文档内容
\s\up7(第2讲 磁场对运动电荷的作用)
素养目标 1.明确洛伦兹力的概念、洛伦兹力公式．(物理观念) 2.知道洛伦兹力与安培
力的关系．(物理观念) 3.能够应用洛伦兹力进行动力学分析与处理．(科学思维) 4.掌握带电
粒子在有界磁场中的一般解题步骤．(科学思维)
一、洛伦兹力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫作洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：左手定则
①掌心——磁感线垂直穿入掌心；
②四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
③拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面.
直观情
境
甲 v与B垂直 乙 v与B不垂直
洛伦兹力与粒子运动方向、磁感应强度方向的关系
3.洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0(θ＝0°或180°)．
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB(θ＝90°)．
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电
粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若v∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
0
(2)若v⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动.
0
v∥B v⊥B v⊥B
直观情
境匀速圆周运动
匀速直线运动
匀速圆周运动
3.半径和周期公式
(1)由qvB＝ m ， 得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
1．思维辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．( )
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．( )
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．( )
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功．( )
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．
( )
2．汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管(阴极射线管)
放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是 ( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
3．如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀
强磁场中，方向垂直纸面向里，有一束粒子对准 a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，
但都是一价负粒子，则下列说法正确的是( )
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
考点 对洛伦兹力的理解1．洛伦兹力的方向的特点
(1)洛伦兹力的方向既与电荷的运动方向垂直，又与磁场方向垂直，所以洛伦兹力的方
向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向所确定的平面．
(2)洛伦兹力的方向总垂直于电荷的运动方向，当电荷的运动方向发生变化时，洛伦兹
力的方向随之变化．
(3)由于洛伦兹力的方向总与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对电荷不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力永不做功．
3．洛伦兹力与电场力的比较
项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F ＝ qvB ( v ⊥ B ) F＝qE
力方向与场方向的
F ⊥ B ， F ⊥ v F∥E
关系
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
只改变电荷运动的速度方向， 既可以改变电荷运动速度的大小，
作用效果
不改变速度大小 也可以改变电荷运动的方向
典例1 (2024·广东联考)(多选)中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导
非圆截面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成的世界上第一个全超导核聚
变“人造太阳”实验装置．将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的
运动，如图所示．磁场方向水平向右，磁感应强度大小为 B，甲粒子速度方向与磁场垂直，
乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向的夹角为 θ，所有粒子的质
量均为m，电荷量均为＋q，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互
作用，则( )
A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右
B．乙粒子的运动轨迹是直线
C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变
D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了
1．[带电粒子在洛伦兹力作用下的运动]带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从
而显示其运动轨迹．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的运动轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点．该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减
少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计．下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛伦兹力对其做负功
D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
2．[电场力与洛伦兹力的比较]如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场. \s\up7(⌒)、\s\up7(⌒)分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分
别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平
射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是(
)
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
考点 带电粒子在有界磁场中运动
1．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直
于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P
为入射点，M为出射点)．
甲 乙
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，图
中P为入射点，M为出射点)．
2．半径的确定
(1)用几何知识求半径，一般称为几何半径，通常构建三角形，利用三角函数或勾股定
理求解．
(2)用物理知识求半径，即根据qvB＝m，得出r＝，一般称为物理半径．
3．运动时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其
运动时间为t＝T.
(2)速度为v的粒子在磁场中运动的弧长为s时，其运动时间为t＝.
4．带电粒子在有界磁场中的运动
(1)直线边界：进出磁场具有对称性(如图所示)．
(2)平行边界：存在临界条件．
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出．
典例2 (2024·天津河西质检)空间高能粒子是引起航天器异常或故障，甚至
失效的重要因素．某同学设计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，如图所示，铅盒左侧面中
心O点有一放射源，放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ以速率v向外辐射质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子．铅盒右侧有一左右边界平行、磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向里的匀强磁场区域，过 O 点的截面 MNPQ 位于垂直于磁场的平面内，
OH⊥MQ，∠MOH＝∠QOH＝60°.不计粒子所受重力，忽略粒子间的相互作用．
(1)求垂直磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t；
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，从而达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度
d(结果可保留根号)．
解析：(1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
1．[带电粒子在直线边界磁场中运动](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一
粒子源，以与水平方向成α角向磁场中射入两个速率不同的相同粒子1和2，粒子1经磁场
偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(
)
A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2
B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1
D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2
2．[带电粒子在圆形有界磁场中运动]如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀
强磁场(未画出)，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动
径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列
判断正确的是( )
A．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子B．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为∶1
D．沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中运动时间之比为4∶3
考点 带电粒子在匀强磁场中的多解问题
类型 分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，
带电粒子电
初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨
性不确定
迹不同，形成多解
如果带正电，其轨迹为a；如果带负电，
其轨迹为b
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感
磁场方向不
应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而
确定
形成多解
已知粒子带正电，若B垂直纸面向里，
其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹
为b
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞
临界状态不
出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞
唯一
出，于是形成多解
运动具有周 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运
期性 动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
典例3 (2022·湖北卷)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的
矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂
直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S
处射入 速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 SP 成 30° 角． 已知离子
比荷为k，不计重力． 若离子从 P 点射出 ，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入
射速度和对应θ角的可能组合为( )A．kBL,0° B．kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
1．[临界状态不唯一形成多解](多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l，一质量为
m、带电荷量为－q(q>0)的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下
运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为( )
A． B．
C． D．
2．[带电粒子电性不确定形成多解]如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度
为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为 m、电荷量为q的带电粒子沿
图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多
少？
课题研究 “动态圆”模型
模型Ⅰ.“平移圆”模型
所有粒子做匀速圆周运动的半径相同，若入
射速度大小为v，则半径R＝，如图所示
0
速度大小、方向一定，入射点不同但在同
适用条
一直线上
件及特
点
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
轨迹圆圆心共线
同一直线上典例1 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B．大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸
面垂直于ab边射入场区，结果在 bc 边仅有一半的区域内有粒子射出． 已知bc边的长度为
L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
模型Ⅱ.“旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同，运动半径相同，若射入初速度
为v，则圆周运动半径为R＝.如图所示
0
速度大小一定，
适用条件及特 方向不同
点
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径
轨迹圆圆心共圆
R＝的圆上
应用方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件
典例2 (2024·湖南明德中学模拟)(多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直
于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 B，AB边长为d，BC边长为2d，O是
BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均
匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速
度与 OB 边的夹角为 60° 的粒子恰好从 E 点射出磁场 ，不计粒子的重力，则( )
A． 从 AD 边射出与从 CD 边射出的粒子数之比为 3 ∶ 2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
模型Ⅲ.“放缩圆”模型
速度方向一定，大小 粒子初速度方向一定，大小不同，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹
适用条件及
不同 半径随速度的变化而变化
特点
轨迹圆 带正电粒子速度v越大，运动半径也越大．运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
圆心共线
应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
典例3 (多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外
的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力
不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为
2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
答案及解析
1．思维辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．(×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．(×)
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功．(×)
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．(√)
2．汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管(阴极射线管)
放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是 ( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右解析：电子束带负电，电子束由负极向正极运动，在电子束运动的过程中，条形磁铁
产生的磁场由 N极指向S极，根据左手定则可判断出电子受到的洛伦兹力方向向下，故电
子束的偏转方向向下，B正确，A、C、D错误．
答案：B
3．如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀
强磁场中，方向垂直纸面向里，有一束粒子对准 a端射入弯管，粒子的质量、速度不同，
但都是一价负粒子，则下列说法正确的是( )
A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
B．只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
C．只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
D．只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管
答案：C
考点 对洛伦兹力的理解
典例1 (2024·广东联考)(多选)中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导
非圆截面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成的世界上第一个全超导核聚
变“人造太阳”实验装置．将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的
运动，如图所示．磁场方向水平向右，磁感应强度大小为 B，甲粒子速度方向与磁场垂直，
乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向的夹角为 θ，所有粒子的质
量均为m，电荷量均为＋q，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互
作用，则( )
A．甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右
B．乙粒子的运动轨迹是直线
C．丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变
D．从图中所示状态，经过时间后，丙粒子位置改变了
解析：甲粒子受洛伦兹力大小为qvB，根据左手定则可知方向与磁场方向垂直，A错
误；乙粒子速度方向与磁感应强度方向平行，不受洛伦兹力作用，所以运动轨迹是直线，
B正确；将丙粒子速度v在沿磁感应强度方向和垂直磁感应强度方向分解为 v 和v ，其中
1 2
v 对应的分运动为水平向右做匀速直线运动，v 对应的分运动为在垂直纸面的平面内做匀
1 2
速圆周运动，所以丙粒子的合运动为螺旋曲线运动，由于洛伦兹力不做功，所以其动能不
变，C错误；对丙粒子在垂直于纸面平面的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qvB＝，
2解得r＝，所以周期为T＝＝，丙粒子在沿磁感应强度方向做匀速直线运动的速度为 v ＝
1
vcos θ，经过一个周期的时间，丙粒子位置改变了x＝vT＝，D正确．故选BD．
1
1．[带电粒子在洛伦兹力作用下的运动]带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从
而显示其运动轨迹．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的运动轨
迹，其中a和b是运动轨迹上的两点．该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减
少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计．下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子先经过a点，再经过b点
C．粒子运动过程中洛伦兹力对其做负功
D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
解析：该粒子的动能在减少，而其质量和电荷量不变，则速度大小在减小，根据洛伦
兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，所以粒子运动的轨迹半径逐渐减小，粒子先经过 b
点，再经过a点，根据左手定则知粒子带负电，A、B错误；由于运动过程中洛伦兹力一直
和速度方向垂直，故洛伦兹力不做功，C错误；根据F＝qvB知，粒子运动过程中所受洛
伦兹力逐渐减小，D正确．
答案：D
2．[电场力与洛伦兹力的比较]如图甲、乙所示，两空间分别存在竖直向下的匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场. \s\up7(⌒)、\s\up7(⌒)分别为纸面内的半圆形曲线，O、O′分
别为两半圆的圆心，PQ、P′Q′分别为两半圆的水平直径，将带电粒子分别从P、P′点水平
射出，分别经过半圆曲线的M、M′点，不计粒子重力及空气阻力，则下列说法正确的是(
)
A．甲图中粒子带正电，乙图中粒子带负电
B．甲图中粒子带负电，乙图中粒子带正电
C．甲图中粒子经过M点时速度方向的反向延长线有可能经过圆心O
D．乙图中粒子经过M′点时速度方向的反向延长线一定经过圆心O′
解析：甲图中，由于带电粒子在电场中受到竖直向下的电场力，与电场方向相同，故
粒子带正电，乙图中，由左手定则可知粒子带正电，A、B错误；甲图中带电粒子做类平
抛运动，由类平抛运动规律可知，粒子经过M点时速度方向的反向延长线与过P点的水平直线的交点为粒子水平位移的中点，即交点与P点的距离为x ＝，如果交点为圆心O，则
1
要求水平方向的位移应为x＝2R，PM两点间的水平距离x <2R，所以假设不成立，C错
PM
误；乙图中粒子在圆形磁场区域内做匀速圆周运动，设粒子的轨迹半径为 R，半圆的半径
为r，运动轨迹如图所示，因P′O ＝M′O ＝R，O′P′＝O′M′＝r，O′O 为公共边，所以
1 1 1
△OP′O′≌△OM′O′，因 P′点的速度 v 的方向沿 P′O′指向 O′，且 OP′⊥v ，所以
1 1 P′ 1 P′
OP′⊥P′O′，即∠OP′O′＝90°，因此∠OM′O′＝90°，即 OM′⊥M′O′，又因为
1 1 1 1
OM′⊥v ，所以v 与O′M′共线，即粒子经过M′点的速度方向的反向延长线一定过圆心
1 M′ M′
O′，D正确．
答案：D
考点 带电粒子在有界磁场中运动
典例2 (2024·天津河西质检)空间高能粒子是引起航天器异常或故障，甚至
失效的重要因素．某同学设计了一个屏蔽高能粒子辐射的装置，如图所示，铅盒左侧面中
心O点有一放射源，放射源可通过铅盒右侧面的狭缝MQ以速率v向外辐射质量为m、电
荷量为q的带正电的高能粒子．铅盒右侧有一左右边界平行、磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面向里的匀强磁场区域，过 O 点的截面 MNPQ 位于垂直于磁场的平面内，
OH⊥MQ，∠MOH＝∠QOH＝60°.不计粒子所受重力，忽略粒子间的相互作用．
(1)求垂直磁场边界向左射出磁场的粒子在磁场中运动的时间t；
(2)若所有粒子均不能从磁场右边界穿出，从而达到屏蔽作用，求磁场区域的最小宽度
d(结果可保留根号)．
解析：(1)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝
解得T＝
经分析可知，当粒子沿OH方向进入磁场时，粒子可垂直磁场边界向左射出磁场，有t＝
联立解得t＝.
(2)若沿OQ方向进入磁场的粒子的运动轨迹与磁场右边界相切，则所有粒子均不能从
磁场右边界穿出，如图所示(磁场未画出)，根据几何关系有d＝R＋Rsin 60°
由(1)可得R＝
联立解得d＝.
答案：(1) (2)
1．[带电粒子在直线边界磁场中运动](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一
粒子源，以与水平方向成α角向磁场中射入两个速率不同的相同粒子1和2，粒子1经磁场
偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(
)
A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2
B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4
C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1
D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2
解析：由题意可知，粒子1和2圆周运动轨迹对应的弦长之比为1∶2，则粒子1和2
运动轨迹的半径之比为1∶2，根据qvB＝m，得r＝，即速度之比为1∶2，又E ＝mv2＝，
k
可知粒子1与粒子2的动能之比为1∶4，A错误，B正确；根据T＝可知，两粒子周期相
同，而由题意可知，两粒子圆周运动的圆心角相等，由t＝T可知，两粒子运动时间相等，
又l＝vt，可知粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2，C错误，D正确．
答案：BD
2．[带电粒子在圆形有界磁场中运动]如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀
强磁场(未画出)，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动
径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列
判断正确的是( )A．沿径迹Oc、Od运动的粒子均为正电子
B．沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最短
C．沿径迹Oa、Ob运动的粒子速率之比为∶1
D．沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中运动时间之比为4∶3
解析：由左手定则知，沿径迹Oc、Od运动的粒子均带负电，A错误；正电子和负电
子的电荷量q和质量m均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则qvB＝m，T＝，解得T
＝，则四种粒子的运动周期相等，而沿径迹Oc运动的粒子偏转角最大，圆心角也最大，
设偏转角为θ，由t＝T知沿径迹Oc运动的粒子在磁场中运动时间最长，B错误；设圆形虚
线框半径为r，根据几何关系得，沿径迹Oa、Ob运动的粒子轨迹半径分别为r ＝r、r ＝
a b
r，根据qBv＝m，得＝＝，C错误；沿径迹Ob、Od运动的粒子在磁场中的运动时间之比
为偏转角之比，为＝＝＝，D正确．
答案：D
考点 带电粒子在匀强磁场中的多解问题
典例3 (2022·湖北卷)(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的
矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂
直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S
处射入 速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与 SP 成 30° 角． 已知离子
比荷为k，不计重力． 若离子从 P 点射出 ，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入
射速度和对应θ角的可能组合为( )
A．kBL,0° B．kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
解析：若粒子通过下部分磁场 直接到达 P 点 ，如图所示根据几何关系则有R＝L
由qvB＝m可得v＝＝kBL
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图所示
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
可得v＝＝kBL
此时出射方向与入射方向相同，即 出射方向与入射方向的夹角为 θ ＝ 0° .
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°
故可知B、C正确，A、D错误．故选BC．
1．[临界状态不唯一形成多解](多选)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)存在匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l，一质量为
m、带电荷量为－q(q>0)的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下
运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为( )
A． B．
C． D．
解析：为使粒子不能经过bc边，则粒子可以从ab边或cd边出磁场，临界点分别为
b、c，其几何关系如图所示，当粒子过b点时，做圆周运动的圆心在O 点，根据几何关系
1可知r＝ab＝l，则为使粒子从ab边出磁场，其运动半径应小于r，根据牛顿第二定律可知
1 1
qBv＝m，解得v ＝<；当粒子过c点时，做圆周运动的圆心在O 点，根据几何关系可知r
1 2 2
＝ac＝ab＝l，则为使粒子从cd边出磁场，其运动半径应大于r，即v＝＞，故A、C正确．
2 2
答案：AC
2．[带电粒子电性不确定形成多解]如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度
为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为 m、电荷量为q的带电粒子沿
图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多
少？
解析：题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论．
若q为正电荷，轨迹为①，如图所示，是与NN′相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力
有qvB＝m
又d＝r－
解得v＝
若q为负电荷，轨迹为②，如图所示，是与NN′相切的圆弧，由洛伦兹力提供向心力，
有qv′B＝m
又d＝r′＋
解得v′＝.
答案：(q为正电荷)或(q为负电荷)
课题研究 “动态圆”模型
典例1 (多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B．大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在 bc 边仅有一半的区域内有粒子射出． 已知bc边的长度为
L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
解析：电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区域，由左
手定则可判断出粒子进入磁场区域向上偏转做匀速圆周运动，因bc边只有一半区域有粒子
射出，恰好在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，粒子在匀
强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 qvB＝m，联立解得粒子的入射速度v
＝，A项正确，B项错误；粒子在匀强磁场中运动的最长轨迹弧长为s＝πr＝，C项正确；
与bc边相切恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为θ＝，从bc边射出的粒子在磁场内
运动的最长时间为t＝＝，D项错误．
答案：AC
典例2 (2024·湖南明德中学模拟)(多选)如图所示，矩形ABCD区域内有垂直
于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 B，AB边长为d，BC边长为2d，O是
BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均
匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速
度与 OB 边的夹角为 60° 的粒子恰好从 E 点射出磁场 ，不计粒子的重力，则( )
A． 从 AD 边射出与从 CD 边射出的粒子数之比为 3 ∶ 2
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为d2
解析：如图甲所示，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
r＝d，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得粒子运动的速度大小为v＝，选项B正确；由于粒
子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间
为，选项C错误；由图甲可知，磁场区域有粒子通过的面积为图甲中AOCDA区域的面积，
即为d2＋πd2＝d2，选项D正确；由图乙可知，当速度垂直OB时，粒子刚好从D点射出，
如图乙所示，由几何关系可知，当速度方向与OC的夹角为30°时，恰好从C点射出，则从
AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为：90°∶60°＝3∶2，选项A正确．
答案：ABD
典例3 (多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外
的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力
不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为
2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
解析：若粒子射入磁场时速度为v＝，则由qvB＝m可得r＝l，由几何关系可知，粒子
一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒
子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动
轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆
周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度为v＝，选项B正确，C错误；粒子在磁场中
的运动周期为T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由
于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝，选项D正确．
答案：ABD
