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专题07 带电粒子在匀强磁场中的运动
命题预测
带电粒子在匀强磁场中的基本运动状态，包括匀速直线运动、匀速圆周运动等，特别是
当粒子速度方向与磁场方向垂直时的运动情况。洛伦兹力的性质和作用，包括洛伦兹力对带
电粒子速度大小和方向的影响，以及洛伦兹力作为向心力在匀速圆周运动中的角色。
带电粒子在匀强磁场中的运动在2025 年高考中很可能成为重要命题点。考查方向将主要
集中在带电粒子在磁场中的运动规律、受力分析以及相关的计算问题上。相关的计算知识
点，如匀速圆周运动的半径公式、周期公式等，以及这些公式在解决实际问题中的应用。可
能会结合有界匀强磁场的情况，考查粒子轨迹的确定、半径和运动时间的计算方法等。
考生复习备考时，做到深入理解基本概念和原理：熟练掌握带电粒子在匀强磁场中运动
的基本原理，包括洛伦兹力的性质、方向判断以及带电粒子在磁场中的运动轨迹分析。理解
并掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件，以及相关的半径、周期等计算公式。
强化解题技巧和方法：学会分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，特别是进出磁场时的对
称性、角度变化等关键点。掌握通过几何图形（如圆、三角形等）辅助分析带电粒子运动轨
迹的方法，提高解题效率和准确性。
高频考法
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
4.动态圆
考向一：带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的
直线过圆心
②弦的垂直平分线过
圆心
P、M 点速度方向垂线的交
点
P 点速度方向垂线与弦的垂
直平分线交点
1
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半径的确定
利用平面几何知识求
半径
常用解三角形法：左图中，
R＝或由R2＝L2＋(R－d)2 求
得R＝
运动时间的
确定
利用轨迹对应圆心角θ
或轨迹长度l 求时间
①t＝T
②t＝
t＝T＝T＝T
t＝＝
2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向
角
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度
方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半
径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
2
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考向二：带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确
定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
1.带电粒子电性不确定形成多解
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同
时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负
电，其轨迹为b
2.磁场方向不确定形成多解
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出
磁感应强度方向，由于磁感应强度方向
不确定而形成多解
粒子带正电，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a，若
B 垂直纸面向外，其轨迹为b
3.临界状态不确定形成多解
分析
图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能
转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
考向三：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，
寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
1.临界条件
3
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刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.几种常见的求极值问题
(1)时间极值
①当速度v 一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直
径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。
③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。
如图，P 为入射点，M 为出射点，此时在磁场中运动时间最短。
(2)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的
圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
考向四：动态圆
1.“平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法
2.“旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周
4
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运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共
圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种
方法称为“旋转圆”法
3.“放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的
轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
带正电粒子速度v 越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索
出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
4.“磁聚焦”与“磁发散”模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点
射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒
子出射方向与入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果
轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边
界上同一点射出，该点切线方向与入射方向
平行
5
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01 带电粒子在直线边界磁场中运动
1．如图所示，在空间直角坐标系O − xyz 中，z ≥ 0 区域存在沿y 轴正方向、磁感应强度大小为2B 的匀强
磁场；z < 0 区域存在与xOy 平面平行，与x 轴、y 轴正方向夹角均为45°，磁感应强度大小为
的匀强
磁场。一质量为m、电荷量为+q 的带电离子（不计重力），以初速度v0从O 点沿z 轴正方向射出，离子之
后经过xOy 平面的位置坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
02 带电粒子在特定边界磁场中运动
2.如图所示，矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在ad 边的中点
O 处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为
、方向与ad 边的夹角为
。已知粒子的
质量为m、电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从ab 边射出磁场，则磁场
的磁感应强度大小B 的范围为（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
或
3 带电粒子在圆形边界磁场中运动
3.受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒
子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=
m，外圆半径R2=3m，区域内有垂直纸
面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小B=1.0T，被束缚的带正电粒子的比荷
=4.0×107C/
kg，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O 点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们
之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
(1)求带电粒子在磁场中运动的周期T 和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0；
(2)若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0从O 点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一次
回到O 点所需要的时间；
(3)为了使束缚效果最好，在半径为R1的圆内也加上磁场，磁感应强度B'=2B，方向相同。求粒子不能射出
半径为R2的圆形区域的最大速度v。
4 带电粒子的不确定形成的多解问题
4．平面OM 和平面ON 之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，大
小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM 上的某点向左
上方射入磁场，速度与OM 成20°角，运动一会儿后从OM 上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情
形可能出现的是（ ）
7
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A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
5 磁场方向的不确定性成的多解问题
5.如图甲所示，
是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁
场的正方向，图中
，一质量为
、电荷量为
的带正电粒子以速度
在
时从
点沿
方向垂直磁场射入，粒子重力不计.则下列说法中正确的是（ ）
A．若粒子经时间
恰好垂直打在
上，则磁场的磁感应强度
B．若粒子经时间
恰好垂直打在
上，则粒子运动的加速度大小
8
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C．若要使粒子恰能沿
方向通过
点，则磁场的磁感应强度的大小
D．若要使粒子恰能沿
方向通过
点，磁场变化的周期
6 临界状态的不唯一形成的多解问题
6.空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面的交线，长度为
，
其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；
，
P 为垂足，如图所示，已知
，若
上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速
率至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
7 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
7.如图，在
坐标系的第一象限内，直线
的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感
应强度大小为B。在
点有一粒子源，能以不同速率沿与y 轴正方向成
角发射质量为m、电荷量
为
的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿
方向通过x 轴，且速度最大的粒子通过x 轴上的M 点，
速度最小的粒子通过x 轴上的N 点。已知速度最大的粒子通过x 轴前一直在磁场内运动，
，不
计粒子的重力，求：
（1）粒子最大速度的值与k 的值；
（2）粒子从P 点到穿过x 轴经历的最长时间；
9
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（3）有界磁场的最小面积。
8 “平移圆”模型
8.如图所示，在xOy 平面的Ⅰ 、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y 轴
左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度
大小为、方向垂直平面xOy 向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入
磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
A.
B.
C.
D.
9 “旋转圆”模型
9.如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁
场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小
均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，OP＝OS
＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
图2
A.粒子的速度大小为
B.从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D.沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
10 “旋转圆”模型
10
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10.如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点。若一个带正电的粒
子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说
法正确的是( )
A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
11 “磁聚焦”与“磁发散”模型
11.利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片
技术得到飞速发展。如图4，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与半径为r0的
磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O 点的粒子经过该磁场区域后
宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(
)
图4
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r
11
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1．如图所示，磁场边界I、II、III 平行，I、II 间距为2L，其间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的
匀强磁场，II、III 间距为L，其间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场。一质量为m、电荷
量为q 的带电粒子从P 点垂直于边界I 射入磁场，经磁场偏转后，以与边界II 成
夹角的方向从边界II 上
的Q 点射入II、III 之间的磁场，最后从K 点垂直于边界III 射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带负电
B．粒子在磁场中运动速度大小为
C．
D．粒子由P 至Q 所用时间为由Q 至K 所用时间的2 倍
2．如图所示，在
，
的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小
为B。现有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的P 点沿着与x 轴正方向成30°角的方向射入
磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（ ）
A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点
12
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B．从x 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为
C．从y 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
3．如图所示，边长为L 的等边三角形abc 内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 是ab
边的中点，一质量为m、电荷量为-Q（Q>0）的带电粒子在纸面内沿不同方向以不同速率v 从P 点射入磁
场，当v=v1时，平行于bc 边射入的粒子从c 点射出磁场。不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是
（ ）
A．若粒子平行于bc 边射入、垂直于bc 边射出，则粒子在磁场中运动的半径为
B．若粒子平行于bc 边射入、从ab 边射出，则速度越大的粒子在磁场中运动的时间越长
C．当v=v1时，平行于bc 边射入、从c 点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
D．当
时改变粒子入射方向，从bc 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
4．如图所示，一电子从y 轴上的P 点以大小为2v0、方向与y 轴成θ = 60°的速度沿坐标系xOy 平面射入第
二象限，第二象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小
的圆形有界匀强磁场，电子经磁场
偏转后通过x 轴时，与y 轴负方向的夹角为30°。已知电子的电荷量为−e，质量为m，不考虑电子的重力，
下列说法正确的是（ ）
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A．圆形磁场的最小半径可能为
B．圆形磁场的最小半径可能为
C．电子在圆形磁场中的运动时间可能为
D．电子在圆形磁场中的运动时间可能为
5．在平面直角坐标系xOy 中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以
点为圆心、半径
为
的一段圆弧，圆弧与x 轴交于
、
两点，磁场下边界是以坐标原点O 为圆心，
半径为
的一段圆弧。如图，在虚线区域内有一束带负电的粒子沿x 轴负方向以速度
射入该磁场区
域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质量为m，电荷量大小为q，不计
粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
A．正对
点入射的粒子离开磁场后一定会过O 点
B．正对
点入射的粒子离开磁场后一定不会过O 点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
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D．粒子在磁场区域运动的最长时间为
6．如图所示，一个半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个
粒子源从圆上的A 点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子（忽略粒子间的相互作用和粒子的
重力），带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（ ）
A．若
，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周
B．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若
，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
D．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
7．空间存在平行于x 轴的匀强磁场，电子由坐标原点在
平面内以初速度
沿与x 轴正方向成α 角的方
向进入磁场，电子的运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为
，则下列说法中正确的
是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x 轴负方向
B．若仅减小匀强磁场的磁感应强度，直径D 增大，螺距
增大
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C．若仅减小电子入射的初速度
，直径D 减小，螺距
不变
D．若仅增大
角
，直径D 增大，螺距
减小
8．半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P 是直径
上一点，且
。如图所示，质量为m、电荷量为
的带电粒子从P 点垂直射入磁场，已知粒
子的速度大小可调、方向始终与直径成
角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为
，从
圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为
。则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，
AB 和PM 分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场。粒子1 经磁场偏转后
打在探测器上的Q 点，粒子2 经磁场偏转后从磁场边界C 点离开，最后打在探测器上的N 点（直线距离
PN 大于PQ），PC 圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2 在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状
态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 带负电
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B．若仅减小粒子2 的入射速率，则粒子2 在磁场中的运动时间增加
C．若两粒子的入射速率相等，则粒子1 的比荷小于粒子2 的比荷
D．改变粒子2 入射方向，速率变为原来的
，则粒子2 在磁场中运动的最长时间为t
10．如图所示，圆心为O、半径为3R 的圆形区域内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里，磁场内部有一圆心也为O，半径为R 的粒子接收屏，A、B 为紧贴磁场内部的两点，AB 连线为大圆
的竖直直径。大量带正电的相同粒子由磁场左侧垂直于AB 连线进入磁场，打到接收屏上的粒子立刻被吸
收。已知粒子质量为m，电荷量为q，不同位置入射的所有粒子均有相同的速率范围，所有从A 点射入的
粒子恰好能打在接收屏的右半圆所有区域，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速率满足
B．粒子的速率满足
C．打在屏上的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．打在屏上的粒子在磁场中运动的最短时间为
11．如图所示，平面直角坐标系
中，在
区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
为
，
轴上的
点距离坐标原点
，在虚线
和
间无磁场，
、
区域
有垂直纸面向外的匀强磁场
（图中未画出），
、
区域有垂直纸面向里的匀强磁场（图中
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未画出），磁感应强度
为
。比荷为
的带正电的粒子沿
轴正方向由
点射入磁场，不计粒
子的重力。
(1)要使粒子不进入虚线
右侧，求射入磁场粒子的最大速度；
(2)要使粒子进入无场区域后直接到达
点，求射入磁场粒子的速度；
(3)现将一块长度为
的荧光板放置在
轴上，板的中点
位于
轴上的
处，欲使进入无场区域后
直接到达
点的粒子恰能打在荧光板的上表面，求匀强磁场磁感应强度
的大小范围（计算结果保留两位
有效数字）。
12．直角三角形
如图所示，
，
，
的长度
，三角形外存在方向垂直纸面
向里、磁感应强度大小
的匀强磁场（未画出），一比荷
的负离子从
点以速度
（未知）运动，恰经过
点且以垂直
边的方向射入三角形内部，然后从
边的
点（未画出）射入
磁场中，从
边上的
点（未画出）再次进入三角形，求：
(1)速度的大小及方向；
(2)离子由
点到
点的时间
；
(3)
点与
点的距离
。
13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、三、四象限内存在垂直于平面向外、磁感应强度大小为B
（B 未知）的匀强磁场，第二象限内存在垂直平面向外、磁感应强度大小为3B 的匀强磁场。质量为m、电
荷量为
的带电粒子从y 轴上M 点（0，
）以初速度
沿x 轴正方向射入第一象限，然后从x 轴上的N
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点（
，0）射入第四象限，不计粒子的重力。求：
(1)磁感应强度B 的大小；
(2)带电粒子自M 点进入磁场开始到第四次经过x 轴时所经历的时间；
(3)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f 且
（k 为已知常量），已知粒子第一次
经过x 轴时速度与x 轴垂直，求此时粒子的位置坐标。
14．在如图所示的xOy 平面内，边长为2R 的正方形区域中存在方向垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小
为B 的匀强磁场，沿x 轴放置一长为2R 的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q 的正
离子源从正方形一边（位于y 轴上）的中点P 向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向
夹角范围为0
60°
﹣
并沿0
60°
﹣
范围均匀分布，单位时间发射N 个离子，其发射离子速度大小随发射角变化
的关系为
，α 为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y
轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R＝0.05m，
B＝1T，v0=5×105m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求离子的比荷
（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
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(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
15．如图甲所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小为B、半径为L 圆心坐标为
的
半圆形边界匀强磁场。P 点与坐标原点重合，其下方有圆弧形放射源S，放射质量为m、电荷量为q 的正离
子（初速度可忽略）。放射源S 与P 间加电压后形成辐射状电场，电压随时间变化如图乙所示，从P 点射
出的正离子在如图所示虚线范围内，虚线与y 轴正方向的夹角为
，速度大小范围
，
正离子在电场中运动时间可以忽略不计。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。（
，
）求：
(1)SP 间电压的最大值
；
(2)从P 点射出的所有离子均不从半圆形磁场圆弧边界射出的最大速度；
(3)沿与x 轴正方向夹角45°从P 点射出的所有离子，在磁场中运动
时其位置满足的方程。
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