圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大
小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质
量比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍
（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
【答案】（1）
，
；（2）
或
； （3）
【解析】（1）有题意可知A、B 系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量
守恒有
可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
61
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可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有
联立解得
，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
，则有
联立解得
由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后的速度大小分别为
，
，则同样有
62
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联立解得
，
，故第三次碰撞发生在b 点、第四次碰撞发生在c 点，以此类推，满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程之比为
；所以
联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证
，
，满足题意。
综上可知
或
。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为
，第一次碰后与第二次相
碰前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有
且
联立解得
B 球运动的路程
63
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第二次碰撞的相对速度大小为
第二次碰撞有
且
联立可得
所以B 球运动的路程
一共碰了2n 次，有
64
