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考前30 天最新模拟题计算题满分精练
专题12. 带电粒子在电场和磁场中的运动
1. （2024 年2 月吉林质检）如图所示，水平虚线MN 的下方存在竖直向上的匀强电场
（
大小未知），
虚线上方有一以MN 上一点O 为圆心、R 为半径的半圆形区域，该区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场和
水平方向的匀强电场E（E 大小未知，图中均未画出），磁场的磁感应强度大小为B，O 点正下方固定一粒
子源S，能源源不断地产生初速度为零的同种正粒子，经过一段时间粒子由O 点进入半圆区域，粒子在半
圆区域的轨迹为直线，在半圆区域内运动的时间为
，粒子的重力以及粒子间相互作用均忽略不计。
（1）求半圆区域内匀强电场的电场强度E 的大小和方向；
（2）若仅将半圆区域内的磁场撤去，结果粒子在半圆区域中运动的时间变为
，求粒子的比荷以及S、O
两点的电势差；
（3）若将半圆区域内的电场撤去，且将虚线MN 下方的电场强度
增大到原来的16 倍，求粒子在半圆形
区域运动的时间。
【参考答案】（1）
，水平向右；（2）
，
；（3）
【名师解析】
（1）带正电粒子经过
点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动，所以粒子所受洛伦兹力与电
场力二力平衡，由左手定则可知粒子所受洛伦兹力方向水平向左，所以粒子所受电场力方向水平向右，电
场强度
的方向水平向右，粒子在半圆形区域内匀速运动的时间为
，则速度为
1
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根据平衡条件有
解得
（2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S 处静止释放，粒子在半圆形区域内做类平抛运动，粒子
在垂直于MN 方向上做匀速直线运动，在平行于MN 方向上做初速度为零的匀加速直线运动，如图所示
粒子运动到半圆形区域的a 点，垂直于MN 方向的位移大小为
由数学知识可得粒子在平行于MN 方向上的位移大小为
粒子在平行于MN 方向上做匀加速直线运，则有
，
结合上述解得粒子的比荷
粒子从S 到O 过程，根据动能定理有
2
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结合上述解得S、
之间的电势差
（3）将虚线下方的电场强度
增大到原来的16 倍，粒子仍从S 处静止释放，由
可知粒子进入半圆形区域的速度为
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
令粒子从b 点射出半圆形区域，如图所示
设粒子在半圆形区域内运动的圆心角为
，由余弦定理有
解得
粒子在磁场中圆周运动的周期
3
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结合上述解得
粒子在半圆形区域内运动的时间
结合上述解得
2. （2024 江西吉安一中期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限存在垂直纸面向里的匀强
磁场，第三象限存在沿x 轴正方向电场强度大小为E0的匀强电场，x 轴与半圆弧内无电场，半圆弧的半径
为R，直径Oa 在y 轴上，O1是圆心，b 是半圆弧的中点。一质量为m、电量为q 的带正电粒子（不计重
力）在电场中的c 点获得沿x 轴正方向的初速度沿直线运动到b 点，所用的时间为
，已知c、b
两点间的距离为1.5R。
（1）求粒子从c 到b 电场力做功的平均功率；
（2）求粒子在c 点的速度大小；
（3）若让该粒子从x 轴负半轴上的d 点以垂直电场方向的速度进入电场（粒子在c、d 两点的速度等大），
且粒子刚好能经过b 点到达y 轴，粒子从y 轴进入磁场后又正好运动到O 点，则该匀强磁场的磁感应强度B
为多少。
4
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【参考答案】（1）
； （2）
； （3）
【名师解析】
（1）粒子从c 到b 电场力做的功为
电场力做功的平均功率为
综合计算可得
（2）设粒子在c 点的速度大小为v0，粒子从c 到b 做匀加速直线运动，加速度大小为
由匀加速直线运动的规律可得
联立解得
（3）粒子从d 到b，由类平抛运动的规律可得
5
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粒子到达b 点时沿x 轴正方向的分速度为
合速度为
综合解得
分析可得粒子在b 点的速度与y 轴的负方向成45°角，粒子在b 点的速度v 方向由b 指向a，则粒子从b 到a
做匀速直线运动，粒子从a 点进入磁场，由匀速圆周运动的对称性，粒子在O 点的速度与y 轴的负方向也
成45°角，设圆周运动的半径为r，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
3 (2024 河北重点高中3 月质检).如图所示，在xOy 坐标系中，在y<d 的区域内分布有指向y 轴正方向的
匀强电场，在
的区域内分布有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，MN 为电场和磁场的边界，在
y=3d 处放置一垂直于y 轴的足够大金属挡板ab，带电粒子打到板上即被吸收（轨迹圆与挡板b 相切的粒子
刚好不会被吸收），一质量为m、电荷量为+q 的粒子以初速度v0由坐标原点O 处沿x 轴正方向射入电场，
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已知电场强度大小为
，粒子的重力不计.
（1）要使粒子不打到挡板上，磁感应强度大小B 应满足什么条件？
（2）通过调节磁感应强度的大小，可让粒子刚好通过点P（4d，0）（图中未画出），求此时磁感应强度
的大小。
【名师解析】：（1）粒子先在电场中做类平抛运动，有
，
，
其中
，得到
，
粒子进入磁场时速度方向与x 轴夹角设为
，则
，
，
进入磁场时粒子速度
，
粒子刚好不打到挡板上时轨迹与板相切，设此时粒子在磁场中运动半径为
，由洛伦兹力提供向心力有
，
由几何关系得
，
得到
，
则
，故要使粒子不打到挡板上需要满足
．
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（2）设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子再次回到x 轴上，沿x 轴前进的距离
，且有
，
所以
．
设粒子通过P 点时，回旋次数为n，满足
，
所以
（n 为正整数），只能取
、
、
．
时，
，此时
；
时，
，此时
；
时，
，此时
．
4．（2024 年辽宁顶级名校质检）（18 分）《三体》动画的一开头就有这样的台词：“科学发展，突破口
在哪儿？”、“粒子对撞实验”。如图所示，在
的区域内存在一定高度范围的、沿
轴正方向的匀
强电场，在
的区域内存在垂直于
平面向里的匀强磁场．在电场下边缘有一粒子源
，某时刻，
粒子源沿
轴正方向发射出一质量为
、带正电的粒子
，已知粒子
进入电场时的速度为
，进入磁场
时的速度方向与
轴正方向的夹角为
，在粒子
进入磁场的同时，另一不带电粒子
也经
轴进
入磁场，运动方向与粒子
进入磁场的方向相同，在粒子
没有离开磁场时，两粒子恰好发生正碰（碰撞
前的瞬间，粒子
、粒子
的速度方向相反），不计两粒子的重力。求：
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（1）电场力对粒子
所做的功；
（2）碰撞前粒子
的速度大小；
（3）若两粒子碰后结合成粒子
，结合过程不损失质量和电荷量，且从
粒子进入磁场的位置向左沿
轴负方向放置有无限长的吸收板（粒子
碰上吸收板后立即被吸收而不再运动），经过分析可知无论
粒
子的质量怎么取值，吸收板上都有两段区域总是粒子
不能到达的，请你计算出这两段区域长度的比值大
小，并分析出要能够使粒子
到达吸收板，粒子
的质量所要满足的条件。
【参考答案】（1）
；（2）
；
（3）
或
【名师解析】（1）设粒子
进入磁场时的速度为
，则
解得
由动能定理得，电场力做的功
解得
（2）两粒子的运动轨迹大致如图所示（
粒子的出发点不一定在坐标原点且对答案无影响），设
粒子的
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圆周半径为
，由等时性
解得
（3）设碰后
粒子的速度
，半径为
，那么对粒子
在磁场中匀速圆周运动
对粒子
在磁场中匀速圆周运动
讨论：
①若
沿粒子
的方向，则
欲使粒子能到达吸收板，则必须
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解得
粒子
不可能到达的区域长度
②若
沿粒子
的方向，则
欲使粒子
能到达吸收板，则必须
解得
粒子
不可能到达的区域长度
综上所述：粒子
所不能到达的两端区域长度之比
粒子
能到达吸收板，粒子
的质量须满足
或
5. （2024 湖南永州重点高中质检）如图，在xOy 平面第一象限有一匀强电场，电场方向平行y 轴向下。在
第四象限内存在一有界匀强磁场，左边界为y 轴，右边界为
直线．磁场方向垂直纸面向外。一质
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量为m、带电量为q 的正粒子从y 轴上P 点以初速度v0垂直y 轴射入匀强电场，在电场力作用下从x 轴上Q
点以与x 轴正方向成45°角进入匀强磁场。已知OQ＝l，不计粒子重力．求：
（1）电场强度的大小；
（2）要使粒子能再进入电场，磁感应强度B 的范围；
（3）要使粒子能第二次进入磁场，磁感应强度B 的范围．
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设粒子进入电场时y 方向的速度为vy，则有
设粒子在电场中运动时间为t，则有
联立各式解得
（2）粒子刚好能再进入电场的轨迹如图所示，设此时的轨迹半径为r1
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由几何关系为
解得
粒子在磁场中的速度为
根据牛顿第二定律有
解得
则要使粒子能再进入电场，磁感应强度B 的范围为
（3）要使粒子刚好能第二次进入磁场的轨迹如图
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粒子从P 到Q 的时间为t，则粒子从C 到D 的时间为2t，所以
设此时粒子在磁场中的轨道半径为r2，由几何关系有
则
根据牛顿第二定律有
则
要使粒子能第二次进磁场，磁感应强度B 的范围
，即
6. .（2024 江苏南京期末）如图所示，竖直平面内有四个相同的足够长的矩形区域、高度均为
，区域Ⅰ
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中存在竖直向下的匀强电场，区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中存在垂直于纸面向里的匀强磁场、其磁感应强度大小之比
为
，区域Ⅳ下边界放置一块水平挡板，可吸收打到板上的粒子。零时刻，在纸面内从
点向各个方
向（
范围）均匀发射带电量为
、质量为
、初速度为
的带正电粒子，其中水平向右射出的粒子第
一次进入区域Ⅱ时速度方向与水平方向成
，且刚好经过区域Ⅱ的下边界。粒子重力以及粒子间的相互
作用不计。求：
（1）电场强度大小
；
（2）水平向右射出的粒子经过区域I 下边界的时刻；
（3）打在挡板上的粒子数占射出总粒子数的比例
。
【参考答案】（1）
；
（2）
，其中
；（3）
【名师解析】
（1）设水平向右射出的粒子第一次进入区域II 时的速度大小为
，有
根据动能定理有
解得
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（2）设水平向右射出的粒子第一次进入区域II 时速度竖直方向分量为
，则
粒子从水平射出到第一次射出电场
时间
粒子在区域Ⅱ运动
半径满足
得
粒子从第一次到区域Ⅰ下边界到第二次经过区域Ⅰ下边界的时间
粒子第n 次通过区域Ⅰ下边界的时刻为
，其中
即
，其中
（3）设粒子从
点射出时与水平方向成
角，运动到区域Ⅳ，轨迹刚好与挡板相切，经过区域Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ、Ⅳ的下边界时水平分速度的大小分别为
；粒子在区域Ⅱ中运动时，取极短时间
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，由水平方向的动量定理
两边求和有
代入得
同理在区域Ⅲ、Ⅳ中运动时，分别有
累加可得
根据洛伦兹提供向心力
求得
则
7．（11 分）(2024 年浙江省新阵地教育联盟质检)如图所示，为研究带电粒子在电磁场中的运动情况，在
纸面内建立xOy 坐标系。在第二象限存在沿y 轴负方向、场强大小为E 的匀强电场。在该电场区域内存在
一连续分布的曲线状离子源，它们可沿x 轴正方向持续发射质量均为m、电荷量均为
、速度大小均为v
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的离子，且离子源纵坐标的区间为
。在x 轴的下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，在该磁
场区域内有一足够长的探测板平行x 轴放置，它与x 轴的距离b 可调。已知所有离子均能经过坐标原点O
并射入磁场区域，速度大小为v 的离子在磁场中做圆周运动的半径为R，不计离子重力及离子间相互作用
力。
（1）求纵坐标为
处的离子源发射的离子进入O 点时的速度大小
；
（2）求离子源所在曲线的轨迹方程；
（3）若
，求离子打在探测板上的区域长度s；
（4）若离子源发射的离子按y 坐标均匀分布，求探测板的收集率
与b 的函数关系（关系式中字母仅含
R、b）。
【名师解析】．（11 分）：
（1）从
发射的离子进入磁场时，
，得
（1 分）
经过O 点时的速度
（1 分）
（2）设某一离子源的坐标为
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根据类平抛运动的规律
，
（1 分）
得
（1 分）
（3）由
得
，由（1）可知从
发射的离子在磁场中运动的半径为2R，设从
纵坐标为y 的离子源发射的离子进入磁场时的速度
与x 轴正方向夹角为
，
因为
，
所以该离子在磁场中运动半径
（2 分定弦长问题，各种合适的写法均可，分摊两分）可见，所
有离子在磁场中做圆周运动的轨迹圆心均在探测板上
由几何关系易知，
（1 分）
（4）①当
时，
（1 分）
②当
时，
（1 分）
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③当
时，从纵坐标为y 的离子源发射的离子在磁场中的运动轨迹恰好与探测板相切，则
，
离子轨迹与探测板相切时，
由运动学得
，即
联立上述两式得
（2 分3 个表达式均可）
8. （2024 江苏无锡期末） 如图，两个半圆状同心圆弧，分别交于坐标轴上的a、b、c 点和d、e、f 点．
大圆半径为
，辐向电场（电场方向由原点O 向外）分布于两圆弧之间，其间的电势差为U0；圆弧abc
内为无场区．半圆弧def 外侧区域有垂直纸面向里的足够大匀强磁场，其上边界在
处，O 点处有一
粒子源，可以在xOy 平面内向x 轴上方各个方向均匀射出带正电的粒子（粒子的质量为m、电荷量为
q），初速度均为
，先后经过电场和磁场区域。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑
粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动。求：
（1）粒子刚进入磁场区域的速度；
（2）某粒子初速度方向与x 轴正方向夹角为45°，恰能从磁场上边界垂直射出，则磁感应强度B1为多少；
（3）调节不同的磁感应强度，则能从磁场上边界垂直射出的粒子的运动半径不同。其中半径最小时对应
的磁感应强度B2为多少。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）令粒子刚离开电场的速度为
，粒子在电场中有
解得
（2）如图所示
由图可知粒子做圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力得
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解得
（3） 粒子运动过程如下图所示
令粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
，
是粒子做圆周运动的圆心，令
间的距离为
，由几
何关系可知，
的大小总满足
当
最小时，
也最小，由图可知
代入可求
由洛伦兹力提供向心力得
解得
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9．（16 分）（2024 山东淄博期末）如图所示，在
平面内
的
区域中，
存在沿
轴正方向的匀强电场，电场上边界
正上方和下边界
正下方填充某特殊物质，粒子进入即
被吸收，
的整个区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场．某时刻，均匀分布在
边的大量带电粒
子沿
轴正方向以速度
同时进入电场，所有粒子均带正电，质量为
、电荷量为
．不计粒子的重力
和粒子间的相互作用力．若有
的粒子恰好能从
边界射出．
（1）求匀强电场场强
的大小；
（2）若从电场射出的粒子经磁场I 偏转后能全部回到电场，求磁场I 的磁感应强度
的取值范围；
（3）若磁感应强度
的大小取（2）中的最小值，求在磁场I 中有粒子经过的区域面积
；
（4）保持电场和磁场Ⅰ方向不变，将匀强电场场强的大小调为原电场场强的
，调节磁场Ⅰ磁感应强度
大小为
（大小未知），在
的整个区域再填充一个垂直纸面向里，磁感应强度大小也为
的磁场Ⅱ．
一质量为
、电量为
的正粒子从
中点
以沿
轴正方向的速度
进入电场，该粒子第一次从
返回电场后再次穿过
时恰好第二次经过
点．求
大小和该粒子第三次经过
点的速度大小
．
【名师解析】：
（1）有
的粒子能够射出电场，则粒子在电场中竖直偏转距离为
．
竖直方向：
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水平方向：
解得：
（2）粒子射出电场时竖直方向速度：
（3）有粒子经过的区域如图所示：
扇形面积：
三角形面积：
弓形面积为：
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（4）由
，小球第一次在电场中的偏移量为：
小球从
返回电场后，在电场中竖直方向的运动也为匀加速直线运动．与第一次在电场中相比，时间相
等，竖直方向偏转距离为：
粒子第一次在磁场中偏转的距离：
粒子由电场进入磁场中时，速度方向与水平方向所成夹角为
，粒子在磁场中的半径：
由上式可以得出粒子在磁场中运动后竖直方向偏移的距离与粒子竖直方向的速度无关．
粒子在电场、磁场中的运动轨迹如上图所示．
各次运动在电场中竖直方向向上偏移距离为：
，
粒子在磁场中每次向下偏移的距离均为：
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第二次过
点竖直偏移距离：
第三次过
点竖直偏移距离：
粒子四次经过电场加速，每次竖直方向速度增加：
加速四次后：
26
