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2024 高考物理二轮复习 80 热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型51 旋转圆、放缩圆、磁聚焦模型
最新高考题
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质
量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种
速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． B．
C． D．
【参考答案】C
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心
力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，
粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨
迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R为的半径)和
r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R时，粒
子从弧ab上射出，轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹
所对圆心角从π逐渐增大。当轨迹半径等于R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，
轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大，为θ ＝π＋＝，粒子最
max
长运动时间为。综上，选项C正确。2．（10分）（2020年7月浙江选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内
存在边界为矩形 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探
测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不
计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入磁场，b束中
的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打
在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均
为 ，探测板 的宽度为 ，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离
子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界 时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量
F与板到 距离L的关系。
【名师解析】：（1） 得
几何关系（2）a、c束中的离子从同一点Q射出，
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
最新模拟题1. (2024湖北宜城一中质检)如图所示，在平板PQ上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里。某时刻有a、b、c三个电子（不计重力）分别以大小相等、方向如图所示的初速度
v 、v 和v 经过平板PQ上的小孔O垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ上的位置
a b c
到小孔O的距离分别是 、 和 ，电子在磁场中运动的时间分别为t 、t 和t。整个装置
a b c
放在真空中。则下列判断正确的是（ ）
A. = < B. < < C. t＞t＞t D. t=t＜t
a b c a c b
【参考答案】C
【名师解析】
三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示
垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度v 和v 的方向与PQ的夹角相等，所以这两个电子
a c
的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板 PQ上的位置到小孔的距离
是相等的。而初速度v 的电子方向与PQ垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打
b
到平板PQ上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们
的运动轨迹的半径均相同。所以速度为v 的距离最大。故A错误，B错误；
b
CD．从图中可得，初速度v 的电子偏转的角度最大，初速度v 的电子偏转的角度最小，根
a c
据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系的
可得偏转角度最大 a运动的时间最长，偏转角度最小的c在磁场中运动的时间最短。故C
正确，D错误。
2．（2023湖北荆门三校5月联考）（15分）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系
xOy，其第一象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y=x2，如图中
虚线所示，电场强度大小E= 4V/m。第三象限内（包含x轴负半轴）存在垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为 。在第一象限内虚线右侧、纵坐标0 ≤ y ≤ 0.25m区
域内有大量（速度相等）沿x轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量q=＋8×10－6C，质量
m=1×10－6kg。已知从边界上横坐标为x= 0.1m以初速度v 处飞入的粒子从坐标原点飞出电
0
场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v；
0
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
【参考答案】．（1）4m/s；（2）0~45°；（3）0.25s
【名师解析】（1）从x=0.1m飞入的粒子,由类平抛运动的规律有
（1分）
（1分）x=v t（1分）
0
y=x2（1分）
联立解得
v= 4m/s（1分）
0
（2）从范围内任意位置进入电场的粒子，设进入的位置横坐标为x，则由
x=v t
0
解得
（1分）
可知，所有粒子均从坐标原点飞出电场。
设粒子飞离电场时沿电场方向的速度大小为v，则
1
（1分）
（1分）
粒子在电场中运动时间越长，飞出电场时速度方向与x轴负方向的夹角越大，故
从y= 0.25m处进人电场的粒子，飞离电场时与x轴负方向的夹角最大，θ= 45°（1分）
1 1
从y= 0飞人的粒子运动方向不变，θ= 0（1分）
2 2
故粒子飞离电场时速度方向与x轴负方向的夹角范围为0~45°。
（3）与x轴负方向夹角最大的粒子在磁场中运动的时间最短，所有粒子从同一点离开磁场，
由洛伦兹力提供向心力有
（1分）
解得
（1分）， （1分）
磁场中运动最短时间 （1分）出磁场的坐标为 （1分）3. 如图所示，有一粒子源，可以产生某种质量为m，电荷量为q的带正电离子，离子从静
止开始经M和N两板间的电场加速后，从cd边的中点O沿纸面以与Od成30°角的方向射
入边长为a的正方形abcd边界内的匀强磁场区域，已知匀强磁场的磁感应强度为B，方向
垂直纸面向里，不计粒子的重力以及离子间的相互作用。求：
（1）若要离子全部从ab边射出，加速电场MN两板间的电压U满足的条件；
（2）若加速电场MN两板间的电压 ，离子在磁场中运动的时间t。
参考 （1） ；（2）
【 答案】
【名师解析】
（1）当粒子不从ad边射出的临界轨迹是轨迹与ad边相切，如图中①所示，设此时粒子轨
道半径为 ，几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理以上各式联立解得轨迹与ad边相切时加速电压为
当粒子恰好从ab边射出的临界轨迹是轨迹与ab边相切，如图中②所示，设此时粒子轨道
半径为 ，由几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad边相切时加速电压为要使粒子全部从ad边射出，则粒子轨迹半径要小于 ，大于 ，则加速
电压 ，即
（2）加速电场两板间的电压
粒子在电场中加速过程根据动能定理
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
以上各式联立代入数据解得
如图所示，当粒子轨迹与bc边界相切时，如图中③所示，设此时的轨道半径为 ，由几何
关系得
解得
因为 ，则粒子从cd边射出
根据对称性得轨迹的圆心角为300°，运动时间为4. 如图所示，在y>0的区域内存在垂直于xOy平面向里，大小为B的匀强磁场，y<0的区
域内存在沿y轴正方向的匀强电场（图中未画出）。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子
（不计重力）自y轴上的点P以初速度v 沿x轴正方向射出，经点M（L，0）进入磁场，
0
且速度与x轴正方向的夹角为60°，经磁场偏转后从x正半轴上的点N离开磁场。
（1）求匀强电场的场强大小E以及点P的坐标；
（2）求MN两点间距d以及粒子在磁场中运动的时间t；
0
（3）若粒子运动到点N瞬间，将y<0的区域的电场撤去，改为垂直于xOy平面向里，大小
为λB（λ>0）的匀强磁场，结果使得粒子的轨迹在之后的运动中能够与y轴相切，试求λ的
可能取值。
参考 （1） ，（0， ）；（2） ， ；
【 答案】
（3） 或
【名师解析】
（1）粒子做类平抛运动联立得
故点P的坐标为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
得
粒子运动的周期
粒子的圆心角为 ，故
（3）记粒子经点N后第一次返回x轴的点Q，由（2）知， 间距 为经分析，粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系有
解得
或
解得
5.（15 分）（2023江苏扬州考前质检）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度
分别为 l1=0.1m 和 l2=0.2m，两区 域分别分布着磁感应强度为 B1 和 B2 的磁场，磁场方
向垂直于 xoy 平面向外，磁感应强度 B2=0.1T．现有大量粒子从坐标原点 O 以恒定速度
v=2×106m/s 不断沿 x 轴正方向射入磁 场，由于 B1 的大小在 0~0.5T 范围内可调，粒子
可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电 粒子的电量 q=﹣2×10-8C，质量 m=4×10-16kg，
不考虑带电粒子的重力．求：（1）要使粒子能进入 B2 的磁场，B1 应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间 t．
（3）粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标 y；
【名师解析】
（1）当带电粒子在 B1 磁场中圆周运动的半径大于 l
1
时粒子能进入磁感应强度 B2 的磁场。
qvB =m （1 分）
1
当 r = l 时 （1 分）
1
代入数据得 B
1
= 0.4T （1 分）
因此 B 满足的条件为 0 B
1
0.4T （1 分）
（2）当 B1=0 时，粒子进入 B2 磁场，解得： r
2
= 0.4m （1 分）
粒子从右边界 MN 飞出。
由几何关系可知
2
= 30° （1 分）
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着 B1 的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的 运动
时间先增大后减小，当 B1 达到最大值 0.5T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t =1.26 ×10-7 s
2
（3）设 A1 为粒子从 MN 射出的最高点，则 A1 为轨迹与边界 MN 的切点，如图 O1 为
粒子 在 B1 磁场中运动的圆心，O2 为粒子在 B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得
，
1
= 30° （2 分）
由几何知识知此时
A1 的纵坐标粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标
6. （2022湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向
里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过
圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速
率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的
两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
B. 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b点到c点的过程中，半径越老越大，则由可知，速度越来越大，所以从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速
率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心
角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，
弦切角最小，因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为 ，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M点射出粒子在磁场中运动时间与从N点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
7. (2023云南昆明一中第9次质检)如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强
度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为 处有一粒子源， 时刻沿纸面内的任
意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的
半径为 ，则（ ）A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C. 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D. 时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【参考答案】AD
【名师解析】如图1所示，当粒子的轨迹以AB为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆
心角为 ，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为 ，A正确B错误。
．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图 2 所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为 ，故C错误，D正确。8..（2023山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M点放置一个放射源，能在纸面内以速率v向各个
方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子
均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为 。下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为 时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为 时，有粒子射出的边界弧长变为
【参考答案】．C
【名师解析】．由题意，如图所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出
点N离M最远，此时 对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速
圆周运动的半径为根据牛顿第二定律有 解得 故A错误；
粒子在磁场中运动的周期为
当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1个周期，故B错误；
将磁感应强度大小改为 时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长
变为 故C正确；
若粒子入射速率为 时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为 ，所以有粒子射出的边界弧
长变为 故D错误。
9.（2022山东泰安三模）如图所示为一圆形区域，O为圆心，半径为R，P为边界上的一点，
区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b（不计重力）从P点先后以大小相等的速率 射入磁
场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ
角，已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =R
B. θ=60°
C. θ=30°
D. a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
【参考答案】AC
【名师解析】
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r = ，代入速度 ，得r = R，故A正确；
BC．因a正对圆心射入，又r = R，故a粒子在磁场中的运动时间为 ，运动圆弧的圆
心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，即T = ，故b粒子在磁场中的运动时
间为 ，即运动圆弧的圆心角为120°，运动圆弧对应的圆心与O、P三点的连线构成等
边三角形，故θ=30°，故B错误，C正确；
作图可知a、b粒子离开磁场时平行，是“磁发散”模型，故D错误。
故选AC。10．（2023四川宜宾重点高中二诊）（20分）如图所示，在 平面内，三个
半径为 的四分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度
为 的匀强磁场（含边界上）。一群质量为 电荷量为 的带正电的粒子同时从
坐标原点O以相同的速率、不同的方向射入第一象限内（含沿 轴、 轴方
向），它们在磁场中运动的轨道半径也为 ，在 的区域，存在场强为 、
沿 方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相互
作用。求：
（1）粒子从O点射入磁场时的速率 ；
（2）这群粒子从O点射入磁场至运动到 轴的最长时间；
（3）这群粒子到达 轴上的区域范围。
【名师解析】：
（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有又 可得
（2）如图所示，这些粒子中，从O沿 轴方向射入磁场的粒子，从O到C用时最长。
由 可得
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变为与 轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，
经过Ⅱ区域偏转又都通过C点；从C点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，
所有粒子都变成与 轴平行（即垂直进入电场）。
对于从 进入电场的粒子，在 方向的分运动有
解得
则该粒子运动到 轴上的坐标为
对于从 进入电场的粒子，在 方向的分运动有解得
则该粒子运动到y轴的坐标为
这群粒子运动到 轴上的区间为
