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压轴题08 带电粒子在复合场、组合场中的运动
1.本专题是电磁场的典型题型之一，包括应用电场力洛伦兹力的知识解决实际问题。高考中经常在选择题中命
题，更是在在计算题中频繁出现。2024 年高考对于复合场、组合场的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:电场的知识,磁场的知识等。近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考
查类型带电粒子在复合场中的运动，组合场中的运动等。
考向一： 带电体在磁场中的运动
1.带电体在匀强磁场中速度变化时洛伦兹力往往随之变化，并进一步导致弹力、摩擦力等的变化，带电体将在
变力作用下做变加速运动。
2.利用牛顿运动定律和平衡条件分析各物理量的动态变化时要注意弹力为零的临界状态，此状态是弹力方向发
生改变的转折点。
考向二：带电粒子在叠加场中的运动
1.三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关；
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方
向相同，负电荷受力方向与电强
方向相反
电场力做功与路径无关；
W＝qU；
电场力做功改变电势能
磁场
大小：f＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的
动能
2.分析的基本思路
(1)弄清叠加场的组成。
(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①由于洛伦兹力的大小与速度有关，带电粒子在含有磁场的叠加场中的直线运动一定为匀速直线运动，根据平
衡条件列式求解。
②当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件
和牛顿运动定律分别列方程求解。
1
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③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
考向三：带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后
顺序将粒子的运动过程分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系
入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。
1.分析思路
2.解题关键
从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系带电粒子在
两场运动的桥梁，因此求解速度是重中之重。
01 带电粒子在有界磁场中运动
1.如图所示，在磁感应强度大小为B 的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直磁场方向
放置，细棒与水平面间的夹角为α，一质量为m、带电荷量为＋q 的圆环A 套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩
擦因数为μ，且μ<tan α，重力加速度为g。现让圆环A 由静止开始下滑，试问圆环在下滑过程中：
(1)圆环A 的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？
(2)圆环A 能够达到的最大速度为多大？
【答案】(1)gsinα (2)
【解析】(1)由于μ<tanα，所以圆环将由静止开始沿棒下滑，圆环A 沿棒运动的速度为v 时，对圆环A 受力分
析，根据牛顿第二定律，沿棒的方向有
mgsinα－f1＝ma
垂直棒的方向有N1＋qvB＝mgcosα
所以当N1＝0，即f1＝0 时，a 有最大值am，am＝gsinα，此时qvB＝mgcosα
2
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解得v＝。
(2)当圆环A 的速度达到最大值vm时，a＝0。设圆环受到棒的弹力大小为N2，方向垂直于棒向下，摩擦力为f2＝
μN2，根据平衡条件有mgsin α＝f2
N2＋mgcosα＝qvmB
解得vm＝。
02 带电粒子在叠加场中的运动
2．如图甲所示，宽度为d 的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在方向垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上
的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0 表示电场方向竖直向上。t＝0 时，一带正电、
质量为m 的微粒从左边界上的N1点以水平速度v 射入该区域，沿直线运动到Q 点后，做一次完整的圆周运动，
再沿直线运动到右边界上的N2点。Q 为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g 为已知量。
(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小；
(2)求电场变化的周期T；
(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T 的最小值。
【答案】(1) (2)＋ (3)
【解析】(1)微粒在叠加场中做直线运动时，受到重力、电场力、洛伦兹力作用且三力平衡，则有
mg＋qE0＝qvB
微粒在叠加场中做圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则有mg＝qE0
解得q＝，B＝。
(2)设微粒从N1点运动到Q 点的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则有
＝vt1，qvB＝m，2πR＝vt2
由以上各式可解得t1＝，t2＝
故电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋。
(3)由(2)知，改变d 时，t2不变
Tmin＝t1min＋t2＝＋
若微粒能完成题述的运动过程，则要求
d≥2R，故dmin＝2R
由qvB＝m 得R＝＝
故T 的最小值为Tmin＝。
03 带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
3.如图所示，在y>0 的区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，在y<0 的区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。
一电子(质量为m，电荷量为e)从y 轴上A 点以沿x 轴正方向的初速度v0开始运动。当电子第一次穿过x 轴时，
恰好到达C 点；当电子第二次穿过x 轴时，恰好达到坐标原点O。已知A、C 两点到坐标原点的距离分别为d、
3
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2d，不计电子的重力。求：
(1)电场强度E 的大小；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)画出电子从A 运动到O 的运动轨迹，并求出电子从A 运动到O 经历的时间t。
【答案】(1) (2) (3)轨迹图见解析
【解析】(1)电子在电场区域内做类平抛运动，设运动时间为t1，
有v0t1＝2d
·t＝d
解得t1＝，E＝。
(2)电子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；设电子进入磁场时的速度方向与x 轴正方向的夹角
为θ，进入磁场后做圆周运动的半径为r，由几何关系可得
tanθ＝
sinθ＝
解得θ＝
r＝d
由牛顿第二定律可得evB＝m
又v·cosθ＝v0，v＝v0
整理得B＝＝。
(3)电子从A 运动到O 的运动轨迹如图所示：
电子在磁场中的圆弧轨迹所对应的圆心角为
θ′＝2π－×2＝
运动时间为t2＝×＝
所以电子从A 运动到O 经历的时间
t＝t1＋t2＝。
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）用如图所示装置作为推进器加速带电粒子。装置左侧部分由两块间距为d 的平行
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金属板M、N 组成，两板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。使大量电荷量绝对值均为q0的正、
负离子从左侧以速度v0水平入射，可以给右侧平行板电容器PQ 供电。靠近Q 板处有一放射源S 可释放初速度为
0、质量为m、电荷量绝对值为q 的粒子，粒子被加速后从S 正上方的孔喷出P 板，喷出的速度大小为v。下列
说法正确的是（ ）
A．放射源S 释放的粒子带负电
B．增大q0的值，可以提高v
C．PQ 间距变为原来的2 倍，可使v 变为原来
倍
D．v0和B 同时变为原来的2 倍，可使v 变为原来的2 倍
【答案】D
【详解】根据左手定则可知，正负离子进入MN 区域，正离子受到向下的洛伦兹力，负离子受到向上的洛伦兹力，
所以正离子打到N 板，负离子打到M 板，N 板电势高于M 板，即Q 板电势高于P 板，S 释放的粒子受到向上的电
场力，电场力方向与场强方向相同，则粒子带正电，故A 错误；根据力的平衡可得
S 释放的粒子，
加速过程有
，联立可得
，由此可知，粒子射出的速度与q0、PQ 间距无关，故BC 错误；
由以上分析可知，当v0和B 同时变为原来的2 倍，可使v 变为原来的2 倍，故D 正确。
故选D。
二、多选题
2．（2024·甘肃·二模）如图所示，绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD 光滑，对应圆心角为120°，C、D
两端等高，O 为最低点，圆弧圆心为O'，半径为R（R 远大于轨道内径），直线段轨道AC、HD 粗糙，与圆弧段
分别在C、D 端相切，整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，在竖直
虚线 MC 左侧和ND 右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场。现有一质量为 m、电荷
量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，与直线段轨道间的动摩擦因数为μ，从轨道内距
C 点足够远的P 点由静止释放，若PC=l，小球所受电场力等于其重力的
倍。重力加速度为g。则（ ）
A．小球在轨道AC 上下滑的最大速度
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B．小球第一次沿轨道AC 下滑的过程中做加速度减小的加速运动
C．经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功
D．经足够长时间，小球经过O 点时，对轨道的弹力一定为
【答案】ACD
【详解】小球沿轨道AC 下滑的过程中，根据题意，小球所受电场力等于其重力的
倍，即
，电场
力在垂直轨道方向的分力
，重力垂直轨道方向的分力
，
可知在垂直轨道方向上重力分力与电场力分力大小相等方向相反，因此可知电场力与重力的合力沿着轨道向下，
大小为
，小球从静止释放后随着小球速度增加，小球所受洛伦兹力由0 逐渐
增加，且洛伦兹力垂直轨道向上，即小球对轨道产生压力，压力大小即为洛伦兹力的大小，且随着速度增加逐
渐增大，因此轨道对小球将产生滑动摩擦力且随着洛伦兹力的增大而增大，根据牛顿第二定律有
，
可知，随着小球速度的增加，小球合外力不断减小，则其加速度不断减小，即小球做加速度逐渐减小的加速运
动，当加速度减小为0 时小球速度达到最大值，此后小球将做匀速直线运动，即当
，时速度达到最大
值，有
，解得
，故A 正确，B 错误；由于小球要在AC、HD 段克服摩擦力做功，因此
最终小球将在C、D 间做往复运动，在C 点和D 点速度为0，从P 点到C 点，根据动能定理有
，
则可得经足够长时间，小球克服摩擦力做的总功为
，小球在圆弧段COD 做往复运动时，设小球经
过O 点时的速度为
，根据动能定理有
，而小球经过O 点时由牛顿第二定律有
，
联立解得
，由牛顿第三定律得，小球经过O 点时对轨道的弹力大小为
，
故D 正确。
故选ACD。
3．（2024·广东惠州·一模）如图所示，长方体
所在空间存在与
方向平行的匀强磁场，
一粒子源无初速度释放一质量为m、带电量为
的带电粒子，经电压U 加速后，从O 点沿OQ 方向射入磁场区域，
并从
点离开长方体区域。已知长方体OM、
边的长度均为d，OQ 的长度为
，不计粒子的重力及其相互
作用，下列说法正确的是（ ）
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A．粒子进入磁场区域的初速度为
B．磁感应强度的大小为
C．若减少加速电压U，粒子可能从
射出
D．若增加加速电压U，粒子可能从
中点射出
【答案】ABC
【详解】A．粒子在电场中被加速，则
，解得进入磁场区域的初速度为
，选项A 正确；进
入磁场后粒子在平面
内做匀速圆周运动，则
，
，解得磁感应强度的大
小为
，选项B 正确；若减少加速电压U，则粒子射入磁场时的速度减小，运动半径减小，则粒子可
能从
射出，选项C 正确；若增加加速电压U，则粒子射入磁场时的速度变大，运动半径变大，则粒子从QP1
连线上某点射出，不可能从
中点射出，选项D 错误。
故选ABC。
4．（2024·安徽池州·二模）如图所示，足够长的竖直绝缘墙壁右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度为
。质量为
、带电量为
（
）的绝缘物块与绝缘墙壁之间的动摩擦因数为
，重力加速度g。现将
小物块紧贴竖直墙壁由静止释放，当小物块沿绝缘墙壁下滑h 时获得最大速度开始匀速下滑，墙壁足够长，下
列说法正确的是（ ）
A．小物块运动过程中的最大加速度为
B．小物块获得最大速度
C．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程克服摩擦力做的功
D．小物块沿绝缘墙壁下滑h 过程经历的时间
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【答案】ABD
【详解】A．小物块运动过程中的加速度
，物块由静止释放时有最大加速度
，A 正确；物
块速度最大时合力为零，根据平衡条件得
，解得小物块能达到的最大速度为
，B 正确；小物
块沿绝缘墙壁下滑h 过程根据动能定理
，解得
，C 错误；小物块沿绝缘墙壁
下滑h 过程，根据动量定理
，
解得，
，D 正确。
故选ABD。
5．（2024·湖北·二模）现代科学仪器中常利用电、磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，纸面内存在上、
下宽度均为d 的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现
有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的O 点由静止释放，运动到磁场的下边界
的P 点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，重新让粒子从上边界M 点由静止释
放，经过一段时间粒子第一次到达最低点N，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．粒子从O 点运动到P 点的时间为
C．M、N 两点的竖直距离为
D．粒子经过N 点时速度大小为
【答案】BD
【详解】设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有
，洛伦兹力充当向心力，
有
，由几何关系可得
，综上可得
，故A 错误；粒子在电场中的运动时间为
，
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在磁场中的运动时间为
，粒子从O 运动到P 的时间为
，故B 正确；将粒子从M 到N 的过
程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量
、
，再把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解，
两个洛伦兹力分量分别为
，设粒子在最低点N 的速度大小为v1，MN 的竖直距离为y。水平
方向由动量定理可得
，由动能定理可得
，联立，解得
故C 错误；D 正确。
故选BD。
三、解答题
6．（2024·广东韶关·二模）如图所示，矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场，
为磁场边界线，四条边界线相互平行，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B，区域Ⅱ的磁感应强度
大小为
，矩形区域的长度足够长，磁场宽度及
与
之间的距离相同。某种带正电的粒子从
上的
处以大小不同的速度，沿与
成
角进入磁场（不计粒子所受重力），当粒子的速度小于某一值时，粒
子在区域Ⅰ内的运动时间均为
；当速度为
时，粒子垂直
进入无场区域，最终从
上的A 点射出，求：
（1）粒子的比荷
；
（2）磁场区域Ⅰ的宽度L；
（3）出射点A 偏离入射点
竖直方向的距离y。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当粒子的速度小于某一值时，粒子只在区域Ⅰ内运动，不进入区域Ⅱ，从
离开磁场，粒子在
磁场Ⅰ中运动的转过的圆心角为
粒子的运动时间为
粒子在区域Ⅰ内有
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得
（2）当速度为
时，垂直
进入无场区域，设粒子的轨迹半为
根据牛顿第二定律得
转过的圆心角
又因为
解得
（3）设粒子在磁场Ⅱ中运动时，转过的圆心角为
，轨迹半径为
，根据牛顿第二定律得
又因
得
得
。
7．（2024·重庆·模拟预测）如题图所示，xOy 平面被一条平行于x 轴的直线MN 分为匀强磁场区域和无磁场区
域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外。比荷为
的带正电粒子A，从坐标为
的P 点，以大
小为v0、方向与x 轴正方向成60°角的速度发射，能被位于
的粒子收集器Q 收集，已知该过程中粒子做
匀速圆周运动的半径为a，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度的大小。
（2）求直线MN 到x 轴的距离。
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（3）若粒子A 从x 轴某位置以大小为2v0、方向与x 轴的正方向成
角的速度发射后，依然能被收集
器Q 收集，求该粒子发射位置的横坐标与θ 的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（
）
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
其中
可得，磁感应强度的大小为
（2）粒子运动轨迹如图所示
MN 到x 轴的距离为y，由几何关系可知
其中
所以直线MN 到x 轴的距离为
（3）粒子运动轨迹如图所示
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由洛伦兹力提供向心力
可得
由几何关系可知
其中
故该粒子发射位置的横坐标与θ 的关系为
（
）。
8．（2024·天津·一模）如图所示，平行金属板、
水平放置，上极板接电源负极，下极板接电源正极，板
长
，极板间距
，与极板右端相接的竖直虚线
右侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度
大小
，方向垂直纸面向外。在两极板左端正中间
点水平向右发射一比荷
、初速度
的带正电粒子。不计粒子的重力，不考虑极板边缘电场的影响。
（1）若两金属板间加适当电压，粒子恰好从上极板右边缘射出电场，求粒子在磁场中运动的时间
（结果中的
无需代入数值）；
（2）若两金属板间加适当电压，粒子经电场、磁场偏转后，恰好能从下极板右边缘再次回到电场中，求所加电
压U 为多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）恰好从上极板右边缘射出电场做类平抛运动，竖直方向匀变速水平方向匀速
，
，
出电场时速度方向和水平方向夹角为
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得
即
在磁场中，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动
，
粒子偏转角度为
，因此运动时间为
（2）在磁场中洛伦兹力提供向心力，设粒子进入磁场速度方向和水平方向夹角为
，
其中
在偏转电场中
，
，
，
得
9．（2024·海南海口·一模）如图甲所示，在真空室内，A、C 为正对放置的两平行金属板，板长
，
板间距离
，
为中线，
为
延长线上一点，
；倾角
且足够长的斜面与两板的截
面在同一竖直面内，其底边
与两板平行，顶点G 与A、C 两板的右端点共线，
。现将某种粒子从O 点
以某初速度沿
连续射入平行板间，任意相同时间内射入的粒子数相等，粒子带电荷量
、质
量
，忽略电场的边缘效应，不计粒子重力且不考虑粒子间相互作用及碰到斜面后的反弹，设刚
好到达极板右端的粒子恰能射出，
，
，求：
（1）若两板间电压
，测得粒子在距离
为
处射出电场，求该粒子在板间运动过程中电场力所做
的功
；
（2）当粒子入射的初速度
时，粒子均能到达斜面，试确定两板间所加电压
应满足的条件；
（3）若在两板右侧存在以
为圆心、直径为d 的圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁感应强度大小
、方向垂直纸面向外，当在两板间加上如图乙所示电压，发现粒子均能以水平速度射出电场，求经磁
场偏转后能够打在斜面上的粒子占发射粒子总数的百分比。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知入射点与出射点间的电势差
电场力做功
解得
（2）粒子在板间运动的时间
当
时，粒子向下偏转，粒子刚好运动至C 板右边缘时，有
又
解得
当
时，粒子向上偏转，粒子出射后能到达斜面的临界条件为粒子出射速度与水平方向夹角为
，有
又
且
解得
所以，要使粒子均能到达斜面，两板间所加电压应满足的条件是
（3）粒子在板间运动的加速度大小
从
时刻入射的粒子，在每
内的侧向位移为
由
（
取正整数）
可知只有
取1 时，上式才成立，即粒子在板间运动的时间为
。
粒子的初速度
粒子在磁场中运动的半径
因此，所有粒子将汇聚至磁场区域的最低点
，如图所示。
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对于恰沿PG 出射的粒子，它在电场中的出射点与
点间的距离为
由几何关系可知
，则能够打在斜面上的粒子占发射粒子总数的百分比为
。
10．（23-24 高三下·江西·阶段练习）如图所示，xOy 平面内，x 轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x
轴上方充满竖直向下的匀强电场（图中未画出），其他部分无电场。从P 点水平向右向电场内发射一个比荷为
的带电粒子，粒子的速度大小为
，仅在电场中运动时间t，从x 轴上的N 点与x 轴正方向成α 角（未知）
斜向下进入磁场，之后从原点O 第一次回到电场。已知P、N 两点间的电势差
，忽略边界效应，不计
粒子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通过N 点的速度大小v 及角度α；
（2）匀强电场的电场强度大小E 及匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点发射到第2024 次从x 轴上方进入磁场的时间
。
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在电场、磁场中的运动，目的是考查学生的模型建构能力。
【详解】（1）对粒子从P 点到N 点的运动过程，根据动能定理有
解得
粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示，在电场中粒子沿水平方向做匀速直
线运动，在N 点有
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解得
（2）粒子沿水平方向的分位移大小
粒子在N 点沿竖直方向的分速度大小
在电场中，粒子在竖直方向上做匀加速直线运动，对应的分位移大小
电场强度大小
解得
粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有
由几何关系有
解得
（3）粒子在磁场中运动的周期
粒子每次在磁场中运动的时间
可得
解得
。
11．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，OP 与轴的夹角
，在第一象限中OP 右侧有沿轴负方向的匀
强电场，一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
从轴上的M 点平行于
轴射入电场，经电场后沿垂直
于OP 的方向由
点立刻进入一矩形磁场区域(未画出，方向垂直纸面向里)，并沿
轴负方向经过O 点。已知O
点到N 点的距离为
，不计粒子的重力，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
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（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）矩形磁场区域的最小面积。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从M 点到N 点做类平抛运动，在y 轴方向上做匀速直线运动，在x 轴方向上做初速度为零的
匀加速直线运动，设粒子到达N 点x 轴方向的速度为
，速度为，如图
则
粒子在y 轴方向的位移大小为
解得匀强电场的电场强度大小
（2）粒子达到N 点的速度大小
粒子由
点进入一矩形磁场沿
轴负方向经过O 点，运动轨迹如图
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=(3l-r)sin30°
解得r=l
由
，解得
17
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（3）如图
矩形磁场区域的面积最小时，矩形的宽为
矩形的长为
所以矩形磁场区域的最小面积为
12．（2024·安徽黄山·二模）如图所示，A、B 两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，方向如图所示，电场
强度和磁感应强度分别为
和
。在A、B 板右边存在以
和
为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小
也为
的匀强电场，电场右边空间存在无限大的匀强磁场，磁感应强度为
，方向如图。现有两个不同的带电
粒子a 和b，其比荷分别为k 和
，先后从A、B 板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿A、B 中线运动
后进入偏转电场，最后从
进入磁场
。（不计粒子的重力）则：
（1）求粒子进入偏转电场的速度大小；
（2）a 粒子从
边界进出右边磁场两点间的距离为
，
粒子从
边界进出右边磁场两点间的距离为
，
求
与
之比；
（3）若两粒子从边界
上同一点射出磁场，求磁感应强度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在A、B 板间能沿直线运动，则有
解得
（2）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射出电场时速度方向与水平方向的夹角为，则粒子进入磁场时的速
度为
18
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
粒子从
边界进出右边磁场两点间的距离为
由于带电粒子a 和b，其比荷分别为k 和
，所以有
，
，
。
（3）在电场中做类平抛运动，有
，
，
，解得
。
所以带电粒子a 和b 在电场中的偏转距离分别为
，
。
两粒子能从边界
上同一点射出磁场，根据几何关系可判断出两粒子带异种电荷，且
如图
解得
。
13．（2024·湖南·二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系，P、A、Q1、Q2四点的坐标分别为（-2L，
0）、（-L，0）、（0，L）、（0，-L）。y 轴右侧存在范围足够大的匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向里。在
界面PAQ1的上方存在竖直向下的匀强电场（未画出），界面PAQ2的下方存在竖直向上的匀强电场（未画出），
且上下电场强度大小相等。在（
L，0）处的C 点固定一平行于y 轴且长为
的绝缘弹性挡板MN，C 为挡板
中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y 方向分速度不变。沿x 方向分速度反向，大小不变。质量为
m、电量为 q 的带负电粒子（不计重力）从x 轴上方非常靠近P 点的位置以初速度v0沿x 轴正方向射入电场且
刚好可以过Q1点。求：
（1）电场强度的大小、到达Q1点速度的大小和方向；
（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P 点，求从P 点射出到回到P 点经历的
时间；
（3）改变磁感应强度的大小，要使粒子最终能回到P 点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多少次？
19
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【答案】（1）
，
，与y 轴正方向成45°角；（2）
；（3）17
【详解】（1）从P 到Q1，水平方向
竖直方向
联立①②式可得
根据动能定理
可得
与y 轴正方向成45°角。
（2）要使带电粒子回到P 点，其轨迹必须具有对称性且经过Q2，由几何关系可得
在磁场中的偏转角度为
在磁场中的运动时间为
故从P 点射出第一次回到P 点的时间
（3）当r 最小时带电粒子刚好过M 点碰撞次数最多
20
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由几何关系可得
解得
设最多可以碰n 次，则
解得n=17
14．（2024·北京顺义·一模）如图所示，两平行金属板MN、PQ 之间电势差为U，金属板PQ 的右方直角坐标系
的第一象限内有一磁感应强度为B 的匀强磁场。一带电量为+q、质量为m 的粒子，从金属板MN 的入口处由静止
释放，经电场加速垂直于y 轴进入磁场后做匀速圆周运动，恰好从K 点射出，速度方向与x 轴负方向夹角为60
，忽略重力的影响，求：
（1）粒子从电场射出时速度的大小v；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R 和运动时间t；
（3）若要使粒子从坐标原点O 点射出，可以采取什么措施？
【答案】（1）
；（2）
；（3）电势差变为
；磁感应强度变为
【详解】（1）依题意，粒子在电场中加速，由动能定理可得
解得
。
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图
21
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可得
解得
根据
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的运动时间为
。
（3）由几何关系可知从金属板MN 的入口处到坐标原点的距离为
，若要使粒子从坐标原点O
点射出，则粒子做匀速圆周运动的轨道半径为
。
若仅改变磁场的磁感应强度，则只需磁感应强度变为
。若仅改变电场的电势差，则只需电势差变为
。
15．（2024·贵州·二模）如图，平面直角坐标系xOy 中，第一象限内存在沿x 轴负方向、大小为E0的匀强电
场，第二、三象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第四象限内以O 为圆心、半径分别为d 和2d 的两圆
弧间区域内存在方向均指向O 点的电场，其中M、N 是两圆弧与y 轴的交点。现从第一象限内坐标为（d，d）的
P 点由静止释放一带正电粒子，其质量为m、电荷量为q，不计粒子重力。
（1）求从P 点释放的带电粒子初次进入匀强磁场时速度的大小；
（2）若要使该粒子能从MN 两点间（不包括M、N 两点）进入第四象限，求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若圆弧区域内各点的电场强度大小E 与其到O 点距离的关系为
，且该粒子进入第四象限后恰好能做
匀速圆周运动，求k0的值；
（4）在（2）（3）的条件下，当磁感应强度取某一值时，该粒子只经过一次磁场后恰好再次返回P 点，求粒子
从P 点释放到返回P 点的时间。
22
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）带电粒子在第一象限进入第二象限磁场的过程中，由动能定理有
解得
（2）粒子进入磁场后做圆周运动，若要从MN 之间进入第四象限中的辐向电场，则根据几何关系可知，其在磁
场中运动的轨迹直径需满足
则可知轨迹半径需满足
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
可得
根据轨迹半径的取值范围可得磁感应强度的取值范围为
。
（3）粒子进入第四象限后恰好做匀速圆周运动，则电场力提供向心力，则有
（
）
解得
。
（4）设粒子在第四象限中做圆周运动的半径为，从第四象限进入第一象限到达P 点的时间为，该过程粒子
做类平抛运动，竖直方向有
水平方向有
解得
，
粒子从第一象限进入磁场的时间
粒子在磁场中运动时的轨迹半径
23
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则其在磁场中运动的时间
粒子在第四象限内运动的时间
由此可得粒子从P 点释放到返回P 点的时间
。
16．（2024·广东茂名·二模）在如图所示的竖直平面xOy 中，一质量为m、电荷量为
的带电小球沿x 轴正
方向以初速度
从A 点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场
，小球偏转后打到x 轴
上的
点，x 轴下方有匀强电场
（图中未画出），第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小
不同的匀强磁场，小球在x 轴下方做匀速圆周运动，己知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为
，重力
加速度大小为g．
（1）求x 轴下方匀强电场的电场强度
；
（2）求带电小球在C 点的速度
；
（3）若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为
，求粒子从C 点运动到
点所用的时间。
【答案】（1）
，方向竖直向上；（2）
，与x 轴正方向成60°向下；（3）
或
【详解】（1）小球在x 轴下方做匀速圆周运动，则
解得
，方向竖直向上。
（2）小球在第一象限做类平抛运动，根据牛顿第二定律
24
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可得
水平方向
可得
竖直方向
可得
根据运动的合成
可得
根据几何关系
可得
，即
方向与x 轴正方向成60°向下。
（3）小球在第四象限内做匀速圆周运动，运动半径为，则
解得
设粒子运动的周期为
，则
解得
如图1，有几何关系可知，粒子从C 到P 偏转圆心角为
，此过程运动时间为
25
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粒子经P 点进入第三象限后，设运动半径为
，则
解得
设粒子运动的周期为
，则
解得
如图2，粒子从P 点再回到P 点所用时间为
粒子从C 点运动到P 点所用的时间为
故粒子从C 点运动到P 点所用的时间为
或
。
17．（2024·广东·二模）如图所示，以长方体
的
边中点
为坐标原点、
方向为
轴正方
向、
方向为
轴正方向、
方向为轴正方向建立
坐标系，已知
。长方体中存在沿
轴负方向的匀强磁场，现有质量为
、电荷量为的带正电粒子（不计重力）．从
点沿轴正方向以初速度
射入磁场中，恰好从
点射出磁场。
（1）求磁场的磁感应强度
的大小；
（2）若在长方体中加上沿
轴负方向的匀强电场，让粒子仍从
点沿轴正方向以初速度射入磁场中，为使
粒子能从
点射出磁场，求电场强度
的大小；
（3）若在长方体中加上电场强度大小为
、方向沿轴负方向的匀强电场，让该粒子仍从
点沿
轴正方向以初速度射入磁场中，求粒子射出磁场时与
点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在
平面内做匀速圆周运动，如图中轨迹1 所示
26
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根据几何关系有
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
。
（2）粒子在电磁复合场中的运动为匀速圆周运动与类平抛运动的合运动，在长方体中运动的时间
在
轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则
又
解得
。
（3）将初速度分解为
，使
对应的洛伦兹力恰好与电场力平衡，分解如图所示
即
其中
解得
则根据勾股定理可得
根据几何关系易知
与轴正方向的夹角
若仅在
对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
则轨道半径
解得
27
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该分运动的情况如图中轨迹2 所示。粒子在磁场中运动的时间
由于粒子也参与速度大小为
，方向沿轴正方向的匀速运动，粒子射出磁场时与
点的距离
解得
。
18．（2024·湖北武汉·一模）如图，在
的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，在
的区域存在方
向垂直于
平面向里的匀强磁场。一个氕核和一个氚核先后从x 轴上P、Q 两点射出，速度大小分别为
、
。
速度方向与x 轴正方向的夹角均为
，一段时间后，氕核和氚核同时沿平行x 轴方向到达y 轴上的M 点
（图中未画出），并立即发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知Q 点坐标为
，不计粒子重力及粒子间的静
电力作用，
，
，求：
（1）P 点的横坐标。
（2）匀强电场的电场强度E 与匀强磁场的磁感应强度B 大小之比。
（3）氕核和氚核碰撞后再次到达y 轴上时的坐标点相隔的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）分析氕核（
）和氚核（
）的运动情况，氕核射出后在磁场中做匀速圆周运动，氚核射出后
在电场中做类平抛运动，两粒子运动轨迹如图所示
研究氚核，根据抛体运动规律有
研究氕核，根据数学关系得
联立解得
。
28
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（2）设氕核（
）的质量为m，电荷量为q，则氚核（
）的质量为3m，电荷量为q。研究氕核，根据洛伦兹
力提供向心力有
解得
研究氚核，根据抛体运动规律得
解得
则有
。
（3）碰撞前，氚核的速度为
氚核（
）和氕核（
）发生弹性碰撞，设碰撞后氚核、氕核速度分别为
、
。根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得
，
碰撞后，氕核、氚核均在磁场中做匀速圆周运动，设氚核、氕核的运动半径分别为、
，根据洛伦兹力提供
向心力，研究氚核有
研究氕核有
氚核和氕核碰撞后，均向上运动半个圆再次到达y 轴上的点，他们相隔的距离为
联立解得
19．（2024·河南濮阳·一模）如图所示，在xOy 坐标系中，有沿x 轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的
匀强磁场，电场强度大小
磁感应强度大小为
。在坐标平面内的某点沿某方向射出一质量为
电荷量为
的带正电微粒，微粒恰能在xOy 坐标平面内做直线运动，且运动轨迹经过O 点。
已知y 轴正方向竖直向上，重力加速度g 取
，求：
（1）微粒发射的速度大小和方向；
（2）微粒到达O 点时撤去磁场，当微粒的速度沿竖直方向时，微粒的位置坐标是多少；
29
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（3）在（2）问中，当微粒速度沿竖直方向时，再加上原磁场同时撤去电场，此后微粒运动的轨迹离x 轴的最
大距离为多少（结果可用根号表示）。
【答案】（1）
，与y 轴负方向夹角为
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子做匀速直线运动，如下图
则
求得
。
粒子出射的速度方向与y 轴负方向夹角为
解得
即微粒发射的速度大小为
，与y 轴负方向夹角为
。
（2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，如下图
30
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将速度分解可得
方向的加速度
方向的速度减为零时
此时距
轴的距离为
对应速度
距
轴的距离为
所以当微粒的速度沿竖直方向时，微粒的位置坐标是
；
（3）微粒运动的轨迹离x 轴的最大距离时，速度与轴平行
在方向上，有动量定理可得
即
由动能定理可得
求得
微粒运动的轨迹离x 轴的最大距离
20．（2024·河南·二模）如图所示，开口向下的
光滑绝缘圆形轨道BCD 处于水平向右的匀强电场中，
为
最高点、
为圆心，OB 与CO 的延长线的夹角为，经过
点的水平线下方的电场区域中还有垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度为
。一个质量为
，电荷量为的微粒沿直线AB 运动，恰好在B 点无碰撞地进入圆形轨
道，重力加速度为
。求：
（1）微粒的电性及电场强度
的大小；
（2）要使微粒能够沿轨道到达
点，圆形轨道的半径需要满足的条件；
31
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（3）在第（2）问的条件下，微粒经过
点时，对轨道压力的最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知微粒重力不可忽略，微粒沿直线AB 做匀速运动，对微粒受力分析，如图所示电场
力只能水平向右才能使微粒做匀速直线运动，所以微粒带正电
水平方向
竖直方向
解得
。
（2）微粒从
点进入圆形轨道等效重力的方向沿OB 方向，大小为
所以在
点关于
点对称的位置，微粒有最小速度，要满足
同时由动能定理有
联立解得
。
（3）在
点由牛顿第二定律得
32
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由动能定理得
联立解得
当
时，轨道对微粒的弹力有最小值，即
由牛顿第三定律可知微粒经过
点时，对轨道的压力最小值为
21．（2024·贵州安顺·二模）如图所示，在xOy 平面的第一象限内有半径为R 的圆形区域，该区域内有一匀
强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为
，其边界与x 轴、y 轴分别相切于P、Q 点。位于
P 处的质子源均匀地向纸面内以大小为v 的相同速率发射质量为m、电荷量为e 的质子，且质子初速度的方向被
限定在
两侧与
的夹角均为
的范围内。第二象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为
E，在x 轴（
）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y
轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y 轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN 接收，求接收装置MN 的最短长度x。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，则该质子运动半径为
，有
解得
（2）如图所示，设在
左右两侧
角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B 两点射出，对
应圆周运动的圆心分别为
、
，则四边形
和
均为 ，则粒子由A、B 两点水平飞出，且
与B
点重合。
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根据几何关系可知
B 点到轴的距离为
，所以y 轴正方向上有质子射出的区域范围为
（3）若质子由
处飞入电场时打在M 点，由
处飞入电场时打在N 点，根据类平抛运动的规律，有
解得
MN 的最短长度为
22．（2024·河北·一模）如图所示，竖直虚线的左侧有水平向左的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外、磁感
应强度大小为B 的匀强磁场，比荷为k 的负粒子甲由电场中的M 点无初速释放，由O 点进入磁场，OM 在一条直
线上，经过一段时间与静止在N 点的不带电粒子乙发生无能量损失的碰撞，碰后两粒子的电荷量均分。已知粒
子乙的质量为粒子甲质量的
，
，N 到两虚线的距离均为L。忽略粒子的重力以及碰后粒子间的相互作
用。
（1）求竖直虚线左侧电场强度的大小；
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（2）若粒子甲、乙碰后的瞬间，立即将粒子乙拿走，求粒子甲从释放到第四次通过竖直虚线时到O 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子甲在磁场中做匀速圆周运动经过N 点，由几何关系可知粒子甲在磁场中做圆周运动的轨迹半
径为L，由洛伦兹力提供向心力有
解得
设电场强度大小为E，粒子甲从M 到O 的过程，由动能定理有
解得
。
（2）粒子甲、乙碰撞过程无机械能损失，设粒子甲的质量为m，碰后瞬间粒子甲、乙的速度分别为
、
，则
粒子乙的质量为
，取碰前瞬间甲的速度方向为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
则碰撞后粒子甲在磁场中做圆周运动的轨迹半径仍为L，则再偏转
个圆周后垂直竖直虚线进入电场，粒子甲
在电场中先向左做匀减速直线运动，再向右做匀加速直线运动，由对称性可知粒子甲再次进入磁场时速度大小
不变，做圆周运动的轨迹半径仍为L，可知粒子甲第四次通过竖直虚线时到O 点的距离为
。
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23．（2024·湖北·一模）如图所示，在真空坐标系xOy 中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d 的六个
区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制
飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为：m、电荷量为q 的带正电粒子在边界P 处由静止释放，粒子恰
好以速度大小为
、方向与y 轴负方向的夹角为
从坐标原点O 进入
区域，
区域存在磁感应强
度大小
、方向垂直xOy 平面向里的匀强磁场，不计粒子重力。求：
（1）第二象限中电场强度大小
与磁感应强度大小
的比值；
（2）粒子从坐标原点O 第1 次经过x 轴到第2 次经过x 轴的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子从P 到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得
解得
根据题意粒子速度与y 轴负方向的夹角为
粒子在经过磁场时的水平方向上，由动量定理
即
解得
故第二象限中电场强度大小
与磁感应强度
大小的比值为
。
（2）粒子在
区域做匀速圆周运动，根据运动的对称性知，粒子从坐标原点O 第1 次经过x 轴到第2 次经过
x 轴偏转的圆心角为
周期为
经过的时间
。
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24．（2024·吉林白城·一模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某
研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀
强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为-q 的粒子从x 轴负半轴M 点与x
轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，最后从N 点与
x 轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k 为已知常量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋状，
且粒子恰好从Q 点（图中未标出）垂直x 轴射出磁场，求粒子由P 点运动到Q 点的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做反向类平抛运动，即在水平方向匀速直线，竖直方向匀减速直线，竖直分速
度减小到0，则
根据动能定理
联立解得
。
（2）带电粒子在电场中做圆周运动，根据牛顿第二定律
运动轨迹如图所示
由几何关系
联立解得
。
（3）有阻力后，例子不再做圆周运动，但洛伦兹力仍提供向心力，列式为
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角速度ω 保持不变，且
解得
25．（2024·四川广安·二模）如图，在y>a 区域有方向沿y 轴负方向的匀强电场，y<a 区域有方向垂直xOy 平
面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场。t=0 时刻，质量为m 的甲粒子从
（
，
）点静止释放，另一质量为
2m 的乙粒子，刚好以沿x 轴负方向的速度通过x 轴上Q 点，当甲第一次经过原点O 时，甲、乙恰好相遇并发生
时间极短的对心碰撞，且碰后甲、乙还能再次碰撞。假设甲的电荷量始终为q（q>0）、乙始终不带电，碰撞过
程中无能量损失，不计粒子重力。求：
（1）电场强度的大小；
（2）甲粒子第一次到达原点O 的时刻；
（3）Q 点的横坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）如图所示
甲在电场中做匀加速直线运动，设场强为E，甲进入磁场时的速率为；由动能定理有
甲在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，有
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因甲、乙第一次相碰于原点O，则有
联立解得
，
。
（2）甲在电场中的运动时间为
，由运动学规律有
解得
设碰撞前在磁场中的运动时间为
，甲做圆周运动的周期为
故有
故甲第一次到达原点O 的时刻为
。
（3）根据题意，甲、乙第一次碰撞后速度必然沿水平方向，甲做轨迹与x 轴相切的匀速圆周运动，乙做水平方
向的匀速直线运动。甲、乙要想再次碰撞，只有一种可能，即第一次碰后乙的速度恰好为0。设乙碰撞前的速
率为
，由于其不带电，因此做匀速直线运动。设甲第一次碰撞后的速度为
，以向右为正方向，碰撞过程中，
甲、乙组成的系统动量守恒、机械能守恒由动量守恒定律有
机械能守恒定律有
解得
，
即
因
时刻，乙刚好通过Q 点，故乙由Q 到O 的时间即甲第一次碰撞前的运动时间，故乙在第一次碰撞前运动
的距离为
解得Q 点的横坐标为
。
26．（2024·山西·一模）CT 技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对人体进行扫描取得信
息的，其原理如图所示：半径为
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，水平放置的目标靶长为
，靶左
端点
、右端点
与磁场圆心
的距离相等、竖直距离为
。从阴极逸出的电子（初速度可忽略），经电场
加速后瞄准圆心
沿着水平方向进入磁场，经磁场偏转后恰好击中
点。设电子质量为
、电荷量为，电子
枪的加速电压为
，不考虑电子受到的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小。
（2）仅通过调节匀强磁场
的大小，可实现电子束在目标靶上从
到
的扫描，求
的大小范围。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）如图所示
根据几何关系可得
由此可知电子在磁场中运动的轨迹半径为
电子在加速电场中加速，由动能定理有
由洛伦兹力充当向心力有
联立解得
（2）由由洛伦兹力充当向心力有
可知，磁感应强度越小，电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径就越大，电子到达目标靶N 的轨迹半径如图所示
根据几何关系可得
对应的磁感应强度大小为
则可知，磁场强度取最大值时电子恰好打在目标靶M 点，当磁场强度取最小值时电子恰好打在目标靶N 点，可
得磁感应强度B 的调节范围为
。
27．（2024·天津和平·一模）如图所示，在直角坐标系的第一象限，有方向竖直向下、场强大小为E 的匀强
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电场，在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场，在x 轴下方放置一长度为L 的绝缘薄板PQ，挡板平面与x 轴垂
直且上端紧贴x 轴。一质量为m，电荷量为
的粒子从y 轴上一点以大小为
的速度水平向右射出，恰好
从薄板上边缘P 点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，之后粒子恰好未与薄板碰撞，
不计粒子重力，求：
（1）粒子在y 轴上的发射位置到P 点的水平距离；
（2）匀强磁场磁感应强度B 的大小：
（3）粒子在薄板右侧运动的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可得粒子在P 点速度方向与轴的夹角为
，可得粒子在P 点的竖直分速度
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向根据牛顿第二定律有
而根据速度与时间的关系可得
联立以上各式可得
（2）粒子在
点的速度
粒子在磁场中做圆周运动，有
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示
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根据几何关系可得
联立解得
（3）根据几何关系可知，粒子在挡板右侧磁场中运动的时间
而粒子做圆周运动的周期
解得
28．（2024·陕西宝鸡·二模）如图所示，在直角坐标系xoy 平面第一、二象限内有两个电场强度大小均为E
的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两个电场的边界分别是边长为L 的正方形oabc 和oced，匀强电场Ⅰ的场强方向沿x 轴正方
向，匀强电场Ⅱ的场强方向沿y 轴正方向，第三象限内有垂直平面向外的匀强磁场，磁场边界线为半径为L 的
半圆，d 为圆心。在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放一个电子，电子经电场Ⅱ进入磁场区域，已知电子质量
为m，电量为e，重力忽略不计。
（1）要使电子恰能从d 点离开电场，求释放点坐标
满足的关系式：
（2）从第一象限内坐标为
的位置由静止释放电子，发现电子离开磁场时速度方向恰好沿x 轴正方向。
求磁感应强度B 的大小及电子在电场和磁场中运动的总时间t。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）电子在匀强电场Ⅰ内向左做匀加速运动，设电子射出匀强电场Ⅰ区域的末速度为
，由动能定理
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可得
电子在匀强电场Ⅱ内做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式可得
，
，
解得
。
（2）电子释放的坐标
满足
，所以电子从d 点离开电场区域，设电子在d 点速度大小为v，方
向与x 轴夹角为
，水平分速度为
，竖直分速度为
，由题意可得
，
，
，
电子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向沿x 轴正方向，在洛伦兹力作用下运动轨迹如图所示
设圆周运动半径为r，由几何关系有
又有
解得
设电子在匀强电场Ⅰ和Ⅱ中运动时间为
和
，在磁场中运动的速度偏转角为
，运动时间为，则有
，
又有
，
，
解得
。
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