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2024 高考压轴题冲刺训练
训练6 带电粒子在电磁场中的运动
1. （2024 湖南长沙高三适应性考试）如图，平面直角坐标系
的第三象限中
的区域内存在辐向
电场，与
点（
，
）等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向
；在
的区域内无电
场和磁场；在
的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在
点（
，0）有一粒子源，能够沿
轴负方向发射出甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为
、电荷量均为
，粒子甲的质量为
，
粒子乙的质量为
。粒子甲在电场中做半径为
的匀速圆周运动；粒子乙从
点（
，
）与
轴正方向成
角射出电场。进入磁场后，粒子甲从
点（
，
）射出磁场；粒子乙从
点（图中未标
出）射出磁场。不计重力和粒子间的相互作用。
（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过
轴所需要的时间。
（3）已知
、
间的电势差
，
，求
点的坐标。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）（0，2a）
【名师解析】
（1）由题意可知，粒子甲在磁场中运动的半径为
1
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根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）电场中，有
匀速直线运动，则有
粒子在磁场中运动的圆心角为
则时间为
则总时间为
2
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（3）粒子乙从A 到D 的过程中，由动能定理可得
解得
在磁场中运动的半径为
，则有
解得
由图可知N 点的横坐标为0，纵坐标为
3
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解得
则N 点坐标为（0，2a）。
2. (2024 浙江台州期末)如图所示，第一象限存在垂直
平面向外的匀强磁场。
轴下方的分析器由两块
相距为
、厚度不计、足够长的平行金属薄板M 和N 组成，其中位于
轴的M 板中心有一小孔
（孔径忽
略不计），N 板连接电流表后接地。位于
轴上的某种材料P 能不停地发射质量为
、电荷量为
的正离
子，离子速度方向都沿
轴正方向，速度大小连续分布在
和
之间，发射区间的上端点坐标
，下端点坐标
。已知从
处射出的速度大小为
的离子经磁场偏转后恰好垂直
轴
射入孔
。未能射入孔
的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互
作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求第一象限的磁感应强度大小；
（2）求离子打在N 板上区域的长度；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时
电压；
4
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（4）若将分析器沿着
轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为0 时的电压
与孔
位置坐标
之间关系式．
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
（4）
【名师解析】
（1）根据题意可得粒子运动轨迹如下所示
结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有
解得
5
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（2）根据牛顿第二定律有
由于
故有
根据平移法可知，当粒子从发射区间的上端射出进入孔C 时，粒子打在N 板的左侧，且距离最远。当粒子
从发射区间的最下端射出进入孔C 时，粒子打在N 板的右侧，且距离最远。运动轨迹如图所示
设离子发射点的坐标
，则由几何关系可得
将
，
分别代入可得
，
由几何关系
，
6
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解得
（3）由（2）分析可知，当粒子从孔C 进入时，根据几何关系有
设进入孔C 时速度为v，则粒子进入孔C 时，竖直方向速度为
结合（1）分析及牛顿第二定律有
解得
电流表示数刚为0，即粒子到达N 板时速度竖直方向速度恰好为零，则根据匀变速直线运动规律及牛顿第
二定律有
解得
（4）由（2）分析可知，粒子做圆周运动的最大半径为
。故当
时，所有粒子均无法从
孔C 射出。当
时。根据（3）中分析可得
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联立可得
3. （2024 石家庄辛集市2 月质检） 如图所示，在第I 象限内的虚线OC（OC 与y 轴正方向的夹角
）与y 轴所夹区域内（包括虚线OC）有磁感应强度大小为B、方向垂直于
平面向外的匀强磁场，大
量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（视为质点）从y 轴上坐标为
的A 点平行于x 轴正方向射入
磁场。取
，不计粒子所受重力。
（1）若粒子能垂直y 轴离开磁场，则初速度的最大值；
（2）若粒子离开磁场后能垂直经过x 轴．则其在第I 象限内运动的时间t；
（3）若在（2）中情况下．在
平面内x 轴与虚线OC 所夹区域加上方向平行OC 的匀强电场（图中未
画出）结果粒子恰好能到达x 轴，求所加电场的电场强度大小E 以及粒子到达x 轴上的位置的横坐标x（不
考虑粒子到达x 轴后的运动）。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【名师解析】
（1）当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为
时，粒子垂直y 轴离开磁场，在此种情况下，当粒
子的运动轨迹与OC 相切时，粒子的初速度最大（设为
），如图所示：
8
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设此时粒子在磁场中运动的轨迹半径为
，有
根据几何关系有
解得
（2）粒子运动四分之一圆周后离开磁场，将垂直经过x 轴，运动轨迹如图所示：
设轨迹圆的半径为
，有
根据几何关系有
解得
，
b 点粒子在磁场中做圆周运动的周期
9
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b 粒子在磁场中运动的时间
解得
根据几何关系，粒子经过虚线OC 时到x 轴的距离
，设粒子离开磁场后在第I 象限内运动的时间为
，
有
又
解得
（3）粒子沿y 轴方向的加速度大小
根据匀变速直线运动的规律有
解得
粒子沿x 轴方向加速度大小
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设粒子从虚线OC 运动到x 轴的时间为
，有
粒子从虚线OC 运动到x 轴的过程中沿x 轴方向的位移大小
又
解得
4. （2024 陕西铜川一模）如图所示，纸面内存在半径为
的圆形和直角三角形ABC 的两匀强磁场（图中
均未画出，方向均垂直纸面），AB 边长为
L，现有一质量为m。电荷量为q 的带电粒子从圆形磁场边界
上的P 点正对圆心O 垂直磁场射入，且∠EOP= 60° ，经偏转恰好从D 点飞出，并沿DA 方向从A 点进入
三角形区域且恰好不从BC 边界射出。已知E、O、D、AB 在同一直线上，粒子重力不计。求：
（1）两区域磁感应强度大小的比值；
（2）粒子在两区域运动时间的比值。
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【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）设圆形区域和三角形区域中磁感应强度大小分别为B1和B2。由题意作出粒子运动的轨迹如图所示，
根据几何关系可知粒子在圆形区域和三角形区域中做匀速圆周运动的半径分别为
①
②
设粒子的速率为v，根据牛顿第二定律有
③
④
联立①②③④解得
⑤
（2）粒子在圆形区域和三角形区域中做匀速圆周运动的周期分别为
⑥
⑦
根据几何关系可知粒子在圆形区域和三角形区域中转过的圆心角分别为
⑧
⑨
粒子在圆形区域和三角形区域中运动时间之比为
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⑩
5. （2024 广东佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒
子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为
，圆的半径为
。正方形的
中心与圆的圆心同在
点，圆心与圆周边沿的电势差为
。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为
，
带电量为
的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小
；
（2）若沿垂直于正方形边界的
方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度
多大？该粒子在磁场中运动时离
点的最大距离
多大？
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【参考答案】（1）
；（2）
，
【名师解析】
（1）对粒子从O 点到离开电场列动能定理
解得
（2）在磁场中做匀速圆周运动，有
当粒子恰好飞不出磁场，如图
由几何关系可知
解得
由几何关系
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6 (2024 山西吕梁和孝义期末). 2023 年是芯片行业重要的里程碑，中国成为了全球生产芯片的重要国家。
离子注人是芯片制造过程中一道重要的工序。图甲所示，是离子注入工作原理的示意图，A 处的离子无初
速的“飘入”加速电场；经电场加速后从P 点沿半径方向进入半径为r 的圆形匀强磁场区域，经磁场偏转，
最后打在竖直放置的硅片上。离子的质量为m、电荷量为q，加速电场的电压为U，不计离子重力。求：
（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v；
（2）若磁场方向垂直纸面向外，离子从磁场边缘上某点出磁场时，可以垂直打到硅片上，求圆形区域内
匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（3）为了追求芯片的精致小巧，需要对硅片材料的大小有严格的控制。如图乙所示，O 点到硅片的距离为
2r，磁场的磁感应强度满足
，要求所有离子都打到硅片上，求硅片的最小长度l。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）离子通过加速电场，由动能定理可知
得到
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（2）根据题意，画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
由几何关系知道，离子的轨迹半径
由牛顿第二定律有
从而解得
（3）离子打在硅片上端，设离子的轨迹半径为
。根据牛顿第二定律有：
由于
得到
画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
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得到
所以
，
，
，
，
由几何关系知道
所以
离子打在硅片下端时，设离子的轨迹半径为
，根据牛顿第二定律有
由于
得到
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画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
得到
所以
，
，
，
，
由几何关系知道
所以
因为
所以
7. （2024 山东威海银滩高中质检）如图，圆心为O、半径为r 的圆形区域内没有磁场，圆形区域外存在匀
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强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，P 是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为
q（q>0）的粒子从P 点在纸面内垂直于OP 射出。不计重力，
。求：
（1）若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足怎样的条件？
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间；
（3）在（2）的情况下粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界所用的时间。（已知
）
【参考答案】（1）
或
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）若粒子与圆形区域左侧相切时，粒子运动半径为r，则
若粒子与圆形区域右侧相切时，粒子运动半径
2r，则
得
，
若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足
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或
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，如图
由几何关系
得粒子运动半径为
根据牛顿第二定律
又
联立得，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间为
（3）粒子运动轨迹如图
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由于
得
由几何关系，粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界的圆心角为
则该段运动所用的时间为
15．（16 分）（2024 安徽合肥一模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团
队设计了如图甲所示的防护装置。图乙为其截面图，半径为R 的圆柱形区域是宇航员防护区，在半径分别
为R 和2R 的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为
，电荷量
为e，质量为m，不计质子间相互作用，
。
（1）若质子垂直磁场正对圆柱轴线入射时无法进入防护区，求磁感应强度大小范围；
（2）在（1）问前提下，求质子在磁场中运动的最长时间；
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（3）若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，求磁感应强度大小范围。
【名师解析】：（1）俯视图为正对防护区圆心入射的质子，若恰好无法进入防护区，设带电粒子的轨迹
半径为
，粒子运动轨迹如图
由几何关系
可得
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度的大小
所以
（2）设带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为
由几何关系可得
解得
可得
质子在磁场中运动的时间
（3）为使所有速度为
的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
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则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度最小值
则磁感应强度的大小应该满足的条件为
13. （2024 河南部分高中期末联考）如图所示，空间中有三个同心圆L、M、N，半径分别为R、3R、
图中区域Ⅰ、Ⅲ中有垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅱ中有沿圆心向外的辐向电场，AOB 为电场中
的一条电场线，AO 和OB 间电压大小均为U，a、b 两个粒子带电量分别为
、
，质量均为m，从O
点先后由静止释放，经电场加速后进入磁场，加速时间分别为t1、t2，a 进入Ⅰ区域后从距入射点四分之一
圆弧的位置第一次离开磁场，b 进入Ⅲ区域后恰好未从外边界离开磁场，不计粒子重力，求：
（1）a 粒子进入磁场时的速度v 的大小；
（2）Ⅰ区域中磁感应强度
的大小；
（3）Ⅰ、Ⅲ磁感应强度的比值
；
（4）为使两个粒子尽快相遇，两个粒子释放的时间间隔
为多少。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
【名师解析】
【详解】（1）带电粒子沿电场线加速，由动能定理
可得
（2）如图所示
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由几何关系可知，
在区域Ⅰ中做圆周运动的轨道半径为
，根据洛伦兹力提供向心力
可得
（2）设
在区域Ⅲ中做圆周运动的轨迹半径为
，根据几何关系
解得
根据洛伦兹力提供向心力
联立可得
（4）有图可得，
粒子的运动时间为
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又
粒子的运动时间为
又
则
联立可得
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