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第2课时 直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系
[题组练透]
1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：选A.方法一：直线方程y＝2x－1过点(1，1)，而(1，1)在椭圆内部，故选
A.
方法二：由得10y2＋2y－35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1 404>0，所以直线y
＝2x－1与椭圆＋＝1相交．
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有且只有一个公共点；
(2)没有公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组
相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C
有且只有一个公共点．
(2)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数
解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法
[注意] 对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故
一定为一元二次方程．弦长问题
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且
离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．
若|AB|＝，求直线l的方程．
【解】 (1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1，所以a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x ，y )，B(x ，y )，联立整理，得x2＋2mx＋2m2
1 1 2 2
－4＝0.
因为Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.所以x ＋x ＝－2m，x x ＝2m2－4.
1 2 1 2
则|AB|＝×＝＝.
解得m＝±.
所求直线l的方程为y＝x±.
求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x ，y )，B(x ，y )
1 1 2 2
两个不同的点，则弦长|AB|＝＝|x －x |＝·|y －y |(k≠0)．
1 2 1 2
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分
别为F ，F ，设P是椭圆C上一点，满足PF ⊥x轴，|PF |＝，椭圆C的离心率为.
1 2 2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求
△AOB的面积．
解：(1)由题意知，离心率e＝＝，|PF |＝＝，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准
2
方程为＋y2＝1.
(2)由条件可知F (－，0)，直线l：y＝x＋，联立直线l和椭圆C的方程，得消去
1
y得5x2＋8x＋8＝0，设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝－，x x ＝，所以|y －y |＝|x
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
－x |＝
2
＝，所以S ＝·|y －y |·|OF |＝.
△AOB 1 2 1
中点弦问题(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标
准方程为________．
【解析】 (1)设弦的两端点为A(x ，y )，B(x ，y )，中点为P(x ，y )，
1 1 2 2 0 0
通解：有＋y＝1， ＋y＝1.
两式作差，得＋(y －y )(y ＋y )＝0.因为x ＋x ＝2x ，y ＋y ＝2y ，＝k ，代入
2 1 2 1 1 2 0 1 2 0 AB
后求得k ＝－.即2＝－，所以x ＋4y ＝0.
AB 0 0
优解：由k k ＝－得2·＝－，即x ＋4y ＝0.
AB OP 0 0
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入＋y2＝1得＋＝1，解得x＝
±，
又中点在椭圆内，所以－b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为
A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝
3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程
为＋＝1.
优解：设弦的中点为M，由k k ＝－，
AB OM
得2×＝－，得a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，所以所求椭
圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 (1)x＋4y＝0
(2)＋＝1
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行
于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.解析：选A.设A(x ，y )，B(x ，y )．因为AB的中点为M，所以x ＋x ＝2，y ＋y
1 1 2 2 1 2 1 2
＝1.因为PF∥l，所以k ＝k＝－＝.
PF l
因为＋＝1，＋＝1.所以＋＝0，所以＋＝0，可得2bc＝a2，
所以4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，解得e2＝，又因为0b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一
1 2
个端点，BF1·BF2≥F1F22，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选 C.根据题意不妨设 B(0，b)，F (－c，0)，F (c，0)，因为
1 2
BF1·BF2≥F1F22，
所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，
所以a2≥3c2，所以0<≤.
[A级 基础练]1．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，
则实数m的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，7)
C．[1，7) D．(1，7]
解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其
内部，所以有≤1，得 m≥1.又椭圆＋＝1 的焦点在 x 轴上，所以 m<7.综上，
1≤m<7.
2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂
线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k＝( )
A．± B．± C．± D．±2
解析：选A.由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当
k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y )，(1，y )，代入椭圆方程得y ＝－，
1 2 1
y ＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.
2
3．(2020·唐山模拟)直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭
圆于A，B两点，交y轴于C点，若FC＝2CA，则该椭圆的离心率是( )
A.－1 B. C．2－2 D.－1
解析：选A.记椭圆的右焦点为F′，由题意得F(－，0)，C(0，1)，则F′(，0)．由FC
＝2CA，可得A，则|AF|＝3.连接AF′，则|AF′|＝，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋，所以
a＝，又c＝，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1，故选A.
4．(多选)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是( )
A．若a＝2b，则Ω的离心率为
B．若Ω的离心率为，则＝
C．若F ，F 分别为Ω的两个焦点，直线l过点F 且与Ω交于点A，B，则
1 2 1
△ABF 的周长为4a
2
D．若A ，A 分别为Ω的左、右顶点，P为Ω上异于点A ，A 的任意一点，则
1 2 1 2
PA ，PA 的斜率之积为－
1 2
解析：选BCD.若a＝2b，则c＝b，e＝，选项A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，
＝，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x ，y )，则＋＝1，易知
0 0
A (－a，0)，A (a，0)，所以PA ，PA 的斜率之积为·＝＝＝－，选项D正确．
1 2 1 2
5．斜率为的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两个不同的点．若∠AOB为钝角，
则直线l在y轴上的截距m的取值范围为________．
解析：由题意知l的方程为y＝x＋m.由得x2＋2mx＋2m2－4＝0.因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，
解得－20，x ＋x ＝，所以＝＝，即k2＝，所以k＝±.
1 2
答案：±
7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值
为________．
解析：由消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝－，x x ＝.
1 2 1 2
由题意，得＝，
解得m＝±1.
答案：±1
8．(2020·湖北襄阳四中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆C：
＋＝1(a>b>0)的右顶点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的
中点为点M，直线QM交x轴于N(1，0)，椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方
程为________．
解析：由题意知P，Q两点关于原点对称，则可设Q(m，n)，则P(－m，－n)．因
为点A的坐标为(a，0)，所以点M的坐标为，又因为N(1，0)，Q(m，n)，所以NQ＝(m
－1，n)，NM＝.因为Q，N，M三点共线，所以－(m－1)＝n，整理得＝，所以a＝3.因为椭圆C的离心率e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝9－1＝8.所以椭圆C的标
准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－
1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解：(1)由题意得得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝，所以|MN|＝
1 2 1 2
＝＝.
又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝，
由＝，得k＝±1，满足Δ>0.所以当△AMN的面积为时，k＝±1.
10．(2020·开封市模拟考试)已知椭圆C：＋y2＝1，直线l交椭圆C于A，B两点
若点P(－1，1)满足OA＋OB＋OP＝0(O为坐标原点)，求AB的长．
解：设A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
由OA＋OB＋OP＝0，且点P(－1，1)，得x ＋x ＝1，y ＋y ＝－1.①
1 2 1 2
所以线段AB的中点坐标为，在椭圆内部．
由得＋y－y＝0，
整理得＝－，即＝－.
将①代入，得k ＝＝.
AB
所以直线AB的方程为y－＝，即2x－4y－3＝0.联立得消去x得24y2＋24y＋
1＝0，
由根与系数的关系得y ＋y ＝－1，y y ＝.
1 2 1 2
所以|AB|＝ ＝.
[B级 综合练]
11．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点
坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值为( )
A. B．2 C. D．3
解析：选C.由题意得椭圆的长半轴长a＝5，半焦距c＝
3，所以A点为椭圆的右焦点，因为|AM|＝1，所以点M在以
A(3，0)为圆心，1为半径的圆上．因为PM·AM＝0，所以PM⊥AM，如图，连接PA，则△PMA为直角三角形，所以|PM|＝＝，所以当|PA|取
得最小值时，|PM|取得最小值．由图知|PA| ＝a－c＝5－3＝2，所以|PM| ＝＝，
min min
故选C.
12．(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标
原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k ，k (k k ≠0)，若|k |＋|k |的最小
1 2 1 2 1 2
值为1，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的方程为＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为
C．曲线y＝log x－经过E的一个焦点
3
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
解析：选ACD.设P(x ，y )，M(x ，y )，x ≠±x ，y ≠±y ，则N(－x ，－y )，＋＝1，
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1
＋＝1，所以y＝m－x，y＝m－，k k ＝·＝＝－.于是|k |＋|k |≥2＝2＝2＝，依题意，
1 2 1 2
得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确．离心率为，B错误．焦点为(±，
0)，曲线y＝log x－经过焦点(，0)，C正确．又直线2x－y－2＝0过点(1，0)，且点
3
(1，0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选ACD.
13．(2020·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长
的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0，2)，且|MF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|
AM|＝|BN|，求l的方程．
解：(1)由题意，可得解得a＝2，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，才有|AM|＝|BN|.
当l的斜率不存在时，|AM|＝2－，|BN|＝，|AM|≠|BN|，不合题意，故l的斜率必
定存在．
设l的方程为y＝kx＋2，由
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，即k2>.
设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝－，x x ＝.
1 1 2 2 1 2 1 2
设N(x ，y )，则x ＝＝－.
0 0 0
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，所以|x －x |＝|x －0|，
1 2 0
则＝|x |，即＝，整理得k2＝>，故k＝±，l的方程为y＝±x＋2.
0
14．(2020·福州市适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线l：3x＋4y－5＝0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线y＝x＋m交椭圆C于M(x ，y )，N(x ，y )两点，且x >x ，已知l上存在
1 1 2 2 1 2
点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，若P在直线MN的右下
方，求m的值．
解：(1)依题意，b＝＝1，因为离心率e＝＝＝，所以＝，解得a＝，所以椭圆C
的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为直线 y＝x＋m 的倾斜角为 45°，且△PMN 是以
∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN的右下方，所
以NP∥x轴，如图，过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线
段NP的中点，所以Q(x ，y )，故P(2x －x ，y )，
1 2 1 2 2
所以3(2x －x )＋4y －5＝0，即3(2x －x )＋4(x ＋m)－5＝0，
1 2 2 1 2 2
整理得6x ＋x ＋4m－5＝0. ①
1 2
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
所以Δ＝36m2－48m2＋48>0，解得－2b>0)，则在椭圆上一点
A(x ，y )处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆 C ：＋＝
0 0 1
1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的
1 1
切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(
)
A. B. C. D．2
解析：选B.由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1，设
B(x ，y )，则椭圆C 在点B处的切线方程为x＋y y＝1，
2 2 1 2
令x＝0，得y ＝，令y＝0，可得x ＝，所以S ＝··＝，又点B为椭圆在第
D c △OCD
一象限上的点，所以x >0，y >0，＋y＝1，即有＝＝＋≥2＝，
2 2
即S ≥，当且仅当＝y＝时等号成立，
△OCD即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.
16．如图是数学家Germinal Pierre Dandelin用来证明一个平
面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)：
在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、
截面相切．设图中球 O ，球O 的半径分别为3和1，球心距离
1 2
O O ＝8，截面分别与球O ，球O 切于点E，F(E，F是截口椭圆的
1 2 1 2
焦点)，则此椭圆的离心率为________．
解析：如图，根据球外一点向球作的切线长相等知，PM＝
PF，PE＝PN.根据椭圆的定义知MN＝2a.又O O ＝8，球O 的半
1 2 1
径 R＝3，球 O 的半径 r＝1，所以 MN＝2a＝＝，则 a＝.又
2
∠O PF＋∠O PE＝(邻补角的平分线相互垂直)，tan ∠O PE＝
1 2 2
＝＝，tan ∠O PF＝＝＝，所以×＝1，则c＝2.所以离心率e＝
1
＝＝.
答案：
