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2025 年高考数学全真模拟卷 01
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C A C D C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD AB ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．5
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
又 ，则 ，所以 .
（2）（i）由（1）可得 ，
若 ，则由正弦定理得 即 ，
所以 .
（ii）因为 ， ， ，
所以 ，故 ，所以 ，
所以
.
16．（15分）
【详解】（1） ， ，
又 ，
故 在 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ，定义域为 ，
，
当 时，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（3）证明：函数 ，
函数 的定义域为 ．若存在 ，使得曲线 关于直线 对称，
则 关于直线 对称，所以
由
．
可知曲线 关于直线 对称．
17．（15分）
【详解】（1）在菱形 中， 连接 ，则△ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴
在四棱锥 中，
∵ ， ， , 平面
∴ 平面 ,
∵ 平面 ，
∴ .
（2）∵菱形 的边长为 是 的中点， ， .
由（1）知 平面 ，
以 为坐标原点，以 为 轴正方向， 为 轴负方向建立空间直角坐标系（如图）
则 ， ， ，
设 ，则 ，
由 ， ，得 ，
解得 ，∴
， ， ，
设平面 的法向量分别为 ，由 得 ，令 ，则 ，
，则平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量分别为 ，由 得 ，
则 令 ，则 ，则平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18．（17分）
【详解】（1）因为焦点 到渐近线的距离为 ，所以 ，
又点 在渐近线上，所以 ，
解得 ，
所以 的方程为 .
（2）设 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由题可知 ，且 , 关于原点对称，所以 .
因为 的方程为 ，所以 ，
所以 .
所以 ，
所以直线 与直线 的斜率之积为定值 .
（3）由（1）知 ，显然直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， ， .由 消去 可得 ，
则 ，得 ，且 .
，且 .
如图，由 三点共线，得 ，
同理 ，
因此
，
所以 ，
故 的中点 为定点 .
因为 恒过点 ，
所以当直线 与 垂直时，点 到 的距离最大，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，此时 的方程为 ，即 .
19．（17分）
【详解】（1）取 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，
当 时， ，
两式相减整理得：
又： ，
两式相减整理可得： ，
由 ，当 时， ，即 ，
所以对任意的 ，都有 ，
所以 是等差数列，由 ，可得：
.
∴ .
（2）由于 ，∴ ，设“ 数列” 的公比为 ，且 .
①由题意，只需证存在 对 且 ， 成立，
即 成立，设 ，
令 ，所以 在 上单增， 上单减，
又∵ ，∴ ，
所以 ，使得 对任意 且 成立.
又 ， ， ，
， ，
所以对任意 且 ， 均成立，
所以对任意 且 ，存在“ 数列” ，使得 成立；②由①知，若 成立，则 成立，当
时， ，
取 ，由 不存在，
所以当 且 时，不存在“ 数列” ，使得 对任意正整数 成立.
