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大题09 带电粒子在匀强磁场、组合场、复合场中的运动
1.会分析处理带电粒子在组合场中运动的问题。
2.知道带电粒子在复合场中几种常见的运动，掌握运动所遵循的规律。
带电粒子在磁场中的运动
【例1】（2024·云南·一模）如图所示，矩形区域abcd 平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，ab 边长为4L，bc 边长为L。在矩形中心O 处有一粒子源，在平面内向各方向均匀发射出速度大
小相等的带电粒子，粒子带电量均为+q，质量均为m。若初速度平行于ab 边的粒子离开磁场时速度方向偏
转了60°角，不计粒子之间的相互作用及粒子重力，取
。求
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；
（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab 边的粒子离开磁场时，这些粒子中未离开磁场的粒
子数与已经离开磁场的粒子数之比。
【思路分析】第（1）问根据粒子运动轨迹求解轨迹半径进而求速度；第（2）（3）主要依托动态旋转圆
寻找临界状态在结合轨迹应用几何知识进行求解。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）根据左手定则，粒子运动轨迹如图
由几何关系
1
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粒子运动半径为
根据牛顿第二定律
粒子在磁场中运动的速度大小为
（2）如图
当粒子与ab 交于O 点正上方时，弦长最短，运动时间最短，由几何关系
说明圆心角为
，则最短时间为
当粒子运动轨迹与cd 边相切时，圆心角最大，运动时间最长。由几何关系，粒子垂直ab 边射出磁场，圆
心角为
，则最长时间为
（3）同一时刻在磁场中的粒子与O 的距离相等，以O 为圆心，以O 到（1）问中射出点的距离为半径作圆，
如图
当初速度方向平行于ab 边的粒子离开磁场时，仍在磁场中的粒子在磁场内部的圆弧上，圆弧所对应的圆心
2
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角总和为
，则未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题
1．解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，
确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建
立几何关系。
2．粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3．常见的动态圆
示意图
适用条件
应用方法
放缩圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直
线上)
粒子的入射点位置相
同，速度方向一定，
速度大小不同
以入射点P 为定
点，将半径放缩作
轨迹圆，粒子恰好
不射出磁场的临界
状态是粒子运动轨
迹与磁场边界相切
旋转圆
(轨迹圆的圆心在以入射
点P 为圆心、半径R＝的
圆上)
粒子的入射点位置相
同，速度大小一定，
速度方向不同
将一半径为R＝的
圆以入射点为圆心
进行旋转，从而探
索出临界条件
平移圆
(轨迹圆的所有圆心在一
条直线上)
粒子的入射点位置不
同，速度大小、方向
均一定
将半径为R＝的圆
进行平移
磁聚焦与磁发散
磁聚焦
粒子速度大小相同，
轨迹圆半径等于区域
圆半径
带电粒子平行射入
圆形有界匀强磁
场，则粒子从磁场
边界上同一点射
出，该点切线与入
射方向平行——磁
聚焦，从边缘某点
3
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磁发散
以不同方向入射时
平行出射——磁发
散
（23-24 高三下·河南信阳·阶段练习）如图所示，空间存在垂直纸面向里的两磁场，以直线
为界，直线
上方存在磁感应强度大小为
的匀强磁场，直线下方存在磁感应强度大小为
的磁场。与
间距离
为
处有一粒子源
，该粒子源可沿垂直
方向发射质量为
、电荷量为
的带电粒子。不计粒子的重
力。
（1）若
，粒子轨迹在
下方距离
最大值为
，求粒子的速度
及粒子在
下方的运动时间；
（2）若
，粒子轨迹在
下方距离
最大值为
，求粒子的速度
。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设粒子在磁场中运动半径为，当粒子距
的最大距离为
，由几何关系可知
根据圆周运动力学关系可得
解得
由几何关系
4
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可得
则带电粒子在
下方运动得时间为
解得
（2）若
，设粒子在磁场中运动半径分别为
和
，根据带电粒子在磁场中运动规律
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设
与磁场边界夹角为
，由几何关系
解得
，
根据带电粒子在磁场中运动规律
解得
5
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带电粒子在组合场中的运动
【例2】（23-24 高三下·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系
内，第一象限存在沿y 轴负方
向的匀强电场，电场强度大小为
（未知）；第二象限存在沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小
；第四象限圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
，圆形区域
分别在P 点、Q 点与
轴、y 轴相切，其半径
。一比荷
、不计重力和空气阻力的带正
电粒子，从第二象限的A 点由静止释放，A 点坐标为（
，
），该粒子从y 轴上C（0，
）
点进入第一象限，恰从P 点进入第四象限的匀强磁场，最终从圆形磁场的M 点射出。求：
（1）粒子经过C 点的速度大小
；
（2）电场强度
的大小及粒子经过P 点的速度v；
（3）粒子在磁场中运动的时间t（结果可用
表示）。
【思路分析】通过审题粒子在第二象限做匀加速直线运动在第一象限，粒子做类平抛运动可以根据运动学
6
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规律或功能关系进行求解；粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动根据牛顿运动定律求半径在根据几何关系求
角度进而求时间。
【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
【详解】（1）粒子在第二象限做匀加速直线运动，则有
由牛顿第二定律得
联立解得粒子经过C 点的速度大小
（2）在第一象限，粒子做类平抛运动，沿x 轴正方向有
沿轴负方向有
由牛顿第二定律可得
联立解得
粒子经过P 点沿轴负方向的分速度大小为
因此，粒子经过P 点的速度大小为
设速度方向与轴正向夹角为，则有
可得
7
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（3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
粒子在磁场中的轨迹如图所示
可知四边形
为菱形，则粒子从M 点射出磁场时速度沿轴负向；从P 到M，圆心角为
，粒
子在磁场中的运动时间为
又
联立解得
1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转)
进入电场时速度方向
与电场有一定夹角
8
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情景图
受力
FB＝qv0B，FB大小不变，
方向变化，方向总指向圆
心，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向
均不变，FE为恒力
FE＝qE，FE大小、方
向均不变，FE为恒力
运动规律
匀速圆周运动
r＝，T＝
类平抛运动
vx＝v0，vy＝t
x＝v0t，y＝t2
类斜抛运动
vx＝v0sin θ，vy＝
v0cos θ－t
x＝v0sin θ·t，y＝
v0cos θ·t－t2
2．常见运动及处理方法
（23-24 高三下·江西·阶段练习）如图所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限存在沿y 轴正方向的匀强电场，
第四象限存在垂直于平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为-q 的粒子从y
轴上的P 点以速度
垂直y 轴射入磁场，从x 轴上的M 点射入第一象限，并垂直y 轴从N 点以
的速度射
出电场，不计粒子受到的重力。求：
（1）粒子在第四象限内运动的时间t；
（2）匀强电场的电场强度大小E。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）依题意，带电粒子在电场中的运动可以看作反方向的类平抛运动，分解M 点的实际速度，
如图
可得
解得
由几何关系可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为120°，轨迹如图
可知粒子在第四象限内运动的时间为
又
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解得
可得
联立，解得
（2）根据类平抛运动规律，可得
又
联立，解得
带电粒子在叠加场中的运动
【例3】（23-24 高三上·山东聊城·期末）如图为竖直平面内的直角坐标系
，x 轴上方存在无穷大的竖
直向上的匀强电场区域，电场强度为
（
大小未知）。x 轴上方有矩形区域
，下方有矩形区域
，
边与x 轴重合，
边的中点与坐标原点
重合，矩形区域
内存在水平向右的匀强电场，电
场强度为
，矩形区域
内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。P 点在a 点正上方高h 处，
Q 点与P 点在同一水平线上，先将一质量为m 的带
电荷量的小球A，从Q 点以某一初速度水平抛出，
小球可以从Q 匀速运动到P 点进入磁场区域，经磁场偏转后从
边进入矩形电场区域，在电场中做直线
运动，速度方向与x 轴正方向夹角为
；又有另一质量仍为m 的带
电荷量的小球B，从
边同一
位置以相同的速度射入矩形电场，从
边离开矩形区域时速度方向竖直向下。（已知重力加速度为
）
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（1）求匀强电场
的大小。
（2）求小球在抛出点Q 的初速度
。
（3）求矩形
边的高度L；
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）匀速射入磁场，匀速过程中
故
（2）在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何关系知
故
又有
联立解得
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（3）对A 球，小球在电场中做直线运动，故小球所受合外力方向与射入电场的速度方向共线，故有
由于小球B 离开电场的矩形区域时，速度方向竖直向下，即离开电场时，小球B 水平方向速度为零，小球
B 在水平方向上只受水平向左的电场力，水平初速度为
在竖直方向只受重力，竖直初速度为
可知小球B 在水平方向做初速度为
加速度为g 的匀减速直线运动，在竖直方向做初速度为
加速度为g 的匀加速直线运动
由此可得
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB
时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB 时，重力场与电场叠加满足mg＝qE 时。
(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB 的方向与速度v 垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB
＝m。
（23-24 高三上·安徽池州·期末）如图所示，平面直角坐标系xOy 的第二象限内存在着与x 轴成45°的匀强
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电场E1（场强大小未知）。第四象限内存在竖直向上、场强大小为
的匀强电场和垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为
的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为+q（q>0）的小球从P（
，）点静
止释放，沿直线运动到Q（0，）点，进入第一象限，从x 轴上的M（图中未画出）点进入第四象限。已
知重力加速度为g，求：
（1）第二象限中电场强度E1的大小；
（2）带电小球在M 点的速度大小及小球从P 点运动到M 点的时间；
（3）带电小球第5 次经过x 轴时距原点O 的距离。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）带电小球在第二象限内从静止开始做直线运动，合力水平向右，对带电小球受力分析，带
电小球受力示意图如图：
有
解得
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（2）带电小球在第二象限做匀加速直线运动，合力大小为mg，加速度大小为g，小球在第一象限做平抛
运动，设小球在M 点的速度为
，由动能定理有
解得
设小球在Q 点的速度为
，小球从P 运动到Q 的时间为
，由动能定理有
解得
则
小球从Q 运动到M 的时间为
，有
解得
小球从P 点运动到M 点的时间
（3）小球在第一象限做平抛运动，平抛运动规律有
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设
方向与x 轴正方向夹角为
，则
则
小球在第四象限内做匀速圆周运动，有
解得
经分析知，带电小球第1 次经过x 轴上M 点进入第四象限做匀速圆周运动后，第2 次过x 轴进入第一象限
做斜抛运动，再次进入第四象限，带电小球第5 次经过x 轴距原点O 的距离为
联立以上各式，代入数据得
1．（2024·四川泸州·二模）如图所示，在半径
的圆形区域内分布着磁感应强度
的匀
强磁场，圆周上M 处有一个粒子发射源，能平行于纸面向四周发射速率大小
的同种粒子，已
知在粒子离开磁场的所有位置中，N 距M 最远且
，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子的比荷；
（2）从N 处离开磁场的粒子，在磁场中运动的时间。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据几何关系可知MN 距离为
在粒子离开磁场的所有位置中，N 距M 最远说明MN 为粒子做圆周运动的轨迹圆的直径，则轨迹圆半径
洛伦兹力提供圆周运动的向心力，即
解得粒子的比荷
（2）根据圆周运动规律可知
从N 处离开磁场的粒子，时间
方程联立解得
2.（2024·云南·二模）如图所示，两竖直放置的平行金属板M、N 之间的电压
，N 板右侧宽度为
的区域分布着电场强度大小
、方向竖直向下的匀强电场，虚线
与
为其边
界。A、C 分别为
、
上的点，水平虚线CD 与
之间存在磁感应强度大小
、方
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向垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量
、电荷量
的粒子从靠近M 板的S 点
由静止释放，经
上的A 点进入
、
间，然后从C 点进入磁场，不计粒子重力。求粒子：
（1）到达A 点的速率
；
（2）在磁场中运动的轨道半径；
（3）从A 点进入电场到最终离开磁场的运动时间（结果可以含
）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据动能定理可得
解得
（2）在偏转电场中做类平抛运动，可得
解得
根据
可得
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故出偏转电场的速度为
在磁场中根据
可得在磁场中运动的轨道半径为
（3）进入磁场时速度方向与竖直方向的夹角为
可得
根据几何关系可知在磁场中偏转角度为
，故在磁场中运动时间为
故从A 点进入电场到最终离开磁场的运动时间为
3.（2024·河南·三模）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，第二象限有沿x 轴正方向的匀强电场，第一象限仅
在一圆形区域内（图中未画出）有垂直于纸面向外的匀强磁场，该圆半径
，磁感应强度
B=0.1T。某时刻一质子以初速度
从x 轴上P 点沿y 轴正方向射入电场，经y 轴的Q 点射出
电场。已知
，质子的比荷取9.6×10⁷C/kg。
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（1）求质子运动到Q 点时的速度大小；
（2）改变第一象限圆形磁场区域的位置，使质子在该磁场中运动的时间最长，求此最长时间（取
）。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）质子从P 到Q 做类平抛运动，y 轴方向
OQ=
x 轴方向
又
所以
质子运动到Q 点时的速度大小为
（2）在第一象限磁场中，由牛顿第二定律得
得
r₁=0.1m
在圆形磁场中运动时间最长，即粒子在圆形磁场中做圆周运动的弧对应的弦最长，即为直径，粒子轨迹示
意图如图
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所以
4.（2024·贵州·一模）如图，在
的区域Oabc 中，存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场
的周围分布着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带负电的粒子以速度
从原点O 沿x 轴负方向进入电场，
由d 点飞出电场，进入磁场后恰好经过b 点，已知粒子的质量为m、电荷量为
，d 点为bc 的三等分点，
不计粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意，画出粒子运动轨迹如图
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粒子在电场中做类平抛运动，有
联立解得
（2）粒子飞出电场时速度为，与竖直方向夹角为
，根据动能动能定理，有
解得
解得
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
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解得
5．（23-24 高二上·山西吕梁·期末）如图所示，在
平面内，直线
与
轴正方向夹角为45°，直线
左侧存在平行于
轴的匀强电场，方向沿
轴负方向。直线
右侧存在垂直
平面向里的磁感应
强度为
的匀强磁场。一带电量为
，质量为
带正电的粒子（忽略重力）从原点
沿
轴正方向以速度
射入磁场。当粒子第三次经过直线
时，电场方向突然调整为垂直于直线
斜向右下方，电场强度
的大小不变，粒子恰好从电场中回到原点
。粒子通过边界时，其运动不受边界的影响。求：
（1）粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）匀强电场电场强度的大小；
（3）从
点射出至第一次回到
点所用的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
故
可得
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（2）如图所示，设粒子第一次经过
上的点为
点，粒子第三次经过
上的点为
点。由几何关系可
知
过
点后，粒子在新的电场中沿
方向做匀速直线运动，沿
方向的速度大小为
粒子在新的电场中沿垂直于
方向先做匀减速运动后做匀加速直线运动。
解得
（3）根据轨迹图可知，粒子在磁场中时间为
粒子在旧电场中运动的时间为
粒子在新电场中运动的时间为
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粒子从
点射出到第一次回到
点的时间为
6.（2024·福建莆田·二模）如图，xOy 平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O 为圆心的圆形匀强磁
场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场：电场强度大小为E，方向沿y 轴负方向；两区域磁场
的磁感应强度大小均为B，方向均垂直坐标中面向里。某带电粒子以速度v0从M 点沿y 轴负方向射入区域
Ⅰ，从N 点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x 轴运动。已知
，M 点坐标为（0，0.1），粒
子的比荷
，不计粒子的重力。
（1）求粒子的速度v0；
（2）求电场强度E；
（3）某时刻开始电场强度大小突然变为2E（不考虑电场变化产生的影响），其他条件保持不变，一段时
间后，粒子经过P 点，P 点的纵坐标
，求粒子经过P 点的速度大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
又有
且
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联立解得
（2）带电粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，由平衡条件有
解得
（3）电场强度突然变为
，粒子运动到
点过程，由动能定理有
解得
7．（23-24 高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在
的区域存在方向沿
轴负方向的匀强电场，场强大
小为
；在
的区域存在方向垂直于
平面向外的匀强磁场。一个氕
和一个氘核
先后从
轴上
点以相同的动能射出，速度方向沿
轴正方向．已知
进入磁场时，速度方向与
轴正方向的夹角为
，并从坐标原点
处第一次射出磁场。
的质量为
，电荷量为
。不计重力。求：
（1）
第一次进入磁场的位置到原点
的距离；
（2）磁场的磁感应强度大小；
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动运动轨迹如图所示
设
在电场中的加速度大小为
，初速度大小为
，它在电场中的运动时间为
，第一次进入磁场的位置
到原点O 的距离为
。在电场中由运动学公式有
进入磁场时速度在y 轴方向的分量大小为
联立解得
（2）
在电场中运动时，由牛顿第二定律
设
进入磁场时速度的大小为
，由速度合成法则有
设磁感应强度大小为B，
在磁场中运动的圆轨道半径为
，由洛伦兹力提供向心力，有
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由几何关系得
联立解得
8．（2024·河南·一模）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面（纸
面）的第一象限内有足够长且宽度为L、边界平行x 轴且下边界与x 轴重合的区域，该区域存在磁感应强度
大小为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里。在匀强磁场的上方存在沿y 轴负方向的匀强电场。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向沿x 轴正方向的的正离子束。已知离子垂直进入磁
场时的速度方向与x 轴正方向成
角，运动过程中恰好没有通过x 轴。不计离子的重力及离子间的相
互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子进入磁场时速度大小
及第一次在磁场中的运动时间t；
（2）求离子初速度大小
及电场强度大小E。
【答案】（1）
，
；（2）
，
【详解】（1）离子运动过程中恰好没有通过x 轴，运动轨迹如图所示
28
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根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力
解得离子进入磁场时速度大小为
第一次在磁场中的运动时间为
（2）离子初速度大小为
离子的加速度为
电场方向，根据动力学公式有
联立解得
9．（2024·内蒙古包头·一模）如图所示，在xOy 平面内，以坐标原点O 为圆心、半径为R 的圆形区域内存
在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，直线
的左侧区域存在平行y 轴向下的匀强
29
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电场。质量均为m、电荷量均为＋q 的甲、乙粒子分别从圆上的
、
两点垂直x 轴射
入匀强磁场，均从圆上的P 点位置离开磁场，甲粒子经过P 点时的速度方向平行于x 轴向左，电场强度的
大小为
，
，
，不计粒子重力，求：
（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过x 轴所用的时间；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到x 轴的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设
，如图
A 为甲粒子在磁场中运动轨迹的圆心，由几何关系得
30
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联立各式解得
，
，
如图
D 为乙粒子磁场中运动轨迹的圆心，由几何关系得
乙粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律
解得
所以
（2）甲粒子在磁场中的运动时间为
甲粒子在无场区域的运动时间为
31
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甲粒子在电场中做类平抛运动，加速度为
甲粒子的竖直分位移为
所以
甲粒子从射入磁场到第二次经过轴所用的时间为
（3）设乙粒子离开磁场时的速度与竖直方向成β 角，令
，则
乙粒子轨迹上的最高点到x 轴的距离为
所以
10．（23-24 高三下·四川雅安·开学考试）如图所示，两块足够大的带电平行金属板
、
竖直放置，两金
属板相距为
。现有一带正电的颗粒从
板下边缘以大小为
的初速度竖直向上射入电场，当它飞到
板
时，速度大小不变，而方向变为水平方向，且刚好从距
板底部的高度也为
处的狭缝穿过而进入
区域，
区域的宽度也为
，所加匀强电场的电场强度与金属板间的电场强度大小相等，方向竖直向上，匀强磁
32
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场的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小
（
为金属板间的电场，未知），重力加速度大小
未知。
求：
（1）颗粒在
区域的运动时间；
（2）颗粒在
区域中做匀速圆周运动的半径；
（3）颗粒在
区域中做匀速圆周运动所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设颗粒在
区域的运动时间为
，则有
解得
（2）颗粒在
区域水平方向上做初速度为0 的匀加速直线运动，刚好从距
板底部的高度也为
处的狭
缝穿过而进入
区域，有
进入
区域，电场力大小未变，方向竖直向上，电场力与重力平衡，颗粒做匀速圆周运动，由洛伦兹力提
供向心力有
解得
33
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又
，解得
（3）在
区域，颗粒运动轨迹所对应的圆心角为
，则由
可得
颗粒在
区域中做匀速圆周运动所用的时间
11.（23-24 高三上·河南·期末）如图所示，竖直面内间距为L 的水平虚线MN、PQ 间有水平向里的匀强磁
场Ⅰ，PQ 下方有水平向外的匀强磁场Ⅱ；两磁场的磁感应强度大小相同，MN 下方有方向竖直向下的匀强
电场，从同一竖直面内距MN 上方高度为L 的A 点，水平向右抛出一个质量为m、电荷量大小为q 的带负
电小球，小球从C 点进入MN 下方的电、磁场中，A、C 两点的水平距离为1.5L，匀强电场的场强大小为
，重力加速度为g，不计空气阻力及小球大小，求：
（1）小球从A 点抛出时的初速度大小；
（2）要使小球不进入磁场Ⅱ，匀强磁场的磁感应强度大小应满足什么条件？
（3）若小球第一次在磁场Ⅰ中运动的偏向角为90°，进入磁场Ⅱ中运动到某位置时撤去磁场Ⅱ，此后小球
第二次在磁场Ⅰ中的运动轨迹恰好与MN 相切，则撤去磁场Ⅱ时小球的位置离PQ 的距离为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在MN 上方做平抛运动，则有
，
34
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解得
（2）设小球进磁场Ⅰ时的速度大小为v，根据动能定理可得
解得
设小球进磁场Ⅰ时速度方向与水平方向夹角为θ，则
解得
设粒子刚好不进入磁场Ⅱ时，在磁场中Ⅰ做圆周运动的半径为
，根据题意及几何关系可得
解得
根据牛顿第二定律
，
解得
要使小球不进入磁场Ⅱ，匀强磁场的磁感应强度应满足
35
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（3）设小球在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为
，根据题意有
解得
根据题意及几何关系可知，小球进磁场Ⅱ时，速度与水平方向的夹角为37°，小球在磁场Ⅱ中运动t 时间，
撤去磁场Ⅱ，小球做匀速直线运动，设此时小球运动的速度与水平方向的夹角为
，则
解得
设撤去磁场Ⅱ时，小球的位置离PQ 的距离为d，根据几何关系有
1．（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺
贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在
上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小为B。两个氖离子在O 处以相同速度v 垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M 和
N 处。已知某次实验中，
，落在M 处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为
；P、O、M、N、P 在同一直线上；离子重力不计。
（1）求OM 的长度；
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，求落在N 处氖离子的比荷。
36
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
整理得
OM 的长度为
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，则ON 运动轨迹半径为OM 运动轨迹半径1.1 倍，根据洛伦兹力提供向
心力得
整理得
2．（2023·山东·高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、场强大小
为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的带正电粒
子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
37
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【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
38
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在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
所以有
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有
沿y 方向上有
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
39
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（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
3.（2018·全国·高考真题）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U 加速后在纸面内
水平向右运动，自M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知
甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N 点射出；乙种离子在MN 的中点射出；MN 长为l。
不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
40
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【答案】（1）
；（2）1 4∶
【详解】（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁
感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为
R2.同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
4．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P 和M
处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有
垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处
以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动过
程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
41
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（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）粒子运动轨迹见解析，
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P 点的距离
④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N 点射出）如图所示
42
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由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离
⑫
43
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由⑩
式解得
⑪⑫
⑬
5．（2020·全国·高考真题）如图，在0≤x≤h，
区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度B 的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进
入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度
的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向
与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；
；（2）
；
【详解】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。
设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
44
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②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
（2）若磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
为
⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即
⑦
由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
6．（2019·全国·高考真题）如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂
45
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直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，
该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的夹角
为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：
，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至
轴，运动的轨迹长度
46
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粒子从射入磁场到运动至
轴过程中，一直匀速率运动，则
解得：
或
7．（2018·全国·高考真题）一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy 平面内的截面如图
所示：中间是磁场区域，其边界与y 轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy 平面；磁
场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l´，电场强度的大小均为E，方向均沿x 轴正方向；M、N 为条状区
域边界上的两点，它们的连线与y 轴平行，一带正电的粒子以某一速度从M 点沿y 轴正方向射入电场，经
过一段时间后恰好以从M 点入射的速度从N 点沿y 轴正方向射出，不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
（2）求该粒子从M 点入射时速度的大小；
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x 轴正方向的夹角为
，求该粒子的比荷及其从M 点运动到
N 点的时间。
【答案】（1）轨迹如图所示：
47
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（2）
（3）
；
【详解】（1）粒子运动的轨迹如图所示。（粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对
称）
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M 点射入时速度的大小为v0，在下侧电
场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为
如图
所示，速度沿电场方向的分量为v1，根据牛顿第二定律有
式中q 和m 分别为粒子的电荷量和质量，由运动学公式有
48
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
由几何关系得
联立以上公式可得
（3）由运动学公式和题给数据得
联立得
设粒子由M 点运动到N 点所用的时间为
，则
式中T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
则从M 点运动到N 点的时间
8．（2018·全国·高考真题）如图，在y>0 的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0
的区域存在方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场．一个氕核
1
1H 和一个氘核
2
1H 先后从y 轴上y=h 点以相同
的动能射出，速度方向沿x 轴正方向．已知1
1H 进入磁场时，速度方向与x 轴正方向的夹角为60°，并从坐
49
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标原点O 处第一次射出磁场．1
1H 的质量为m，电荷量为q 不计重力．求
（1）1
1H 第一次进入磁场的位置到原点O 的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）1
2H 第一次离开磁场的位置到原点O 的距离
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在电场中的类平抛运动、在匀强磁场中的匀速圆周运动及其相关的知识点，意
在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．
【详解】（1）
在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示．设
在电场中的加
速度大小为
，初速度大小为
，它在电场中的运动时间为
，第一次进入磁场的位置到原点Ｏ的距离为
．由运动学公式有
①
②
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由题给条件，
进入磁场时速度的方向与x 轴正方向夹角
．
进入磁场时速度的y 分量的大
小为
③
联立以上各式得
④
（2）
在电场中运动时，由牛顿第二定律有
⑤
设
进入磁场时速度的大小为
，由速度合成法则有
⑥
设磁感应强度大小为B，
在磁场中运动的圆轨道半径为
，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
⑦
由几何关系得
⑧
联立以上各式得
51
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⑨
（3）设
在电场中沿x 轴正方向射出的速度大小为
，在电场中的加速度大小为
，由题给条件得
⑩
由牛顿第二定律有
⑪
设
第一次射入磁场时的速度大小为
，速度的方向与x 轴正方向夹角为
，入射点到原点的距离为
，在电场中运动的时间为
．由运动学公式有
⑫
⑬
⑭
⑮
联立以上各式得
，
，
⑯
设
在磁场中做圆周运动的半径为
，由⑦
式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
⑯
⑰
52
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所以出射点在原点左侧．设
进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为
，由几何关系有
⑱
联立④⑧
式得，
⑯⑰⑱
第一次离开磁场时的位置到原点O 的距离为
⑲
53
