文档内容
押第 9、14 题
磁场 带电粒子在电磁场中的运动
磁场主要考察的知识点有：磁场叠加问题、安培定则的应用、安培力的计算等，考察形式为选择题。
带电粒子在电磁场中的运动，考察形式为选择题、或计算题。
因此，将第9、14题放在一起，分为选择题和计算题两部分，对该模块进行押题。
带电粒子在电、磁场中的运动，在辽宁卷中可能作为压轴题出现，除了要掌握带电粒子在电磁场中的
运动特点，力学三大观点也在该模块中有着重要的应用，该题综合性极强，可以说包含了高中物理力与运
动关系这一主线的全部内容，题型多变，考察学生对各模块知识的综合应用能力。
1．（2022年·辽宁卷）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有
垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁
场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽
略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD【详解】AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上
偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有 ；解得 ；可知若增大粒子入射速度，则粒
子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
2 .（2023年·辽宁卷）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍。金属板
外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质
量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电
0
场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性
画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）见解析
【详解】（1）设板间距离为 ，则板长为 ，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间 的电场强度为
；根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度 ；解得设粒子在平板间的运动时间为 ，根据类平抛运动的运动规律得 ，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为 ，则有 ；故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动
所需的向心力得 ；解得
已知圆形磁场区域半径为 ，故
粒子沿 方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与
射入磁场时运动方向的夹角为 ，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为 ，由几何关系可得
；故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为 或 ；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为 ，根据几何关系可知，带电粒子
在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的
时间最长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M的位置如图所示：3．（2021年·辽宁卷）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在
x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静
止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半
电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子
碰撞到下次相遇的时间 t；
（3）若两粒子碰撞后，△粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内
加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径R=a
则 ；则粒子从S到O，有动能定理可得
可得
（2）甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为 、 ，取向上为正，则有 ；
计算可得 ；
两粒子碰后在磁场中运动 ；
解得 ；
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为 ；
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间
（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒
子在磁场中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了 ，由余弦定理可得 ；
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移1．磁场叠加问题的分析思路
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如
图2所示为M、N在c点产生的磁场B 、B 。
M N
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的合磁场B。
2．安培定则的应用
在运用安培定则判定直线电流和环形电流及通电螺线管的磁场时应分清“因”和“果”。
因果
原因(电流方向) 结果(磁场方向)
磁场
直线电流的磁场 大拇指 四指
环形电流及通电
四指 大拇指
螺线管的磁场
3．安培力的分析和计算
1．大小计算
(1)有效长度：公式F＝IlB中的l是有效长度，弯曲导线的有效长度等于连接两端点线段的长度。相应
的电流沿l由始端流向末端，如图所示。
(2)电流元法：将导线分割成无限个小电流元，每一小段看成直导线，再按直线电流判断和计算。
2．安培力作用下导体运动的分析思路
判定通电导体在安培力作用下的运动方向或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置磁感线的分布情
况，及导体中电流的方向，然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动
趋势。
3．安培力作用下导体运动的判定方法分割为电流元----------→安培力方向→整段导体所受合力方向
电流元法
→运动方向
特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向
环形电流 小磁针
⇌
等效法
条形磁体 通电螺线管 多个环形电流
⇌ ⇌
同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电
结论法
流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定
转换研究对象法
律，确定磁体所受电流磁场的作用力
4．带电粒子在电场中常见的运动类型
（1）匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv02来求解；对于匀强电场，电场力做功也可
以用W＝qEd来求解。
（2）偏转运动：一般研究的是带电粒子在匀强电场中的偏转问题。对于类平抛运动可直接利用平抛
运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动的合成与分解的方法来处理。
（3）运用能量观点时，在匀强电场中，若不计重力，电场力对带电粒子做的功等于粒子动能的变化
量；若考虑重力，则合力对带电粒子做的功等于粒子动能的变化量。
（4）带电粒子在电场中的偏转运动做好两个方向的分析
在垂直电场方向上做匀速直线运动，在这个方向上找出平行板的板长和运动时间等相关物理量；沿电
场力方向做匀加速直线运动，在这个方向上找出偏转加速度、偏转位移、偏转速度等相关物理量。在垂直
电场方向上有t＝，沿电场力方向上有y＝at2或v＝at，a＝，联立方程可求解。
y
4.2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
粒子进出磁场具有
直线边界
对称性粒子运动存在临界
平行边界
条件
粒子沿径向射入的
圆形边界
再沿径向射出
4.3．当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则
粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒
子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
4.4带电粒子在磁场中运动时的三个几何关系
4.5带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题
（1）关注常见关键词，如：“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等临界状态词。
（2）两种处理方法：①利用“矢量图”“边界条件”等求临界值。
②利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
（3）常见的几种临界半径的求解方法r＋rcos θ＝d
得r＝
当θ＝90°时r＝d
r＋rsin θ＝d
得r＝
当θ＝90°时r＝d
r＋＝d
得r＝d
r＝d
1
L2＋(r－d)2＝r2
2 2
得r＝
2
5.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
（1）产生多解现象的4种因素
原因 特点 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也
带电粒子电性不
可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负
确定
粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具
磁场方向不确定 体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁
感应强度方向不确定而形成的多解
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有
界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因
临界状态不唯一
此，它可能直接穿过去了，也可能转过 180°
从入射界面反向飞出，于是形成了多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运
运动的往复性
动时，往往具有往复性，因而形成多解
6.带电粒子在组合场中运动问题的处理原则及方法
处理原则：分解过程，依次分析，场场关联，求解速度。
处理方法：
(1)按照进入不同的场的时间顺序分成几个不同的阶段。
(2)分析带电粒子在各场中的受力情况和运动情况。若粒子进入电场区域，则其运动为加速(减速)以
及偏转两大类运动，而进入磁场区域时，粒子通常做匀速圆周运动。
(3)画出带电粒子的运动轨迹，注意运用几何知识，找出相应几何关系与物理关系。
(4)选择物理规律列方程。对于加速(减速)运动，一般根据动能定理或牛顿第二定律分析；对于类平
抛运动，一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动；对于粒子在磁
场中做匀速圆周运动的情况，应注意洛伦兹力提供向心力这一特点。
(5)注意确定粒子在组合场交界处的速度大小与方向，该速度往往是联系两段运动的“桥梁”。
6.1解答带电粒子在叠加场中的运动问题基本思路
一、选择题
1． 如图甲所示，a、b位于两个等量异种电荷的连线的中垂线上，且a、b到两电荷连线的中点O的距离
相等；如图乙所示，两根相互平行的长直导线垂直纸面通过M、N两点，c、d位于MN的连线的中垂线上，且c、d到MN连线的中点 的距离相等，两导线中通有等大反向的恒定电流，下列说法正确的
是（ ）
A．O点处的电场强度为零
B． 点处的磁感应强度为零
C．a、b处的电场强度大小相等，方向相反
D．c、d处的磁感应强度大小相等，方向相同
【答案】D
【解析】A．正、负电荷在O点处的电场强度方向均水平向右，根据场强叠加可知，O点电场强度不为
零，故A错误。
C．根据等量异种电荷中垂线电场分布特点，结合对称性可知，a、b处的电场强度大小相等，方向相
同，均水平向右，故C错误；
BD．根据安培定则以及磁场叠加可知，c、d处的磁感应强度大小相等，方向均沿cd向下， 点处的
磁感应强度不为零，也沿cd向下，故B错误，D正确。
故答案为：D。
2．智能手机安装适当的软件后，利用手机中的磁传感器可以测量磁感应强度 ．如图所示，小厦同学在
厦门市某公园测量地磁场，将手机水平放置后建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为 面，屏幕
朝上且 轴正向指向北方．若忽略其他磁场的干扰，则所测得地磁场的磁感应强度 可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】地磁场的方向由地理南极指向地理北极，厦门市位于北半球，磁场由南向北斜向下，所以
， ， ；A符合题意，BCD不符合题意。故答案为：A。
3． 如图所示，两条通有同向电流的平行无限长导线 、 ，其中M、N点连线与两导线垂直，M点到
两导线的距离相等，M、N两点关于 对称，忽略其它磁场的影响，检测发现M点的磁场方向垂直纸
面向外，则下列说法正确的是（ ）
A．N点的磁场方向垂直纸面向外
B．导线 中的电流大于导线 中的电流
C．M点的磁场与N点的磁场相同
D．M点的磁场比N点的磁场弱
【答案】D
【解析】A、由安培定则可知，两导线中电流的磁场在N点的方向均垂直纸面向里，所以N点的磁场
方向垂直纸面向里。故A错误；
B、同理，可知导线L 中的电流磁场在M点方向垂直纸面向里，导线L 中的电流磁场在M点方向垂直
1 2
纸面向外，依题意，M点的磁场方向垂直纸面向外，则导线L 中的电流小于导线L 中的电流。故B错
1 2
误；
C、由前面选项分析可知，M点的磁场与N点的磁场相反。故C错误；
D、依题意，M、N两点关于L 对称则导线L 中电流磁场在M、N两点磁感应强度大小相等，方向相
2 2
反，导线L 中的电流磁场在M、N两点均垂直纸面向里，可知，M点的磁场为两电流磁场相减，N点
1
的磁场为两电流磁场相加。所以M点的磁场比N点的磁场弱。故D正确。
故答案为：D。
4．《大国重器》节目介绍的GIL输电系统的三相共箱技术，如图甲所示，管道内部有三根绝缘超高压输
电线缆平行且间距相等，截面图如图乙所示，上方两根输电线缆A、B圆心连线水平，某时刻A、C中
电流方向垂直于纸面向外、B中电流方向垂直于纸面向里，A、B、C中电流大小均为I，则（ ）
A．B、C输电线缆相互吸引
B．输电线缆A、B、C在A、B连线中点处的磁感应强度方向竖直向上
C．正三角形中心O处的磁感应强度方向水平向左
D．输电线缆C所受安培力方向平行线缆A、B圆心连线向左【答案】D
【解析】A、由于B、C输电线缆通入的电流方向相反，所以二者相互排斥。故A错误；
B、根据右手螺旋定则可知，A、B输电线缆在A、B圆心连线中点处的磁感应强度方向竖直向上，而C
输电线缆在该处的磁感应强度水平向左，则该点的合磁感应强度方向斜向上偏左。故B错误；
C、A输电线缆在O点的磁感应强度方向垂直OA指向右上方，B输电线缆在O点的磁感应强度方向垂
直OB指向左上方，根据对称性可知，A、B输电线缆在O处的合磁感应强度方向竖直向上，而C输电
线在O点的磁感应强度方向垂直OC水平向左，所以O处合磁感应强度方向应斜向左上方。故C错
误；
D、A对C的安培力沿AC指向A，B对C的安培力沿BC指向C，二力等大，由平行四边形定则可
知，输电线缆C所受安培力方向平行线缆A、B圆心连线向左，如图所示
故D正确。
故答案为：D。
5．如图所示，一个质量m＝0.1g，所带电荷量 的小滑块，放置在倾角 的光滑斜面
（绝缘且足够长）上，斜面置于B＝0.4T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外．小滑块由静止开始
沿斜面下滑，下滑至某一位置时会离开斜面．此过程中，下列说法正确的是（ ，
）
A．小滑块带正电，所受洛伦兹力竖直向上
B．小滑块离开斜面瞬间的速度大小为5m/s
C．小滑块离开斜面前做加速度不断增大的加速运动
D．该斜面的长度至少要有
【答案】D
【解析】A、小滑块最终会离开斜面，说明它所受洛伦兹力垂直斜面向上，则小滑块带正电，故A错
误；
B、恰好离开斜面时，有 ；代人数据计算可得 ；故B错误；
C、小滑块离开斜面前，沿斜面方向做匀加速直线运动，故C错误；D、加速度大小 ；由 ；可得，斜面长至少为 ；故D正确。
故答案为：D。
6．2020年12月2号22时，经过约19小时月面工作，嫦娥5号完成了月面自动采样封装，这其中要用到
许多的压力传感器有些压力传感器是通过霍尔元件将压力信号转化为电信号。如图，一块宽为a、长为
c、厚为h的长方体半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电
流时，电子的定向移动速度为v。若元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，在元件的前、后
表面间出现电压U，以此感知压力的变化。则元件的（ ）
A．前表面的电势比后表面的高
B．前、后表面间的电压U与v无关
C．前、后表面间的电压U与c成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为
【答案】A
【解析】A．电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向
里，则后表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势高，A符合题意；
BC．由电子受力平衡可得 ；解得U=Bva；所以前、后表面间的电压U与v成正比，前、后
表面间的电压U与c无关，BC不符合题意；
D．稳定时自由电子受力平衡，受到的洛伦兹力等于电场力，即 ；D不符合题意；
故答案为：A。
7． 来自宇宙的高速带电粒子流在地磁场的作用下偏转进入地球两极，撞击空气分子产生美丽的极光。高
速带电粒子撞击空气分子后动能减小。假如我们在地球北极仰视，发现正上方的极光如图甲所示，某
粒子运动轨迹如乙图所示。下列说法正确的是（ ）A．粒子从M沿逆时针方向射向N
B．高速粒子带正电
C．粒子受到的磁场力不断增大
D．若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，会向东偏转
【答案】A
【解析】A.高速带电粒子撞击空气分子后动能减小，速度变小，根据牛顿第二定律可得 ；
得
；可知，粒子速度变小，则轨迹半径变小，故可判断粒子从M沿逆时针方向射向N，故A符合
题意；
B.地理北极附近是地磁南极，所以北极上空的地磁场方向竖直向下，根据左手定则可以判断，高速粒
子带负电，故B不符合题意；
C.根据洛伦兹力公式F=qvB可知，粒子的速度不断减小，则粒子受到的磁场力不断减小，故C不符合
题意；
D.赤道位置磁场由南向北，若该粒子在赤道正上方垂直射向地面，根据左手定则可以判断，粒子会向
西偏转，故D不符合题意。
故答案为：A。
8． 如图所示，边长为L的正方形CDEF区域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，
对角线CE和DF的交点为P，在P点处有一粒子源，可以连续不断地向纸面内各方向发射出正离子。
已知离子的质量为m、电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力。则离子不可能射出正方形区域
的发射速率v应满足（ ）
A．0F B．FF D．F=F
a c a c a b a b
【答案】A,D
【解析】根据题意可知a、b、c三者并联，两端的电压U相等，根据电阻定律 ；可知粗细相
同的三根导体棒，电阻值比等于对应的长度之比，即
a、b、c三根导体棒的有效受力长度分别为 ， ，
安培力大小的计算公式为 ；所以
故三根导体棒受到的安培力的大小关系为
故答案为：AD。15．如图所示，在 平面的第一象限内有半径为 的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向
垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为 ，其边界与 轴、 轴分别相切于 、 点。位于 处的质
子源均匀地向纸面内以大小为 的相同速率发射质量为 、电荷量为 的质子，且质子初速度的方向
被限定在 两侧与 的夹角均为 的范围内。第二象限内存在沿 轴负方向的匀强电场，电场
强度大小为 ，在 轴 的某区间范围内放置质子接收装置 。已知沿 方向射入磁场的质
子恰好从 点垂直 轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小 ；
（2）求 轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置 接收，求接收装置 的最短长度 。
【答案】（1）解：沿 方向射入磁场的质子恰好从 点垂直 轴射入电场，在磁场中由几何关系可
知：该质子运动半径为 ，
根据牛顿第二定律有：
变形解得：
（2）解：如图所示，设在 左右两侧 角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的 、
两点射出，对应圆周运动的圆心分别为 、 ，则四边形 和 均为菱形，则粒子
由 、 两点水平飞出，且 与 点重合。根据几何关系可知：
而 点到 轴的距离为 ，所以 轴正方向上有质子射出的区域范围为：
（3）解：若质子由 处飞入电场时打在 点，由 处飞入电场时打在 点，根据类平抛
运动的规律
由牛顿第二定律有：
沿电场线方向： ，
垂直于电场方向： ，
代入解得： ，
所以 的最短长度为：
16．如图所示，在 ， 的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电
场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进
入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场
的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从
P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。求改变后电场强度 的大小和粒子的初速度 ；
【答案】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
所以有 ，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有
沿y方向上有
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得 ；17．如图所示，在竖直的xOy平面内，在水平x轴上方存在场强大小 、方向平行于x轴向右的匀
强电场，在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁
场、大小与方向都未知的匀强电场E（E 未画出）。一质量为m、带电量为q的小球从y轴上的P
2 2
（0，L）位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y
轴相切。
（1）求匀强电场E 的大小与方向；
2
（2）求小球第二次穿过x轴的位置与第三次穿过x轴的位置之间的距离；
（3）若让小球从y轴上的Q点（图中未标出）无初速度释放，小球第二次穿过x轴后进入第二象限做
直线运动，恰好又回到Q点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小。
【答案】（1）小球在第四象限做匀速圆周运动，有 ，得
小球释放后进入第一象限，故小球带正电，可得电场方向竖直向上
（2）小球在第一象限做匀加速直线运动，对小球，有
；
联立解得 ；
小球再次回到第一象限做类平抛运动，如图所示，有竖直方向水平方向
解得
（3）假设 轴下方匀强磁场磁感应强度大小为 ，从 点释放的小球进入磁场，有
假设 点离坐标原点的距离为 ，对从 点释放的小球，进入第一象限的速度 ，同理可得
，从 点释放的小球进入 轴下方，做匀速圆周运动，有 ，从 点释放的
小球在第二象限做直线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等， 与 轴夹角 ，有
电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则 与 必然垂直，由几何关系，得
，代入 ，得
18． 中国第一台高能同步辐射光源（HEPS）将在2024年辐射出第一束最强“中国光”，HEPS工作原理
可简化为先后用直线加速器与电子感应加速器对电子加速，如图甲所示，直线加速器由多个金属圆筒
（分别标有奇偶序号）依次排列，圆筒分别和电压为U 的交变电源两极相连，电子在金属圆筒内作匀
0
速直线运动。一个质量为m、电荷量为e的电子在直线加速器0极处静止释放，经n次加速后注入图乙
所示的电子感应加速器的真空室中，图乙中磁极在半径为R的圆形区域内产生磁感应强度大小为B =kt
1
（k>0）的变化磁场，该变化磁场在环形的真空室中激发环形感生电场，使电子再次加速，真空室内存
在另一个变化的磁场B “约束”电子在真空室内做半径近似为R的圆周运动，已知感生电场大小为
2
（不考电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间），求：（1）电子经第一次加速后射入1号圆筒的速率；
（2）电子在感应加速器中加速第一周过程中动能的增加量，并计算电子运动第一周所用的时间；
（3）真空室内磁场的磁感应强度B 随时间的变化表达式（从电子刚射入感应加速器时开始计时）。
2
【答案】（1）对电子经第一次加速后射入1号圆筒的过程由动能定理有
解得
（2）根据题意，设电子在感应加速器中加速第一周的时间为 ，该过程中感生电场
该过程属于变力做功，则由动能定理有
解得
设加速圆周运动的切向加速度为 ，由牛顿第二定律有
解得
直线加速 次后，由动能定理有
解得
加速一周后由能量守恒可得
解得则加速一周的时间
（3）刚进入感应电子加速器时（即 ），根据洛伦兹力充当向心力有
解得
设经过任意时间 后电子的速度变化量大小为 ，则由动量定理有
对任意时刻由洛伦兹力充当向心力有
解得
则
由此可得
则有
19．如图，在 的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，在 的区域存在方向垂直于 平面
向里的匀强磁场。一个氕核和一个氚核先后从x轴上P、Q两点射出，速度大小分别为 、 。速度
方向与x轴正方向的夹角均为 ，一段时间后，氕核和氚核同时沿平行x轴方向到达y轴上的M
点（图中未画出），并立即发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知Q点坐标为 ，不计粒子重力
及粒子间的静电力作用， ， ，求：
（1）P点的横坐标。
（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B大小之比。
（3）氕核和氚核碰撞后再次到达y轴上时的坐标点相隔的距离。【答案】（1）解：分析氕核（ ）和氚核（ ）的运动情况，氕核射出后在磁场中做匀速圆周运
动，氚核射出后在电场中做类平抛运动，两粒子运动轨迹如图。
研究氚核，根据抛体运动规律有
研究氕核，根据数学关系得
联立解得
（2）解：设氕核（ ）的质量为m，电荷量为q，则氚核（ ）的质量为3m，电荷量为q。
研究氕核，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
研究氚核，根据抛体运动规律得
解得
则
（3）解：碰撞前，氚核的速度
氚核（ ）和氕核（ ）发生弹性碰撞，设碰撞后氚核、氕核速度分别为 、 。根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得 ，
碰撞后，氕核、氚核均在磁场中做匀速圆周运动，设氚核、氕核的运动半径分别为，
根据洛伦兹力提供向心力，研究氚核有
研究氕核，有
氚核和氕核碰撞后，均向上运动半个圆再次到达y轴上的点，他们相隔的距离为
联立解得
20． 某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X射线，对肿瘤进行准确定位，再进行治
疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为 。水平放置的目标靶长
为 ，靶左端M与磁场圆心O的水平距离为 、竖直距离为 。从电子枪逸出的电子（质量为 、
电荷量为 ，初速度可以忽略）经匀强电场加速时间 后，以速度 沿PO方向射入磁场，（PO与水
平方向夹角为 ），恰好击中M点，求：
（1）匀强电场场强的大小；
（2）匀强磁场的方向及电子在磁场中运动的时间；
（3）为保证电子击中目标靶MN，匀强电场场强的大小范围（匀强电场极板间距不变）。
【答案】（1）解：电子穿过匀强电场过程中，由动量定理得
解得
（2）解：由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；电子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得
周期为
联立可得
设 与竖直方向夹角为 ，则有
可得
由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，则电子在磁场中运动时间为
（3）解：①当电子击中M点时，电子在磁场中的偏转半径为
设匀强磁场区域半径 ，由几何关系得
②当电子击中N点时，设 与竖直方向夹角为 ，则有
可得
由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，则偏转半径为
则有
粒子穿过匀强电场后的速度 ，由动能定理得
设极板间距离为 ，则有
联立解得
则匀强电场场强的范围为
21． 如图，竖直面内坐标系 第一、三象限角平分线 右侧区域有一场区（内存在匀强电场和匀强
磁场）。平行板M、N如图放置，M板带正电，带负电的N板在 轴负半轴上，N板上有一小孔 ，
离原点 的距离为 ， 上的 点处于 孔正下方。质量为 、电量为 的小球从 上的某点
以一水平速度向右进入场区，恰好能做匀速圆周运动，第一次出场后，小球恰能从小孔 以垂直于N板的速度进入M、N板间且恰好能到达M板但不接触。已知磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向
外。M、N板间距为L、电压为 ，重力加速度为 。求：
（1） 右侧区域内的匀强电场的场强大小与方向；
（2）求射入场区的水平速度的大小 ；
（3）小球从 上的某点出发后，到第四次（不包括出发那次）经过边界 的运动时间。
【答案】（1）解：小球从 上的某点以一水平速度向右进入场区，恰好能做匀速圆周运动，表明小
球所受电场力与重力平衡，则有
解得
重力方向竖直向下，则电场力方向竖直向上，由于小球带正电，则电场强度方向竖直向上。
（2）解：由于小球恰能从小孔 以垂直于N板的速度进入M、N板间且恰好能到达M板但不接触，
在小球由Q点运动至M极板过程，根据动能定理有
解得
（3）解：作出粒子第四次到达边界 的运动轨迹如图所示粒子在磁场中做匀速圆周运动，结合上述可知，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
，
解得
根据几何关系可知，小球前后在磁场中运动轨迹可以合并为一个完整的圆周，则小球在磁场中运动的
时间为
小球从Q点运动至小孔P过程做匀减速直线运动， 则有
解得
根据速度公式有
进入极板内后做匀减速直线运动，结合上述有
解得 ，
根据运动的对称性，小球从Q点运动至小孔P，到小球返回Q点总时间
小球第三次到达边界 之后做平抛运动，令第四次到达边界 的位移为x，则有
，
解得综合上述可知，小球从 上的某点出发后，到第四次（不包括出发那次）经过边界 的运动时间
为
解得
