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专题10 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
1. （2024 广东佛山一模）很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒
子进行约束。假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为
，圆的半径为
。正方形的
中心与圆的圆心同在
点，圆心与圆周边沿的电势差为
。圆心处有一粒子源，向外释放出质量为
，
带电量为
的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计。求：
（1）粒子离开电场时的速度大小
；
（2）若沿垂直于正方形边界的
方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度
多大？该粒子在磁场中运动时离
点的最大距离
多大？
【参考答案】（1）
；（2）
，
【名师解析】
（1）对粒子从O 点到离开电场列动能定理
解得
（2）在磁场中做匀速圆周运动，有
当粒子恰好飞不出磁场，如图
1
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由几何关系可知
解得
由几何关系
2. (2024 山西吕梁和孝义期末). 2023 年是芯片行业重要的里程碑，中国成为了全球生产芯片的重要国家。
离子注人是芯片制造过程中一道重要的工序。图甲所示，是离子注入工作原理的示意图，A 处的离子无初
速的“飘入”加速电场；经电场加速后从P 点沿半径方向进入半径为r 的圆形匀强磁场区域，经磁场偏转，
最后打在竖直放置的硅片上。离子的质量为m、电荷量为q，加速电场的电压为U，不计离子重力。求：
（1）离子进入圆形匀强磁场区域时的速度大小v；
（2）若磁场方向垂直纸面向外，离子从磁场边缘上某点出磁场时，可以垂直打到硅片上，求圆形区域内
匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（3）为了追求芯片的精致小巧，需要对硅片材料的大小有严格的控制。如图乙所示，O 点到硅片的距离为
2r，磁场的磁感应强度满足
，要求所有离子都打到硅片上，求硅片的最小长度l。
2
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）离子通过加速电场，由动能定理可知
得到
（2）根据题意，画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
由几何关系知道，离子的轨迹半径
由牛顿第二定律有
3
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从而解得
（3）离子打在硅片上端，设离子的轨迹半径为
。根据牛顿第二定律有：
由于
得到
画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
得到
4
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所以
，
，
，
，
由几何关系知道
所以
离子打在硅片下端时，设离子的轨迹半径为
，根据牛顿第二定律有
由于
得到
画出离子在磁场中运动的轨迹，如图所示
5
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得到
所以
，
，
，
，
由几何关系知道
所以
因为
所以
3. （2024 山东威海银滩高中质检）如图，圆心为O、半径为r 的圆形区域内没有磁场，圆形区域外存在匀
强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B，P 是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为
q（q>0）的粒子从P 点在纸面内垂直于OP 射出。不计重力，
。求：
（1）若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足怎样的条件？
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间；
（3）在（2）的情况下粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界所用的时间。（已知
）
6
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【参考答案】（1）
或
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）若粒子与圆形区域左侧相切时，粒子运动半径为r，则
若粒子与圆形区域右侧相切时，粒子运动半径
2r，则
得
，
若要使粒子不进入圆形区域，速度应满足
或
（2）若粒子能进入圆形区域且经过圆心O，如图
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由几何关系
得粒子运动半径为
根据牛顿第二定律
又
联立得，粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间为
（3）粒子运动轨迹如图
由于
得
由几何关系，粒子第一次从圆形区域射出后，粒子再次射入圆形边界的圆心角为
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则该段运动所用的时间为
4. （2024 安徽合肥一中等省10 联考）在如图所示的直角坐标系中，半径
的小圆其圆心刚好位于
坐标原点，半径
的大圆和小圆相交，大圆的圆心坐标为（0，0.4m），大圆减去小圆部分充满垂
直纸面向外的匀强磁场，abc 为三束相同的粒子束，其相互之间的间距为
，
，a 粒
子从
处从磁场外沿x 轴正方向射向磁场，其刚好能沿小圆半径方向穿过坐标原点。在y 轴负半轴
上垂直y 轴放置一长度和小圆直径相等的电子屏，该屏的中心位于y 轴上，若粒子击中电子屏能被完全吸
收。已知粒子的质量
，带电量
，发射速度
，每束粒子
单位时间内发射的数量
个，不计粒子的重力和粒子之间相互作用，
，
，
求：
（1）磁场的磁感应强度B 大小；
（2）电子屏能同时探测到三种粒子时与x 轴的最大距离；
（3）求电子屏在y 轴上不同位置受到粒子的平均撞击力在y 轴方向上的分量大小。
【参考答案】（1）2T；（2）
；（3）见解析
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【名师解析】
（1）由题意可知，a 处的粒子运动的轨迹如图所示
粒子在磁场中的轨迹半径为R，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力
解得
（2）由题可知每束粒子进入磁场后，其运动半径都是0.4m，作图如下
由几何关系可知，c 处的粒子束其圆心刚好位于x 轴上，故其也能沿半径方向击中原点，b 处的粒子束其圆
心坐标为（-0.4m，0.3m），由几何关系可知，b 粒子刚好从小圆与y 轴交点处沿y 轴负方向射向原点，由
几何关系，可得
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则粒子全部能击中板时
解得
故其与x 轴的最大距离为
；
（3）当只有b 处的粒子击中板时，板的纵坐标为y′，则有
解得
由动量定理可得，当
时，有
当
时，有
当
时，有
5．（14 分）(2024 湖南部分重点高中3 月联考)
如图所示，在第Ⅰ、Ⅳ象限和第Ⅱ象限半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，圆形区域与x 轴相切于A 点，A 点横坐标为
．在第Ⅱ、Ⅲ象限
与y 轴之间充满
水平方向的匀强电场（图中未画出）．位于A 的粒子源可以源源不断的朝磁场内各个方向以
射入某种粒
子，发现粒子最终都水平进入了第Ⅰ象限，做圆周运动后打到了位于y 轴负方向上的光屏上
到
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的范围内．带电粒子的重力忽略不计，求：
（1）带电粒子所带电荷的正负及比荷；
（2）匀强电场的方向和电场强度E 的大小；
（3）在第Ⅰ、Ⅳ象限范围内有粒子通过的最窄处的宽度．
【参考答案】
（1）带电粒子带负电，比荷
（2）匀强电场方向沿x 轴负向（水平向左）
E 的大小
（3）在第Ⅰ、Ⅳ象限范围内有粒子通过的最窄处的宽度为
【名师解析】
（1）由左手定则可以判断，带电粒子带负电；
根据磁发散的特性，可知，带点粒子做圆周运动半径与圆形磁场区域半径相同，为r
由
可得：
（2）由题可知，带电粒子进入第Ⅰ象限做圆周运动的半径为2r
由
可得
带电粒子在电场中做匀加速直线运动，由（1）可得粒子带负电，故匀强电场方向沿x 轴负向（水平向左）
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在电场中：
可得
（3）在第Ⅰ、Ⅳ象限范围内有粒子通过的区域如图所示
由几何关系可得
所以在第Ⅰ、Ⅳ象限范围内有粒子通过的最窄处的宽度
6. （2024 河北邯郸一模）如图所示的环形区域中存在垂直于纸面向外的匀强磁场，已知外圆半径是内圆
半径的
倍，内圆半径为R。MN 为磁场外圆边界的直径，一群均匀分布、质量为m、带电荷量为
的
粒子垂直MN 以速度v 平行射入磁场区域，粒子入射范围的宽度等于MN 的长度。已知正对圆心O 入射的
粒子恰好没有射入内圆，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）若某粒子可以垂直射入内圆，则该粒子从进入磁场到内圆所需的时间；
（3）从M 点射入的粒子第一次在环形磁场中速度偏转角的余弦值。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）正对圆心O 入射的粒子恰好没有射入内圆，轨迹图如图1 所示，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
磁场的磁感应强度大小为
（2）粒子可以垂直射入内圆，轨迹图如图2 所示，打在内圆的点设为
，轨迹圆圆心为
，则三角形
为等腰直角三角形，可得
根据
可知
故轨迹的圆心角为
粒子从进入磁场到内圆所需的时间为
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（3）从M 点射入的粒子第一次在环形磁场中，轨迹图如图3 所示，
点为轨迹圆圆心，根据几何关系可
知三角形
为等腰三角形，有
从M 点射入的粒子第一次在环形磁场中速度偏转角的余弦值为
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