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大题02 曲线运动
曲线运动计算题近5 年在高考中稳定出现，分值约为10~12 分。题型以平抛运动和圆周运动为主，
经常出现与能量、动量、电磁场等结合的综合题。平抛运动多与斜面、圆弧轨道结合，注重几何关系
与运动学公式的灵活应用（如2024 年黑吉辽卷物体从桌面飞出问题），圆周运动重点考查竖直平面内
的临界问题（如绳/杆模型）和水平面内的动力学分析（如2022 年辽宁卷弯道滑行问题）。
曲线运动题的考查规律多为“经典模型主导，弱化复杂数学，强化多过程分析”，应熟记平抛运
动和圆周运动公式，2025 年重点关注斜面平抛的几何关系和竖直圆周的临界条件。
题型一 平抛运动
【例1】
【例1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收
到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a 位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高
点b 时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b 水平距离s＝22.5m 的水面上。鱼饵的质量为m
＝0.02kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O 点转动，且O 离水面高度h＝1.55m，O 到鱼竿末端鱼
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饵的距离L＝2.5m，鱼饵从b 点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，Oa、Ob 均视为直线，重力
加速度g 取
，求：
（1）鱼饵在b 点抛出时的速度大小；
（2）释放鱼线前，鱼饵在b 点受鱼线作用力的大小和方向。
平抛运动的公式
1、速度
（1）分速度：水平分速度：
；竖直分速度：
（2）合速度：大小：
；方向：
2、位移
（1）水平分位移：
；竖直分位移：
（2）合位移：大小：
；方向：
3、平抛运动的两个重要推论
（1）速度偏向角与位移偏向角的关系
做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则
。
（2）平抛物体速度反向延长线的特点
做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2
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1．（2024·新疆·一模）2024 年巴黎奥运会，中国选手郑钦文力克对手夺得冠军，为中国赢得首枚奥运网球
单打金牌。现将某次击球过程简化，如图所示。网球在离水平地面高
处被击出，初速度方向
与水平方向的夹角
，一段时间后网球刚好能水平飞过离水平地面高
的位置，不计空气
阻力，取重力加速度大小
，求：
（1）该过程的时间；
（2）初速度的大小。
2．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）直升机因为有许多其他飞行器难以办到或不可能办到的优势（如可以
垂直起飞降落，不用大面积机场），所以受到广泛应用，主要用于观光旅游、火灾救援、海上急救、
缉私缉毒、消防、商务运输、医疗救助、通信以及喷洒农药杀虫剂消灭害虫、探测资源等国民经济的
各个部门。如图是在某次救灾中直升机沿水平方向做匀加速运动时的情境，不计空气阻力，悬挂箱子
的绳子长l = 10 m，与竖直方向的夹角保持为10°，此时箱子距水平地面高20 m，sin10° = 0.174，
cos10° = 0.984，tan10° = 0.176，g 取10 m/s2，箱子可以看作质点。求：
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（1）直升机的加速度a 的大小；
（2）某时刻直升机上仪表显示飞行速度为100 km/h，若此时有一可以看作质点的小物体从箱子中掉落，
直升机仍以上述加速度运动，小物体落在水平地面时距直升机上O 点的水平距离d 的大小。
3．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。2024 年5 月，
借助配重小车进行弹射测试，若测试时，福建舰始终静止，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直
线运动，经5s 落到海平面。小车运动轨迹如图所示，甲板距海平面高度为20m，小车的落水点到航空
母舰前端水平距离为132m。不计空气阻力，小车可视为质点，g 取
，求：
（1）小车离开航空母舰时的速度大小；
（2）小车在电磁驱动过程中加速的距离。
题型二 斜抛运动
【例1】（2024·辽宁本溪·一模）甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。
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甲站在A 点，将标枪以
的初度沿与水平方向间夹角
方向掷出，乙站在B 点，将标枪
以某一初速度
水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C 点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度
，乙投掷标枪投出点的高度
，A、B 两点间的距离
，两标枪的飞行轨迹如图
所示。不计空气阻力，重力加速度
，求：
（1）甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度H；
（2）甲掷出的标枪在空中运动的时间t；
（3）乙掷出的标枪初速度
的大小。
斜抛运动的基本规律
1、速度：水平速度：
；竖直速度：
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2、位移：水平位移：
；竖直位移：
3、轨迹方程：
，是一条开口向下的抛物线。
4、最大高度和射程
（1 ）到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故
，则最大高度
。
（2）当物体在竖直方向上的位移为零时，物体到达最远点，此时有
，解得
。
由此得射程
。由上式可知当
时，射程最大。
1．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，将一篮球（可视为质点）从水平地面上方B 点以v0=10m/s 的速度
斜向上抛出，抛出时速度方向与水平方向成θ=37°角，篮球恰好垂直击中竖直篮板上A 点，取：
sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g 取10m/s2，已知A 点距离水平地面的高度为3.2m，不计空气阻
力。求：
（1）A、B 两点间的水平距离；
（2）B 点距离水平地面的高度。
2．（23-24 高一下·吉林四平·期中）篮球作为世界三大球类运动之一，深受学生们的喜爱。在一次校园篮
球赛中，一同学进行投篮，如图所示，篮球离手时，速度的方向与水平方向成53°角，篮球在下落过程
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中进入篮筐。已知最高点到篮球离手点和篮球进篮筐点间的水平距离分别为
和
，篮球质量为m，
不计空气阻力，忽略篮球及篮筐大小的影响，重力加速度为g，
，
。求：
（1）篮球离手时的速度
的大小以及篮球从离手到进入篮筐的过程在空中飞行的时间t；
（2）篮球进入篮筐时的速度与水平方向间夹角的正切值；
（3）篮球从离手到进入篮筐的过程中重力做功的功率大小。
3．（24-25 高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生
活垃圾（可视为质点），当以v0 = 2 m/s 的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与
路沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d1 = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d2 = 0.2
m。骑行至距垃圾桶桶口A 点的直线距离L = 1.3 m 位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身
前进轴线方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A 点落入桶内。已知垃圾
桶口为正方形，边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾
包、车辆、人看作质点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求：
（1）抛出后，垃圾包在空中运动的时间；
（2）垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小；
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（3）若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？
题型三 水平面内的圆周运动
【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块B，距离中心为
处放置小物块A。A、B 质量均为
，A 与转盘之间的动摩擦因数为
。现在用原
长为
、劲度系数
的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度
，假设弹簧始终处
于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
（1）缓慢增加转盘转动的角速度，求A 即将打滑时的
；
（2）若小物块B 解除固定状态，B 和转盘间动摩擦因数为
，现将转盘角速度从0 开始缓慢增
大，为了保证B 不打滑，求满足条件的转盘角速度
的大小范围。
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【例2】（2024·辽宁·一模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为
的圆盘，圆盘与
餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可以忽略不计。服务员一边转动圆盘，一边把餐盘放在圆盘边
缘。餐盘的质量为m，与圆盘之间的动摩擦因数为
，与餐桌之间的动摩擦因数为
。设
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g（
）。
（1）为使餐盘不滑到餐桌上，求圆盘的角速度
的最大值。
（2）摆放好餐盘后缓慢增大圆盘的角速度，餐盘同时从圆盘上甩出，为使餐盘不滑落到地面，求餐桌
半径
的最小值。
水平面内的圆周运动模型的临界问题
题干信息
图示
特征
解题思路
“物体刚要
滑动时”
静摩擦力提供向
心力
若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当物
体刚要滑动时，
，
临界角速度为
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“物体运动
稳定”
圆盘与小球角速
度相同
小球稳定运动时，由绳拉力和摩擦力的合
力提供向心力，小球竖直方向合力为0
1．（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图所示，倾角θ=30°的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，
斜面最低点在转轴O1O2上。将质量为m 的小物块（可视为质点）放置于斜面的顶端，斜面底面长为
L，小物块始终和斜面相对静止；已知小物块与斜面之间动摩擦因数为
，重力加速度为g，最大静
摩擦等于滑动摩擦力；求：
（1）当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度ω0为多少？
（2）要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的角速度取值范围是多少？
2．（23-24 高一下·山东临沂·期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面
图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω 从0 开始缓慢的增加。大转盘上有两位游
客A 和B，分别位于距转盘中心
和R 处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全
绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k 倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重
力加速度为g。求：
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（1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0；
（2）当转盘的角速度增加到
时，游客A 受到转盘的静摩擦力大小；
（3）游客A、B 相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。
题型四 竖直平面内的圆周运动
【例1】（2024·辽宁大连·二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道AB 和半圆
弧轨道BC 平滑连接组成，C 点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的A 点由静止开始滑下，A 点距
轨道最低点的竖直高度为
，滑到轨道底端后又滑上半径为
的半圆弧轨道（不考虑经
过连接处的速率变化），小球质量为
。（
）
（1）若接触面均光滑，求小球滑到C 点时速度和对轨道的压力。
（2）若接触面不光滑，小球运动到C 点时对轨道的压力为1N，求全过程中克服摩擦力做的功。
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竖直平面内的圆周运动模型的临界问题
绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动
的“过山车”
球与杆连接、球在管道中运动
图示
最
高
点
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方向向下
或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向向下、等
于零或方向向上
受力示意图
力学方程
临界特征
，
竖直向上的
，
过最高点条件
1．（2024·辽宁丹东·一模）某兴趣小组模拟一个娱乐设施做如下实验：轨道
图所示，竖直固定在水
平地面上。已知倾斜轨道
与水平面的夹角
，
点距地高度
，水平轨道
与左侧半
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圆轨道切于
点，
长
，半圆轨道光滑，半径
，倾斜轨道
、水平轨道
与小物块
间的动摩擦因数
，
。设小物块通过倾斜轨道底端
点速度大小不变，现将
的小物块P（可视为质点）从倾斜轨道上
点以初动能
释放。（
，
）
则
（1）判断小物块P 能否运动到半圆轨道的最高点
；
（2）若
点另放置一个
的小物块Q（可视为质点），P 与Q 碰撞后粘在一起，求
整体沿
斜面上升的最大高度及最终停下来的位置与
点的距离。
2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图所示，一辆汽车在平直公路上向左匀速行驶，用长度
的轻绳
将一质量
的小球悬挂于车厢顶部。将小球向右拉至轻绳与竖直方向成一定夹角时，小球相对
于汽车处于静止状态。释放小球，小球连续两次经过最低点时，相对于路面的速度大小分别为
和
，已知重力加速度g 取
。小球可视为质点，忽略空气阻力。求
（1）释放小球时轻绳与竖直方向的夹角
；
（2）轻绳对小球拉力的最大值
。
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3．（2024·四川成都·三模）我国正在大力发展冰雪运动，四川省境内有众多的山地滑雪场地，可以开展丰
富多彩的冰雪运动。如图所示，一位质量为
的可视为质点的运动员（包括滑雪装备）从半径
为
、圆心为
的四分之一圆弧轨道上某处滑下，之后从轨道最低点A（OA 为竖直线）以
的水平速度离开轨道，最后落在水平地面上。A 点离水平地面的高度为
，重力加速
度大小取
。
（1）运动员在A 点时，求运动员对圆弧轨道的压力大小；
（2）如果忽略空气阻力，求运动员落地前瞬间的速度；
（3）由于空气阻力的作用，运动员落地前瞬间的速度大小实际为
，从A 点到落地的过程中，
求空气阻力对运动员做的功。
1．（2024·四川内江·一模）排球比赛是一项竞技性和观赏性都很强的体育运动。在一次比赛中，甲同学跳
起在距离地面高
处，以
的水平速度将排球击出，排球飞入对方场地，对方的乙同学
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迅速赶到某位置将排球垫起，垫起后的排球上升的最大离地高度为
。已知乙同学垫球时球的
位置距离甲同学将排球击出瞬间的位置的水平距离为
，排球垫起前、后瞬间速度的大小不变，
重力加速度
取
，
，排球视为质点，不计空气阻力。求：
（1）乙同学垫球时球的位置离地面的高度；
（2）排球被垫起瞬间球的速度方向与水平方向的夹角
。
2．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，水平放置的圆盘半径为
，在其边缘C 点固定一个高度不
计的小桶，在圆盘直径CD 的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD 平行。滑道右端B 与圆盘圆心
O 在同一竖直线上，其高度差为
。在滑道左端静止放置质量为
的物块（可视为质
点），物块与滑道间的动摩擦因数为
。当用一大小为
的水平拉力向右拉动物块的同时，
圆盘从图示位置以角速度
绕穿过圆心O 的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物
块在滑道上继续滑行，过B 点水平抛出恰好落入小桶内，重力加速度g 取
。求：
（1）物块到达B 点时的速度大小；
（2）水平滑道AB 的最小长度。
3．（2024·吉林·一模）利用如图简易装置可以探测在真空环境内微粒在重力场中的能量。P 是一个微粒源，
能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h 的探测屏
竖直放置，离P 点的水平距
离为L，上端A 与P 点的高度差也为h。
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（1）若打在探测屏A、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系；
（2）若在界线OA 以下加一个方向水平向右，大小是微粒重力的
倍的恒定外力（图中未画出），
某一微粒恰好能沿直线打在B 处，求L 与h 的关系。
4．（2024·山东·一模）如图所示，倾角θ=30°的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球（可视为质点）
从斜面底端О 以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一段时间，小球以垂直于
斜面方向的速度打在斜面上的P 点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α 的正切值tanα；
（2）小球到斜面的最大距离；
（3）OP 间距离。
5．（2024·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为
，离
地面高度为
，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为
。将篮球看成质点，
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忽略空气阻力，
取
。求：
（1）篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间；
（2）出手时篮球速度的大小。
6．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，AB 为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量
的小球P，另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C 处共同连着质量为
的小球Q，长细绳能
承受的最大拉力为60N，细绳BC 能承受的最大拉力为27.6 N。转动圆筒使BC 绳被水平拉直，小球Q
在水平面内做匀速圆周运动，小球P 处于静止状态，此时圆筒顶端A 点到C 点的距离
，细绳
BC 的长度
，重力加速度g 取
，两绳均不可伸长，小球P、Q 均可视为质点。求：
（1）当角速度ω 多大时，BC 绳刚好被拉直（结果可用根号表示）；
（2）当角速度ω 多大时，BC 绳刚好被拉断。
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7．（2024·北京朝阳·二模）如图所示，水平圆台可以绕其中心轴转动。在圆台中心两侧放上甲、乙两物体，
两物体的质量均为m，均可视为质点，甲、乙两物体到圆台中心距离分别为2R、R，其连线过圆台中心。
两物体与圆台间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）若圆台以某一角速度转动时，甲、乙均未滑动。求两物体的加速度之比
；
（2）若圆台的角速度逐渐增大，请分析说明甲、乙两物体谁先滑动；
（3）若将甲、乙两物体用不可伸长的轻绳连接，轻绳最初拉直而不张紧，缓慢增加圆台的转速，求两
物体刚要滑动时圆台转动的角速度ω。
8．（2024·吉林延边·一模）一种自动计数的呼拉圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有
一滑轮，滑轮与配重通过轻绳连接，其模型简化如图乙所示，已知配重质量0.4kg，绳长为0.3m，悬挂
点到腰带中心的距离为0.12m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运
动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角
，g 取10m/s2，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）细绳的拉力；
（2）配重做匀速圆周运动的速度；
（3）配重从静止开始加速旋转至
的过程中，绳子对配重所做的功。
9．（2025·云南昆明·一模）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面ABCD 是边长为
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d=3.2m 的正方形，在其中心O 处用长为L=0.6m 的轻绳悬挂一可视为质点的小球，使小球静止。现给
小球一个垂直于绳方向的初速度
，小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。取重力加速度
g=10m/s2。求：
（1）
的大小；
（2）若小球沿斜面向上运动到与O 点等高时，剪断轻绳，从剪断轻绳到小球离开斜面所用的时间。
10．（2024·江苏镇江·一模）如图所示，在水平的桌面上，有一光滑的弧形轨道，其底端恰好与光滑水平
面相切。右侧有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，轨道半径R＝0.8m，MN 为其竖直直径，P 点到桌
面的竖直距离也是R，质量为M＝2.0kg 的小物块B 静止在水平面上。质量为mA＝2.0kg 的小物块A 从
距离水平面某一高度的S 点沿轨道从静止开始下滑，经过弧形轨道的最低点Q 滑上水平面与B 发生弹
性碰撞，碰后两个物体交换速度，然后小物块B 从桌面右边缘D 点飞离桌面后，恰由P 点沿圆轨道切
线落入圆轨道，g＝10m/s2，求：
（1）物块B 离开D 点时的速度大小；
（2）S 与Q 竖直高度h；
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（3）物块能否沿轨道到达M 点，并通过计算说明理由。
1．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度
的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量
。A、B 间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。同时由静止释放A、
B，弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B 脱离弹簧后沿桌面滑
行一段距离
后停止。A、B 均视为质点，取重力加速度
。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小
和
；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能
。
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2．（2022·辽宁·高考真题）2022 年北京冬奥会短道速滑混合团体2000 米接力决赛中，我国短道速滑队夺
得中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速
度
时，滑过的距离
，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运
动员同时进入弯道，滑行半径分别为
，滑行速率分别为
，
求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
3．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水
面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度
为g，h 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小
；
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
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4．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度
的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右
端与平台的边缘O 对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离
时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O 点。已知物块与薄
板的质量相等。它们之间的动摩擦因数
，重力加速度大小
。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
5．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图
（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘
边缘A 处固定连接一轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘
角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度
匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点
做半径为
的匀速圆周运动。求
与
之间夹角
的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕
点做半径为
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的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为
，绳子在水平雪地上的投影
与
的夹角为
。求
此时圆盘的角速度
。
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