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大题08 带电粒子在匀强磁场、复合场中的运动
带电粒子在匀强磁场、复合场中的运动作为高考物理的必考内容，同时难度也较大，经常作为压轴题
出现。黑吉辽蒙卷相对于全国卷，更侧重创新与综合，常结合粒子加速器、磁流体发电机等实际情境命题，
如2024 年黑吉辽卷考查的粒子加速器模型，对几何与数学能力要求也较高，如2023 年辽宁卷14 题，要求
画出粒子在磁场中的运动轨迹，需要熟练运用几何知识。黑吉辽蒙卷在保持全国卷核心考点的基础上，更
注重创新情境设计与几何分析深度。备考时需强化动态场问题、实际应用模型及复杂轨迹作图能力，同时
通过真题精练掌握命题规律。
题型一 带电粒子在匀强磁场中的运动
【例1】（2024·辽宁·二模）利用磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设
备中有着广泛的应用。如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场下方有一
长度为R 的线状粒子源GH，其左边界G 与竖直半径MO 共线，该粒子源不断射出速度竖直向上、速度大
1
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小范围为
的粒子，粒子带电量均为
，质量均为m。在沿半径MO 入射的粒子中，速度大小为
的粒子恰好从O 点正右方的N 点离开磁场。不计粒子重力及粒子间相互作用力，求：
（1）匀强磁场磁感应强度B 的大小；
（2）圆形磁场中，有粒子通过的区域的面积S；
（3）在圆形磁场右侧有一长度为无限长的竖直挡板CD，中心小孔与N 点重合，CD 右侧1.6R 处是竖直长
度为2R 的竖直荧光屏PQ，其中心点
与N 等高。CD 右侧空间加有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小也为B，若线状粒子源GH 只发射速度竖直向上、速度大小为
的粒子，射出的粒子在GH 间均匀
分布，所有通过小孔N 的粒子打在荧光屏PQ 上都被吸收。求荧光屏上有粒子打到区域的长度d 及能打到
荧光屏上的粒子数与通过小孔N 的粒子数之比
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【解析】（1）由题可知，在沿半径MO 入射的粒子恰好从O 点正右方的N 点离开磁场，该粒子圆周运动
的轨道半径
由于洛伦兹力提供向心力，则
解得
（2）当粒子以
入射时，则此时的轨道半径
2
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解得
有粒子通过的区域如图中阴影部分的面积
则
所以
（3）所有粒子都通过N 打到荧光屏上，磁场强度不变，因此粒子的轨道半径都是R 粒子到达 N 点时的速
度方向在沿竖直向上到水平向右
的范围内，如图所示，从粒子源H 射出粒子通过N 点时速度竖直向上，
到达荧光屏上的E 点，由几何关系可知E、
点距离为
3
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从K 点进入圆形磁场的粒子过N 点后轨迹与荧光屏相切于F 点，则F 为荧光屏上粒子打到的最低点，由几
何关系可知
、F 点距离为
故荧光屏左侧有粒子打到的区域长度为
设轨迹与荧光屏相切的粒子在 N 点速度方向与竖直成
角，则
故
带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动分析
1、基本运动分析
（1）带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动形式
①若v∥B，带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动。
②若v⊥B，带电粒子在垂直于磁场的平面内，以入射速度v 做匀速圆周运动。
③若v 与B 成θ 角，带电粒子在平行于磁场方向，以vcosθ 做速直线运动；在垂直于磁场方向，以vsinθ
做速圆周运动。
（2）常用公式
2、圆心的确定方法
（1）已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方
4
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向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图甲）。
（2）已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射
点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图乙）。
（3）已知粒子轨迹上某点速度的方向及轨迹半径r，则该点沿洛伦兹力方向距离为r 的位置为圆心（如图
丙）。
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图所示为某电磁仪器的原理图，在虚线
上方有一半径为R 的圆形匀
强磁场区域，其圆心O 位于M 点正上方且
间的距离为
，圆内磁场方向垂直纸面向外。一质量为
m、带电荷量为
的粒子从M 点沿垂直于
向上的方向以初速度
射出，粒子通过圆形磁场区域后速度
方向与
平行，不计粒子重力。
（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B；
（2）若该粒子以初速度
从M 点沿垂直于
向上的方向射出，求粒子从射出到返回虚线
上所用
的时间t。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设粒子在磁场中的轨迹半径为
，运动轨迹如图所示，由几何关系可知
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洛伦兹力提供向心力
，解得
（2）粒子以初速度
进入磁场，运动轨迹如图所示，由P 点入磁场从Q 点射出磁场，轨迹圆圆心
为
，设粒子在磁场中的轨迹圆半径为
，运动的时间为
；粒子在无磁场区域运动的总时间为
洛伦兹力提供向心力
，解得
由几何关系可知
，
粒子在磁场中的运动时间为
粒子在无磁场区域运动的总时间为
粒子从射出到返回虚线
上所用的时间为
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2．（24-25 高二上·辽宁大连·期末）如图所示，边长为L 的等边三角形abc 区域外存在垂直于abc 所在平面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q 两点分别为ab 边的三等分点。
时刻，带负电的粒子在
abc 平面内以初速度
从a 点垂直于ac 边射出，从P 点第一次进入三角形abc 区域。不计粒子重力，求：
（1）粒子的比荷；
（2）粒子第一次到c 点的时间；
（3）粒子回到a 点的可能时间。
【答案】（1）
（2）
（3）
（n＝1，2，3…）
【解析】（1）画出粒子运动轨迹如图所示
可知粒子的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
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（2）根据洛伦兹力提供向心力
、
可得
粒子从a 点到P 点的时间
解得
粒子从P 点到M 点做匀速直线运动的时间
其中
解得
粒子从M 点到c 点的时间
解得
粒子第一次到达c 点的时间为
解得
（3）由图可知，粒子第一次回到a 点相当于3 个从a 到c 的时间，则所用的时间为
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解得
所以粒子回到a 点的所有可能时间为
即
（n＝1，2，3…）
3．（23-24 高三上·海南海口·阶段练习）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意
义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=
m，外圆半径R2=3m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小B=1.0T，被束
缚的带正电粒子的比荷
=4.0×107C/kg，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O 点以不同的初速度射
入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T 和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0；
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0从O 点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一
次回到O 点所需要的时间；
（3）为了使束缚效果最好，在半径为R1的圆内也加上磁场，磁感应强度B'=2B，方向相同。求粒子不能射
出半径为R2的圆形区域的最大速度v。
【答案】（1）1.57×10-7s，4×107m/s （2）1.91×10-7s （3）8×107m/s
【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
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解得带电粒子在磁场中运动的周期为
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外
边界的最大速度，如图所示
根据几何关系有
解得
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）带电粒子以速度v0射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图所示
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带电粒子在磁场中运动的圆心角为
，在磁场中运动的时间为
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间为
故带电粒子从O 点沿圆环半径方向射入磁场到第一次回到O 点所需要的时间
解得
（3）要使束缚效果最好，则B′与B 的方向应相同，如图所示
粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为O2，设粒子在两区域内的
运动半径分别为r1、r2，因为
所以
根据几何关系有
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则三角形OO1O2为等腰三角形，∠OO1O2=2α，所以
解得
则
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
【例1】（2024·吉林白城·二模）如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b 平行正对，极板长度和极
板间距都为L，板间存在方向竖直向下、场强大小为E 的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量
为m、带电荷量为
的粒子，以水平速度
从两极板的左端正中央射入极板间，恰好做匀速直线运动。不
计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场磁感应强度B 的大小；
（2）若撤去电场，调整磁感应强度B 大小使粒子刚好能从极板a 右端射出，求粒子运动半径；
（3）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿越电场过程中的动能增量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由粒子受力平衡可知
解得
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因此，匀强磁场磁感应强度B 的大小为
。
（2）撤去电场，粒子刚好从极板a 右端间射出，如图所示
由几何关系得
解得
因此，粒子运动半径为
。
（3）撤去磁场，粒子做类平抛运动，则有
又由牛顿第二定律得
解得
由动能定理得
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因此，粒子穿越电场过程中的动能增量为
。
带电粒子在叠加场中的运动
叠加场：重力场、电场、磁场并存或其中两场并存于同一区域内。
场
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正（负）电荷受力方向与场强方向相同（相反）
电场力做功与路径无关
电场力做功改变物体的电势能
磁场
大小：F＝qvB（v⊥B）
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒
子的动能
6．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，直角坐标系xoy 位于竖直平面内，第一象限中存在匀强电场和匀强磁场。
电场方向沿x 轴正方向水平向右，磁场方向垂直xoy 平面向里，磁感应强度大小
。第一象限内有
一点P，OP 连线与x 轴正方向夹角
．现有一个质量
、电荷量
的带正电的小球，从O
点沿OP 方向射入第一象限，恰好沿OP 做直线运动。重力加速度g 取
，
，
。
（1）求电场强度大小E 以及小球从O 点射入时的速度大小
；
（2）若OP 之间的距离
，且小球运动到P 点时突然撤去磁场，求撤去磁场后经多长时间小球到达
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x 轴？
【答案】（1）
，
（2）
【解析】（1）设小球所受电场力为F，洛伦兹力为f，对小球进行受力分析如图所示，由题意可得小球只
力能做匀速直线运动，所以小球处于平衡状态，对小球受力分析可得
，
由平衡条件可得
，
联立解得
，
（2）突然撤去磁场后，小球做匀变速曲线运动。水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动。
小球从
点到
轴的过程中，竖直分位移
方向向下，小球在
点时的竖直分速度
方向向上，规定竖直向下为正方向，则有
解得小球运动时间为
7．（2025·湖南长沙·一模）如图，竖直平面将地面上方空间分为Ⅰ、II 两个区域，界线
左侧的Ⅰ区域
内存在着竖直向上的匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场B，右侧的II 区域内存在与
大小相等、方向
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水平向左的匀强电场
。有一个质量为
、带电量为
的微粒，从距离
点左侧
处的水平地面上的A 点斜向右上方抛出，抛出速度
、与水平面成
角，微粒在
Ⅰ区域做匀速圆周运动一段时间后，从C 点水平射入II 区域，最后落在II 区域地面上的D 点（图中未标
出）。不计空气阻力，重力加速度
。
（1）求电场强度
的大小和磁感应强度
的大小；
（2）求微粒从A 到D 的运动时间；
（3）求微粒在II 区域内运动过程中动能最小时离地面的高度。
【答案】（1）
，
（2）
（3）
【解析】（1）微粒在Ⅰ区域内做匀速圆周运动，所以重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有
解得
根据几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为
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根据牛顿第二定律，有
解得
（2）微粒从A 到C 点的时间为
从C 点水平射入II 区域微粒做类平抛运动，根据运动的分解，有
解得
1s
微粒从A 到D 的运动时间为
（3）因为在II 区域微粒受到的重力和电场力相等，所以合力方向与水平方向成45°角斜向左下，所以当微
粒速度方向与水平成45°斜向右下时动能最小，即
，
，
解得
此时下落的高度为
离地面的高度
8．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）如图所示，
为带电金属板，金属板间电压为
，板间距离为
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，同时板间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一束带正电粒子以平行于金属板的速度
自
点射入
复合场区域，恰好沿直线通过金属板。已知
为
的中点，金属板足够长，带电粒子的比荷
，
不计带电粒子的重力及它们之间的相互作用，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小
；
（2）若仅撤去电场，带电粒子将打在金属板上且被金属板吸收，则此位置距金属板左端的距离及粒子在
磁场中运动的时间；
（3）若仅将金属板间电压变为
，则带电粒子在两板间运动的最大速率以及沿电场线方向上的最大偏移
量。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
，
【解析】（1）带电粒子能沿直线通过金属板，有
解得
（2）带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
带电粒子向上偏转，设打在
板上距
端
处，由几何关系有
解得
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带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期
设此过程所对应的圆心角为
，有
解得
则带电粒子在匀强磁场中的运动时间
（3）通过配速法，使电场力与洛伦兹力平衡，有
解得
即将带电粒子的初速度
分解为向右的
和向左的
如图所示
则带电粒子在两板间运动的最大速率
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带电粒子做匀速圆周运动的半径
因
故带电粒子沿电场线方向的最大偏移量
题型三 带电粒子在组合场中的运动（由电场进入磁场）
【例1】（2024·黑龙江·三模）如图所示，平面直角坐标系xOy 中存在一与x 轴相切的
圆形匀强磁场区域，圆心坐标为
，匀强磁场的磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外。
区域，存在电场强度大小为
、方向沿y 轴正方向的匀强电场。第四象限内的P 点有一
质量
、带电量
的带正电粒子，以大小为
的初速度沿x 轴负方向射
入匀强电场，从坐标原点O 以与x 轴负方向成
角进入匀强磁场。粒子重力不计，求：
（1）P 点的坐标；
（2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。
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【答案】（1）(0.25，-0.125)；（2）
【解析】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系有
根据牛顿第二定律有
则粒子在匀强电场中运动的时间为
水平方向有
竖直方向有
故
点的坐标为
。
（2）粒子进入匀强磁场的速度大小为
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期为
粒子的运动轨迹如图所示
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由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角为
，故粒子在匀强磁场中的运动时间为
【例2】（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系
中，第一象限内存在垂直于坐标平面向外的
匀强磁场；第二象限内存在沿
轴正方向的匀强电场，电场强度
。某带电粒子由点
（
，0）
以速度
沿
轴正方向射入电场，经
轴进入磁场，偏转后会再次回到电场。已知该粒子质量为
，电荷
量为
，不计粒子的重力，
，
。求：
（1）粒子第一次进入磁场的速度大小；
（2）磁感应强度
的取值范围。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律可知
沿
轴方向有
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联立解得
，
则粒子进入磁场时的速度大小
（2）粒子第一次进入磁场时的位置坐标
设粒子进入磁场时速度与
轴正方向夹角为
，则
解得
粒子在磁场中的运动轨迹刚好与
轴相切时，半径最大，如图所示
根据几何关系可得
解得最大半径
即粒子在磁场中运动轨迹半径满足
由洛伦兹力提供向心力得
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解得
带电粒子在组合场中的运动
1、电偏转与磁偏转的不同（不计重力）
电偏转
磁偏转
受力
特征
只受恒定的电场力F＝qE，方向与初速度方
向垂直
只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB，方向始终与
速度方向垂直
运动
性质
匀变速曲线运动（类平抛运动）
匀速圆周运动
轨迹
抛物线
圆或圆弧
运动
轨迹
运动
规律
动能
变化
电场力既改变速度方向，又改变速度大小，
对带电粒子做正功，动能增大
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，
对带电粒子永不做功，动能不变
运动
时间
2、由电场进入磁场
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1．（2024·吉林白城·一模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某
研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里
的匀强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为-q 的粒子从x 轴负半
轴M 点与x 轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，
最后从N 点与x 轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k 为已知常量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋
状，且粒子恰好从Q 点（图中未标出）垂直x 轴射出磁场，求粒子由P 点运动到Q 点的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）带电粒子在电场中做反向类平抛运动，即在水平方向匀速直线，竖直方向匀减速直线，竖
直分速度减小到0，则
根据动能定理
联立解得
（2）带电粒子在电场中做圆周运动，根据牛顿第二定律
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运动轨迹如图所示
由几何关系
解得
联立解得
（3）有阻力后，例子不再做圆周运动，但洛伦兹力仍提供向心力，列式为
角速度ω 保持不变，且
解得
2．（2025·天津宁河·一模）如图所示的直角坐标系所在空间：
区域存在匀强电场，电场方向与x 轴垂
直；
区域存在磁场，磁场方向垂直于xOy 平面，且x 轴上方磁感应强度大于x 轴下方磁感应强度，均
为匀强磁场。电场中的P 点与x 轴距离为l，与y 轴距离为
。一质量为m、电荷量为q 的粒子，从P 点
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以垂直y 轴的初速度
向y 轴运动，从坐标原点O 进入磁场中，粒子在以后的运动中刚好没有再次进入电
场，不计粒子重力。求：
（1）匀强电场的场强E；
（2）
轴下方磁感应强度与x 轴上方磁感应强度之比
。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设电场强度为E，粒子在电场中运动的加速度
粒子在电场中做类平抛运动，设运动时间为t，x 方向
y 方向
联立解得
（2）设粒子通过坐标原点O 时速度大小为v，根据动能定理可得
解得
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设v 的方向为与x 轴正向夹角为
，则有
解得
设x 轴下方和上方磁感应强度分别为
和
，粒子在第Ⅳ象限中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心
力可得
解得
粒子在第Ⅰ象限做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
如图所示
、
是粒子在磁场中运动的轨迹圆的圆心，半径分别为
和
，由于速度v 与x 轴成
角，所以图中
虚线构成的三角形都是等边三角形。设粒子与y 轴相切于Q 点，根据几何关系
解得
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可得
3．（2025·新疆·二模）如图所示，在
的空间中存在着沿
轴正方向的匀强电场；在
的空间中存
在直
平面向里的匀强磁场。一个带负电的粒子，质量为
，电荷量为
，不计重力，从
轴的
点以平行
轴的初速度
射入电场，经过
轴上的
（2b，0）点进入磁场，此后粒子恰能做闭合的曲线运
动。求：
（1）电场强度
的大小；
（2）磁感应强度
的大小；
（3）粒子运动的周期。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）在电场中，利用平抛运动规律可得
，
联立解得
（2）设粒子进入
点时速度为，其与
轴之间夹角为
在电场中有
，
联立解得
29
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；
在磁场中有
由几何关系知
解得
（3）粒子在磁场中的运动时间
其中
粒子运动的周期
题型四 带电粒子在组合场中的运动（由磁场进入电场）
【例1】（2024·黑龙江·三模）如图所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直
纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小未知），第二象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场（电场强度大小
未知）。质量为m、电荷量为
的粒子从x 轴上的P 点以与x 轴正方向成
角斜向上的初速度
垂直匀强磁场射入，恰好从y 轴上的C 点垂直于y 轴射入匀强电场，最后经x 轴上的Q 点射出匀强电场。
已知
，
，不计粒子的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）匀强电场的电场强度E 的大小；
（3）如果保持匀强电场与匀强磁场的方向不变，而将它们的位置左右对调，且电场强度大小
，磁
30
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感应强度大小
，仍将该粒子从P 点以初速度
沿某一方向发射，仍能
从y 轴上的C 点射入第二象
限，则粒子进入匀强磁场后做圆周运动的半径。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
由几何关系有
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
31
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联立解得
（3）对粒子在匀强电场中的运动，由动能定理有
解得
又有
联立解得
带电粒子由磁场进入电场
1．（2025·新疆喀什·一模）如图，间距为的两平行虚线
之间有磁感应强度大小为
，方向垂直纸面
向里的匀强磁场，在b 的上方区域有电场强度大小为
，方向向下的匀强电场。一质量为
，带电量
的
粒子从虚线a 上某点入射，速度方向与a 的夹角为45°，粒子经
间区域进入电场，然后返回并从a 上
另一点出射。不计重力，粒子始终在纸面内运动。
32
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（1）判断
的正负；
（2）若粒子进入电场时速度垂直于
，求粒子在电场中距
的最远距离；
（3）撤去磁场，当入射速度大小为何值时，粒子从虚线a 入射到从虚线a 出射所需的时间最短？
【答案】（1）正电荷 （2）
（3）
【解析】（1）若粒子带负电，则进入电场后受向上的电场力，不可能回到磁场中，可知粒子带正电，
。
（2）设粒子在磁场中做圆周运动时的速度大小为，运动轨迹的半径为
，由牛顿运动定律和洛伦兹力公
式有
如图，由几何关系得
设粒子在电场中运动的最远距离为，由动能定理有
联立得
（3）设粒子初速度为
，在电场中运动的时间为
，在虚线ab 之间的运动时间为
，则根据动量定理可
33
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得
根据几何关系和运动学理论可得
总时间为
联立可得总运动时间为
根据取极小值
可得
2．（2025·广西·一模）电子对湮灭是指电子和正电子碰撞后湮灭，产生γ 射线的过程。正、负电子的质量
均为m、电荷量均为e，正、负电子的重力不计。如图所示，在平面直角坐标系xOy 上，P 点在x 轴上，Q
点在y 轴负半轴上某处。第I 象限内有平行于y 轴的匀强电场，电场强度大小
，第II 象限内有垂直
xOy 平面向里的匀强磁场，第IV 象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域内的匀强磁场
和第II 象限内的匀强磁场相同。一速度大小为v0的电子从A 点沿y 轴正方向射入磁场，经C 点垂直射入电
场后，从P 点射出电场；一正电子从y 轴负半轴上的Q 点（坐标未知）沿与y 轴正方向成45°角的方向射
入第IV 象限，然后进入未知圆形匀强磁场区域，从P 点离开磁场时，与从P 点射出的电子正碰发生湮灭，
即相碰时两粒子的速度大小相等、方向相反。已知OA=L，忽略正、负电子间的相互作用（碰撞时除外），
求：
34
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（1）第II 象限内匀强磁场的磁感应强度的大小B；
（2）O、P 间的距离x 及电子从A 点运动到P 点所用的时间t；
（3）正电子从Q 点射入时的速度大小v 及未知圆形磁场区域的最小面积S。
【答案】（1）
（2）
，
（3）
，
【解析】（1）电子从A 点沿y 轴正方向射入磁场，经过C 点，由题意知电子在磁场中运动的半径
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）电子在第II 象限中运动的时间
电子在电场中做类平抛运动，设电子在电场中运动的时间为t2，有
由牛顿第二定律有
解得
电子沿x 轴方向做匀速直线运动，有
35
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解得
电子从A 点运动到P 点的时间
（3）从P 点射出电场的电子，根据竖直方向的运动规律
解得
故
所以
电子和正电子碰撞后湮灭，说明两者速度大小相等、方向相反，故正电子从Q 点射入时的速度大小
如图所示
根据牛顿第二定律
36
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正电子在磁场中运动的半径
未知圆形磁场的最小面积为以
为半径的圆形，最小面积
3．（2024·福建漳州·一模）如图，在
坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，
第二象限内有沿
轴负方向的匀强电场，场强大小为
。一质量为
电荷量为
的带电粒子从
轴上的
点以速度沿与
轴正方向成
角的方向射入磁场，恰好垂直于
轴射出磁场进入电场，不计
粒子重力，求：
（1）粒子在磁场中的运动半径；
（2）磁感应强度
的大小；
（3）粒子从
点射入到第二次到达
轴的时间t。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示
37
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由几何关系得
解得
（2）根据洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子在磁场做匀速圆周运动
粒子在磁场中运动时间
粒子从
轴进入电场至速度为0 过程中，可得
解得
粒子从
点射入到第二次到达
轴的时间
解得
题型五 带电粒子在交变场中的运动
【例1】（2024·福建漳州·二模）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定
磁感应强度B 垂直xOy 平面向内为正方向，电场强度E 沿x 轴正方向为正方向，B 随时间t 的变化规律如图
38
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乙，E 随时间t 的变化规律如图丙。
时，一带正电的粒子从坐标原点O 以初速度
沿y 轴负方向开始
运动。已知
、
、
，带电粒子的比荷为
，粒子重力不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
（2）求
时，粒子的位置坐标
；
（3）在
内，若粒子的最大速度是
，求
与
的比值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期
（2）
内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有
解得
由（1）问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期
则粒子在
内运动了半周期恰好又回到x 轴，速度方向沿y 轴正方向
39
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即此时粒子位置的坐标为
（3）
内粒子的运动轨迹如图所示，在
内，粒子受到沿x 轴正方向电场力的作用，粒子做类
平抛运动，粒子在x 方向做匀加速运动
当
时，粒子具有最大速度，粒子沿x 轴方向的分速度为
沿y 轴方向的分速度为
则
解得
带电粒子在交变场中的运动分析
1、常见的交变场
40
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（1）电场周期性变化，磁场不变；（2）磁场周期性变化，电场不变；（3）电场、磁场均周期性变化。
2、解题思路
1．（22-23 高二上·江苏南京·期中）如图甲所示，在xOy 平面的第一象限内（含x 轴和y 轴的正半轴）存
在周期性变化的磁场，规定垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示。某
质量为m、电荷量为
的粒子，在
时刻沿x 轴正方向从坐标原点O 射入磁场。图乙中
已知，
未
知
，
。求：
（1）
时间内粒子做匀速圆周运动的角速度
；
（2）若粒子不能从y 轴正半轴射出磁场，磁感应强度变化周期的最大值
；
（3）若粒子能沿x 轴正方向通过坐标为
的D 点，其射入磁场时速率v。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设粒子进入磁场的速度为
，根据洛伦兹力提供向心力可得
41
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解得轨道半径为
则粒子做匀速圆周运动的角速度为
（2）要使得粒子不从y 轴射出，则轨迹如图1 所示
在前
内的运动半径为
在后
内的运动半径为
可得
由几何关系可知
联立，解得
粒子做圆周运动的周期为
42
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则
运动时间内有
解得磁感应强度变化周期的最大值为
（3）使粒子经过D 点且平行x 轴射出，在
时刻达到D 点的轨迹如图2 所示
由几何关系可得
可得
根据周期性，在
时刻达到D 点可满足题意，由几何关系可得
又有
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立，解得
2．（24-25 高三上·广东潮州·期末）如图a 所示，平面直角坐标系
中，第三象限中存在方向沿y 轴负
43
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方向的匀强电场，第四象限直角三角形
区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C 点坐标
边与x 轴正方向的夹角大小为
，一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子，从P 点以大小为
y，方向与
边平行的初速度进入电场。经偏转后从A 点垂直
边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向
外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从
边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定
磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在
时从A 点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C 点射
出，已知匀强电场场强
，不计粒子重力。求：
（1）A 点的坐标；
（2）粒子恰好不从
边射出时，匀强磁场磁感应强度
的大小；
（3）交变磁场的磁感应强度
和周期
的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
，
【解析】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有
，
根据牛顿第二定律则有
联立解得
对A 点
44
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解得
，A 点的坐标为
（2）粒子进入
的磁场中，则有
由牛顿第二定律
由几何关系得
，
联立解得
（3）粒子进入
的磁场中，由牛顿第二定律
设粒子在
的时间内，轨迹的圆心角为
。由几何关系得，平行x 轴方向
平行y 轴方向
联立解得
，
交变磁场每经过
的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
，
解得
45
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1．（2024·辽宁沈阳·一模）如图所示，空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。纸面
内有一半径为R 的圆环，圆心为O，圆环上涂有荧光材料，电子打到圆环表面时被圆环吸收，荧光材料会
发出荧光。以圆环的圆心O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，A 点的坐标为
，P 点的坐标为
。P 处有一粒子源，可在纸面内沿着各个方向发射速率为
的电子，其中m 为电子质量，e 为
电荷量的绝对值。不计电子重力和电子间的相互作用。求：
（1）从粒子源正对O 点射出的电子，到达圆环的坐标；
（2）在A 点被吸收的电子，到达圆环所需时间；
（3）圆环上发光部分的圆弧长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子圆周运动的半径
从粒子源正对O 点射出的电子与圆环交于一点（x，y），则根据几何关系
且该点在圆上
解得到达圆环的坐标为
。
（2）因为
46
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所以电子垂直AP 出射，经过A 点，运动了半个圆周，电子运动周期
在A 点被吸收的电子，到达圆环所需时间
（3）根据几何关系可知，打在A 点的是上弧的最远点，第（1）问中的粒子轨迹刚好与圆相切，是在下半
圆的最远点，根据几何关系可知有电子经过的圆弧对应圆心角为
所以圆环上发光部分的圆弧长度
2．（2025·黑龙江·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第
四象限内以ON 为直径、P 为圆心、半径为R 的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一
质量为m、电荷量为
的带电粒子，从y 轴正半轴上
处的M 点以大小为
的初速度垂直于
y 轴射入匀强电场中，经x 轴上的P 点进入匀强磁场，最后以垂直于y 轴的方向射出匀强磁场。不计粒子重
力，求：
47
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（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）粒子从M 点到再次经过y 轴的时间。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设粒子在电场中做平抛运动的时间为
，根据运动学规律有
，
由牛顿第二定律得
联立解得
（2）设粒子在P 点的竖直分速度大小为
，根据运动学规律有
设粒子在P 点的速度与水平方向夹角为
，根据速度的合成与分解有
解得
故
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有
48
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根据几何关系可得
联立解得
（3）粒子在磁场中运动的周期
故粒子在磁场中运动的时间
从磁场中出来打到y 轴上的时间
粒子从M 点到再次经过y 轴的时间
3．（2024·黑龙江·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，y 轴左侧存在沿x 轴负方向的匀强电场，y
轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，匀强磁场的右边界放一竖直的屏，屏与y 轴平行，且与y 轴间距为
2L。质量为m、电量为
的粒子从电场中的A 点沿y 轴正方向、以初速度
射出，粒子从坐标原点
O 进入匀强磁场并恰好打在屏与x 轴的交点P。已知A 点坐标为
，粒子重力不计，求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
49
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（2）匀强磁场的磁感应强度B 的大小及粒子从A 运动到P 的时间；
（3）保持其它条件不变，仅改变匀强磁场的磁感应强度大小，让磁感应强度大小在
到
之间变化，
则粒子打到屏上的范围。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【解析】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向有
解得
水平方向有
解得
水平方向由运动学公式，有
解得
（2）粒子射入匀强磁场中的速度大小为
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速度方向与x 轴正方向的夹角满足
解得
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系有
解得
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为
由几何关系可知，粒子在匀强磁场中做圆周运动的圆弧对应的圆心角为
51
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故粒子在匀强磁场中的运动时间为
则粒子从A 运动到P 的总时间为
（3）当磁感应强度大小为
时，粒子做圆周运动的半径为
分析可知粒子将垂直打在屏上P 点上方的某点，设为M 点，由几何关系可得
当磁感应强度大小为
时，粒子做圆周运动的半径为
分析可知粒子轨迹恰好与屏相切，且切点在P 点下方，设为N 点，由几何关系可得
故粒子可打到屏上的范围为
4．（2024·辽宁鞍山·一模）如图所示，正方形区域abcd 的边长为L，右侧cd 边处装有弹性挡板，粒子碰
到弹性挡板时，垂直于挡板的速度反向但大小不变，平行于挡板的速度不变。其他三边无阻挡，粒子能自
由离开。一粒子从a 点沿ac 方向以初速度v0进入矩形区域。如图1，当矩形内部为磁感应强度为B 的匀强
磁场时，粒子能击中cd 中点处；如图2，当矩形区域内换成竖直向上的匀强电场时，粒子也能击中cd 中
点处。不计粒子重力。求：
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（1）粒子的电性及比荷；
（2）匀强电场的电场强度；
（3）求区域内存在磁场和电场这两种情况下粒子离开矩形区域的位置之间的距离。
【答案】（1）负电，
（2）
（3）
【解析】（1）根据题意可知，粒子在a 点受到竖直向下的洛伦兹力，根据左手定则可知，粒子应带负电；
粒子的运动轨迹，如图所示
根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立可得
（2）粒子在电场中做类平抛运动，则
53
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联立解得
（3）如图所示
若区域内存在匀强磁场，则粒子从b 点离开矩形区域的位置；
若区域内存在匀强电场，轨迹如图所示
水平方向有
竖直方向有
联立解得
所以两种情况下粒子离开矩形区域的位置之间的距离为
54
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5．（2024·辽宁·三模）如图所示，带负电的小球通过长为L 的绝缘轻绳与天花板上固定的点电荷相连，固
定点电荷的电荷量为+Q，带电小球的质量为m。空间内存在竖直向上的匀强磁场、轻绳恰好伸直时小球恰
好可以在水平面内做匀速圆周运动（俯视时沿顺时针方向运动），速度大小
，小球运动过程中，
绝缘轻绳与竖直方向的夹角
，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）求小球所带电荷量；
（2）求小球所受洛伦兹力的大小；
（3）若撤去固定的点电荷和绝缘轻绳、小球落地点到原来固定点电荷位置的水平距离恰好为
，求
小球竖直位移的可能值。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设小球电荷量为q，对小球受力分析，小球在竖直方向上有
解得
（2）对小球受力分析，根据左手定则可知，小球受到的洛伦兹力方向背离圆心，静电力水平分力为
水平方向，根据合力提供向心力，有
55
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解得
（3）撤去固定的点电荷和绝缘轻绳后，水平方向小球速度大小不变，水平方向合力为洛伦兹力，大小不
变，此时
因此小球在水平面内做偏转方向相反、半径不变的圆周运动，因为落地点到O 点的水平距离为
小球做圆周运动的周期为T，对小球水平方向受力分析，有
因此小球运动的时间
小球的竖直位移
解得
6．（2024·黑龙江·三模）在如图所示的坐标系中，第二象限内
区域有一电场强度大小为E、
方向沿y 轴负方向的有界匀强电场。在x>0 的某个区域内有一个矩形有界匀强磁场（图中未画出）。现有
一个带正电、电荷量为q，质量为m 的电荷从电场左边界上Q 点
以某一速度垂直电场方向进
入电场，然后从O 点进入第四象限，粒子随后进入磁场，运动一段时间后粒子到达x 轴上并沿x 轴负方向
向O 点运动，忽略粒子的重力。
（1）求粒子从O 点刚进入第四象限时的速度大小和方向；
56
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（2）若粒子在磁场中做匀速圆周运动时的向心加速度大小与其在电场中的加速度大小相等，从粒子第一
次经过O 点开始计时，求粒子再次回到O 点所用的时间；
（3）在满足（2）问和题干中的条件下，求矩形有界磁场的最小面积。
【答案】（1）
，与x 轴正方向夹角为60°；（2）
；（3）
【解析】（1）设粒子第一次通过坐标原点O 时速度大小为v，方向与x 轴正方向夹角为
，粒子从Q 到O
时间为t0，由类平抛运动规律，沿x 轴方向有
沿y 轴方向有
根据牛顿第二定律有
联立解得
，
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则
解得
根据粒子进入磁场和粒子飞出磁场的速度方向可确定磁场的位置，如图所示。
57
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假设OP 间的距离为s，由几何关系得
粒子从O 点到刚进入磁场所用的时间
粒子在匀强磁场中运动时间
从粒子第一次经过O 点开始计时，到粒子再次回到O 点的时间
将
代入上式，解得
（3）满足条件的磁场为图中的矩形abcd，最小面积
代入
，解得
7．（2025·四川德阳·二模）竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电场。虚线下方高度为H 的区
域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场，虚线上、下方的电场强度大小相等。
将质量为m、电荷量为
的小球从a 以初速度
竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c 两点在
虚线上，b 点为轨迹的最高点。小球从c 点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不计空
气阻力，重力加速度为g。求：
58
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（1）小球运动到c 点时的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由于小球在虚线下方磁场和电场中做匀速圆周运动，则
从a 到c，在竖直方向上，则
在水平方向上
，
由运动的合成：
联立解得
（2）由题意可知小球运动轨迹如图所示。
设c 点小球速度与水平方向成
，由
59
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解得
由几何关系可得，
，解得
由牛顿第二定律，得
由以上各式，联立得
8．（2025·江西上饶·一模）如图所示，平面直角坐标系
的第一象限内有竖直向下的匀强电场，电场强
度
，电场的右边界与y 轴的距离为
。电场右侧有一个半径为
的圆形区
域，圆与
轴相切于
点，
点为圆左侧与圆心
等高的位置，圆形区域内存在磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场。
点处有一微粒源，有大量质量为
、电荷量为
的微粒以相同的速率
沿不同方向从
点射入磁场，已知垂直
轴方向射入磁场的微粒恰
好从
点水平射出磁场，不考虑微粒间的相互作用，不计微粒的重力。
（1）求射入磁场时速度方向与
轴正方向成
角的微粒在磁场中运动的时间（结果可用
表示）；
（2）某微粒经磁场与电场的偏转恰好能到达坐标原点
，求该微粒射入磁场时速度的方向。
【答案】（1）
（2）与x 轴负方向成60°角斜向上
60
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【解析】（1）垂直x 轴方向射入磁场的微粒恰好从C 点水平射出磁场，由几何关系可知
如图所示，射入磁场时速度方向与x 轴正方向成
角的微粒从P 点射出，其轨道圆心记为
，则四边形
为菱形。
，
与
平行，则有
对微粒，根据洛伦兹力提供向心力有
可得
则粒子在磁场中的运动时间为
可得
（2）由于
，所有射入磁场的粒子在磁场右侧出射时都有水平向左的速度，要微粒能够经电场偏转过
O 点，对粒子在电场中的运动分析，x 轴方向
y 轴方向
根据牛顿第二定律有
61
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乙
可得：
如图所示，设微粒入射时的速度与x 轴负方向的夹角为
，微粒在磁场中的出射点为
，过
做
的垂
线，垂足为
，由几何关系可知
可得
可知：
微粒射入磁场的方向为：与x 轴负方向成60°角斜向上。
9．（2025·贵州毕节·一模）如图，平面直角坐标系xOy 中，第Ⅳ象限存在沿y 轴正方向的匀强电场，第Ⅰ
象限的某未知矩形区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子沿x 轴正方向从y 轴上A 点以
初速度
进入匀强电场，经电场偏转，从x 轴上的B 点进入第Ⅰ象限，一段时间后，进入矩形磁场区域，
离开矩形磁场区域后以垂直于y 轴的方向射出。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，AO 长为
，BO
长为2L，矩形磁场区域的磁感应强度大小
，不计粒子的重力。求：
62
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（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子经过x 轴上B 点时的速度大小和方向；
（3）矩形匀强磁场区域面积的最小值。
【答案】（1）
（2）
，与x 轴正方向夹角
（3）
【解析】（1）由题可知，带电粒子在电场中做类平抛运动
水平方向：
，竖直方向：
由牛顿第二定律可得：
联立可得：
（2）因为
，则
，
所以
（3）进入磁场后，粒子将做匀速圆周运动，则有
解得
63
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当磁场面积最小时，几何关系如图所示
由图可知磁场中匀速圆周运动转过的圆心角
矩形磁场区域的长为
矩形磁场区域的宽为
所以磁场的面积最小值为
1．（2024·辽宁·高考真题）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ
区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m 的粒子。如
图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，乙刚好射入Ⅰ
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向的匀强电场，
电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
64
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（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常系
数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的
电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）对乙粒子，如图所示
由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
联立解得，磁感应强度的大小为
（2）由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为
65
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对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P 点到O 点，由运动学公式
由牛顿第二定律
联立可得Ⅲ区宽度为
（3）甲粒子经过O 点时的速度为
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则
可得
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为
，乙粒子在Ⅳ区运动时间为
，则上式中
对乙可得
整理可得
对甲可得
则
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
66
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2．（2023·辽宁·高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【解析】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
67
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设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
68
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（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在该
磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。
则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
3．（2024·天津·高考真题）如图所示，在
平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R 的半圆形匀强
磁场区域，半圆与x 轴相切于M 点，与y 轴相切于N 点，直线边界与x 轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。
在第一象限存在沿
方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M 点
以速度v 沿
方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B 的大小；
（2）若仅有电场，求粒子从M 点到达y 轴的时间t；
（3）若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x 轴上P 点，M、P 的距离为
，求粒子在
磁场中运动的时间
。
【答案】（1）
（2）
（3）
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【解析】（1）根据题意可知，由于一带负电粒子能沿直线匀速穿过半圆区域，由平衡条件有
解得
（2）若仅有电场，带负电粒子受沿
轴负方向的电场力，由牛顿第二定律有
又有
联立解得
（3）根据题意，设粒子入射速度为
，则有
可得
画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得
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解得
则轨迹所对圆心角为
，则粒子在磁场中运动的时间
4．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系
中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、
Ⅲ象限中有两平行板电容器
、
，其中
垂直
轴放置，极板与
轴相交处存在小孔
、
；
垂直
轴放置，上、下极板右端分别紧贴
轴上的
、
点。一带电粒子从
静止释放，经电场直线加速后从
射出，紧贴
下极板进入
，而后从
进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直
轴离开，运动轨迹如图
中虚线所示。已知粒子质量为
、带电量为
，
、
间距离为
，
、
的板间电压大小均为
，板间
电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
（1）粒子经过
时的速度大小；
（2）粒子经过
时速度方向与
轴正向的夹角；
（3）磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）粒子从M 到N 的运动过程中，根据动能定理有
解得
（2）粒子在
中，根据牛顿运动定律有
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根据匀变速直线运动规律有
、
又
解得
（3）粒子在P 处时的速度大小为
在磁场中运动时根据牛顿第二定律有
由几何关系可知
解得
5．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电场强度大小为
E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒
子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆
形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
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（1）粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
（2）粒子的电荷量与质量之比；
（3）粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）带电粒子在
区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经
边
的中点速度水平向右，设粒子到达
边的中点速度大小为
，带电荷量为
，质量为
，由平衡条件则有
解得
（2）粒子从b 点到
边的中点的运动，可逆向看做从
边的中点到b 点的类平抛运动，设运动时间为，
加速度大小为
，由牛顿第二定律可得
由类平抛运动规律可得
联立解得粒子的电荷量与质量之比
（3）粒子从
中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为
，由洛伦兹力提供向心力可得
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解得
粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆
形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为
，由几何关系可知
可得
则有
6．（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电
压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小
为
，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。从S
点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O 点进入分离器做
圆周运动，最后打到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求O 点到P 点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为
（
略大于
），方向不变，粒子恰好垂直打在
速度选择器右挡板的
点上。求粒子打在
点的速度大小。
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【答案】（1）带正电，
；（2）
；（3）
【解析】（1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电；设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子
进入速度选择器时的速度为
，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件
在加速电场中，由动能定理
联立解得，粒子的比荷为
（2）由洛伦兹力提供向心力
可得O 点到P 点的距离为
（3）粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力
向下的电场力
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由于
，且
所以通过配速法，如图所示
其中满足
则粒子在速度选择器中水平向右以速度
做匀速运动的同时，竖直方向以
做匀速圆周运动，当速度
转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的
点的要求，故此时粒子打在
点的速度大小为
7．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速圆周运
动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
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有
当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
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