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考前30 天最新模拟题计算题满分精练
专题10 带电小球在电场的运动
1．（9 分）（2024 年4 月北京东城区模拟）如图所示，BC 是光滑绝缘的
圆弧轨道，位于竖直平面内，
轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B 点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量
为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，已知滑块受到的静电力大小为
，滑块与水
平轨道间的动摩擦因数为0.5，将滑块从水平轨道上与B 点距离为
的A 点由静止释放，滑动过程中
滑块电荷量不变，重力加速度用g 表示，求：
（1）滑块到达B 点时的速度
；
（2）滑块在圆弧轨道上运动时，重力和电场力合力的大小和方向；
（3）滑块到达与圆心O 等高的C 点时，轨道对滑块的作用力大小
。
【名师解析】．（9 分）
（1）由
，
将
，
，
，
代入得
（2）设重力和电场力的合力大小为
，与竖直方向的夹角为
，则有
，
即合力大小为
，方向与竖直方向的夹角
斜向左下。
1
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（3）对滑块从A 点到达C 点的过程应用动能定理
，
将
，
，
代入，得
设滑块到达C 点时受到轨道的作用力大小为
，
则有
，解得
轨道对滑块的作用力大小为
2. （2024 黑龙江重点高中3 月质检）如右图所示，固定于同一条竖直线上的A、B 是两个带等量异种电荷
的点电荷，电荷量分别为
和
，A、B 相距为2d，MN 是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细
杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，不影响电场的分布），现将小球p 从与点电荷A
等高的C 处由静止开始释放，小球p 向下运动到距C 点距离为d 的O 点时，速度为v0；已知MN 与AB 之间
的距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g，求：
（1）C、O 间的电势差
；
（2）在O 点处的电场强度E 的大小；
（3）小球p 经过与点电荷B 等高的D 点时的速度vD大小。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
2
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【名师解析】
（1）小球p 从C 到O 根据动能定理有
解得
（2）A 点电荷和B 点电荷在O 点的电场强度均为
E＝
其中
r＝AO＝BO＝
所以
根据对称性可知，两点电荷场强在水平方向的分场强抵消，合场强为
（3）从C 到D 点，由于电场线的对称性
UCD＝2UCO
则根据动能定理有
解得
3. （2024 陕西渭南一模） 如图，平面直角坐标系xOy 的y 轴沿竖直方向，x 轴沿水平方向，在y≥h 的区域
存在平行于纸面的匀强电场，其它区域无电场。现将一质量为m、电荷量为q（q>0）的可视为质点的带电
小球从y 轴上y=2h 无初速释放，不计阻力，重力加速度大小为g，带电小球做加速度大小为g 的匀加速直
3
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线运动，运动方向与y 轴负方向成60°。求：
（1）电场强度大小和方向；
（2）小球从释放到经过x 轴的运动时间及小球经过x 轴的位置坐标。
【参考答案】（1）
，方向与x 轴正方向成30°斜向上；（2）
，3h
【名师解析】
（1）带电小球在y≥h 区间做匀加速运动，受力如图所示由
牛顿第二定律得
F 合=ma
由题知
a=g
则由图可见
F 电=mg
又
F 电=qE
解得
电场方向与x 轴正方向成30°斜向上。
4
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（2）由题图可知，小球经过y=h 水平线时x 坐标
①小球在2h≥y≥h 区间运动有
解得
又
解得
②小球在0≤y<h 区间运动：
，
水平方向做速度为v1x匀速直线运动，有
x2=v1xt2
竖直方向做初速为v1y，加速度为g 的匀加速直线运动，有
联立解得
，
小球从释放到x 轴的运动时间
小球经过x 轴的位置坐标
5
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4. （2024 北京东城期末）如图所示，在竖直向上，场强大小为E 的匀强电场中，一个质量为m、带电荷量
为＋q 的绝缘物块B 静止于竖直方向的轻弹簧上端，另一个质量也为m、不带电的绝缘物块A 由静止释放，
下落高度H 后与物块B 相碰，碰后二者粘在一起又下落h 后到达最低点。整个过程中不计空气阻力，不计
电荷量的损失，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，两物块均可视为质点，针对上述过程，求：
（1）A 与B 碰后的速度大小v；
（2）电势能的增加量
；
（3）弹簧弹性势能的增加量
。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设物块A 下落高度H 时的速度为
，根据机械能守恒
可得
物体A 与B 碰撞过程，动量守恒
A 与B 碰后的速度大小为
（2）A、B 碰后到最低点的过程中，静电力做功
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电势能的增加量
（3）A、B 碰后至最低点的过程中，由动能定理
解得
弹性势能的增加量为
5． （2024 河南高考适应性考试）如图所示，一个带正电的小球，质量为m，电荷量为q，固定于绝缘轻
杆一端，轻杆的另一端光滑铰接于O 点，重力加速度为g。
（1）未加电场时，将轻杆向左拉至水平位置，无初速度释放，小球到达最低点时，求轻杆对它的拉力大
小。
（2）若在空间中施加一个平行于纸面的匀强电场，大小方向未知。将轻杆从左边水平位置无初速度释放，
小球到达最低点时，受到轻杆的拉力为4mg；将轻杆从右边水平位置无初速度释放，小球到达最低点时，
受到轻杆的拉力为8mg。求电场强度的水平分量Ex和竖直分量Ey。
【参考答案】（1）3mg；（2）
，
【名师解析】（1）未加电场，则从水平位置无初速度释放到最低点时，有
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则小球在最低点有
解得FT = 3mg
（2）加电场后，无论轻杆从哪边释放小球到达最低点时受到的拉力均比无电场时大，则说明电场在竖直
方向的分量向下；而轻杆从左边释放小球到最低点受到的拉力小于轻杆从右边释放小球到最低点受到的拉
力，则说明电场在水平方向的分量向左，则杆从左边水平位置无初速度释放，到小球到达最低点的过程中
有
则小球在最低点有
其中
FT1 = 4mg
杆从右边水平位置无初速度释放，到小球到达最低点的过程中有
则小球在最低点有
其中
FT2 = 8mg
联立解得
，
6. （2024 四川南充一诊）如图，足够长的光滑绝缘水平台面左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，一个质
量
的可视为质点的带电小球与弹簧接触但不栓接，小球带电荷量
。某一瞬间释
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放弹簧弹出小球，小球从水平台面右端
点飞出，恰好能以
的速率没有碰撞地落到粗糙倾斜轨
道的最高点
，并沿轨道滑下。已知倾斜轨道与水平方向夹角为
、倾斜轨道长为
，带
电小球与倾斜轨道间的动摩擦因数
。倾斜轨道通过光滑水平轨道CD 与半径
的光滑过山
车模型的竖直圆轨道相连，小球在
点没有机械能损失，运动过程小球的电荷量保持不变。竖直圆轨道处
在范围足够大的竖直向下的匀强电场中，圆轨道上的一点
位于圆轨道最低点
的右侧，距水平轨道高为
（
，
，取
）。求：
（1）AB 间的竖直距离
及被释放前弹簧的弹性势能
；
（2）要使小球不脱离轨道（水平轨道足够长），电场强度
所满足的条件；
（3）如果
，小球进入轨道后，能够通过
点的次数。
【参考答案】（1）0.45m，0.4J；（2）
或
；（3）4 次
【名师解析】
（1）小球从
到
做平抛运动，
点处竖直分速度
点处速度
由自由落体运动公式可得
弹簧的弹性势能
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（2）若小球恰能到达圆轨道最高点时速度
满足
小球从
恰好运动到圆轨道最高点时，由动能定理得
解得
若小球从
恰好运动到圆轨道圆心等高处时，由动能定理得
解得
可知电场强度
所满足的条件
或
（3）小球从
点到达圆轨道上最大高度
处的过程中，由动能定理可得
解得
小球从第一次所能到达的圆轨道上最大高度
处滑下后，冲上斜面到达斜面最大高度处的过程中
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小球从斜面最大高度处滑下，第二次到达圆轨道上最大高度
处的过程中
可得
则有
当
时，可知
故小球能够通过
点4 次。
7. （2024 安徽六安质检） 如图a 所示的水平面OMN，O、M 之间水平面是粗糙的， 其余部分均光滑，
点左侧有光滑半圆轨道，OP 的左侧和 MQ 的右侧有水平向右的匀强电场
。轻弹簧一端连
接N 处的固定挡板，另一端与质量为
的绝缘物块A 接触于 M 点（不拴接）。带电量为
的绝缘物块
B 以初动能
自
点向右运动，与A 碰撞后粘在一起，B 向右运动过程中 A、B 两物块总动能随物块
B 的位移
变化情况如图b 所示（
为原点，图中数据均为已知），且碰后
处物块动能最大，
处物块
动能为零。两物块均可视为质点，它们与水平面间的动摩擦因数相同，两物块运动过程中电荷量不变，重
力加速度为g，求：
（1） 弹簧的劲度系数
及弹簧弹性势能的最大值；
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（2） 物块B 的质量
；
（3） 要想两物块冲上半圆轨道 OP 后，恰好能沿半圆轨道上升到某一高度又返回到水平面 OM 上，求该
轨道半径R。
【参考答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【名师解析】
【详解】（1）物块在
处弹簧处于原长状态，
处动能最大，则有
可得
物块由
运动
过程中，由能量守恒可得
解得弹簧弹性势能的最大值为
（2）B 与A 碰撞过程中动量守恒，有
又
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，
解得
（3）根据能量守恒定律，回到
点时，动能为
，并通过
点到达
点，克服摩擦力做功为
则
点处动能为
在半圆轨道运动过程中，重力和电场力合成后等效重力为
，且与竖直方向夹角为
，要想不脱离轨
道，则到达等效圆心等高点
处，速度恰好为0；由动能定理有
解得
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8. （2024 河北安平中学自我提升） 如图，圆弧轨道AB 的圆心为O，半径为
，圆弧轨道AB 的B
点与水平地面BE 相切，B 点在O 点的正下方，在B 点的右侧有一竖直虚线CD，B 点到竖直虚线CD 的距
离为
，竖直虚线CD 的左侧有一水平向左的匀强电场，场强大小为
（大小未知），竖直虚线
CD 的右侧有场强大小为
（大小未知）、竖直向上的匀强电场。竖直虚线CD 的右侧有一竖直墙壁EF，
墙壁EF 到竖直虚线CD 的距离为
，墙壁EF 底端E 点与水平地面BE 相连接，墙壁EF 的高度也为
。现将一电荷量为
、质量为
的完全绝缘的滑块从A 点由静止释放沿圆弧
轨道AB 下滑，过B 点时的速度大小为4m/s，最后进入竖直虚线CD 右侧。已知滑块可视为质点，圆弧轨
道AB 光滑，水平地面BE 与滑块间的动摩擦因数为
，
，
，
，
。求：
（1）场强
的大小；
（2）滑块到达竖直虚线CD 时速度的大小和滑块从B 点到达竖直虚线CD 所用时间；
（3）要使滑块与竖直墙壁EF 碰撞，求
的取值范围。
【参考答案】（1 ）
；（2 ）
，
；（3 ）
的取值范围为
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【名师解析】
（1）滑块从A 点运动到B 点的过程中，由动能定理有
滑块从A 点运动到B 点的过程中
解得
（2）滑块从B 点运动到竖直虚线CD 的过程中，由牛顿第二定律有
得
根据运动学公式有
解得
（3）当
较小时，滑块刚好与竖直墙壁底端E 点碰撞，有
解得
当
较大时，滑块刚好与竖直墙壁顶端F 点碰撞，从C 点到F 点做类平抛运动，在水平方向有
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竖直方向有
解得
综上，
的取值范围为
9. （2024 河北五市联考）如图所示，固定竖直面内半径为
的光滑半圆轨道与动摩擦因数为
的粗糙水平面平滑相连，整个区域有水平向右、大小为
的匀强电场，一质量为
，电量为
的可视为质点带正电的小物块从A 点静止开始运动，已知AB 的长度为
，重力加速度
。求：
（1）小物块运动到B 点的速度为多大；
（2）小物块运动轨道最右边C 点时，轨道对小物块的支持力；
（3）小物块从D 点离开到落地过程中克服电场力做功的平均功率。
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【参考答案】（1）
；（2）
，方向水平向左；（3）
【名师解析】
（1）根据题意，在小物块从A 运动到B 的过程中，由动能定理
解得
（2）从B 到C 的过程，对小物块由动能定理
解得
物块在C 点，设轨道对其支持力为
，由牛顿第二定律有
解得
方向水平向左。
（3）小物块从B 点到D 点，由动能定理有
解得
小物块从D 点飞离轨道后在竖直方向只受重力，可知在竖直方向做自由落体运动，在水平方向受到与速度
方向相反的电场力，因此可知，在水平方向做匀变速直线运动，根据运动的独立性与等时性，设物块落地
时所用的时间为t，则在竖直方向有
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解得
在水平方向有
其中
联立解得
电场力做功
平均功率
10．（15 分）（2024 年3 月广州质检）如图甲，当t=0 时，带电量q=+1.0×10−2C 、质量m1=0.1kg 的滑
块以速度v0=6m/s 的速度滑上质量m2=0.05kg 的绝缘木板，在0~1s 内滑块和木板的v-t 图像如图乙，当
t=1s 时，滑块刚好进入宽度为d=0.6m 的匀强电场区域，电场强度大小为E (0<E<40N/C)，方向水平向左．
滑块可视为质点，且电量保持不变，始终未脱离木板；最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
g=10m/s2．
（1）求滑块与木板间的动摩擦因数μ1、木板与地面间木板的动摩擦因数μ2；
（2）试讨论滑块停止运动时距电场左边界的距离s 与场强E 的关系．
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【名师解析】．（15 分）
（1）由图乙，在0~1s 内滑块的加速度 a1=4 m/s2
，木板的加速度 a2=2m/s2
对滑块有μ1m1g=m1a1 ， 得μ1=0.4
对木板有μ1m1g−μ2(m1+m2)g=m2a2， 得μ2=0.2
（2）由题意知
，滑块进入电场后，与木板不发生相对滑动。
若滑块和木板在电场中一起减速到0，
则有
−Eqs−μ2(m1+m2)gs=0−1
2 (m1+m2)v2
若满足
，即当0<E<30N/C，
此后滑块在电场中保持静止，则
（m）
另外由于电场宽度为0.6m，上面成立的条件是
即E>20N/C，
综合，分类讨论如下：
（i）当20N/C<E<30N/C，则
（m） ；
（ii）当0<E<20N/C，则
，滑块会向右运动离开电场，
−Eqd −μ2(m1+m2)gs=0−1
2 (m1+m2)v2
解得
s=50−E
50
（m）
（iii）当30N/C<E<40N/C，滑块先在电场中减速到0，位移
（m），
而后由于
，滑块和木板会一起向左运动离开电场，
Eqs 右−μ2(m1+m2)g(s+s右)=0，即s= E−30
E+30 （m）
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