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专题14 带电粒子在空间电磁场中的运动
1．（16 分）(2024 安徽”江南十校”3 月联考)如图甲所示，三维直角坐标系Oyz 中，在
的区域中，
存在沿z 轴负方向的匀强磁场；在
的区域中，存在沿y 轴正方向的匀强磁场，两区域的磁感应强度的
大小相同。如图乙所示，原点O 处有一粒子源，可在xOy 平面内向Ⅰ、Ⅱ象限各个方向连续发射大量质量
为m，电荷量为
的粒子，速度大小在
之间。在x 轴上垂直于xOy 平面放置着一块足够长
的薄板，粒子在薄板上轰击的区域的长度为
。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。
（1）匀强磁场磁感应强度B 的大小；
（2）在薄板上
处开一个小孔，粒子源发射的部分粒子会穿过小孔进入
的区域。在
处垂直于y 轴放置一圆形荧光屏，屏幕的圆心在y 轴上。求打在荧光屏上的粒子，在磁场中运
动的最短时间与最长时间的比值
（提示：在磁场中运动最短时间与最长时间的粒子，从小孔穿过时的
速度大小均为
）；
（3）在（2）问中，为了让所有穿过长薄板的粒子均能打到荧光屏上，求荧光屏的最小半径R。
【参考答案】（1）
，（2）
（3）
【名师解析】（1）速度为
的粒子沿y 轴正向发射，打在薄板的最远处，其在磁场中运动的半径为
，
由牛顿第二定律
1
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由几何关系
联立，解得
（2）如图所示
速度为v 的粒子与x 轴成α 角射出，恰好穿过小孔，在磁场中运动时，由牛顿第二定律
由几何关系
粒子沿y 轴方向的分速度
联立，解得
结果表明，能穿过小孔的粒子具有相同的沿y 轴方向的分速度
粒子穿过小孔进入
的区域中做螺旋运动，其圆周运动周期
y 轴方向匀速，到达屏幕时间
i．如图a 所示，当粒子以
速度穿过小孔，
，此时在在
的区域中运动时间最短，即总时间最
短
2
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ⅱ．如图b 所示，当粒子以
速度穿过小孔，
，此时在在
的区域中运动时间最长，即总时间
最长
故
（3）如图所示
粒子旋转一圈半到达屏幕，当粒子以速度为
从O 点射入，可以到达离荧光屏圆心的最远处。粒子进入
的区域时，沿x 轴方向的初速度为
，有
，
对应半径为
联立，解得
荧光屏的最小半径
2. （2024 广东潮州质检）如图1 所示，竖直面内水平放置两块平行的带电异体板
，
，两板在同一竖
直线上开着两个小孔。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
板的小孔无初速飞入，经过
，
板的
电场加速后，经第二个小孔进入
板下方空间的电场，最后落在水平荧光屏
上刻度盘的某个位置，该位
3
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置与导体板
，
两小孔所在竖直线的距离为
（
为未知量）。已知
，
两板之间的电势差大小为
，
板到
板的距离为
，
板下方的电场方向水平向右，场强大小为
不考虑带电粒子所受重力对上述问
题的影响，求：
（1）
的表达式；
（2）若将
、
两板之间的电场替换成一垂直于纸面向里的匀强磁场，如图2 所示，要让上述粒子仍能打
在刻度盘上的同个位置，求替换后的磁场的磁感应强度
的大小。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）粒子在加速电场中，由动能定理有
解得
偏转电场中，粒子做类平抛运动，根据平抛运动的研究方法有
，qE=ma，
解得
4
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（2）电场替换成一垂直于纸面向里的匀强磁场，让上述粒子仍能打在刻度盘上的同个位置，根据几何关
系可知，粒子运动轨迹半径
解得
根据
解得
3.（14 分）（2024 山东聊城一模）为了约束带电粒子在一定区域内运动，某同学设计了如图所示的装置。
边长为L 的正方形横截面abcd 将装置分成左右两部分。左侧是宽度为L 的匀强电场区域，电场方向竖直向
下；右侧是长为x（x 未知）的长方体匀强磁场区域，磁场方向水平向右，长方体右侧面efgh 内有一个光
屏。粒子源射出一电荷量为+q、质量为m 的粒子，以速度
从pq 中点水平射入匀强电场区域，恰好从图
中abcd 面的中心O 点进人长方体区域，粒子在右侧磁场内运动过程中，到达光屏之前恰好未离开长方体区
域，粒子重力不计。
（1）求粒子到达O 点时的速度大小v 和左侧区域中的电场强度大小E；
（2）若粒子打在光屏上Q 点时的速度恰好和经过O 点时的速度相同，求磁感应强度大小B 和OQ 两点间
距离x；
5
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（3）若将光屏平移至和O 点距离
，求粒子打到光屏上的位置到O 点的距离s。
【名师解析】．（14 分）
（1）由题意可知粒子在匀强电场区域做类平抛运动，分解O 点速度如图所示：
根据运动学公式可得：
，
……①
其中，根据牛顿第二定律可得：
……②
联立得
……③
……④
（2）粒子在磁场中做等螺距螺旋线运动，粒子在水平方向以大小为
的速度做匀速运动，在竖直平面内
以
的速率做匀速圆周运动
由：
……⑤
从右往左看，如右图所示，由题意粒子恰好不出立方体得
……⑥
6
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可得：
……⑦
粒子做圆周运动的周期
联立得
……⑧
由题目条件可知，粒子打中Q 点时，与入射点O 速度相同，
则可判定粒子运动的时间
（
、2、3…）……⑨
OQ 两点间的距离：
（
、2、3…）……⑩
代入数据得：
（
、2、3…）……⑪
（3）粒子沿水平方向做匀速直线运动，由
得在右侧区域运动时间
T……⑫
由粒子运动规律可知，粒子打在荧光屏上
点，从右往左看，
如右图所示
……⑬
7
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由几何关系可得原点O 到光屏上落点的距离为
……⑭
评分标准：①～④每式1 分，共14 分。
4. （2024 山东济南期末）如图所示，在空间直角坐标系
内有一边长为L 的正方体区域
，A1B1C1D1面在
平面内，坐标原点O 位于A1B1C1D1面的中心，整个空间存在
沿y 轴正方向的匀强电场，在
的空间区域Ⅰ内和
的空间区域Ⅱ内均存在沿y 轴正方
向的匀强磁场（区域Ⅰ内和区域Ⅱ内磁感应强度大小可独立调节）。一可控制发射粒子数量和方向的粒子
源位于坐标原点，发射粒子的质量均为m，电荷量均为
，初速度大小均为
，不计粒子重力和粒子间
的相互作用。
（1）将整个空间内的磁感应强度的大小均调节为零，控制粒子源沿x 轴正方向发射一个带电粒子，该粒子
恰好经过
面的中心，求所加匀强电场电场强度的大小E；
（2）将区域Ⅰ、Ⅱ内的磁感应强度的大小均调节为
，控制粒子源在
平面内沿各个方向均
匀发射带电粒子，求从
面射出的粒子中，射出位置y 坐标的最小值；
（3）将区域Ⅰ内的磁感应强度的大小调节为
，将区域Ⅱ内的磁感应强度的大小调节为
控制粒子源沿x 轴正方向发射一个带电粒子，粒子第6 次（粒子源发射粒子时为第0 次）穿
过
平面时，恰好从
的中点处离开正方体区域，求磁感应强度
的大小。
8
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【参考答案】（1）
；（2）
；
（3）
，
【名师解析】
（1）离子甲在电场中做类似平抛运动
解得
（2）粒子的运动可分解为
面内的匀速圆周运动和y 轴方向的匀加速直线运动，要使出射时y 坐标最小，
需使运动时间最短，时间最短时在
面内的做匀速圆周运动的圆心角最小，弦长最短，有几何关系知最
短弦长为
。根据洛伦兹力提供向心力
解得
9
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由几何关系得圆心角
解得：
解得：
（3）由几何关系可得
解得：
10
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，
5. （2024 山东济南期末）如图甲所示，一个棱长为
的立方体空间中存在着磁感应强度大小为
，沿
轴负方向的匀强磁场，质量为
、电量为
的带正电的粒子从左侧面的中心
沿
轴正方向射入立方体空
间，粒子重力忽略不计。
（1）若粒子的速度大小任意取值，求粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若粒子从
面射出，求粒子速度大小的取值范围；
（3）如图乙所示，将磁场撤掉，在立方体空间中加上沿
轴正方向的匀强电场，粒子射出时的速度方向偏
转了
。如图丙所示，保持粒子的入射速度不变，再将立体空间分成左右相等的两个区域，左侧区域保
持电场不变，右侧区域加上沿
轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
。粒子先后穿过电场和磁场区
域，垂直
面射出，求电场强度
。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）由分析可知，粒子从左侧面飞出时时间最长。由向心力公式得
运动周期为
11
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粒子在磁场中运动的圆心角为
解得
（2）若从
棱射出时，沿y 轴负方向看去，粒子的运动轨迹如图
由几何知识得：
若从
棱射出时，沿y 轴负方向看去，粒子的运动轨迹如图
由几何知识得
解得
12
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（3）设粒子离开电场时沿
轴的速度为
，粒子射出时的速度偏转了45°，所以
，
，
所以
可知粒子恰好从
棱射出。
，
当右侧区域换成磁场时，由于水平位移变为原来的一半，所以电场中的运动时间也变为原来的一半，偏转
位移
，
，
粒子进入磁场时速度与
轴的夹角为
设粒子在磁场中的运动半径为
，
联立解得
6．（15 分）（2024 长春重点高中质检）如图，由直三棱柱A1B1C1—A2B2C2构成的斜面体固定置于水平面上，
△A1B1C1为直角三角形，其中α=53°，A1C1=A1A2=0.4m，厚度不计的矩形荧光屏B1B2D2D1竖直安置在斜面底端，
B1D1=0.2m。空间中有一竖直向下的匀强电场，场强E=2×105N/C，在A1处可向各个方向水平发射速度大小不
同的带正电粒子，粒子的电量q=2×10 -10C，质量m=5×10 -17kg，当粒子击中荧光屏时能使其发光，不考虑
重力、空气阻力、粒子间相互作用力及粒子反弹后的运动。求：（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6）
D2
D1C2
B2
A2
C1
B1
A1
v0
α
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（1）带电粒子打到B1点对应的初速度v1的大小；
（2）能使荧光屏发光的粒子的初速度v0的大小范围；
（3）取（1）问中打到B1点的粒子，当其运动到离斜面的距离最远时，突然撤去电场，再加一个垂直于斜
面的匀强磁场，要使粒子能击中荧光屏，求所加磁场的方向及磁感应强度B 的大小应满足什么条件。
【名师解析】．（1）从A1运动到B1的粒子
a=8×1011m/s2 （1 分）
竖直位移
（1 分）
水平位移sC 1B1=v1tAB （1 分）
位移关系
（1 分）
解得：v1=3×105m/s （1 分）
（2）由题可知（1）中运动到B1的粒子速率最小；从A1运动到D2的粒子速率最大
竖直位移
（1 分）
水平位移sC1B2=v2tAD=√sC1B1
2
+sB1B2
2
（1 分）
解得：v2=5√2×105m/s （1 分）
14
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初速度的范围为：
（1 分）
（3）设粒子到达P 点时离斜面距离最远，此时速度vp恰好平行于斜面方向向下
由速度关系：vPy=v1tanα
竖直方向速度：
t1=5×10-7s （1 分）
此时磁场为零，电场也已撤去，粒子将做匀速直线运动至荧光屏的Q1点，增大磁场，粒子将做匀速圆周运
动，半径随磁场的增大而减小，当磁场最大时，设轨迹恰好相切与Q2点。
P 点水平位移xP=v1t1=0.15m （1 分）
sA 1 N=
xP
cosα =0.25m
半径
粒子在P 点时速度
vP=
v1
cosα =5×105m/s
对粒子在磁场中做匀速圆周运动
（2 分）
解得磁感应强度的最大值B=0.5T （1 分）
7. （2024 山东德州期末）物理学家在科研时经常利用电磁场加速和约束高能粒子。在如图所示的空间直
15
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角坐标系
中，
的空间内充满匀强磁场，大小为B，方向可调，初始时沿x 轴负方向。坐标为
的M 点有一粒子源，可沿不同方向发射速率相等的同种粒子。初始时粒子从
平面的第一象限
射入﹐速度方向与z 轴负方向成
角，第一次运动到
平面时轨迹恰好与之相切。已知粒子源发射的
粒子质量为m，电荷量为
，初速度大小为
（
未知）。不计粒子重力和粒子间的相互作用，B、L、
m、q 为已知条件。
（1）求初速度
的大小。
（2）保持粒子入射速度不变，仅将磁场方向调整为z 轴正方向，求此粒子经过
平面的x 坐标与y 坐标。
（可用三角函数表示）
（3）保持粒子入射速度不变，
空间的磁场也不变，在此空间再充满沿z 轴负方向的匀强电场，大小
满足
，求此粒子运动过程中距
平面的最大距离d。
（4）调整
空间的磁场B 沿z 轴负方向，此空间再充满沿z 轴正方向的匀强电场
，并在
的空间内充满沿x 轴正方向的匀强电场
。调整粒子入射方向使其沿x 轴正方向，求此粒
子第n 次到达
平面时的坐标
和
。
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【参考答案】（1）
；（2）
，
；
（3）
；（4）详见解析
【名师解析】
（1）由洛伦兹力提供向心力
由几何关系得
解得
（2）粒子做螺旋运动，可分解为沿z 轴负方向的匀速直线运动和沿
平面的匀速圆周运动，设到
平面的时间为t，做匀速圆周运动的半径为
，周期为T，则
（3）由已知条件
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得
将初速度
分解为如图所示的
和
，令
由平行四边形定则得
粒子的运动可以看成是
的匀速直线运动和
的匀速圆周运动两种运动的合成，设匀速圆周运动半径为
，
则
由几何关系得
（4）粒子每次在
空间的时间
每次在
空间的时间
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……
当n 为奇数时
当n 为偶数时
，
第一次在
空间z 轴方向的位移为
第一次在
空间z 轴方向的位移为
第二次在
空间z 轴方向的位移为
第二次在
空间z 轴方向的位移为
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