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小题必练 21 ：磁场对运动电荷的作
用
(1) 洛伦兹力、洛伦兹力的方向；(2)洛伦兹力公式、洛伦兹力作用下的有界磁场中的偏转运动；
(3)带电粒子在匀强磁场中运动的时间、半径及轨迹判定等。
例1．(2020·全国I卷·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如
图中虚线所示，弧AB为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量
为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。
不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，粒子在磁场中运动的时间 ，
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。粒子垂直
ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径r≤0.5R和
r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当
0.5Rv
N MB．两小球每次经过轨道最低点时对轨道的压力都有F >F
N M
C．小球b第一次到达N点的时刻与小球a第一次到达M点的时刻相同
D．小球b能到达轨道的最右端，小球a不能到达轨道的最右端
【答案】AD
【解析】到M点的过程中重力做正功，电场力做负功，到达N点时只有重力做正功，因能量守
恒，所以v >v ，故A项正确；对M点，F ＝mg＋m。对N点，F ＝mg＋m±F ，可以看出无法
N M M N 洛
确定F 与F 的大小关系，故B项错误；电场力沿轨道切线分量减小了小球a的下滑速度，故
N M
C项错误；b向右运动过程中机械能守恒，能到最右端，a向右运动过程中机械能减小，不能
到最右端，故D项正确。
7．(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。
若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经
过时间t 刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如
0
图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t
0
D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t
0
【答案】AD
【解析】由题，带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t 刚好从c点射出磁场，
0
则知带电粒子的运动周期为T＝2t。随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，
0
由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个
顶点射出，所以A项正确；当粒子从O点沿纸面垂直于cd边射入正方形内，轨迹恰好为半个
圆周，即时间t 刚好为半周期，从ab边射出的粒子所用时间小于半周期t，从bc边射出的粒
0 0
子所用时间小于T＝，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C项错
误，A、D项正确。8．(多选)在xOy平面上以O为圆心，半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度为B的匀强磁
场，磁场方向垂直于xOy平面。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从原点O以初速度v
沿y轴正方向开始运动，经时间t后经过x轴上的P点，此时速度与x轴正方向成θ角，如图
所示。不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )
A．若r＜，则0°＜θ＜90°
B．若r≥，则t≥
C．若t＝，则r＝
D．若r＝，则t＝
【答案】AD
【解析】带电粒子在磁场中从O点沿y轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，
即在x轴上，轨道半径R＝。当r≥时，P点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x轴过
P点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t＝；当r＜时，粒子在到达P点之前射出圆形
磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x轴的粒子的速度偏转角
φ＞90°，所以过x轴时0°＜θ＜90°，A项对，B项错；同理，若t＝，则r≥，若r＝，则t＝，C项错，
D项对。
9．如图，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直
于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内由x轴负方向与
y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用，下列图中
阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，正确的图是( )【答案】D
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后再离开，
速度v与x轴的夹角相同，根据左手定则和R＝，知射入粒子沿x轴负方向的刚好进入磁场做
一个圆周，沿y轴正方向进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经
过的地方，故D项正确。
10．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径
AA 为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，AA 与AA 的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q
2 4 2 4 1 3
的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 处沿与AA 成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂
1 1 3
直于AA 的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A 处射出磁场。已知该粒子从射入到射出
2 4 4
磁场所用的时间为t，求：
(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹。
(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R 和R 的比值。
1 2
(3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。
【解析】(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示。
(2)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针
做圆周运动，最后从A 点射出，用B、B，R、R，T、T 分别表示在磁场Ⅰ、Ⅱ区的磁感应强度、
4 1 2 1 2 1 2轨迹半径和周期。
设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直AA 进入Ⅱ区磁场，连接AA，△AOA
2 4 1 2 1 2
为等边三角形，A 为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径
2
R＝AA＝OA＝r
1 1 2 2
粒子在Ⅱ区磁场中运动的轨迹半径R＝
2
即＝2∶1。
(3)qvB＝m
1
qvB＝m
2
T＝＝
1
T＝＝
2
圆心角∠AAO＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t＝T
1 2 1 1
在Ⅱ区磁场中运动的时间为t＝T
2 2
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t＋t
1 2
由以上各式可得B＝，B＝。
1 2
11．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚
焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。扇形聚焦磁场分布的简化图
如图所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和
谷区相间分布。峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁
场。质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针。(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T。
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区
内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系。(已知：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－
2sin2)
【解析】(1)峰区内圆弧半径r＝，旋转方向为逆时针。
(2)由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝
每个圆弧的长度l＝＝
每段直线长度L＝2rcos＝r＝
周期T＝
代入得T＝ 。
(3)谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30°
谷区内的轨道圆弧半径r′＝
由几何关系rsin＝r′sin
由三角关系sin＝sin15°＝
代入得B′＝B。
12．如图所示的xOy平面上，以坐标原点O为圆心的四分之一圆形区域MON内分布着磁感
应强度为B＝2.0×10－3T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点O为 m，磁场方向垂直纸面向
里，坐标原点O处有一个粒子源，不断地向xOy平面发射比荷为＝5×107 C/kg的带正电粒子，
它们的速度大小都是v＝1×105 m/s，与x轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，不计粒子重
力。(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；
(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角；
(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从O点垂直磁场方向射入第一
象限，求粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系。
【解析】(1)平行于x轴射入的粒子，轨迹如图甲所示，设出射点为P，由qvB＝m
得R＝1 m。
由几何关系可知OP＝OO＝1 m，OP＝ m，则△OOP为等腰直角三角形，x＝y＝1 m，α＝
1 1 1
故P点坐标为(1 m，1 m)
运动时间为t＝·＝×10－5 s。
0
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(2)如图乙所示，由几何关系可知：OM＝OO＝1 m，OM＝ m
2 2
则△OOM为等腰直角三角形，∠OOM＝45°
2 2
则θ＝∠OOM＝45°。
2
(3)由R＝，E＝mv2可知R＝，＝＝
k则R′＝ m。
粒子从M点出射时OM＝R′，如图丙所示，△OOM为正三角形，圆心角α′＝，出射角θ′＝
3
若粒子从弧MN上射出时，弦长均为 m，圆心角均为α′＝
运动时间均为t＝·＝×10－5 s，故0≤θ≤时，t＝×10－5 s
若粒子从边OM出射时，如图丁所示，α″＝2＝π－2θ
运动时间t″＝·＝(π－2θ)×10－5 s，故<θ≤时，t＝(π－2θ)×10－5 s。维权 声明
