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专题16 带电粒子在组合场、复合场中的运动模型
目录
一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述.................................................................................1
二．磁场与磁场的组合模型.............................................................................................................................. 1
三．先电场后磁场模型.................................................................................................................................... 12
四．先磁场后电场模型.................................................................................................................................... 23
五．带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型....................................................................................31
六．带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型.............................................................................37
七．带电粒子在叠加场中的运动模型............................................................................................................42
八．带电粒子在叠加场中的应用模型---电磁平衡科技应用.........................................................................51
模型一．速度选择器................................................................................................................................ 51
模型二．磁流体发电机............................................................................................................................ 55
模型三．电磁流量计................................................................................................................................ 59
模型四.霍尔效应的原理和分析...............................................................................................................64
九．洛伦兹力的冲量与配速法........................................................................................................................69
一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3 步：用规律
二．磁场与磁场的组合模型
【运动模型】磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的
速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线
的特点，进一步寻找边角关系．
1.如图所示，在y 轴两侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为
和
，且
1
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。坐标原点O 处有一个质量为M、处于静止状态的中性粒子，分裂为两个带电粒子a 和b，
其中粒子a 的电荷量为
，质量
（
可以取0~1 的任意值）。分裂时释放的总能量为E，并且全
部转化为两个粒子的动能。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，不计中性粒子分裂时间和质量亏损，
不考虑相对论效应。设a 粒子的速度沿x 轴正方向，求：
（1）粒子a 在磁场
、
中运动的半径之比k；
（2）
取多大时，粒子a 在磁场
中运动的半径最大，以及此时的最大半径；
（3）若a 粒子的速度沿右上方与x 轴正方向夹角为
，
取多大时，两粒子会在以后的运动过程中相遇。
（已知若
，则取
）
【答案】（1）
；（2）当
时
最大，其值为
；（3）
可取
或
或
或
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力
可得
粒子a 在磁场中运动过程中比荷与速率都不会改变，所以磁场
、
中运动的半径之比
2
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（2）分裂过程动量守恒
根据能量守恒
解得
则粒子a 在右边磁场
中运动的半径为
可知，当
时
最大，其值为
（3）一个中性粒子分裂为两个带电粒子a 和b，根据电荷守恒。a 粒子带负电，b 粒子带等量正电。由于
两个粒子的质量和速度的乘积相等，所以两个粒子在同一磁场中的运动半径也相等，即a、b 粒子在磁场
、
中运动的半径之比均为1 2∶；
a、b 粒子在磁场
、
中运动的周期分别为
a，b 两粒子的运动轨迹如图所示，它们相遇的位置共有四个，分别为C、D、E 和F 点
3
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①若在C 点相遇
则
②若在D 点相遇
则
③诺在E 点相遇
则
④若在F 点相遇，由几何关系可知
即
4
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则
综合以上
可取
或
或
或
2.如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l1
和l2
，两区域分别分布着磁感应强
度为
和
的磁场，磁场方向垂直于xOy 平面向外，磁碱应强度
，现有大量粒子从坐标原点O
以恒定速度
不断沿x 轴正方向射入磁场，由于
的大小在0-0.5T 范围内可调，粒子可从磁场
边界的不同位置飞出。已知带电粒子的电量
C。 质量
，不考虑带电粒子的重力，
求：
（1）要使粒子能进入
的磁场，
应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间t；
（3）粒子从y 轴飞出磁场时的最高点坐标y。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当带电粒子在
磁场中圆周运动的半径大于l1时粒子能进入磁感应强度
的磁场，由洛伦
兹力充当向心力有
当
时，粒子的轨迹如图所示
此时有
代入数据得
即粒子恰好不进入磁场
区，而根据
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可知，磁感应强度越小，轨道半径越大，因此
满足的条件为
（2）当
时，粒子进入
磁场，有
解得
可知粒子从右边界MN 飞出，粒子的运动轨迹如图
由几何关系可知
解得
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着
的增大，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当
达到
最大值0.4T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
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所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
（3）设
为粒子从MN 射出的最高点，则
为轨迹与边界MN 的切点，如图
为粒子在B1磁场中运动的圆心，
为粒子在
磁场中运动的圆心，由几何知识可得
，
解得
由几何知识知有
则根据几何关系可得A1的纵坐标
根据对称性可得粒子从y 轴飞出磁场时的最高点坐标
3.如图所示，虚线
上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，下方存在方向相同、
磁感应强度大小为
的匀强磁场
，虚线
为两磁场的分界线。
位于分界线上，点
为
的中点。一电子从
点射入磁场，速度方向与分界线
的夹角为
，电子离开
点后依次经
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两点回到
点。已知电子的质量为
，电荷量为，重力不计，求：
(1)
的值；
(2)电子从射入磁场到第一次回到
点所用的时间。
【答案】(1)
；(2)
【解析】
电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场
中做匀速圆周运动的半径分别为
，电子在磁场中做匀速圆周运动有
…①
…②
由于最终能回到
点，由几何关系，可得
…③
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联立①②③，解得
电子在磁场中的运动周期
电子在磁场
中的运动周期
设电子经过三段轨迹的时间分别为
，由几何关系可得
到
的圆心角为
，则
到
的圆心角为
，则
到
的圆心角为
，则
电子从射入磁场到第一次回到
点所用的时间为
联立以上式子，解得
4.利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足
够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域
Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的
离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不
计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
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（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
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（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
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求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
三．先电场后磁场模型
【运动模型】
1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图.
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图.
1.科学研究经常需要分离同位素。电场可以给带电粒子加速，也能让粒子发生偏转。如图所示，粒子源A
不断产生初速度为零、电荷量为e、质量为m0的氕核和质量为2m0氘核，经过电压为U0的加速电场加速后
匀速通过准直管，从偏转电场的极板左端中央沿垂直电场方向射入匀强偏转电场，已知偏转电场的场强大
小为E。整个装置处于真空中，粒子所受重力、偏转电场的边缘效应均可忽略不计。
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(1)分析论证：偏转电场无法将氕核和氘核两种同位素分离；
(2)为了分离氕核和氘核，在粒子到达下极板的位置挖一个小孔。范围足够大、上端和左端有理想边界、磁
感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域的上端以偏转电场的下极板为边界，磁场的左边
界MN 与偏转电场的下极板垂直，且MN 与小孔相交于M 点。求氕核和氘核离开磁场的位置与M 点的距离
之比。
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）在加速电场中，根据动能定理有
进入偏转电场后，粒子做类平抛运动，则
，
又因为在电场中加速度
方程联立解得
即粒子经过加速电场后，在偏转电场中的轨迹方程相同（与粒子质量、电荷量无关），故无法分离同位素。
（2）粒子经过两电场的运动轨迹完全一致则射出偏转电场，进入磁场后速度与边界MN 的夹角也相等，设
夹角为
，偏转电场的极板间距为d，则根据动能定理
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进入磁场后有
则出射点与入射点的间距为圆弧的弦长
方程联立解得
氕核和氘核带电量相等，质量之比为
，则离开磁场的位置与M 点的距离之比为
。
2.如图所示，在平面直角坐标系
的第Ⅰ象限有沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限有垂直于纸面向外
的匀强磁场。现有一比荷
的正粒子（不计所受重力）从
、
的P 点以初速度
沿x 轴负方向开始运动，接着进入磁场后从坐标原点O 射出，射出时速度方向与x 轴负方向的夹
角为60°，求：
(1)粒子从O 点射出时的速度大小v；
(2)电场强度E 的大小；
(3)粒子从P 点运动到O 点所用的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由Q 点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，最终由O
点射出。（轨迹如图所示）
根据对称性可知，粒子在Q 点时的速度大小与粒子在O 点的速度大小相等，均为，方向与x 轴负方向成
60°角，则有
解得
（2）在P 到Q 过程中，由动能定理得
解得
（3）设粒子在电场中运动的时间为t1，则有
解得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系可得
其中
解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为
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粒子在磁场中的运动时间为
粒子在由P 到O 过程中的总时间
3．如图所示，左侧是两平行金属板P、Q，右侧是一个边长为
的正方形磁感应强度为B 的匀强磁场区
域abcd，e 是ad 的中点。金属板P 上O 处有一粒子源，可发射出初速度可视为零的带负电的粒子（比荷为
），Q 板中间有一小孔，可使粒子射出后垂直磁场方向从a 点沿对角线方向进入匀强磁场区域。
(1)在P、Q 两极板上加上直流电压，如果带电粒子恰好从d 点射出，求所加电压的大小。
(2)若在P、Q 两极板上所加直流电压为
，求带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示
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根据几何关系可以看出，当粒子恰好从d 点射出时，轨道半径为
设带电粒子射入磁场时速度为v，由洛伦兹力提供向心力得
解得
由功能关系，有
解得所加电压大小
（2）由功能关系，有
洛伦兹力提供向心力，有
联立解得带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径为
4.如图所示，M、N 板间存在电压为U0的加速电场，半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度为B 的匀强磁
场，光屏放置于圆形磁场区域右侧，光屏中心P 到圆形磁场区域圆心O 的距离为2R。带电粒子从S 点由静
止飘入M、N 板间，经电场加速后进入圆形磁场区域，在磁场力作用下轨迹发生偏转，最终打在光屏上的
某点，测量该点到P 点的距离，便能推算出带电粒子的比荷，不计带电粒子的重力。
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(1)若带电粒子为电子，已知电子的电荷量为e，质量为m0，求电子经过电场加速后的速度大小v 及电子在
磁场中运动的轨迹半径r；
(2)若某种带电粒子通过电场加速和磁场偏转后，打在光屏上的Q 点，已知P 点到Q 点的距离为2
R，求
该带电粒子的比荷
。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）电子在电场中加速，根据动能定理，有
解得
电子在磁场中做匀速圆周运动由
解得
（2）带电粒子从S 点到达Q 点的运动轨迹如图所示
由几何关系可得
θ＝60°
则
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因
类比有
解得
5.如图所示的空间中，倾斜分界线AO 上方存在水平向右的匀强电场，电场强度为E；竖直分界线OC 右侧
存在垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为
的粒子从A 点沿竖直方向以
射入电场，经过
AO 间某点
未画出）和OC 上某点
未画出）进入磁场区域，第一次离开磁场时粒子恰好经过C 点。已
知A、C 等高，相距L，O、C 相距2L，不计粒子重力。
(1)求AP 间距离；
(2)求磁感应强度B。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，以竖直向上为x 轴，以水平向右为y 轴，设
为
，粒子
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运动到P 点时的速度方向与竖直方向的夹角为
，则竖直方向上
水平方向上
根据几何关系有
根据牛顿第二定律有
联立解得
根据几何关系可得
（2）由（1）得
当粒子在P 时，则有
故合速度为
则粒子速度与竖直方向的夹角
满足
解得
在三角形OPQ 中，根据几何关系可得
，
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由正弦定理
解得
根据几何关系可得
粒子在磁场中，由几何关系可得
解得
在磁场中，由洛伦兹力提供向心力
其中
，解得
6．（2025·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子
的运动。如图所示，MN 为竖直平面内的一条水平分界线，MN 的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强
度大小为E，MN 的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（
）的带正电
粒子从MN 上的A 点射入电场，从MN 上的C 点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。
粒子射入电场时的速度方向与MN 的夹角
，速度大小为
，不计带电粒子受到的重力。
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(1)求A、C 两点间的距离L；
(2)求电场强度与磁感应强度大小之比；
(3)若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C 点，求电场强度的最小值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带正电粒子在电场中做类斜抛运动，则水平方向有
竖直方向
由牛顿第二定律
联立可得，A、C 两点间的距离为
（2）如图
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粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系
由洛伦兹力提供向心力
联立可得电场强度与磁感应强度大小之比为
（3）如图
粒子第一次从磁场返回电场时经过C 点，此时电场强度最小，则电场中从A 点到D 点，有
由牛顿第二定律
粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径不变，则有
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由几何关系
联立可得
四．先磁场后电场模型
【模型构建】(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
1.芯片是现代科技的核心，芯片的制造过程中有一个重要步骤就是离子注入。离子注入是指用高能量的电
场把离子加速，打入半导体材料的过程，是芯片制造中重要的掺杂技术。如图所示，在一个边长为
的正
方形真空空间
，沿对角线
将它分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，其中I 区域（包括边界
有垂直于
纸面的匀强磁场，在II 区域内有平行于
且由
指向
的匀强电场。一正离子生成器不断有正离子生成，
所有正离子从
点沿
方向以速度射入I 区域，然后这些正离子从对角线中点
进入II 区域，最后这些
正离子恰好从
点射出。已知离子流的正离子带电量均为
，质量均为
，不考虑离子的重力以及离子间
的相互作用力，求：
(1)I 区域磁感应强度
的大小和方向；
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(2)Ⅱ区域电场强度
的大小；
(3)为了调整离子注入的深度，现将磁感应强度增强为原来的2 倍，同时调整电场强度，使正离子仍可以从
点注入半导体。求调整前后正离子从
点飞出的动能大小之比。
【答案】(1)
，垂直纸面向里
(2)
(3)
【详解】（1）根据左手定则，可以判断磁场方向垂直纸面向里；设正离子在磁场中运动的半径为r，有
依题意
解得
解得
（2）设离子恰好从D 点离开电场时对应的电场强度为E，则有
解得
（3）依题意，原来离子在磁场中转过的圆心角
，磁感应强度加倍后，根据运动的半径为
离子在磁场中转过的圆心角仍为
，离子将从
中点F 经过分界线，即
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结合类平抛的知识可知，D 点速度的反向延长线交于对应匀速方向位移的中点，
再根据三角形相似可得，调整前
调整后
又
，可得
2.如图所示，在平面直角坐标系
轴上方有磁感应强度大小不变的匀强磁场，在
轴下方有平行于
平面
的匀强电场，且与
轴成
角斜向右上方。一个质量为
、电荷量为
的带正电粒子，以初速度
从
轴
上
点沿
轴正方向射出，
，若磁场方向垂直坐标平面向外，则粒子第一次经过
轴进入电场和
第二次经过
轴的位置均在
点（未画出）；若磁场方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过
轴的位
置也在
点，不计粒子的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度
大小；
（2）匀强电场的电场强度
大小；
（3）若磁场方向垂直坐标平面向外，粒子从
点射出到第三次经过
轴所用的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）若磁场方向垂直坐标平面向外，则粒子第一次经过
轴进入电场和第二次经过
轴的位置均
在
点，说明粒子到达Q 点时的速度方向与电场强度方向反向，则由几何关系
解得
根据
可得
（2）若磁场方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过
轴的位置也在
点，轨迹如图；
则
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解得
（3）粒子在磁场中运动的时间
粒子进入电场时做减速运动，速度减到零用时间t2，后反向加速，仍用时间t2第二次回到x 轴，
解得
粒子再次进入磁场做圆周运动，再次到达x 轴时用时间
则粒子从
点射出到第三次经过
轴所用的时间
3.（2025·福建泉州·一模）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy 平面
（纸面）内，
的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴上方的
区域Ⅱ内存在沿y 轴负
方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从原点O 处以大小为
的速度垂
直磁场射入第二象限，方向与x 轴负方向夹角
，一段时间后垂直
虚线边界进入电场。已知
，
，区域Ⅱ中电场的场强
。求：
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(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小
；
(2)粒子从原点O 出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，在磁场中做圆周运动的半径设为
，由几何关系可得
又
解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小
（2）粒子运动圆轨迹所对的圆心角为
，在磁场中运动时间设为
，则
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其中
粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为
，在电场中运动时间为
，沿
轴负方向运动的
距离为
，则有
解得
其中
解得
由于
粒子从电场边界离开，则总时间
解得
（3）由动能定理得
解得
4．（2025·福建漳州·一模）如图，在
坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，
第二象限内有沿
轴负方向的匀强电场，场强大小为
。一质量为
电荷量为
的带电粒子从
轴上的
31
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点以速度沿与
轴正方向成
角的方向射入磁场，恰好垂直于
轴射出磁场进入电场，不计
粒子重力，求：
(1)粒子在磁场中的运动半径；
(2)磁感应强度
的大小；
(3)粒子从
点射入到第二次到达
轴的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示
由几何关系得
解得
（2）根据洛伦兹力提供向心力
解得
32
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（3）粒子在磁场做匀速圆周运动
粒子在磁场中运动时间
粒子从
轴进入电场至速度为0 过程中，可得
解得
粒子从
点射入到第二次到达
轴的时间
解得
五．带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型
【模型构建】
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝ ，
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m＝，＝.
1.如图甲所示为质谱仪工作的原理图，已知质量为m、电荷量为q 的粒子，从容器A 下方的小孔飘入电势
差为U 的加速电场，其初速度几乎为0，经电场加速后，由小孔S 沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强
度为B 的匀强磁场中。粒子在S 点的速度与磁场边界垂直，最后打在照相底片上的P 点，且
。忽略
粒子的重力，通过测量得到x 与
的关系如图乙所示，已知斜率为k=0.5，匀强磁场的磁感应强度B 为
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子带负电
B．该粒子比荷为
C．该粒子在磁场中运动的时间约为
D．若电压U 不变，打到Q 点的粒子比荷大于打到P 点的粒子
【答案】C
【详解】A．粒子进入磁场后向左偏转，根据左手定则可知，该粒子带正电，故A 错误；
B．粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得
解得
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得
可得
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则有
可知
图像的斜率为
可得粒子的比荷为
故B 错误；
C．该粒子在磁场中运动的时间为
故C 正确；
D．根据
若电压
不变，可知打到Q 点的粒子比荷小于打到P 点的粒子比荷，故D 错误。故选C。
2．如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、静电分析器和磁分析器组成。若速度选择
器中电场强度大小为
，磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里，静电分析器通道中心线为
圆弧，圆
弧的半径（OP）为R，通道内有均匀辐射的电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器中有范围足
够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度v 沿直线经过速度
选择器后沿中心线通过静电分析器，由P 点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q 点，不计粒子重
力。下列说法正确的是（ ）
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A．速度选择器的极板
的电势比极板
的高B．粒子的速度
C．粒子的比荷为
D．P、Q 两点间的距离为
【答案】AC
【详解】A．粒子在静电分析器内沿中心线方向运动，说明粒子带正电荷，在速度选择器中由左手定则可
判断出粒子受到的洛伦兹力向上，粒子受到的电场力向下，故速度选择器的极板
的电势比极板
的高，
故A 正确；
B．由
可知，粒子的速度
故B 错误；
C．由上述分析以及
可得，粒子的比荷为
故C 正确；
D．粒子在磁分析器中做圆周运动，故
PQ 为轨迹圆的直径，解得P、Q 两点间的距离
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故D 错误。
故选AC。
3．由加速电场、静电分析器和磁分析器组成的质谱仪的构造示意图如图所示。静电分析器通道内分布有
均匀辐射电场，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量
为q 的粒子从静止开始经加速电压为U 的电场加速后，沿辐射电场的中心线通过静电分析器，由P 点垂直
边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q 点。已知辐射电场中心线处的电场强度大小为E，粒子在磁分析
器中运动轨迹的圆心与O 点重合，不计粒子受到的重力和阻力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子进入静电分析器时的速度大小为
B．磁分析器中磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁分析器中运动的时间为
D．粒子在静电分析器中运动的时间为
【答案】CD
【详解】A．根据动能定理有
解得
故A 错误；
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B．因粒子在磁分析器中运动轨迹的圆心与
点重合，有
解得
故B 错误；
C．在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力，有
故C 正确；
D．粒子在静电分析器中，电场力提供向心力，有
故D 正确。
故选CD。
4.某质谱仪的原理如图所示。A 为粒子加速器，加速电压为
，B 为速度选择器，两极板分别为
，
两极板之间电压为
，板间场强为
；两极板之间磁场与电场正交，磁感应强度大小为
，C 为偏转分离
器，磁场的磁感应强度大小为
。现有
两种带正电的粒子，带电荷量均为，质量分别为
，经
A 从上极板处由静止加速后进入B 和C，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，下列说法正确的是
（ ）
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A．
离开A 时的速度之比为
B．若
可沿虚线穿过B，则
穿越B 时要向
板偏转
C．若
可沿虚线穿过B，则其在C 中做圆周运动的半径为
D．若
，则
在C 中做圆周运动的半径之比为
【答案】ACD
【详解】A．
两粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得
联立可得
离开A 时的速度之比为
故A 正确；
B．若
可沿虚线穿过B，则有
则
穿越B 时，有
即
受到的电场力大于洛伦兹力，可知
穿越B 时要向
板偏转，故B 错误；
C．若
可沿虚线穿过B，则其在C 中做圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
故C 正确；
D．若
，则
在C 中做圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，有
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可得
，
则
在
中做圆周运动的半径之比为
故D 正确。
故选ACD。
六．带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型
1．构造：
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D 形盒处于匀强磁场中，D 形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm
2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总
时间t＝T＝·＝.
1.如图所示，回旋加速器D 形盒半径为R，狭缝宽为d，所加匀强磁场的磁感应强度可调，所加高频交变电
源电压的频率为f．质量为m、电荷量为q 的质子从右半盒的圆心附近由静止出发，经加速、偏转等过程，
达到最大动能后由导向板处射出，忽略质子在狭缝加速运动的时间。
粒子的质量为4m、电荷量为2q。
下列说法中正确的是（ ）
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A．加速质子时，磁场的磁感应强度为
B．质子被加速的最大动能为
C．用该加速器加速
粒子时，需要将磁场的磁感应强度调为
D．用该加速器加速
粒子时，粒子被加速的最大动能为
【答案】BC
【详解】A．由题意可知质子在磁场中运动的周期
质子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，有
粒子运动周期为
联立解得
故A 错误；
B．当质子的运动半径为R 时速度最大，即动能最大，有
所以此时质子的动能
故B 正确；
C．由题意可知
粒子在磁场中运动的周期
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粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有
粒子运动周期为
联立解得
故C 正确；
D．当
粒子的运动半径为R 时速度最大，即动能最大，有
所以此时
粒子的动能
故D 错误｡
故选BC。
2．如图所示，回旋加速器D 形盒半径为R，狭缝宽为d，所加匀强磁场的磁感应强度为B，所加高频交变
电源的电压为U，质量为m、电荷量为q 的质子从右半盒的圆心附近由静止出发，经加速、偏转等过程达
最大能量E 后由导向板处射出，忽略质子在狭缝加速运动的时间，则（ ）
A．最大能量E 与加速电场的加速电压成正比
B．增大磁场的磁感应强度，能提高质子的最大能量
C．增大高频交变电源的电压，质子在加速器中运行时间不变
D．高频交变电源的频率为
【答案】BD
【详解】A．回旋加速器中带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，最大运动半径等于回旋加速器的半径，
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根据洛伦兹力提供向心力
则带电粒子的最大能量为
可知带电粒子的最大能量与与加速电压无关，故A 错误；
B．由上述分析可知，增大磁场的磁感应强度，能提高质子的最大能量，故B 正确；
C．粒子在磁场中运动的周期为
质子在加速器中加速次数满足
可知增大高频交变电源的电压，质子在加速器中加速次数减少，质子在加速器中运行时间减小，故C 错误；
D．高频交变电源的频率为
根据洛伦兹力提供向心力
则带电粒子的最大能量为
联立解得
故D 正确。
故选BD。
3.回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D 型金属扁盒组成，两个D 形盒正中间开有一条狭缝；两
个D 型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在
盒中心A 处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经
狭缝电压加速后，进入
盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；
43
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为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此
周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D 型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒
子所带电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D 型盒的半径为
R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子
重力和粒子间的相互作用力，忽略相对论效应，求：
（1）交变电压的周期T；
（2）粒子被加速后获得的最大动能
；
（3）粒子在回旋加速器中运动的总时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设交变电压的周期为T，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的
时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则
联立以上两式，解得交变电压的周期为
（2）粒子在D 形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能。设此时的速度为v，有
解得
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设粒子的最大动能为
，则
（3）质子完成一次圆周运动被电场加速2 次，由动能定理得
经过的周期个数为n，则有
质子在D 型盒磁场内运动的时间
联立解得质子在回旋加速器中运动的总时间为
七．带电粒子在叠加场中的运动模型
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此
可求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解
问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动
能定理求解问题．
3．有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，
此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量
守恒定律结合牛顿运动定律求解．
1.如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y 轴沿竖直方向。在
到
之间存在竖直向上的匀强
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电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个带电微粒从坐标原点以一定的初速度沿x 轴正方向抛出，进入
电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿x 轴正方向通过x
轴上
的位置。已知匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g。求：
(1)带电微粒比荷k 的大小；
(2)带电微粒离开电场和磁场后，通过x 轴上
的位置时的速度
的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）微粒的运动轨迹如图所示
由题意可知微粒在电磁组合场中做匀速圆周运动时竖直方向上受力平衡，即
解得
（2）设微粒在电磁复合场中运动的半径为R，速度大小为v，v 与竖直方向夹角为
，由几何关系知
根据牛顿第二定律得
微粒进入电磁复合场时的竖直分速度大小为
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设微粒从原点抛出后经时间t 进入电磁复合场，根据平抛运动规律有
，
联立，解得
根据运动的对称性可得
2.如图所示，光滑绝缘的水平面上放置一个质量为m、带电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）。在竖直平
面内存在匀强磁场和匀强电场，y 轴左侧电场方向水平向右，无磁场，y 轴右侧电场方向竖直向上，磁感应
强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电场强度大小相等，均为
、现将小球从左侧距O 点为L
的A 点由静止释放，若小球第一次落回地面时落到A 点附近。
（1）求小球第二次经过y 轴时与O 的距离d：
（2）小球从开始运动到第二次经过y 轴后速度达到最小所用的时间t。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在磁场中，由于
合力为洛伦兹力，做圆周运动
根据动能定理
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解得
结合几何关系可得
（2）由A 到O 物体做匀加速，根据牛顿第二定律
根据运动学规律
在磁场中做匀速圆周运动
回到y 轴左侧后，物体做类斜抛运动，速度与合力方向垂直时，即速度方向斜向左下
时，速度最小，从
回到y 轴左侧起至速度最小所需时间t3
总时间
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3.如图所示，水平面内存在着两个边长均为
的相邻正方形区域
和
．在正方形区域
内存在着
沿
方向的匀强电场，电场强度大小为
，在矩形区域
内存在着竖直向上的匀强磁场。在
右侧紧
挨着
的某矩形区域内（含边界）存在着竖直方向上的另一匀强磁场（未画出）。现有一质量为
、电荷
量为
的带正电粒子（不计重力），从
的中点
以初速度
（大小未知）沿
方向水平射人
区域，
粒子在该区域内沿直线运动，进入
区域后从
点离开，并进入
右侧的另一磁场区域中，粒子在该磁
场中偏转，经过一段时间后，恰从点进入
区域中。求：
（1）粒子的初速度大小
；
（2）
右侧矩形区域磁场的最小面积。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由带电粒子进入
区域后沿直线运动可知
带电粒子从
中点进入
区域后做匀速圆周运动，画出带电粒子在
区域内的运动轨迹图像，如图
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所示，轨迹圆心为
．
根据几何关系有
解得
由数学知识可知
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）带电粒子从
点离开正方形磁场区域，进入
右侧的匀强磁场后，又从点进入
磁场区域，由
分析可知，
右侧的磁场方向竖直向下，根据对称性可知，粒子在
右侧区域内的运动轨迹如图所示，
轨迹圆心为
点．
由数学知识可知
矩形磁场的最小面积为
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4.如图所示，在空间中
点放一质量为
、带电荷量为
的微粒，过
点水平向右为
轴，竖直向下为
轴，
为水平边界线，
上方存在水平向右的匀强电场E，MN 下方存在水平向左的匀强电场
和垂
直纸面向里的匀强磁场。
，若从静止释放此微粒，微粒一直沿直线
穿过此区域，
，若在
点给它一沿
轴正方向的初速度
，它将经过
上的
点。电场强度
和
大小未知，重力加速度为
，求：
(1)
点的坐标；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）从静止释放的微粒沿直线
运动，对微粒受力分析得
可得
故水平方向的加速度
竖直方向的加速度
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当微粒以速度
进入此区域，竖直方向有
得
水平方向有
故
点坐标为
。
（2）设微粒沿直线运动到
点的速度为。由动能定理有
得
在
下方，微粒做匀速直线运动，有
得
5.如图所示，某磁仪器由粒子源、偏转电场、速度选择区、偏转磁场及探测板等组成。粒子源可以产生比
荷为k 的带正电粒子，以初速度
水平飞入两平行金属板中的偏转电场，入射点贴近上板边缘。两水平金
属板间距为d，两板间电压为
。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入宽度为d 的速度选择区做匀速直
线运动，该区域存在垂直纸面向里的匀强磁场
（图中未画出）和与水平方向成45°的电场强度为E 的匀
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强电场。最后经磁感应强度为B 的匀强磁场偏转后恰好能够打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间
的相互作用力，求：
（1）偏转电场两金属板长L；
（2）速度选择区匀强磁场的磁感应强度大小
；
（3）偏转磁场区域宽度D 以及粒子从进入偏转电场区域到最终打在探测板上的时间
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）粒子在速度选择区做匀速直线运动，说明洛伦兹力与电场力等大反向，即速度方向与水平
方向成45°，由此可知粒子在偏转电场做类平抛运动的偏转角
由类平抛运动的规律有
，
，
，
联立解得
（2）粒子进入速度选择区时的速度
在速度选择器中，由洛伦兹力等于电场力有
联立解得
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（3）在偏转磁场中，有洛伦兹力充当向心力有
解得粒子在偏转磁场中的轨迹半径为
粒子偏转后恰好能够打在探测板上，则可知粒子的轨迹与探测版恰好相切，由几何关系可得
解得
而粒子在磁场中运动的周期
则粒子在偏转电场中运动时间
粒子在速度选择区运动时间
粒子在偏转磁场中运动时间
可得运动的总时间
八．带电粒子在叠加场中的应用模型---电磁平衡科技应用
模型一．速度选择器
(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．(如图)
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(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
1.如图所示，速度选择器的两平行导体板之间有方向互相垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里。一电荷量为+q 的粒子以速度v 从S 点进入速度选择器后，恰能沿图中虚线通过。不计粒子重力，下
列说法可能正确的是（ ）
A．电荷量为-q 的粒子以速度v 从S 点进入后将向下偏转
B．电荷量为+2q 的粒子以速度v 从S 点进入后将做类平抛运动
C．电荷量为+q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后动能将逐渐减小
D．电荷量为-q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后动能将逐渐增大
【答案】C
【详解】A．电荷量为＋q 的粒子以速度v 进入后受力平衡，即有
由左手定则可知，洛伦兹力竖直向上，电场力竖直向下，即电场强度的方向竖直向下，且有
当电荷量为-q 的粒子以速度v 从S 点进入后，由左手定则可知，粒子所受的洛伦兹力竖直向下，电场力竖
直向上，且有
则粒子受力平衡，将沿着图中虚线通过，故A 错误；
B．电荷量为＋2q 的粒子以速度v 从S 点进入后，向下的电场力为
向上的洛伦兹力为
由于
，所以粒子受力平衡，将沿着图中虚线通过，故B 错误；
C．电荷量为＋q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后，向下的电场力为
向上的洛伦兹力为
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由于
，所以
，即粒子刚从S 点进入后所受合力竖直向上，粒子的运动轨迹将向上弯曲，此过
程中电场力对粒子做负功，粒子的动能将逐渐减小，故C 正确；
D．电荷量为-q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后，向上的电场力为
向下的洛伦兹力为
由于
，所以
，即粒子刚从S 点进入后所受合力竖直向下，粒子的运动轨迹将向下弯曲，此过
程中电场力对粒子做负功，粒子的动能将逐渐减小，故D 错误。
故选C。
2.如图所示是速度选择器，带电粒子（不计重力）做直线运动从右端水平射出速度选择器时，说法正确的
是（ ）
A．射出的带电粒子必定带负电
B．速度选择器的上极板必定带正电
C．水平射出的带电粒子速率必定等于
D．水平射出的带电粒子在速度选择器中必定做匀加速运动
【答案】BC
【详解】A．能够沿直线通过速度选择器的粒子的速度只与场有关，与带电粒子的电性无关，无论是何种
电荷，受到的电场力和洛伦兹力方向都相反，故射出的粒子既可以带正电也可以带负电，故A 错误；
B．若粒子带正电，则粒子所受洛伦兹力方向向上，由平衡条件知，粒子所受电场力方向向下，则速度选
择器的上极板带正电；若粒子带负电，则粒子所受洛伦兹力方向向下，由平衡条件知，粒子所受电场力方
向向上，则速度选择器的上极板带正电，故B 正确；
CD．由平衡条件知
56
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解得
水平射出的带电粒子在速度选择器中一定做匀速直线运动，故C 正确，D 错误。
故选BC。
3．一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平
行且垂直纸面向里，如图所示。已知，一质子（
）以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速
直线运动。则以下说法正确的是（ ）（所有粒子均不考虑重力的影响）
A．以速度
自O 点沿中轴线射入的正电子（
），能够做匀速直线运动
B．以速度
自O 点沿中轴线射入的电子（
），能够做匀速直线运动
C．以速度
自A 点沿中轴线射入的电子（
），能够做匀速直线运动
D．以速度
自A 点沿中轴线射入的质子（
），不能做匀速直线运动
【答案】BD
【详解】质子（
）以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹
力和电场力，满足
解得
即质子的速度满足速度选择器的条件；
A．以
速度的射入的正电子（
），所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A 错误；
B．以
速度射入的电子（
），依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择题不选
57
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择电性而只选择速度，故B 正确；
CD．以速度
自A 点沿中轴线射入的电子（
）和（
），洛伦兹力与电场力不能平衡，不能够做匀速
直线运动，故C 错误、D 正确。
故选BD。
4.如图所示，在真空中两块带电金属板a、b 水平正对放置，在板间形成匀强电场，电场方向竖直向上。板
间同时存在与匀强电场正交的匀强磁场，方向垂直纸面向外。假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。
一束电子以一定的初速度
从两板的左端中央，沿垂直于电场、磁场的方向射入场中，恰好无偏转地通过
场区。已知板长为l，两板间距为d，两板间电势差为U，电子的质量为m、电荷量为e，不计电子所受重
力和电子之间的相互作用力。
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若撤去磁场，求电子离开电场时偏离入射方向的距离y；
(3)若撤去磁场，求电子穿过电场的整个过程中动能的增加量
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电子恰好无偏转地通过场区，根据平衡条件有
解得
58
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（2）撤去磁场，电子做类平抛运动，则有
根据牛顿第二定律有
解得
（3）根据动能定理有
解得
模型二．磁流体发电机
(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A 板上，
产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极．
(3)电源电动势U：设A、B 平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体
的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间
达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv.
(4)电源内阻：r＝ρ.
(5)回路电流：I＝.
1.如图为磁流体发电机的示意图，一正对平行极板a、b 的间距为d，两板的面积均为S，内部充满方向与
板平行、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，直流电动机M 的内阻为R。现让等离子体（高温下被电离含有
大量带正电和负电的离子的气体）以速度v 持续垂直喷入两板间的磁场中。若磁流体发电机稳定发电时，
通过电动机M 的电流为Ⅰ，此时电动机M 正常工作，磁流体发电机的内阻只考虑充满两板间的等离子体
的电阻，两板间等离子体的电阻率为ρ。则下列说法正确的是（ ）
59
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A．
板电势比
板电势低
B．电动机M 正常工作时两端的电压为
C．电动机M 正常工作时的机械功率为
D．电动机M 正常工作时板间带正电的离子受到的电场力的功率为
【答案】AC
【详解】A．根据左手定则，带正电的离子向下偏转，
板带正电，电势高，故A 正确；
B．磁流体发电机稳定发电时，离子在电场力和洛伦兹力作用下做匀速运动，则
可得电动势为
电动机正常工作时的电压为路端电压为
故B 错误；
C．两板间的等离子体的电阻为
电动机正常工作时的机械功率为
故C 正确；
D．电动机正常工作时板间带正电的离子受到的电场力方向与速度方向不共线，受到的电场力功率不可能
为
，故D 错误。
故选AC。
60
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2．如图是磁流体发电机工作原理示意图。发电通道是长方体结构，其中空部分的长、高、宽分别为l、
a、b，前后两个面是绝缘体，上下两个面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极与负载电阻R 相连。发电
通道处于匀强磁场中，磁感应强度为B，方向如图所示。发电通道内有电阻率为
的高温等离子电离气体
沿通道以速度v 向右流动，运动的电离气体受到磁场作用，使发电通道上下表面间产生了电势差。下列说
法正确的是（ ）
A．上表面的导体电极可视为电源的负极
B．磁流体发电机的内阻为
C．作为电源，磁流体发电机的电动势为Bav
D．闭合开关S，通过电阻R 的电流为
【答案】CD
【详解】A．根据左手定则可知，电离气体中正离子向上偏，负离子向下偏，上表面的导体电极可视为电
源的正极，A 错误；
B．根据电阻定律可知，发电机的内阻为
B 错误；
C．当发电通道上下表面间的电势差稳定时，有
解得电动势
C 正确；
D．根据闭合电路欧姆定律可知，通过电阻R 的电流为
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D 正确。
故选CD。
3.海水中含有大量的正负离子，并在某些区域具有固定的流动方向，有人据此设计并研制出“海流发电
机”，可用作无污染的电源，对海洋航标灯持续供电。“海流发电机”的工作原理如图所示，用绝缘防腐
材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道上、下两个表面装有防腐导电板M、N，板长为a、宽为b（未
标出），两板间距为d，将管道沿着海水流动方向固定于海水中，将航标灯L 与两导电板M 和N 连接，加
上垂直于管道前后面向后的匀强磁场，磁感应强度大小为B，海水流动方向向右，海水流动速率为v，已
知海水的电阻率为
，航标灯电阻不变且为R．则下列说法正确的是（ ）
A．“海流发电机”对航标灯L 供电的电流方向是
B．“海流发电机”产生感应电动势的大小是
C．通过航标灯L 电流的大小是
D．“海流发电机”发电的总功率为
【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，海水中正、负离子受洛伦兹力的方向分别指向M 板和N 板，则M 板带正电，
N 板带负电，发电机对航标灯提供电流方向是
，胡A 正确；
B．在M、N 两板间形成稳定的电场后，其中的正、负离子受电场力和洛伦兹力作用而平衡，在两板间形
成稳定电压，则有
解得“海流发电机”产生感应电动势的大小为
故B 错误；
62
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C．海水的电阻为
由闭合电路欧姆定律可得，通过航标灯的电流为
故C 正确；
D．“海流发电机”发电的总功率为
故D 错误。
故选AC。
模型三．电磁流量计
(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．
(2)公式：Q＝Sv；S 为导管的横截面积，v 是导电液体的流速．
(3)导电液体的流速(v)的计算
【模型演练】如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．
导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b 间出现电势差，当自由电荷所受
电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
1.为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分
是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为
和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂
直于上、下底面加磁感应强度为
向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为
的相互平行且正
对的电极
和
，
和
与内阻为
的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水
排放情况。下列说法中正确的是（ ）
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A．
板比
板电势高
B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C．污水流量大小，对电流表的示数无影响
D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大
【答案】D
【详解】A．根据左手定则，正离子往N 板偏，负离子往M 板偏，最终M 板带负电，N 板带正电，M 板电
势比N 板电势低，故A 错误；
BCD．最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，可得
污水的流量
则MN 两端间的电势差为
污水流量越大，电势差越大，电流表示数越大；增加磁感应强度，电势差增大，电流表示数也增大；污水
中离子浓度越大，导线性能越好，即电阻率减小，M、N 间污水的电阻r 越小，其他条件不变时，回路中
的电流越大，故BC 错误，D 正确。
故选D。
2.工业上常用电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量Q（单位时间内流过管道横截面的液体体
积），原理如图甲所示，在非磁性材料做成的圆管处加一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，当导电液体流
过此磁场区域时，测出管壁上下M、N 两点间的电势差U，就可计算出管中液体的流量。为了测量某工厂
的污水排放量，技术人员在充满污水的排污管末端安装了一个电磁流量计，如图乙所示，已知排污管和电
磁流量计处的管道直径分别为20
和10
。当流经电磁流量计的液体速度为10
时，其流量约为
280
，若某段时间内通过电磁流量计的流量为70
，则在这段时间内（ ）
64
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A．M 点的电势一定低于N 点的电势
B．通过排污管的污水流量约为140
C．排污管内污水的速度约为2.5
D．电势差U 与磁感应强度B 之比约为0.25
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，正电荷进入磁场区域时会向上偏转，负电荷向下偏转，所以M 点的电势
一定高于N 点的电势，故A 错误；
BC．某段时间内通过电磁流量计的流量为70
，通过排污管的污水流量也是70m3/h，由
知此段时间内流经电磁流量计的液体速度为2.5m/s，流量计半径为r=5cm=0.05m，排污管的半径
R=10cm=0.1m，流经电磁流量计的液体速度为v1=2.5
，则
可得排污管内污水的速度约为
故BC 错误；
D．流量计内污水的速度约为v1=2.5m/s，当粒子在电磁流量计中受力平衡时，有
可知
故D 正确。
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故选D。
3.如图所示为某污水流量计的简化模型图。圆柱形管道置于水平桌面上，含有大量正、负离子的污水从管
道左侧流入，从右侧流出。空间有平行于桌面且垂直于纸面向外的匀强磁场。已知磁感应强度
及管道直
径
，
、
分别为管道竖直截面的最高点和最低点，液体流量
等于单位时间通过横截面的液体体积，
不计离子重力，则（ ）
A．
点电势高于
点电势
B．带电离子所受洛伦兹力方向为水平方向
C．正、负离子所受洛伦兹力方向相同
D．只需测量
、
两点间的电压就能求出污水的流量
【答案】AD
【详解】ABC．根据左手定则可知正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则
点电势高于
点电势，带电离子所受洛伦兹力方向为竖直方向，正、负离子所受洛伦兹力方向不同，
故A 正确，BC 错误；
D．稳定后
可得液体流速
则污水的流量
由上式可知，只需测量
、
两点间的电压就能求出污水的流量，故D 正确。
故选AD。
4.为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘
材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于前后两侧面方向加磁感应强度大小为B
的匀强磁场，在上下两内表面分别固定有金属板M、N 作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，
接在M、N 两端间的电压表将显示两个电极间的电压U，若用Q 表示污水流量（单位时间内排出的污水体
积），下列说法中正确的是（ ）
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A．若污水中负离子较多，则M 板比N 板电势高
B．若污水中正离子较多，则N 板比M 板电势高
C．污水中离子浓度越高电压表的示数将越大
D．电压U 与污水流量Q 成正比，与a、c 无关
【答案】AD
【详解】AB．正负离子向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向M 板偏转，负离子向N 板偏
转，所以M 板比N 板电势高，故A 正确，B 错误；
C．电场力、洛伦兹力处于平衡，有
qE=qvB
即
=vB
污水流量
则
电压表的示数与磁感应强度、流量Q 以及流量计的宽有关，与离子浓度无关，故C 错误；
D．由
可知电压U 与污水流量Q 成正比，与a、c 无关，故D 正确。
故选AD。
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模型四.霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体
的上表面A 和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′
的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
(3)霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所
受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U
＝＝k，k＝称为霍尔系数．
1.目前，霍尔效应已被广泛应用于半导体材料的测试和研究中，例如应用霍尔效应测试半导体是电子型
（电子移动）还是空穴型（正电荷移动），研究半导体内载流子浓度（即单位体积内电荷数）的变化等。
如图所示，在以下半导体霍尔元件中通以向右的电流，则下列说法正确的是（ ）
A．若上表面电势较高，则该元件为电子型
B．若上表面电势较高，则该元件为空穴型
C．电流强度一定时，元件内载流子浓度越高，上下表面的电势差越大
D．电流强度一定时，元件内载流子浓度越低，上下表面的电势差越大
【答案】BD
【详解】AB.由左手定则，若载流子为正，则上表面电势较高，则该元件为空穴型，若载流子为电子，则
上表面电势较低，则该元件为电子型，故A 错误，B 正确；
CD.稳定时有
可得
由电流的微观表达式
可得
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代入上式得
显然浓度越低，电势差越大，故C 错误，D 正确。
故选BD。
2.如图所示，矩形薄片霍尔元件处于与薄片垂直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。当元件通有大小为
I，方向如图所示的电流时，在M、N 间出现霍尔电压UH。已知薄片内的导电粒子是电荷量为e 的自由电子，
薄片的厚度为d，M、N 间距离为L1，P、Q 间距离为L2，则下列说法正确的是（ ）
A．形成电流的电子定向移动方向为P→QB．M 表面电势低于N 表面电势
C．自由电子定向移动的速度大小为
D．元件内单位体积内自由电于数为
【答案】BC
【详解】A．电子定向移动方向与电流方向相反，应为
，故A 错误；
B．由左手定则知，电子向M 表面偏转，M 表面电势低于N 表面电势，故B 正确；
C．稳定时，洛仑兹力与电场力平衡，有
解得
故C 正确；
D．根据电流微观表达式
联立解得
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故D 错误。
故选BC。
3.霍尔元件是一种基于霍尔效应的磁传感器，用以检测磁场及其变化。某半导体材料制成的霍尔元件如图
所示，长方体元件处于方向垂直于工作面向下的待测匀强磁场中，接通开关S，调节滑动变阻器R，使电
路中电流为定值I，此时在元件的前后表面间会出现电势差（称为霍尔电压），用电压表测出前后表面
M、N（图中未标出）间电势差
的大小，即可求出该磁场的磁感应强度。
的大小与I 和B 满足
，
称为霍尔元件灵敏度，
越大，灵敏度越高。已知元件长为a，宽为b，高为h。下列说
法正确的是（ ）
A．表面M 电势高，说明半导体材料中的载流子（参与导电部分）带负电
B．霍尔电压
越大，说明磁感应强度越大
C．元件的宽度b 越大，霍尔元件的灵敏度越高
D．元件的高度h 越小，霍尔元件的灵敏度越高
【答案】D
【详解】A．电流方向向右，若载流子带负电，则向左运动，根据左手定则，表面M 电势低，说明载流子
带正电，A 错误
B．霍尔电压由灵敏度、电流和磁感应强度共同决定，B 错误；
CD．由平衡条件
又
70
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n 为单位体积内自由电荷的个数，可知
元件的宽度b 越大，霍尔元件的灵敏度不变；元件的高度h 越小，霍尔元件的灵敏度越高，C 错误，D 正
确。
故选D。
4.如图所示，为了测量某金属中自由电子的“数密度”（单位体积内的自由电子数量），用该材料制成一
段长方体，端面边长分别为
和
；将其置于匀强磁场中，磁场方向垂直于前表面向里，材料内部磁感应
强度大小为
。当通以从左到右的恒定电流
时，测得上、下表面之间的电压大小为
。已知电子电荷量
大小为，则（ ）
A．自由电子数密度为
B．自由电子数密度为
C．上表面电势比下表面电势高
D．上表面电势比下表面电势低
【答案】BD
【详解】电流稳定时，电子所受电场力和洛伦兹力平衡，有
解得
电流的微观表达式
联立可得
电流方向自左向右，电子自右向左运动，根据左手定则，可知电子向上表面聚集，下表面正电荷较多，电
场方向自下向上，故上表面电势低，故选BD。
71
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5.如图为利用霍尔元件进行微小位移测量的实验装置。在两块磁感应强度相同，同极相对放置的磁体狭缝
中放入金属材料制成的霍尔元件，当霍尔元件处于中间位置时磁感应强度为0，霍尔电压
（霍尔元件上
下两表面的电势差）也为0。将该点作为坐标原点建立空间坐标系，当霍尔元件沿x 轴移动时，即有霍尔
电压
输出。霍尔元件中电流方向始终为z 轴负方向且大小不变，下列说法正确的是（ ）
A．霍尔元件处于x 轴负半轴时，下表面的电势高于上表面的电势
B．霍尔元件从O 点沿x 轴正方向移动的过程中，霍尔电压的大小
逐渐增大
C．在某一位置时，若增大霍尔元件沿x 轴方向的厚度，则霍尔电压的大小
将减小
D．在某一位置时，若增大霍尔元件沿y 轴方向的厚度，则霍尔电压的大小
将不变
【答案】BCD
【详解】A．霍尔元件处于x 轴负半轴时，磁场方向向右，由左手定则可知，电子所受洛伦兹力向下，电
子运动到下表面，则上表面电势高于下表面，A 错误；
B．设电子的电荷量为e，沿电流方向定向运动的平均速率为v，单位体积内电子的个数为n，导体板的横
截面积为S，霍尔元件沿x 轴方向的厚度为d，沿y 轴方向的厚度为b，则电流的微观表达式为
电子在磁场中受到的洛伦兹力为
电子在洛伦兹力作用下向上运动后，霍尔元件上、下两表面出现电势差
，则有电子受到的电场力为
当达到稳定状态时，电场力与洛伦兹力大小相等，则有
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由此可知，霍尔元件从O 点沿x 轴正方向移动时，磁感应强度B 逐渐增大，则有霍尔电压的大小
逐渐
增大，B 正确；
CD．由以上分析解得
由此可知，在某一位置时，若增大霍尔元件沿x 轴方向的厚度d，则霍尔电压的大小
将减小；在某一位
置时，若增大霍尔元件沿y 轴方向的厚度b，则霍尔电压的大小
将不变，CD 正确。
故选BCD。
九．洛伦兹力的冲量与配速法
1.霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面
向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速
度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点
与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数
N0的百分比。
【答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
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解得
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0的
90%。
2.如图，在光滑绝缘水平面上有一平面直角坐标系xOy，x < 0 区域有方向垂直平面向外的匀强磁场I：x >
74
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0 区域有方向垂直平面向外的匀强磁场II 和沿y 轴负方向的匀强电场E。管壁光滑、厚度不计的绝缘直细管
两端分别固定在A（
，0）、B（0，L）两点。一质量为m、带电荷量为q 的带正电小球（直径略小于
管的内径）从管口A 处以某一初速度沿AB 方向射入管中，从B 点射出管口时的速率为v，然后沿水平面运
动，通过y 轴上的C 点时撤去电场，小球在第一象限运动后恰好从A 处进入第四象限。已知磁场I 的磁感
应强度大小
，电场的场强大小
。
（1）求小球从管口A 射入时的初速率v0以及B、C 两点间的距离y0；
（2）求磁场II 的磁感应强度大小B2以及小球第一、二次通过B 处的时间差t；
（3）若小球过B 点后第一次运动到第一象限且与x 轴距离最大时撤去AB，且恢复匀强电场、但场强大小
变为
，求小球速度的最大值vmax以及小球速度最大时与x 轴间的距离y1。
【答案】（1）
，2L；（2）
，
；（3）
，
【详解】（1）设∠OAB = θ，则
解得
θ = 30°
小球运动轨迹如图所示
75
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从A 运动到B 的过程中，根据动能定理有
其中
，解得
设小球在磁场I 中运动的轨迹半径为
，圆心为
，则
由几何关系得∠O1CB = ∠O1BC = θ，则有
y0= 2r1cosθ
解得
y0= 2L
（2）由
得
∠OCA = 30°
由于∠OCA = θ，则AC 是小球第一次在第一象限中运动的轨迹直径，则圆心O2为AC 中点，小球在磁场
II 中运动的轨迹半径
磁场II 的磁感应强度大小为B2，则
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解得
由于∠AOC = 90°，小球从A 处进入第四象限后恰好从O 点离开第四象限进入第二象限，则小球第一次通
过B 点后，第一次在x < 0 区域运动的时间
第一次在x > 0 区域运动的时间
结合几何知识可知小球第一、二次通过B 点的时间差
解得
（3）小球运动到第一象限且与x 轴距离最大时，小球的速度方向沿x 轴正方向，令
得
小球的运动可分解为以速率
沿x 轴负方向的匀速直线运动和以速率
沿顺时针方向的匀速圆周运动，由
得
当两个分速度同向时小球速度最大，此时速度方向沿x 轴负方向，小球的速度最大值
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小球速度最大时与x 轴间的距离
3.（2025 届浙江省宁波市高三上学期一模考试物理试题）物理学家在科研时经常利用电磁场加速和约束高
能粒子。在如图所示的空间直角坐标系
中，
的空间内充满匀强磁场，大小为
，方向可调，初
始时沿
轴负方向。坐标为（0，0，L）的
点有一粒子源，可沿
平面内的第一象限与
轴负方向成
角发射粒子。粒子第一次运动到
平面时轨迹恰好与
轴相切。已知粒子质量为
，电荷量为
，
不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求粒子初速度
的大小。
(2)将磁场方向调整为沿
轴正方向，求
①粒子运动到
平面的时间；
②粒子经过
平面时的
坐标与
坐标的表达式。（可用三角函数表示）
(3)保持
空间的初始磁场和粒子发射方向不变，在此空间再充满沿
轴负方向的匀强电场，电场强度大
小满足
，求粒子运动过程中距
平面的最大距离
。
【答案】(1)
(2)①
；②
；
(3)
【详解】（1）粒子由洛伦兹力提供向心力
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由几何关系得
联立求得
（2）①粒子做螺旋运动，可分解为沿z 轴负方向的匀速直线运动和沿轴负方向的匀速直线运动和沿
平
面的匀速圆周运动，设到
平面的时间为，做匀速圆周运动的半径为
，周期为
，则粒子运动到
平面的时间
②根据
可得粒子经过
平面时的
坐标与
坐标的表达式
（3）由已知条件
可得
将初速度
分解为如图所示的
和
，令
由平行四边形定则得
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粒子的运动可以看成是
的匀速直线运动和
的匀速圆周运动两种运动的合成，设匀速圆周运动半径为
，
则
由几何关系得
4．（2025·浙江·一模）现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹
的方法十分有效。空间中存在三个有电场或磁场的区域，区域Ⅰ是半径为
的圆形区域，区域Ⅰ中存在磁
感应强度大小为
的垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在
区间内存在平行
轴的匀强电场，
，场强大小
，场强方向沿着
轴负向，区域Ⅲ为
的区间，存在方向垂直于纸面向外的
匀强磁场
，磁感应强度大小为
，坐标为
的
点是边界上一点。一群质量为
，电荷量
为
的带电粒子沿着
方向射入区域Ⅰ，其坐标
范围为
，要求这批粒子从同一点离开区
域Ⅰ。（不计粒子重力，
）求：
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(1)求粒子初速度
；
(2)这批粒子离开区域与
轴的夹角范围；
(3)某粒子能到达
点，该粒子最初入射的
坐标；
(4)若满足（3）的那个粒子从
点进入磁场
后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该
粒子轨迹呈螺旋状并与区域Ⅲ磁场左边界相切于点
（未画出）。求粒子由
点运动到
点的时间
以及坐标
的值。
【答案】(1)
(2)粒子的角度范围在与x 轴夹角53°范围内
(3)
(4)
，
【详解】（1）由磁聚焦原理，沿着
轴正向入射的例子将汇聚于区域I 与
轴的交点，且磁场圆与轨迹圆
半径相同，则
由牛顿第二定律可得
解得
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（2）
时，由几何关系可得
所以
时，由几何关系可得
所以
则粒子的角度范围在与x 轴夹角53°范围内；
（3）区域Ⅱ中带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，类斜抛运动，假设入射粒子与
轴正向夹角为
α，由运动的分解可得，
方向有
方向有
解得
由几何关系x 坐标为
（4）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运动轨迹如图所示
根据
可得
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即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为
，则有
取一小段时间Δt，对粒子在x 方向上列动量定理
两边同时对过程求和
可得
即
其中
则有
可得
故有
5.利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在
坐标系的
轴左侧存在沿
轴负方向的匀强电场，
轴右侧存在垂直于
平面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场。现有
一质量为
，电荷量为
的带正电粒子，从P 点
以大小为
的初速度沿
轴正方向发射，恰好
经过坐标原点O 进入右侧磁场，再经过M 点（未画出）返回
轴左侧，粒子经过M 点时在
轴左侧增加与
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右侧相同的磁场（图中未画出），粒子从M 点到达N 点（未画出）时速度方向第一次与
轴平行。不计带
电粒子的重力，已知
，
。求：
(1)匀强电场的电场强度
的大小；
(2)粒子从
点运动到
点的时间；
(3)粒子在
点时的速度大小
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在
间做类平抛运动，平行于
轴方向有
解得
平行于
轴方向有
根据牛顿第二定律得
解得
（2）设粒子经过
点时与
轴正方向间的夹角为
，则沿
轴方向的分速度
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又
解得
粒子在磁场中运动的速度
如图1 所示
，粒子在
轴右侧做圆周运动的时间
由洛伦兹力提供向心力有
代入
可得
从
点运动到
点的总时间
（3）粒子离开
点回到
轴左侧后，对粒子受力分析，如图2 所示
85
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粒子从
点到
点，在
轴方向上，由动量定理得
其中
，设
，则
解得
从
点到
点，洛伦兹力不做功，由动能定理得
解得
6.如图所示，在直角坐标系xOy 中，存在着场强为
，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为
，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一长为L 的绝缘细线，一端固定在坐标原点，另一端拴着质
量为m、电荷量为q 的正电小球，现将细线拉直到水平位置，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰
好达到它能承受的最大值而断裂。当细线断裂，并多次经过x 轴。已知在第二象限内小球第一次到x 轴的
坐标绝对值为
，重力加速度为g
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(1)细线能承受的最大拉力；
(2)小球进入第二象限后运动过程中的最小速率；
(3)小球从进入第二象限开始至第一次到达x 轴所用的时间。
【答案】(1)3mg
(2)0
(3)
【详解】（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有
根据动能定理有
代入数据解得
T=3mg
（2）小球进入第二象限后向下偏转，多次经过x 轴，由动能定理
联立，解得
y=L，v1=0
所以，小球运动到x 轴时有最小速率为0。
（3）小球进入第二象限后，做复杂曲线运动将任意时刻的速度沿x 轴和y 轴分解为vx 和vy，洛伦兹力也
分解成对应的fx，fy，则有
fx=qBvy，fy=qBvx
由动量定理知，以x 方向为正方向有
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即
qBL=mv
以y 方向为正方向有
即
qBx﹣mgt=0
联立，解得
7．如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B 和沿y 轴正方向
的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为
的粒子从x 轴负半轴M 点与x 轴正方向成
60°射入电场，经电场偏转后以速度
从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，最后从N 点与x 轴正方向成60°
射出磁场，不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f=kv（k 为已知常量），粒子恰好从Q 点（图中未标出）
垂直x 轴射出磁场，求Q 点的坐标；
(3)在第（2）问的情况下，求粒子从P 点运动到Q 点的轨迹长度。
【答案】(1)
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(2)
(3)
【详解】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则
有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示
根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
解得
由洛伦兹力充当向心力有
解得
（2）对粒子受力分析可知，速度的x 轴的分量会产生x 轴的阻力与y 轴负方向的洛伦兹力；速度y 轴的分
量，会产生y 轴的阻力与x 轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示
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在x 轴上，由动量定理有
由微元法累加后可得
解得
则Q 点的坐标为
（3）同理在y 轴上有
微元法叠加后可得
解得
切线方向，阻力使得粒子速度减小，在切线方向有
-
微元叠加后可得
-
90
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解得轨迹的长度为
8.如图所示，在以水平向右为x 轴正方向、竖直向上为y 轴正方向的直角坐标系中，有Ⅰ、Ⅱ两个区域，Ⅰ
区内有与x 轴正方向夹角为37°的匀强电场，Ⅱ区内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。将一质量为m、电荷
量为＋q 的小球从原点O 以初速度
竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图中曲线Oabc 所示，小球经过a 点
时的速度沿x 轴正方向，Oa 连线与x 轴正方向的夹角为53°，b 点是磁场左边界与x 轴的交点。不计空气阻
力，重力加速度大小为g，磁感应强度大小为
，
，
，求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球从O 运动到c 过程中的最小速度；
（3）小球从O 运动到c 过程中的最大速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从
点运动到
点，用时为
，沿
、
方向加速度分量分别为
、
，有
，
又
设场强为
，根据牛顿第二定律可得
91
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，
联立解得
（2）设小球受到重力和电场力的合力
与
轴负方向的夹角为
，有
小球在运动过程中的速度方向与合力
的方向垂直时，速度有最小值
，则
联立解得
最小速度方向与
轴正方向的夹角为
。
（3）设小球从
经过时间
运动到
，在
点时水平分速度、竖直分速度分别为
，
，根据对称性可
知
根据匀变速运动规律，有
解得
设小球从
点运动到最低点，下落高度为
。当小球运动到最低点时，速度方向水平向右，速度有最大值
。在水平方向，根据动量定理，有
根据动能定理，有
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根据已知条件
，联立解得
或
（舍去）
9.利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足
够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域
Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的
离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不
计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
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解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
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解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
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