2025 年高考数学全真模拟卷 01（新高考Ⅰ卷专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·四川德阳·一模）设集合 ，集合 ，则集合
A={x|y=√x} B={x∈Z|−2<x3<2} A∩B=
（ ）
A．[0,1] B．{0} C．[0,1) D．{0,1}
【解题思路】先求出集合A,B，再根据交集的定义求解即可.
【解答过程】因为 ， ，
A={x|y=√x}={x|x≥0} B={x∈Z|−2<x3<2}={−1,0,1}
所以A∩B={0,1}.
故选：D.
2．（5分）（2024·广东韶关·一模）若复数z满足zi=1+i，则z⋅z=（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．4
【解题思路】方法1：根据复数除法运算求出z，然后共轭复数概念结合乘法运算可得；方法2：利用复数
模的性质求出|z|，然后由性质z⋅z=|z|2可得.
1+i
【解答过程】法1：因为zi=1+i，所以z= =1−i,z=1+i，所以z⋅z=(1+i)(1−i)=2.
i
法2：因为zi=1+i，所以|zi|=|1+i|，即|z|=√2,z⋅z=|z|2=2.
故选：C.
3．（5分）（2024·四川内江·一模）已知两个向量 ， ，且 ，则 的值
⃗a=(√2,m) ⃗b=(−3,1) (⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b) m为（ ）
√2 3√2
A．± B．± C．±2√2 D．±√2
3 2
【解题思路】根据向量垂直可得⃗a2=⃗b2，再结合向量的坐标运算求解即可.
【解答过程】因为 ，则 ，即 ，
(⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b) (⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=⃗a2−⃗b2=0 ⃗a2=⃗b2
又因为 ， ，则 ，解得 .
⃗a=(√2,m) ⃗b=(−3,1) 2+m2=9+1 m=±2√2
故选：C.
3
4．（5分）（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα= ，则cos2β=
5
（ ）
4 3 7 7
A．− B．− C． D．−
5 5 25 25
【解题思路】根据给定条件，逆用差角的正弦公式求出sinβ，再利用二倍角公式计算即得.
3 3
【解答过程】由sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα= ，得sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα= ，
5 5
3 3 3 3
则sin[(α−β)−α]= ，即sin(−β)= ，−sinβ= ，解得sinβ=− ，
5 5 5 5
3 2 7
所以cos2β=1−2sin2β=1−2×(− ) = .
5 25
故选：C.
5．（5分）（2024·宁夏吴忠·一模）已知A,B,C是球O的球面上的三个点，且
√6
∠ACB=120°,AB=√3,AC+BC=2.若三棱锥O−ABC的体积是 ，则球O的体积为（ ）
6
A．36π B．24π C．12π D．8π
【解题思路】由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，再由余弦定理结合锥体的体积公式可得三棱锥
O−ABC的高，即可得到球的半径，从而得到结果.
【解答过程】因为∠ACB=120°,AB=√3，
√3
由正弦定理可得△ABC外接圆的半径r= =1，
2sin120°
在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos120°，
即 ，
3=AC2+BC2+AC⋅BC=(AC+BC) 2−AC⋅BC所以 ，
AC⋅BC=(AC+BC) 2−3=22−3=1
1 √3
所以S = AC⋅BC⋅sin120°= ，
△ABC 2 4
1 1 √3 √6
又V = S ⋅ℎ = × ℎ = ，所以 ℎ =2√2，
O−ABC 3 △ABC 3 4 6
4
则球O的半径R=√r2+
ℎ
2=3，所以球O的体积为 π×33=36π.
3
故选：A.
6．（5分）（2024·海南·模拟预测）已知 且 ，若函数 与 在
a>0 a≠1 f (x)=ax g(x)=log (x2+4ax+7)
2
[−1,+∞)上的单调性相同，则a的取值范围是（ ）
( 1] [1 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2) D．(1,+∞)
2 2
【解题思路】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【解答过程】由题意知y=x2+4ax+7在[−1,+∞)上只能是单调递增，
所以g(x)在[−1,+∞)上单调递增，所以¿
1
得 ≤a<2.
2
又f (x)=ax单调递增，所以a>1.
综上得1<a<2.
故选：C.
π
7．（5分）（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当x∈[0,2π]时，曲线y=cosx与y=2sin( 2x+ ) 的
3
交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】作出两函数在[0,2π]上的图象，结合图象即可得答案.
π
【解答过程】x=0时，y=2sin =√3，
3
π π π π π
令2x+ = ，得x= ，此时y=2sin( 2× + )=2，
3 2 12 12 3
π π π π
令2x+ =π，得x= ，此时y=2sin( 2× + )=0，
3 3 3 3
π 3π 7π 7π π
令2x+ = ，得x= ，此时y=2sin( 2× + )=−2，
3 2 6 6 3π 5π 5π π
令2x+ =2π，得x= ，此时y=2sin( 2× + )=0，
3 3 3 3
π π
x=2π时，y=2sin( 2×2π+ )=2sin =√3，
3 3
π 2π
函数y=2sin( 2x+ ) 的周期T= =π，
3 2
结合周期，利用五点法作出图象，
由图知，共有4个交点.
故选：C.
1
19 37
8．（5分）（2024·河南·模拟预测）已知a=e19,b= ,c=1+ln ，则a,b,c的大小关系是（ ）
18 35
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b
1
19
【解题思路】根据a=e19,b= 式子结构特征构造函数f (x)=ex−x−1，利用单调性判断可得a<b，再令
18
2x
g(x)=ln(x+1)− ,x>0，求导判断出单调性可得c>b，即可求得结果.
x+2
1
19
【解答过程】由a=e19,b= 可构造函数f (x)=ex−x−1，
18
则f′(x)=ex−1，令f′(x)=0，解得x=0，
因此可得当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，即f (x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，即f (x)在(−∞,0)上单调递减，
可知f (x)在x=0处取得极小值，也是最小值，所以f (x)≥f (0)=0，
1
即ex≥x+1，故e−x≥−x+1，即 ≥1−x
ex
1
1 19
1 e19< =
当0<x<1时，有ex< ，所以 1 18，可得a<b；
1−x 1−
192x
令g(x)=ln(x+1)− ,x>0，
x+2
则 1 4 x2 ，
g′(x)= − = >0
x+1 (x+2) 2 (x+1)(x+2) 2
故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
2x
可得g(x)>g(0)=0，即ln(x+1)> ，
x+2
2
2×
2 ( 2 ) 35 1 37 1 19
取x= ，则ln +1 > = ，所以1+ln >1+ = ，可得c>b；
35 35 2 18 35 18 18
+2
35
综上可得，a<b<c.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·广东韶关·一模）已知某批产品的质量指标 服从正态分布 ，且
ξ N(25,σ2)
P(ξ≥26)=0.2，现从该批产品中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ位于区间(24,26)的产品
件数，则（ ）
A．E(ξ)=25 B．P(24<ξ<26)=0.3
C．P(X=0)=0.064 D．D(X)=0.24
【解题思路】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.
【解答过程】由正态分布的概念可知E(ξ)=25，故A正确；
由正态分布的性质得P(24<ξ<26)=1−2P(ξ≥26)=0.6，故B错误；
则1件产品的质量指标值ξ位于区间(24,26)的概率为p=0.6
所以X∼B(3,0.6),P(X=0)=0.43=0.064，故C正确；
D(X)=3×0.4×0.6=0.72，故D错误.
故选：AC.
2−x
10．（6分）（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=ax−ln ，则对任意实数a，下列结论中正确的有
x
（ ）
A．f (x)至少有一个零点 B．f (x)至少有一个极值点C．点 为曲线 的对称中心D． 轴一定不是函数 图象的切线
(1,f (1)) y=f (x) x f (x)
【解题思路】对于A选项，由函数零点的存在性定理可推得f (x)至少有一个零点；
对于B选项，可得当a=0时，f′(x)>0恒成立，得f (x)在(0,2)上递增，则f (x)无极值点；
对于C选项，由 可知点 为曲线 的对称中心；
f (1+x)+f (1−x)=2f (1) (1,f (1)) y=f (x)
对于D选项，假设存在实数a，则¿，可推得无实数解，故假设不成立，即可判断.
2−x
【解答过程】对于A选项，函数f (x)=ax−ln 的定义域为(0,2)，
x
当x→0时， f (x)→−∞，当x→2时， f (x)→+∞，
由函数零点的存在性定理可知f (x)至少有一个零点，故A正确；
1 1
对于B选项，f (x)=ax−ln(2−x)+lnx,f′(x)=a+ + ，
2−x x
1 1
当a=0时，f′(x)= + >0恒成立，
2−x x
所以f (x)=ax−ln(2−x)+lnx在(0,2)上递增，则f (x)无极值点，故B错误；
对于C选项， [ 2−(1+x)] [ 2−(1−x)]
f (1+x)+f (1−x)= a(1+x)−ln + a(1−x)−ln
1+x 1−x
1−x 1+x
=2a−ln −ln =2a=2f (1)，
1+x 1−x
所以对任意实数 ，点 为曲线 的对称中心，故C正确；
a (1,f (1)) y=f (x)
对于D选项，假设存在实数 ，使得 的图像与 轴切于点 ，
a f (x) x P(x ,0)
0
则 ，得 ，消去 得 x 2−x ，
¿ ¿ a 0 +1+ln 0=0
2−x x
0 0
设 x ，则 ，
t= 0 t+1−lnt=0
2−x
0
因为lnt≤t−1，故t+1−lnt≥(t+1)−(t−1)=2，
所以t+1−lnt=0无实数解，故假设不成立，
则对任意实数a，x轴一定不是函数f (x)图象的切线，故D正确．
故选：ACD．11．（6分）（2024·广东河源·模拟预测）“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊
的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F (−a,0)，F (a,0)(a>0)的距离之积为定
1 2
值．则下列说法正确的是（ ）（参考数据：√5≈2.236）
A．若
|F F |=12
，则
C
的方程为
(x2+ y2) 2 =72(x2−y2)
1 2
B．若C上的点到两定点F 、F 的距离之积为16，则点(−4,0)在C上
1 2
C．若 ，点 在 上，则
a=3 (3,y ) C 2<y2<3
0 0
9
D．当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF F 的面积为 ，则|PF | 2 −|PF | 2=18√3
1 2 2 1 2
【解题思路】由题意有 ，设 为 上任意一点，得到 ，再根
|OF |⋅|OF |=a2 (x,y) C (x2+ y2) 2 =2a2(x2−y2)
1 2
据各项给定条件或a值，判断各项正误.
【解答过程】已知原点 在 上，则 ，设 为 上任意一点，
O C |OF |⋅|OF |=a2 (x,y) C
1 2
则有 ，整理得 ．
a2=√(x−a) 2+ y2
⋅
√(x+a) 2+ y2 (x2+ y2) 2 =2a2(x2−y2)
若
|F F |=12
，则
C
的方程为
(x2+ y2) 2 =72(x2−y2)
，故A正确；
1 2
若
|OF |⋅|OF |=16
，则
a=4
，代入方程得
(x2+ y2) 2 =32(x2−y2)
，显然点
(−4,0)
不在此曲线上，故B
1 2
错误；
若 ，点 在 上，有 ，
a=3 (3,y ) C √(3−3) 2+ y2 ⋅ √(3+3) 2+ y2=9
0 0 0
整理得 (y2+18) 2 =405 ，所以 y2=9√5−18≈2.124 ，故C正确；
0 0
1 9
因为S = |PF ||PF |sin∠F PF = ，|PF ||PF |=9，可得∠F PF =90∘，
△PF 1 F 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
所以点 是曲线 和以 为直径的圆 在第一象限内的交点，
P C:(x2+ y2) 2 =18(x2−y2) F F x2+ y2=9
1 23√3 3 3√3 3
联立方程，解得x= ，y= ，即P( , )，所以|PF | 2 −|PF | 2=18√3，故D正确．
2 2 2 2 1 2
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·浙江·一模）已知椭圆 ：x2 y2 ，过左焦点 作直线 与圆 ：
C + =1(a>b>0) F l M
a2 b2
c2 √3−1
x2+ y2= 相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|=3|EF|，则椭圆离心率为 .
4 2
√3 3√3
【解题思路】由题意利用直线与圆相切可得|EF|= c,|PE|= c，再由余弦定理计算得出|PF |=2c，
2 2 1
利用椭圆定义即可得出离心率.
【解答过程】设椭圆右焦点为F ，连接PF ,ME，如下图所示：
1 1
c2 c
由圆M：x2+ y2= 可知圆心M(0,0)，半径r= ；
4 2
c
显然EM= ,MF=c，且EM⊥EF，
2
1 √3 3√3
因此可得sin∠EFM= ，所以∠EFM=30∘，可得|EF|= c,|PE|=3|EF|= c；
2 2 2
即可得 ，又易知 ；
|PF|=2√3c |FF |=2c
1
√3
由余弦定理可得|PF | 2=|PF| 2+|FF | 2 −2|PF||FF |cos30∘=12c2+4c2−2×2√3c×2c× =4c2，
1 1 1 2
解得 ，
|PF |=2c
1
再由椭圆定义可得 ，即 ，
|PF |+|PF|=2c+2√3c=2a a=(√3+1)c
1c 1 √3−1
因此离心率e= = = .
a √3+1 2
√3−1
故答案为： .
2
13．（5分）（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.
假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为
200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 120
.
【解题思路】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为a ,a ,a ,a ，列出关于a 和d的方程
1 2 3 4 1
组，解出即可求出甲花费的钱数.
【解答过程】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
设该数列为 ，公差为 ，
{a } d
n
则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为a ,a ,a ,a ，
1 2 3 4
由题意得¿解得¿
故甲花费的钱数为a +a =2a +d=120.
1 2 1
故答案为：120.
14．（5分）（2024·四川·模拟预测）若直线y=kx是曲线f (x)=lnx的切线，也是曲线g(x)=aex的切线，
1
则a= ．
e2
【解题思路】根据函数 在切点 的横坐标 处的导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公
f(x) (x ,lnx ) x
1 1 1
切线的方程，然后根据函数
g(x)
在切点
(x ,aex 0)
的横坐标
x
处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解.
0 0
【解答过程】因为f (x)=lnx,x∈(0,+∞)，
1
所以f′(x)= ，
x
设设直线 与 的切点为 ，
y=kx f (x)=lnx (x ,lnx )
1 1
1
则切线方程为y−lnx = (x−x ),
1 x 1
1
1
即y= x+lnx −1，
x 1
1又因为y=kx
所以¿，
1
解得x =e，k= ，
1 e
1
所以切线方程为：y= x，
e
因为g(x)=aex，
所以 ，
g′(x)=(aex) ' =aex
1
设直线y= x与g(x)=aex的切点为(x ,aex 0)，
e 0
1
所以g′ (x )=aex 0= ①，
0 e
1
又因为切点(x ,aex 0)在直线y= x上，
0 e
1
所以aex 0= x ②，
e 0
由①和②可得x =1，
0
1
所以ae= ，
e
1
解得a=
e2
1
故答案为： ．
e2
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·广东河源·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
．
a2+b2−√3ab=(bcosA+acosB) 2
(1)求角C；
(2)若b=4√3，c=4，求△ABC的面积．
√3
【解题思路】（1）利用余弦边角关系可得a2+b2−√3ab=c2，再由余弦定理可得cosC= ，即可求角
2
的大小；
（2）根据已知条件及（1）结论，应用余弦定理列方程求得a=4或a=8，再分别求出对应三角形面积即可.b2+c2−a2 a2+c2−b2
【解答过程】（1）在△ABC中，bcosA+acosB=b⋅ +a⋅ =c，
2bc 2ac
又 ，所以 ，
a2+b2−√3ab=(bcosA+acosB) 2 a2+b2−√3ab=c2
a2+b2−c2 √3ab √3
由余弦定理得cosC= = = ， 又0<C<π，
2ab 2ab 2
π
则C= .
6
π
（2）在△ABC中C= ，c=4，b=4√3，
6
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosC，即a2−12a+32=0，解得a=4或a=8．
1 1 1
当a=4，b=4√3，c=4时，可构成三角形，此时△ABC的面积为 absinC= ×4×4√3× =4√3；
2 2 2
1 1 1
当a=8，b=4√3，c=4时，可构成三角形，此时△ABC的面积为 absinC= ×8×4√3× =8√3．
2 2 2
16．（15分）（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ，
C: + =1(a>b>0) F (−√3,0)
a2 b2 1
1
F (√3,0)，且椭圆C经过点D(√3, ).过点T(t,0)(t>2)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，过
2 2
点A和M(1,0)的直线AM与椭圆C的另一个交点为N.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线BN的倾斜角为90°，求t的值.
【解题思路】（1）利用椭圆的定义求出a，进而求出b得C的标准方程.
（2）根据已知可得直线AM不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线AB与
x轴交点的横坐标即可.
【解答过程】（1）椭圆 x2 y2 的二焦点为 ， ，点 1 在椭圆 上，
C: + =1 F (−√3,0) F (√3,0) D(√3, ) C
a2 b2 1 2 2
则 √ 1 2 1 ，解得 ，则 ，
2a=|DF |+|DF |= (−2√3) 2+( ) + =4 a=2 b=√22−(√3) 2=1
1 2 2 2
x2
所以椭圆C的标准方程为 + y2=1.
4
（2）依题意，点A,B不在x轴上，即直线AM不垂直于y轴，且直线AM不垂直于x轴，否则A,B重合，设直线AM方程为x=ky+1，k≠0，
由 消去 得， ，
¿ x (k2+4)y2+2ky−3=0
显然Δ>0，设A(x ,y ),N(x ,y )，由直线BN的倾斜角为90°，得点B(x ,−y )，
1 1 2 2 2 2
2k 3
则y + y =− ,y y =− ，所以3(y + y )=2k y y ，
1 2 k2+4 1 2 k2+4 1 2 1 2
直线 的方程为 y + y ，
AN y−y = 1 2 (x−x )
1 x −x 1
1 2
y (x −x ) y (k y −k y ) 2k y y
t=x − 1 1 2 =k y +1− 1 1 2 =1+ 1 2 =4
当y=0时， 1 y + y 1 y + y 2k y y ，
1 2 1 2 1 2
3
所以t=4.
17．（15分）（2024·福建·三模）如图所示，C，D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，
O为AB中点，E为母线PB的中点.
(1)证明：DE//平面PAC；
(2)若△PAB为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）若F是PA中点，根据题设证CF//DE，再由线面平行的判定证结论；
（2）作DG⊥AB,DH⊥PA，连接HG，利用线面垂直的判定及性质定理，结合面面角的定义确定所求
角为∠DHG或其补角，进而求其余弦值.
1
【解答过程】（1）由C，D分别为底面半圆弧上的两个三等分点，易知CD//AB且CD= AB，
2
1
若F是PA中点，而E为母线PB的中点，则EF//AB且EF= AB，
2所以EF//CD且EF=CD，则EFCD为平行四边形，故CF//DE，
由CF⊂面PAC，DE⊄面PAC，故DE//平面PAC.
（2）作DG⊥AB,DH⊥PA，连接HG，如上图所示，
由题意，面PAB⊥面ABDC，PO⊥AB，PO⊂面PAB，面PAB∩面ABDC =AB，
所以PO⊥面ABDC，DG⊂面ABDC，则PO⊥DG，
由PO∩AB=O都在面PAB内，则DG⊥面PAB，而PA⊂面PAB，
所以DG⊥PA，又DG∩DH=D都在面DHG内，故PA⊥面DHG，
由GH⊂面DHG，则PA⊥GH，结合DH⊥PA，且GH⊂面PAB，DH⊂面PAD，
所以平面PAB与平面PAD的夹角为∠DHG或其补角，
√3
令等边三角形△PAB的边长为2，则PA=2，由题设易知∠BAD=30°，则AD=√3，DG= ，
2
√13
√ 3 √13 ×√3
在△PAD中AD上的高 ℎ = 4− = ，则 ℎ⋅AD 2 √39，
4 2 DH= = =
PA 2 4
DG 2√13 3√13
所以sin∠DHG= = ，故cos∠DHG= ，
DH 13 13
3√13
所以平面PAB与平面PAD的夹角余弦值为 .
13
2x−1
18．（17分）（2024·浙江·一模）已知函数f (x)=ln +ax(a∈R).
x−1
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (2,f (2))
1 [3 ]
(2)若0<a≤ ，x∈ ,2 ，证明：f (x)<2；
3 2
3
(3)若x>1，恒有f (x)≥2ln2+ ，求实数a的取值范围.
2
【解题思路】（1）直接求出导函数 ，计算 和 ，由点斜式得直线方程并整理为一般式；
f′ (x) f′ (2) f(2)3 1 3
（2）在题设条件下证明f′ (x)<0，f(x)是减函数，f(x)≤f( )≤2ln2+ ，再证明2ln2< 即得证；
2 2 2
（3） 时，由 说明 递减，不等式不可能恒成立， 时，由（2）得出 时，
a≤0 f′ (x)<0 f(x) a>0 a=1
3 3 3 3
f( )=2ln2+ ，f′ (x)=0的大于1的根记为x （a=1是地，a = ），证明a>1时，1<x < ，0<a<1
2 2 0 0 2 0 2
3 2x−1
时，x > ，由f′ (x)确定f(x)的单调性，ℎ(x)=ln +x，a>1时，由
0 2 x−1
2x −1 2x −1 3 完成证明， 时，由 3 3
f(x )=ln 0 +ax >ln 0 +x = ℎ(x )> ℎ( ) a>1 f(x )<f( )<2ln2+
0 x −1 0 x −1 0 0 2 0 2 2
0 0
确定．综合后得出结论．
2x−1 1
【解答过程】（1）a=1时，f(x)=ln +x=ln(2+ )+x，
x−1 x−1
x−1 1 1 2x2−3x ，
f′ (x)= ⋅[− ]+1=− +1=
2x−1 (x−1) 2 (x−1)(2x−1) (x−1)(2x−1)
2
f′ (2)= ，又f(2)=ln3+2，
3
2 2 2
所以切线方程为y−(ln3+2)= (x−2)，即 x−y+ +ln3=0；
3 3 3
1
（2）f′ (x)=a− ，
(2x−1)(x−1)
3 3 2 1 1 1
x∈[ ,2]时，y=(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1=2(x− ) − 是递增函数，因此y∈[1,3]， ≥ ，
2 4 8 y 3
1 3
又0<a≤ ，所以f' (x)≤0，f(x)在[ ,2]上递减，
3 2
3 3 3 1 1
f(x)≤f( )=2ln2+ a≤2ln2+ × =2ln2+ ，
2 2 2 3 2
3 3 3
因为e2=e⋅√e>2.7× =4.05>4，所以2ln2=ln4< ，
2 2
1 3 1
从而f(x)≤2ln2+ < + =2；
2 2 2
1
（3）f′ (x)=a− ，x>1，
(2x−1)(x−1)当 时， ， 在 上是减函数，
a≤0 f′ (x)<0 f(x) (1,+∞)
2x−1 1 2x−1 3
当x→+∞时，ln =ln(2+ )→ln2，因此f(x)=ln +ax>2ln2+ 不可能恒成立，
x−1 x−1 x−1 2
1
a>0时，由f′ (x)=0得2x2−3x+1− =0，
a
1 1
记g(x)=2x2−3x+1− ，g(1)=− <0，
a a
则g(x)=0有两个实根，一根小于1，一根大于1，
√ 8
3+ 1+
大于1的根为 a，易知它是关于a的减函数，
x =
0 4
注意到 在 上是增函数，且 ，
y=(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1 (1,+∞) y>0
1 1
即1<x<x 时，0<(2x−1)(x−1)< ，x>x 时，(2x−1)(x−1)> ，
0 a 0 a
所以 时， ， 递减， 时， ， 递增，
1<x<x f′ (x)<0 f(x) x>x f′ (x)>0 f(x)
0 0
所以f(x) =f(x )，
min 0
3 2x−1
a=1时，x = ，此时f(x)=ln +x，
0 2 x−1
2x−1 3 3 3 3
记ℎ(x)=ln +x， ℎ(x)在(1, )上递减，在( ,+∞)上递增，且ℎ( )=2ln2+ ，
x−1 2 2 2 2
因此
当 时， 3， 2x −1 2x −1 3 3，
a>1 x < f(x )=ln 0 +ax >ln 0 +x = ℎ(x )> ℎ（ ）=2ln2+
0 2 0 x −1 0 x −1 0 0 2 2
0 0
3 3 3 3
当0<a<1时，x > ，f(x )<f( )=2ln2+ a<2ln2+ ，
0 2 0 2 2 2
3
综上，a≥1时，f(x)≥2ln2+ 恒成立
2
所以a的取值范围是[1,+∞)．
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项积为 ．定义：若存在 ，使得对任意的
{a } n T k∈Z
n n
， 恒成立，则称数列 为“ 数列”．
n∈N* a −T =k {a } k
n+1 n n(1)若 ，且 为“2数列”，求 ．
a =1 {a } a
1 n 5
(2)若 ，且 为“ 数列”， 的前 项的平方和为 ，数列 是各项均为正数的等比数列，满足
a =2 {a } k {a } n G {b }
1 n n n n
，求 的值和 的通项公式．
b =2G n −T n k {b }
n n
(3)若 ， ，且 为“ 数列”， 的前 项和为 ，证明： ．
a >1 k>0 {a } k {a } n S S >lnT +n
1 n n n n n
【解题思路】（1）根据“2数列”的定义计算即可；
（2）根据题意得到 ，然后结合“ 数列”的定义列方程得到 ，最后写通项即可；
a2 k k,q
n+1
（3）根据“k数列”的定义得到a >1，然后构造函数得到lnx<x−1(x>1)，最后利用累加法证明即可.
n
【解答过程】（1）由 ，且 为“2数列”，得 ，即 ，
a =1 {a } a −T =2 a =2+T
1 n n+1 n n+1 n
则a =2+T =2+a =3，
2 1 1
a =2+T =2+a a =2+1×3=5，
3 2 1 2
a =2+T =2+a a a =2+1×3×5=17，
4 3 1 2 3
a =2+T =2+a a a a =2+1×3×5×17=257．
5 4 1 2 3 4
（2）设数列 的公比为 ，
{b } q(q>0)
n
由 ，得 ，
b =2G n −T n G =T +log b
n n n 2 n
n
即 ，
G =∑❑=a2=a a a ⋯⋯a +log b
n i 1 2 3 n 2 n
i=1
n+1
则 ．
G =∑a2=a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a a +log b
n+1 i 1 2 3 n n+1 2 n+1
i=1
两式相减得 ，
a2 =a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a (a −1)+log b −log b
n+1 1 2 3 n n+1 2 n+1 2 n
即 ．
a2 =a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a (a −1)+log q
n+1 1 2 3 n n+1 2
因为 是首项为2的“ 数列”，所以 ，
{a } k a −T =k
n n+1 n
即a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a =a −k，
1 2 3 n n+1所以 ，
a2 =(a −k)(a −1)+log q
n+1 n+1 n+1 2
即(k+1)a =k+log q对任意的n∈N*恒成立．
n+1 2
因为a =T +k=a +k=2+k，a =T +k=a a +k=2(2+k)+k=3k+4，
2 1 1 3 2 1 2
则¿，即¿，
解得k=−1，q=2．
又由 ，即 ，得 ，所以 ．
a2=a +log b 4=2+log b b =4 b =2n+1
1 1 2 1 2 1 1 n
检验可知 符合要求，故数列 的通项公式为 ．
k=−1 {b } b =2n+1
n n
（3）因为 为“ 数列”，所以 ，
{a } k a −T =k
n n+1 n
即a =a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a +k对任意的n∈N*恒成立，
n+1 1 2 3 n
因为a >1，k>0，所以a =a +k>1．
1 2 1
再结合a >1，k>0，a >1，反复利用a =a a a ⋅⋅⋅⋅⋅a +k，
1 2 n+1 1 2 3 n
可得对任意的n∈N*，a >1．
n
1
设函数f (x)=lnx−x+1，则f′(x)= −1．
x
由f′(x)=0，得x=1．
当x>1时，f′(x)<0，所以f (x)在(1,+∞)上单调递减．
所以当x>1时，f (x)=lnx−x+1<f (1)=0，即lnx<x−1(x>1)．
又a >1，所以lna <a −1．
n n n
可得lna <a −1，lna <a −1，⋅⋅⋅，lna <a −1，
1 1 2 2 n n
累加可得lna +lna +⋅⋅⋅+lna <a +a +⋅⋅⋅+a −n，
1 2 n 1 2 n
即 ，即 ，
ln(a a ⋅⋅⋅⋅⋅a )<S −n lnT <S −n
1 2 n n n n
所以S >lnT +n．
n n
