2025 年高考数学全真模拟卷 02（新高考Ⅱ卷专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1+i
1．（5分）（2024·广东·模拟预测）已知复数z= ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
3−i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∃x∈R，x2−x+1≤0，命题q: ∀x≥0，
ex≥cosx，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
3．（5分）（2024·广东·模拟预测）已知向量 ，若 ，则实数 的值为
⃗a=(x+3,4),⃗b=(x,−1) |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| x
（ ）
A．4 B．−4或1 C．−1 D．4或−1
4．（5分）（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数
据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：t），得到如图所示的频率分布直方
图，记该组数据的众数为p，中位数为m，平均数为x，则（ ）A．m<p<x B．p<x<m
C．m<x<p D．p<m<x
5．（5分）（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆x2+ y2+4x=0外切，同时与圆x2+ y2−4x−60=0内
切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
x2 y2 y2 x2
A． + =1 B． + =1
9 5 9 5
x2 y2 y2 x2
C． + =1 D． + =1
25 21 25 21
1
6．（5分）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)，如图A,B是直线y= 与曲线
2
π (13π ) (5π )
y=f (x)的两个交点，|AB|= ,f =−1，则f =（ ）
6 24 6
1 √3 √3
A．0 B． C． D．−
2 2 2
7．（5分）（2024·四川攀枝花·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早
一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角
形的三棱锥如图，在堑堵ABC−A B C 中，∠ACB=90∘，若AC=BC=1，A A =2，直线B C与平面
1 1 1 1 1
ABB A 所成角的余弦值为（ ）
1 13√10 √10 1 2√2
A． B． C． D．
10 10 3 3
8．（5分）（2024·浙江杭州·一模）对 ，不等式 恒成立，则
∀x∈[1,+∞） ((lnax) 2−1)(ex−b)≥0
（ ）
( 1) ( 1)
A．若a∈ 0, ，则b≤e B．若a∈ 0, ，则b>e
e e
[1 ) [1 )
C．若a∈ ,e ，则ab=ee D．若a∈ ,e ，则ba=ee
e e
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
π
9．（6分）（2024·贵州黔南·一模）函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) 的部分图象如图所示.下列说
2
法正确的是（ ）
(7π 3π
)
A．函数y=f (x)在区间 , 上单调
6 2
(7π
)
B．函数y=f (x)在区间 ,2π 上有两个极值点
6
(11π
)
C．函数y=f (x)的图象关于点 ,0 中心对称
6[π 17π]
D．函数y=f (x)的图象与直线y=1在区间 , 上有两个公共点
2 12
x2 y2
10．（6分）（2024·四川·一模）已知椭圆E: + =1的左顶点为A，左、右焦点分别为F ,F ，过点
4 3 1 2
F 的直线与椭圆相交于P,Q两点，则（ ）
1
A．
|F F |=1
1 2
B．|PQ|≤4
C．当F ,P,Q不共线时，△F PQ的周长为8
2 2
D．设点 到直线 的距离为 ，则
P x=−4 d d=2|PF |
1
11．（6分）（2024·广东佛山·一模）已知函数f (x)=ax3−3x2+1，则下列命题中正确的是（ ）
A．1是f (x)的极大值
B．当−1<a<0时，f (a−1)<f (a)
C．当a>2时，f (x)有且仅有一个零点x ，且x >0
0 0
D．若 存在极小值点 ，且 ，其中 ，则
f (x) x f (x )=f (x ) x ≠x x +2x =0
1 1 2 1 2 1 2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 1 1 1 1
12．（5分）（2024·浙江温州·一模）已知正项数列{a }满足 + +⋯+ + = ，且
n a a a a a a 3a 6
1 2 2 3 n n+1 n+1
a =a ，则a = .
1 3 2024
13．（5分）（2024·河南·模拟预测）已知角α,β的终边不重合，且sinα+2cosβ=sinβ+2cosα，则
cos(α+β)=
．
14．（5分）（2024·安徽淮北·二模）在3×3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，
若每个2×2的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·广东·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
cos2A=cosBcosC−sinBsinC.
(1)求角A的大小；
(2)已知a=6,c=2√3.求△ABC的面积.1
16．（15分）（2024·广西柳州·一模）已知函数f (x)=ax−lnx− ．
a
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (1,f (1))
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17．（15分）（2024·广东·模拟预测）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，侧面BB C C是边长为2的菱
1 1 1 1 1
形，其对角线交于点O.且AO⊥平面BB C C.
1 1
(1)求证：B C⊥平面ABC ；
1 1
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
∠B BC=60∘,OA=OB ABC ABC
1 1
18．（17分）（2024·陕西宝鸡·二模）某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三
道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的
奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表：
谜语 ① ② ③猜对的概率 0.8 p(0<p<1)0.5
获得的奖金
10 20 30
（元）
(1)若p=0.5，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率；
(2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，
按哪种顺序猜谜所获奖金更多？
19．（17分）（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列 满足：对于 ，其中
{a } ∀n∈N* ，a2 −a2=p p
n n+1 n
为常数，则称数列 为 数列．
{a } P
n
(1)若一个公比为 的等比数列 为“ 数列”，求 的值；
q {x } P q
n
(2)若 是首项为1，公比为3的等比数列，在 与 之间依次插入数列 中的 项构
a =1，p=2，{y } y y {a2} k
1 n k k+1 n
成新数列
{c }:y ,a2,y ,a2,a2,y ,a2,a2,a2,y ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
，求数列
{c }
中前30项的和
S
．
n 1 1 2 2 3 3 4 5 6 4 n 30
(3)若一个“ 数列" 满足 ，设数列{1 }的前 项和为 ．是否存在正整数 ，
P {a } a =2,a =2√2,a >0 n T m,k
n 1 2 n a n
n
使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
T >√mn+k−1 n∈N∗ m,k
n
