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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型
目录
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述......................................................................1
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型..................................................................................................2
三．平行边界磁场模型.................................................................................................................................... 11
四．圆形边界磁场模型.................................................................................................................................... 16
五．环形磁约束模型........................................................................................................................................ 31
六．三角形或四边形边界磁场模型................................................................................................................40
七．数学圆模型在电磁学中的应用................................................................................................................46
模型一 “放缩圆”模型的应用............................................................................................................46
模型二 “旋转圆”模型的应用............................................................................................................53
模型三 “平移圆”模型的应用............................................................................................................66
模型四 “磁聚焦”模型..........................................................................................................................70
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的
直线过圆心②弦的垂
直平分线过圆心③轨
迹圆弧与边界切点的
法线过圆心
P、M 点速度垂线交点
P 点速度垂线与弦的垂直平
分线交点
某点的速度垂线与切点法线
的交点
半径的确定
利用平面几何知识求
半径
常用解三角形法：例：(左
图)
R＝或由R2＝L2＋(R－d)2 求
得R＝
1
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运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ
或轨迹长度L 求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ 等于
所对的圆心角θ
(2)偏转角φ 与弦切角α 的关
系：φ<180° 时，φ ＝2α ；
φ>180°时，φ＝360°－2α
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a 中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1.如图，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一带电粒子
从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹角θ=30°。粒子经过磁场偏转后垂直穿过x 轴。已知
OM=a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（ ）
A．粒子带正电荷
B．粒子运动的轨道半径为a
C．粒子速度的大小为
D．粒子在磁场中运动时间为
【答案】C
【详解】A．粒子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，由左手定则可知，粒子带负电，故A 错误；
BC．粒子运动轨迹如图所示
2
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由几何知识可知，粒子做圆周运动的轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
故B 错误，C 正确；
D．粒子在磁场中的运动周期
粒子轨迹对应的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
故D 错误。
故选C。
2．如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场），位于x 轴上的Р 点有一粒子发
射器，沿与x 轴正半轴成
角方向发射不同速率的电子，已知当速度为
时，粒子恰好从О 点沿y 轴负方
向离开坐标系，则下列说法正确的是（ ）
3
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A．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
B．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
C．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
D．如果
，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
【答案】B
【详解】AB．当速度为
时，粒子恰好从О 点沿y 轴负方向离开坐标系，作出此时的轨迹如图所示
该轨迹恰好与y 轴相切，若
，粒子速度越大，轨迹半径越大，轨迹飞出点逐渐从上述轨迹的切点位置
上移，可知，对应轨迹圆心角
越小，根据
可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故A 错误，B 正确；
CD．若
，结合上述可知，粒子轨迹为一段优弧，粒子从x 轴正方向射出，根据单边有界磁场的对称
性，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于
，根据几何关系可知，轨迹所对应的圆心角始终为
4
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，根据
可知，如果
，则在磁场中运动的时间一定，与速度大小无关，故CD 错误。
故选B。
3.如图所示，在
的区域内存在与
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一束速率等于
的相同带电粒子从原点
发射，速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范围内。其中，沿
轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的
点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为
。不计粒子间相
互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
【答案】AC
【详解】A．根据题意作出沿
轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图甲所示，圆
心为
，根据几何关系
可知粒子做圆周运动的半径为
5
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故A 正确；
B．由
故B 错误；
C．在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为
，
在磁场中的运动时间
故C 正确；
D．结合甲乙两图可知，能从右边界射出的粒子的速度方向与
轴正方向的夹角等概率的分布在
范
围内，占总粒子数的
，故D 错误。
故选AC。
4.如图，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向
不变．一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力．
6
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(1)若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的
最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x 轴
正方向的夹角及该点到x 轴的距离．
【答案】 见解析
【解析】 (1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设
粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝m①
由此可得R＝②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足R≤h③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y 轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
Bm＝④
(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R′＝
2h⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系sin α＝＝⑥
即α＝⑦
由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为
y＝2h(1－cos α)⑧
联立⑦⑧式得y＝(2－)h.
4.（2024·江西·模拟预测）如图，在直角坐标xOy 平面的y 轴与直线
之间有垂直坐标平面向外的匀强
磁场，场强大小为B。在坐标原点处有一粒子源，在坐标平面内沿与y 轴正方向成
的夹角向磁场内
射入大量质量为m，电荷量为q 的带正电粒子，这些粒子的速度满足
，已知这些粒子在磁场中
运动的最长时间是最短时间的5 倍，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，
，
。则
等于（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，令轨迹对应的圆心角为
，则粒子在磁场中一定的时间
可知，轨迹对应圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长，可知，当粒子从y 轴离开磁场，对应轨迹圆心
角最大，粒子在磁场中一定时间最长，根据几何关系可知，此时轨迹的圆心角为
。因为在磁场中运动
的最长时间是最短时间的5 倍，则运动时间最短时对应的轨迹的圆心角为
，由于
解得
速度越大，轨道半径越大，在上述磁场中运动时间越短，所以最大速度粒子对应的时间最短，即其轨迹对
应的圆心角为
，由几何关系可知粒子将垂直于磁场右边界飞出磁场，则有
解得轨道半径为
结合上述解得最大速度为
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故选B。
5.如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）向里，磁场右边界与x 轴垂直。
一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在
垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。如果保持所有条件不变，
在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达接收屏。该粒子的比荷为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
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则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
6.（2024·河北·模拟预测）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子
垂直于指
板从板上的小孔
射入磁场，另一带电粒子
垂直于磁场且与挡板成
角射入磁场，
、
初速度大小相等，
两粒子恰好都打在板上同一点
（图中未标出），不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．
、
的电性相反
B．
、
在磁场中的运动时间可能相同
C．若
在
点左侧，则
、
的比荷之比为
D．若
在
点右侧，则
、
的比荷之比为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相
同，故A 错误；
BCD．令两粒子都带正电，粒子的运动轨迹如图所示
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P 点在O 点的左侧，根据几何知识有
Ra：Rb=sinθ：1
因为
所以粒子做圆周运动的半径为
则
根据图形可知，该种情况下a 粒子做圆周运动的路程小于b 粒子的路程，根据
可知，a、b 两粒子的速
度相等，所以a 粒子的运动时间小于b 粒子；
当两粒子都带负电时，两粒子的运动轨迹如图所示
P 点在O 点的右侧，根据几何知识有
Ra：Rb=sinθ：1
则
根据图形可知，该种情况下a 粒子做圆周运动的路程大于b 粒子的路程，所以a 粒子的运动时间大于b 粒
子；故D 正确，BC 错误。
故选D。
三．平行边界磁场模型
【运动模型】
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平行边界存在临界条件，图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
1.（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m 的带负电
粒子以速度
垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为
，不计粒子受到的重力，下列说法正确的
是（ ）
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】B
【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为
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选项A 错误；
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
选项B 正确；
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
选项C 错误；
D．根据
解得匀强磁场的磁感应强度大小为
选项D 错误。
故选B。
2．（2024·湖北黄冈·三模）如图所示，空间内有一垂直于x 轴的足够大的平面M，M 将
的空间分成
Ⅰ、Ⅱ两区域，两区域均存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅰ磁场沿y 轴负向，区域Ⅱ磁场沿y
轴正向。一带电粒子从O 点以大小为v 的速度射入区域Ⅰ，速度方向在xOy 平面内且与x 轴正向成
，
粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后经过y 轴上的P 点。已知
，
，不计带电粒子的重力，则
该粒子的比荷为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将粒子的入射速度沿水平方向与竖直方向分解，则有
粒子水平方向的分运动为匀速圆周运动，竖直方向的分运动为匀速直线运动，假设粒子带正电，Ⅰ、Ⅱ两
部分磁场方向分别沿y 轴负方向与y 轴正方向，作出粒子水平方向运动的俯视图如图所示
粒子在水平方向中做匀速圆周运动，则有
粒子匀速圆周运动的周期为
解得
，
粒子在左右磁场中圆周运动的半径相等，则有
粒子在水平方向圆周运动的时间为
粒子在竖直方向做匀速直线运动的时间为
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根据分运动的等时性有
解得
故选A。
3.（2025·浙江·模拟预测）在如图所示的xOy 平面内，边长为2R 的正方形区域中存在方向垂直xOy 平面向
外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，沿x 轴放置一长为2R 的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为
m、电荷量为q 的正离子源从正方形一边（位于y 轴上）的中点P 向垂直于磁场方向持续发射离子，发射
速度方向与水平方向夹角范围为0
60°
﹣
并沿0
60°
﹣
范围均匀分布，单位时间发射N 个离子，其发射离子速
度大小随发射角变化的关系为
，α 为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从
磁场下边界的中点沿y 轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并
中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v0＝5×105m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求离子的比荷
（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
【答案】(1)1×107C/kg
(2)
N
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(3)
m
【详解】（1）α＝0°离子的轨迹如图所示：
根据几何关系
r＝R
根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B
联立代入数据解得比荷
1×107C/kg
（2）发射速度方向与水平方向夹角为α 的离子运动轨迹半径为
如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y 轴上的弦长
即所有粒子都打到O 点；
根据对称性可得从P 向磁场发射的离子均垂直磁场下边界射出，离子要打在探测板最右边时，需满足
解得
α＝37°
所以当α＞37°时粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，则单位时间内能打在探测板上的离子数
n
N
（3）根据几何关系可知当α＝60°时，从有边界射出的粒子运动最远，如图：
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此时可知
QM＝2R，β＝60°
解得此时粒子在x 轴上的距离
m
所以探测板至少
m 才能接到所有的粒子。
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
正对圆心射入圆形磁场区域
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正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有
→磁偏转半径
，根据半
径公式
求解；时间
。速度v 越大→磁偏转半径r 越大→圆心角α 越小→时间t 越短。
若r=R，构成正方形。
2． 圆形有界磁场问题（2）
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
1.如图所示，半径为R、圆心为O 的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，直径ab 水平。电子带电
荷量为
、质量为m，以速率v 从a 处始终沿纸面射入磁场，当电子在a 处的速度方向与aO 夹角为30°、
斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计电子的重力，下列说法正确的是
（ ）
A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为
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B．改变入射方向，当电子经过O 点时，电子在磁场中的运动时间为
C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变
D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变
【答案】BC
【详解】A．设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心为C，出射点为d，如图甲所示，由于电子离开磁
场时的速度方向相比进入时的速度方向改变了60°，可知
，由三角形全等可知
电子从d 点射出时的速度方向竖直向下，可知
为等腰三角形，可知电子在磁场
中做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供电子在磁场中做圆周运动的向心力可得
代入半径可得
故A 错误。
B．改变电子在a 处的入射方向，当电子经过O 点时，如图乙所示，轨迹圆心在圆形边界上的D 点，出射
点在e 点，可知四边形aOeD 为菱形，三角形aOD，eOD 为等边三角形，电子从e 点射出时速度方向仍竖
直向下，在磁场中运动轨迹对应的圆心角为120°，电子在磁场中的运动时间为
故B 正确。
C．改变电子在a 处的入射方向，设电子从一般位置f 射出，轨迹圆心为P，同理可知四边形aOfP 为菱形，
出射点对应轨迹半径
，可知电子射出磁场时速度方向仍竖直向下，即改变入射方向，电子离开磁场
时的速度方向不变，故C 正确，D 错误。
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故选BC。
2.（2024·云南昆明·模拟预测）一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中。粒子与圆筒发
生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的
情况下，则圆筒的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做出圆心为O'，圆半径为r，设第一次碰撞点为
A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S 孔射出，因此SA 弧所对的圆心角
由几何关系得
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得
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联立解得
故选B。
3.（2024·山东临沂·二模）如图所示，半径为R 圆形区域内存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向
垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为
的带电粒子由A 点沿平行于直径
的方向射入磁场，最后经过
C 点离开磁场。已知弧
对应的圆心角为60°，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子运动速率为
B．带电粒子运动过程中经过圆心O
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
【答案】B
【详解】
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A．假设该电荷在磁场中运动轨迹圆心为O’，由几何关系可知
为正三角形。假设运动轨迹半径为
r，由几何关系可知
由洛伦兹力公式可知
故A 错误；
B．由图像可知，轨迹经过圆心。故B 正确；
C．由于此时运动轨迹圆心角为120°，结合公式
可知，所用时间为
故C 错误；
D．由几何关系可知
故D 错误。
故选B。
4．（2024·广东深圳·二模）如图所示，半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在的平
面。一速度为v 的带电粒子从圆周上的A 点沿半径方向射入磁场，入射点A 与出射点B 间的圆弧
为整
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个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A 点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为
，忽
略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，设速率为的带电粒子的运动半径为
，其轨迹如图中弧AB 所示
由题意可知
，由几何关系可得
圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力可得
可得粒子的半径为
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可知粒子运动半径与速率成正比，则速率为
的粒子在磁场中圆周运动半径为
在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹的弦为磁场区域圆的直径，粒子运动轨迹如图中的弧AC。则角
满足
可得
粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中最长运动时间为
故选C。
5.粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强
磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直线PM 通过磁场区域后打在探测
器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相
互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 可能为质子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
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【答案】D
【详解】A．粒子1 沿直线运动，因忽略粒子重力及粒子间相互作用力，可知该粒子不带电，故不可能为
质子，故A 错误；
B．粒子2 水平射入后向上偏转，即受到向上的洛伦兹力，由左手定则可知该粒子带正电，故B 错误；
C．因粒子1 不带电，所以增大磁感应强度，粒子1 仍打在M 点，故C 错误；
D．由
可知增大粒子入射速度后，粒子圆轨迹半径增大，所以粒子2 可能打在探测器上的Q 点，故
D 正确。
故选D。
6.如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，
是以不同速率对准圆心入射的正
电子或负电子的运动径迹，a、b、d 三个出射点和圆心的连线与竖直方向分别成
角，下列判断
正确的是（ ）
A．沿径迹
运动的粒子均为正电子
B．沿径迹
运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹
运动的粒子在磁场中运动时间之比为2 1∶
D．沿径迹
运动的粒子动能之比为3 1∶
【答案】C
【详解】A．由左手定则可判断沿径迹
，
运动的粒子均带负电，A 项错误；
B．由于正电子和负电子的电量q 和质量m 均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
解得
可知四种粒子的周期相等，而沿径迹
运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由
25
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可知沿径迹
运动的粒子在磁场中运动时间最长，B 项错误；
C．沿径迹Oa 运动的粒子在磁场中偏转角度为
沿径迹Od 运动的粒子在磁场中偏转角度为
两粒子运动周期大小相同，则
可知，
运动的粒子在磁场中运动时间之比为2 1∶，选项C 正确；
D．设圆形磁场半径为r，根据几何关系可得沿径迹
，
运动的粒子轨道半径分别为
根据
可得
根据动能
可知沿径迹
运动的粒子动能之比为1 3∶，选项D 错误。
故选C。
7.如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面
向里。由距离O 点
处的P 点沿着与
连线成
的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质
量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电
子的最大速率为（ ）
26
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图
当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据
得
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的
圆心做OP 的垂线，由几何关系得
得
则最大速率为
故选C。
8.如图所示，在直角坐标xOy 平面内，有一半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向
27
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垂直于纸面向里，边界与x、y 轴分别相切于a、b 两点，ac 为直径。一质量为m，电荷量为q 的带电粒子
从b 点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x 轴正方向进入磁场区域，从a 点垂直于x 轴离开磁场，不
计粒子重力。下列判断不正确的是（ ）
A．该粒子的速度为
B．该粒子从b 点运动到a 点的时间为
C．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a 点
D．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是
【答案】D
【详解】AB．粒子从b 点以某一初速度
沿平行于x 轴正方向进入磁场区域，从a 点垂直于
轴离开磁场，
如图所示由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
联立解得
该粒子从b 点运动到a 点的时间为
故AB 正确；
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C．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知
可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a 点，故C 正确；
D．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，
如图所示
29
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由几何关系可知，最大圆心角为
，则最长时间为
故D 错误。
此题选择不正确的选项，故选D。
9.（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，为某速度选择器的主要工作区域，圆形区域内存在垂直纸面向里
的匀强磁场（图中未画出），O 点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径。S 点有一粒子发射源能在纸
面内沿SO 向外发射一系列比荷均为k 的正粒子，M、N 为水平虚线下方半圆的三等分点，P 为水平虚线下
方半圆的一个四等分点。粒子发射速率为v0时，粒子在磁场中运动时间为t0并从M 点离开磁场，粒子初速
度范围为[0.1v0，10v0]，可连续变化，且不同速度的粒子数量相同。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为
B．从P 点射出的粒子的速率为
C．粒子的速度越小，在磁场中运动时间越短
D．从弧SM 射出的粒子数小于从弧MN 射出的
【答案】AD
【详解】A．当粒子从M 点离开磁场时，轨迹如图所示
30
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粒子在磁场中运动的时间为
所以
故A 正确；
B．当粒子从M 点射出时，根据洛伦兹力提供向心力
当粒子从P 点射出时，根据洛伦兹力提供向心力
联立解得
故B 错误；
C．粒子的速度越小，半径越小，圆心角越大，则粒子在磁场中运动时间越长，故C 错误；
D．若粒子从N 点射出，则
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所以
从弧SM 射出的粒子的速度大小为0.1v0~v0，从弧MN 射出的粒子速度大小为v0~3v0，由此可知，从弧SM
射出的粒子数小于从弧MN 射出的粒子数，故D 正确。
故选AD。
五．环形磁约束模型
【模型构建】
临界
圆
临界
半径
勾股定理(R2-R1)2=R1
2+r2
解得：
1.（2024·辽宁·三模）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球且厚度为地球半
径的
的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出的速度在图示平面内，从O 点沿平行于垂直地面两个不同
方向入射的a、b、c 三种比荷相同的带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，a、c 粒子
入射速度大小分别为va、vc，方向与地面平行，b 粒子入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达地面。
则下列相关说法中正确的是（ ）
A．三个粒子在磁场中圆周运动的周期
32
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B．a 粒子带负电，b、c 粒子带正电
C．
D．
【答案】C
【详解】A．根据洛伦兹力为其做圆周运动提供向心力及周期公式
解得
三种粒子的比荷相同，故周期相同，A 错误；
B．根据左手定则可知，a、c 粒子带负电，b 粒子带正电，B 错误；
CD．根据洛伦兹力提供向心力
解得
设地球半径为R，则
所以
C 正确，D 错误。
故选C。
2.如图所示，半径分别为R 和2R 的同心圆处于同一平面内，O 为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂
直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为
q（
）的粒子由大圆上的A
33
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点以速率v 沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v 可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
可得
粒子仅在磁场中运动，则
或
代入可得
或
故选ACD。
3.（2024·山东日照·模拟预测）据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持。
如图乙，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平
面同时加有匀强磁场2 和匀强电场（图中没画出），磁场1 与磁场2 的磁感应强度大小相等，已知电子电
量为e，质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀速圆周运动。则以下
34
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说法错误的是（ ）
A．电场方向垂直环平面向外
B．电子运动周期为
C．垂直环平面的磁感强度大小为
D．电场强度大小为
【答案】A
【详解】A．根据左手定则可知电子在圆环内受到沿半径向外的磁场1 的洛伦兹力方向垂直环平面向里，
电场力需要与该洛伦兹力平衡，电场力方向应垂直环平面向外，由于电子带负电，故电场方向垂直环平面
向里，故A 错误；
B．电子在圆环内沿顺时针方向做半径为
、速率为的匀速圆周运动，则电子运动周期为
故B 正确；
C．电子在圆环内受到磁场2 的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，则有
解得
故C 正确；
D．电子在垂直环平面方向受力平衡，则有
解得
故D 正确。
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故选A。
4.2023 年1 月7 日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置
（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意
义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为
，
外半径为
，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。
中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为
的区域内，则环状区域内磁场的磁感
应强度大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的
粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径
36
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粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
要使粒子不离开磁场
由于
故选CD。
5.（2024·贵州遵义·三模）如图所示，空间存在垂直纸面向外的环形匀强磁场，磁感应强度为B，磁场内外
边界为两个同心圆，半径分别为R、3R。现有质量为m 电荷量为q 的粒子，沿半径方向垂直于磁场进入环
形区域，粒子恰好不能进入小圆区域，不计重力。则粒子在磁场中运动的（ ）
A．轨道半径为1.5R
B．轨道半径为3R
C．运动时间为
D．运动时间为
【答案】C
【详解】AB．设粒子带正电，粒子恰好不能进入小圆区域，轨迹如图所示
37
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根据几何关系可得
解得粒子轨道半径为
故AB 错误；
CD．由几何关系可得
可得
则粒子在磁场中的运动时间为
故C 正确，D 错误。
故选C。
6．（2024·内蒙古赤峰·三模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团队设计
了如图甲所示的防护装置，图乙为其截面图。半径为R 的圆柱形区域是宇航员的防护区，在半径分别为R
和2R 的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为
电荷量为e，质
量为m。不计质子间相互作用。若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】为使所有速度为
的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度大小至少为
故选A。
7．（2024·山东聊城·二模）2023 年4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的
世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为
和
的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向里，
。假设氘核
沿内环切线向左进入磁场，氚核
沿内环切线向
右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则
和
的速度之比为（
39
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）
A．2 1∶
B．3 2∶
C．2 3∶
D．1 2∶
【答案】D
【详解】由题意可知，根据左手定则，作图如图所示
由几何关系可知，氘核
的半径为
，有
则
由几何关系可知，氚核
的半径为
，有
则
由洛伦兹力提供向心力可得
40
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氘核和氚核的速度之比为
故选D。
8．（2024·贵州贵阳·一模）一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、
R 的环状区
域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从P 点沿圆
的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒
子重力。则该粒子的运动周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子运动的轨迹如图所示
41
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根据几何关系有
解得
，
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
所以粒子的运动周期为
故选C。
六．三角形或四边形边界磁场模型
1．（2025·江西南昌·一模）如图所示，在直角三角形abc 区域内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，
。一质子
以
的速度沿平行于ab 的方向从O 点射入三角形区域，经时间t 从ON 的中点M 离
开磁场，若一
粒子
以
的速度从O 点沿相同的方向射入，则
粒子在磁场中的运动时间为
42
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（ ）
A．
B．t
C．
D．2t
【答案】D
【详解】根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
设质子
在磁场中的运动半径为
，则
粒子在磁场中的运动半径为
根据几何关系可知
粒子从N 点离开磁场，根据题意作出粒子运动轨迹
质子
在磁场中的运动时间为
粒子在磁场中的运动时间为
故选D。
43
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2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，射线AB、AC 为一足够大的匀强磁场区域的边界，内部磁场方向垂
直纸面向里。两个质量相同且带异种电荷的粒子a、b 以相同的速度先后从AB 边上的D 点垂直AB 边射入
磁场，两粒子运动的轨迹均与AC 相切，忽略粒子受到的重力及粒子间的相互作用力，
，下
列说法正确的是（ ）
A．a 粒子带负电
B．a、b 两粒子运动轨迹半径之比为3：1
C．a、b 两粒子所带的电荷量之比为1：4
D．b 粒子在磁场中的轨迹直径等于两切点的距离
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知a 粒子带正电，故A 错误；
BC．如图设两粒子的轨迹半径分别为
和
，由
可得
，由几何知识在
解得
根据洛伦兹力提供向心力
得
得
44
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故B 错误，C 正确；
D．设
，由几何知识可知两切点间的距离
故D 错误。
故选C。
3.（2024·广东·二模）如图所示，斜边
长度为L 的等腰直角三角形
区域内存在磁感应强度大小为
B 的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为q，质量为m 的带正电的粒子（不计重力）从斜
边
上的P 点进入磁场，速度方向与
间的夹角
，且
。经过一段时间，粒子从
上
的D 点（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．粒子的最大速度为
C．D 点到P 点的最大距离为
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D．粒子在磁场中运动的时间为
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，A 项错误；
B．速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的半径越大，当速度达到最大值时，根据几何关系可知，粒子做
圆周运动的轨迹同时与三角形的
，
边相切，且从D 点飞出的速度方向与
的夹角也为
，
画出粒子在磁场中的运动轨迹如图，
由几何关系有
由洛伦兹力提供向心力有
解得
B 项错误；
C．由几何关系有
C 项正确；
D．粒子做匀速圆周运动的周期
粒子在磁场中运动的时间
46
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D 项错误。
故选C。
4.如图，一个边长为l 的正方形
区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有
一质量为m、带电量为
的粒子以某一速度从M 点垂直于磁场射入，粒子恰好从
的中点射出磁场。
已知粒子射入磁场时的速度方向与
的夹角为
，不计粒子重力，粒子射入磁场的速度大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图
由题可知
，根据几何关系有
则
粒子运动的轨迹半径为
47
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根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故选B。
七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
适用
条件
速度方向一
定，大小不
同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越
大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁
场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这
种方法称为“放缩圆”法
1.(多选)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下
列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【答案】 BC
【解析】 由t＝T 知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间
48
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越长，其轨迹线所对应的圆心角θ 越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹线弧长s＝rθ，运动时
间越长，θ 越大，但半径r 不一定大，s 也不一定大，故A 错误，B 正确．由周期公式T＝知，电子做圆周
运动的周期与电子的速率无关，所以电子在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨
迹不一定重合，比如：轨迹4 与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r＝可知它们
的速率不同，故C 正确，D 错误．
2.(多选)（2024·宁夏银川·三模）如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强
度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿
的角平分线发射速
度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D 点，已
知质子的比荷
，则质子的速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】因质子带正电，且经过D 点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为
，质子可能的运动半径
（
，
，
）
由洛伦兹力提供向心力得
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联立可得
（
，
，
）
故选AC。
3.(多选)如图所示，在圆心为O、半径为R 的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直
纸面向里的匀强磁场，MN 为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O 点在纸面内沿与ON 成
角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说
法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O 点正上方的P 点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速度，粒子可能从M 点离开磁场
【答案】AC
【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN 边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为
，此时粒子在
磁场中运动的时间最长，最长时间
故A 正确；
B．如图所示
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当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何
知识可知，粒子的轨道半径
设粒子的速度大小为
，有
，解得
故B 错误；
C．设当粒子恰好从P 点离开磁场时，粒子的轨道半径为
，根据几何关系有
设粒子的速度大小为
，有
，解得
故C 正确；
D．当粒子的速度大于
时，粒子从Q 点右侧离开磁场，当粒子的速度小于
时，粒子从MN 边界离
开磁场，即粒子不可能从M 点离开磁场，故D 错误。
故选AC。
4.(多选)（2024·四川雅安·模拟预测）如图所示，矩形边界
内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，方向
垂直纸面向里，
边足够长，
边长为L。现有质量为m、电量为q 的不同速率的带正电粒子，从
的中点E 射入磁场且速度方向与
成
角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
51
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B．从
边射出粒子的最小速度为
C．从
边射出粒子的最小速度为
D．
边上有粒子射出的区域长度为
【答案】CD
【详解】A．当粒子从
边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示
由图可知粒子在磁场中运动的最长时间为
故A 错误；
B．当粒子刚好与
边相切时，如图所示
根据几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得从
边射出粒子的最小速度为
故B 错误；
C．当粒子刚好与
边相切时，如图所示
52
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根据几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得从
边射出粒子的最小速度为
故C 正确；
D．由BC 选项图中几何关系可得
边上有粒子射出的区域长度为
故D 正确。
故选CD。
5.(多选)（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R 的能吸收带电粒子的半圆形装置，
在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界ab 为过圆心O 的一水平直线。一群质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子以不同的速率从A 点竖直向上进入磁场，AO 的长度为
，粒子重力和粒
子间的相互作用不计，
，下列说法正确的是（ ）
A．能够被装置吸收的粒子的最大速度为
53
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B．能够被装置吸收的粒子的最小速度为
C．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为
D．能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为
【答案】BD
【详解】A．粒子从A 点进入磁场，运动轨迹半径最大时有最大速度，当粒子从半圆形装置最右面被该装
置吸收时，其轨迹半径最大，其速度最大，对于粒子有
整理有
有几何关系可知，其粒子的半径设为
，有
所以有上述分析有
故A 项错误；
B．当运动轨迹最小时，其粒子的速度最小，即粒子从装置最左侧被吸收其半径最小，由几何关系有
结合之前的分析可知，有
故B 项错误；
CD．粒子进入磁场运动至圆周上，时间最短即为圆心角最小，根据圆心角等于2 倍弦切角可知，时间最小，
即运动轨迹圆的弦切角需最小。如图所示
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运动时间最短，此时轨迹圆的弦AC 与题设半圆相切，由几何关系可知
，圆心角为
根据几何关系
结合之前的分析，其中
所以
故C 错误，D 正确。
故选BD。
模型二 “旋转圆”模型的应用
适用条
件
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进
入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半
径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R
＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射
点P 为圆心、半径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方
法称为“旋转圆”法
1.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有一固定竖直挡板，挡板足够长，P 处有一粒子源，PO 连线垂直
挡板，P 到O 的距离为L。粒子源能垂直磁场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v 的带正电粒子。粒子
质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
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（1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B 应满足的条件；
（2）若粒子到达挡板上侧最远处为M 点，下侧最远处为N 点，且
，求磁感应强度的大小B。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）若恰有粒子能到达挡板，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径最小，为
如图1 所示，由几何关系可知
洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律有
解得
即当
时，有粒子能到达挡板。
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，粒子到达挡板上侧最远处M 点时，轨迹圆在M 点与挡
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板相切，如图2 所示。设O、M 间距离为
由几何关系有
粒子到达挡板下侧最远处N 点时，PN 为轨迹圆的直径。设O、N 间距离为
，由几何关系可得
由题意知
解得
由牛顿第二定律有
解得
2.(多选)（2024·河北邯郸·三模）如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的
匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为
和
，坐标为
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的P 点存在一粒子源，可以在
平面内向各个方向均匀发射速率为v，比荷为
的正电粒子，不计粒子
重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若
，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若
，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若
，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A 错误；
B．根据半径公式
带入解得
如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为
，则打在挡板上的粒子数
占总数的
，故B 正确；
C．打在挡板上的长度为两个临界②和③，对应的长度分别为
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挡板上有粒子打到的线段长度为
故C 正确；
D．由于
，可知粒子的轨迹半径为
打在MN 的临界如图乙中④和⑤，QN 段无粒子通过，故D 错误。
故选BC。
3.(多选)如图所示，S 为一离子源，
为足够长的荧光屏，S 到
的距离为
，
左侧区域有足
够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S 一次性沿平行纸面各个方向
均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为
的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考
虑离子之间的相互作用力。则（ ）
A．打中荧光屏的最短时间为
B．打中荧光屏的最长时间为
C．打中荧光屏的宽度为
D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为
【答案】AD
【详解】A．根据
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则离子轨道半径
离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P 点，如图所示
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角为60°，能打中荧光屏的最短时间为
故A 正确；
B．当
时，根据半径公式
离子运动轨迹如图所示
离子速度为
从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为
时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打在荧光
屏上的离子的周期
60
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打中荧光屏的最长时间为
故B 错误；
C．离子打中荧光屏的范围总长度为图中得AB 长度，由几何关系可知
打中荧光屏的宽度为
，故C 错误；
D．当
时，根据半径公式
离子恰好打到MN 上的临界运动轨迹如图所示
离子速度为
从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为
时从上侧回旋，刚好和上边界相切，打到N 点
的离子离开S 时的初速度方向和打到
点的离子离开S 时的初速度方向夹角
能打到荧光屏上的离子数与发射的粒子总数之比
故D 正确。
故选AD。
61
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4.(多选)（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，圆心为O，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度为B。M 为磁场边界上一点，有无数个带电量为q（q>0），质量为m 的相同粒子
（不计重力及粒子间相互作用）在纸面内向各个方向以相同的速率通过M 点进入磁场，在磁场中运动时间
最长的粒子运动时间为
，N 为磁场边界上的另一个点，
。下列说法正确的是（ ）
A．粒子从M 点进入磁场时的速率为
B．从N 点离开磁场的粒子运动时间为
C．若将磁感应强度的大小增加到
，会有粒子沿ON 方向从N 点射出磁场
D．若将磁感应强度的大小减小为0.5B，劣弧MN 的每一点都会有粒子射出
【答案】BCD
【详解】A．由题意可知，带电粒子从M 点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中运动时间最长
的粒子的圆弧所对应的弦应是圆磁场的直径，如图所示
设粒子进入磁场的速率为v，由洛伦兹力提供向心力
解得
粒子在磁场中运动的周期为
62
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在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为
，则粒子在磁场中转动的时间为
可知粒子在磁场中转动的圆弧所对的圆心角为
可得粒子在磁场中运动的半径为
可得粒子从M 点进入磁场时的速率为
故A 错误；
B．从N 点离开磁场的粒子运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
由几何关系可知
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则从N 点离开磁场的粒子运动时间为
故B 正确；
C．若将磁感应强度的大小增加到
时，由洛伦兹力提供向心力，可得
解得
粒子运动轨迹如图所示
由图可知，当粒子沿
方向入射时，粒子沿ON 方向从N 点射出磁场，故C 正确；
D．若将磁感应强度的大小减小为0.5B，可知粒子的运动半径为
根据几何关系可知，劣弧MN 的每一点都会有粒子射出，故D 正确。
故选BCD。
5．(多选)（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示，长ab=18cm、宽bc=16cm 的矩形区域中分布着垂直纸面
向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B=1T，在矩形的中心О 点有一正电荷粒子源，可在纸面
内沿各个方向发射比荷k=2×108C/kg 的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。下列说法中正确的
是（ ）
64
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A．粒子在磁场中做完整圆周运动的最大速度为1.0×107m/s
B．粒子分别从b 点、c 点射出的最小速度之比为8︰9
C．若粒子的速度为1.6×107m/s，其在磁场中运动的最短时间为
D．若粒子的速度为1.6×107m/s，其在磁场中运动的最长时间为
【答案】ABC
【详解】A．粒子能在磁场中做完整圆周运动，速度最大时对应的运动轨迹与矩形两边界相切，如图所示
根据几何关系有
解得
，
洛伦兹力提供粒子圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得
解得
故A 正确；
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B．如图所示，当轨迹圆弧与dc 边相切于c 点时，对应能从c 点射出的最小速度；当轨迹圆弧与bc 边相切
于b 点时，对应能从b 点射出的最小速度
根据几何关系有
，
解得
，
速度之比为
故B 正确；
C．粒子在磁场中运动时间最短时，则其在磁场中的运动轨迹对应的弦最短，如图所示
粒子的速度为1.6×107m/s 时，粒子运动半径为
由几何知识可得
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解得
可得粒子在磁场中运动的最短时间为
故C 正确；
D．粒子的速度为1.6×107m/s 时，与ad 或者bc 相切时运动时间最长，如图所示
则粒子从ad 相切时运动时间最长，可得粒子在磁场中运动的最长时间为
故D 错误。
故选ABC。
6.（2024·广西·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场，AD 边长为L，AB 边长为
。一质量为m、带电荷量为q 的正粒子从A 点沿纸面以与AD 成
30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD 相切，不计粒子所受的重力。
(1)求粒子射入磁场时的速度大小
；
(2)求粒子在磁场中运动的时间t；
(3)若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间
。
【答案】(1)
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(2)
(3)
【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为
，如图所示
根据图中几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）根据图中几何关系有
可得
则粒子在磁场中运动的时间为
联立解得
（3）若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，当粒子从AB 边射出磁场时对应的时间最长，轨迹对应的圆心
角为
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则有
模型三 “平移圆”模型的应用
适用条
件
速度大小一
定，方向一
定，但入射点
在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在
同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆
周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R
＝，如图所示
轨迹圆圆心共
线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线
平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”
法
1.如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，∠B＝。现
垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出
的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重力)。则下列
说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D．粒子进入磁场时的速度大小为
【答案】 ABC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，即为t＝
T，则得周期为T＝4t，故A 正确；由T＝4t，R＝，T＝得，B＝＝，故B 正确；运动时间最长的粒子在磁
场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有Rsin ＋＝d，解得R＝d，故C 正确；根据粒子在磁场中运动的
速度为v＝，周期为T＝4t，半径R＝d，联立可得v＝，故D 错误。
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2.如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞
出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场(M 点未画
出)。设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，由P 点运动到M 点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则
t1∶t2为( )
A．2 1∶ B．2 3
∶
C．3 2
∶
D．∶
【答案】C
【解析】画出粒子
从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C
点射出的粒子运动时间为t1＝；由P 点运动到M 点所用时间为t2，圆心角为θ，则cos θ＝，则cos θ＝，θ
＝60°，故t2＝，所以＝＝，C 正确。
3.（2024·江西·一模）如图所示，在
和
之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射入以
为
圆心的圆形匀强磁场区域，磁场半径为R，该圆形磁场方向垂直纸面向外，
与圆心
在同一水平直线
上，
和
间距离为
，已知所有粒子均从
点正下方的
点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂
直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴
点，已知下方磁场的磁感应
强度是上方磁场的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，由于所有粒子均从
点正下方的
点射出圆形磁场区域，画出粒子的运动轨迹，如图
所示
则有
解得
粒子进入下方磁场，则有
由几何关系可得，挡板下表面有粒子打到的区域长度为
故选C。
4.（2024·安徽淮北·二模）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。
如图所示，正方形
边长为
，一束相同的正离子以相同的速度垂直
边射入，如果在
的某区
域内存在着磁感应强度大小为
、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从点射出，则
（ ）
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A．磁场方向垂直纸面向里
B．离子的比荷为
C．磁场区域的最小面积为
D．离子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，粒子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A 错误；
B．画出粒子轨迹，如图
可知为磁聚焦模型，故运动半径
，再由
得
故B 正确；
C．由图知，磁场区域最小面积为“叶”型面积
故C 错误；
D．粒子最大圆心角为
，则最长时间为
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故D 正确。
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A 点发
出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒子，
以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1.(多选)（2024·福建泉州·模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行
验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个
圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O 点。
一束宽度为2r 的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均
为+q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（
）
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A．B1的大小为
B．从O 点进入磁场II 的粒子的速度仍相等
C．若
，则粒子在磁场II 的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场II 中运动的最长时间为
【答案】AD
【详解】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即
解得
故A 正确；
B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，故
B 错误；
C．若
，则
可知粒子离开磁场II 最远的位置离原点为r，如图所示
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由几何关系，弦所对最大圆心角为60°，故粒子在磁场II 的边界的射出点在六分之一圆周上，故C 正确；
D．若
，则
由此可知，粒子离开磁场II 运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示
粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，则粒子在磁场II 中运动的最长时间为
故D 正确；
故选AD。
2．（2024·海南海口·三模）如图所示，在xOy 平面有一圆形有界匀强磁场，圆心坐标为（0，
），半径
为R，磁场方向垂直于纸面向里。在第三象限从
到
的范围内存在沿x 轴正向匀速运动的均匀带
电粒子流。粒子速率为
，质量为m，带电量为
，所有粒子在磁场中偏转后都从O 点射出，并立即进
入第一象限内沿y 轴负方向的匀强电场，经电场偏转后，最终均平行于x 轴正向射出电场（沿y 轴正向入
射的粒子除外），已知电场强度为
，电场外有一收集板PQ 垂直于x 轴放置，Q 点在x 轴上，PQ
长度为R，不计PQ 上收集电荷的影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。则下列判断正确的是（
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）
A．匀强磁场的磁感应强度大小
B．PQ 收集到的粒子数占总粒子数的比例为66.7%
C．PQ 收集到的粒子数占总粒子数的比例为50%
D．第一象限电场的边界曲线
【答案】BD
【详解】A．因为从第三象限发射的所有粒子经过圆形磁场偏转后都从O 点射出，即带电粒子在圆形磁场
中的运动的轨迹半径均为R，有
解得
故A 项错误；
BC．由于粒子在磁场中仅该变速度的方向设从O 点进入电场其与x 轴正方向成
角度的粒子恰好打在P 的
位置，则粒子在电场中有
竖直方向有
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速度有
解得
由于
解得
收集到的粒子占总数的比例
即占比约为66.7%，故B 正确，C 错误；
D．设粒子与x 轴正方向的夹角为
，然后平行于x 轴正方向从点（x，y）射出电场，则飞行时间
y 方向的位移
x 方向位移
整理有
，
则电场的边界方程为
（
，
）
故D 项正确。
故选BD。
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3．（2024·安徽六安·二模）如图所示，在平面直角坐标系
内，以坐标原点
为圆心，半径为
的圆形
区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（图中未画出），磁场区域外右侧有宽度为
的粒子源，
为
粒子源两端点，
连线垂直于
轴，粒子源中点
位于
轴上，粒子源持续沿
轴负方向发射质量为
、电荷量为
，速率为的粒子。已知从粒子源中点
发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆
与
轴负半轴的交点
处沿
轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的半径为R
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D．带电粒子在磁场中运动的时间最短为
【答案】AC
【详解】A．从粒子源中点
发出的粒子，在磁场中的轨迹如图所示
由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为
，A 正确；
B．根据牛顿第二定律有
解得
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B 错误；
C．从
点发出的粒子在磁场中的轨迹
如图所示，此时轨迹最长
由几何知识可知四边形
为菱形，则
；则在磁场中运动的带电粒子路程最长为
C 正确；
D．从
点发出的粒子在磁场中的轨迹如图所示
可知四边形
为菱形，则
；可知此时粒子经过磁场区域时间最短，则
D 错误。
故选AC。
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