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4.3 利用导数求极值与最值（精练）
1．（2023·海南）设函数 ，则 的极大值点和极小值点分别为（ ）
A． ，4 B．4， C． ，2 D．2，
【答案】C
【解析】 ，
令 ，得 ，
当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数 单调递减，
当 ， ，函数 单调递减，当 ，函数 单调递增，
所以函数的极大值点是 ，函数的极小值点是 .
故选：C
2．（2023春·湖北武汉）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图
所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 有三个极值点 B． 为函数的极大值
C． 有一个极大值 D． 为 的极小值
【答案】C
【解析】 ，并结合其图象，可得到如下情况，
当 时， ， 在 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
∴ 在 取得极小值，在 处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D错，C正确；
故选: C.
3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ，
的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上有增也有减
B． 有2个极小值点
C．
D． 有1个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当 ， 时， ，当 时， .
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而 ，C错误.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
4．（2023春·福建莆田）已知函数 的大致图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可知，函数 有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数 图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故 ；
又函数 的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，
所以方程 的两根 满足 ，
即 ，得 ，因此 .故选；B.
5．（2023春·天津武清）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上单调递增
C． 为 的极小值点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． 为 的极大值点
【答案】D
【解析】对于A，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，A错误；
对于B，当 时， ， 在 上单调递减，B错误；
对于C， 在 上单调递减， 不是 的极小值点，C错误；
对于D，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， 是 的极大值点，D正确.
故选：D.
6．（2023·北京）已知函数 的导函数 的图像如图所示，若 在 处有极值，则 的值为
（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．4
【答案】C
【解析】由函数 的导函数 的图像可知当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
故 为函数 的极大值点，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C
7．（2023·山东）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点
B．函数 在 上单调递减
C． 为函数 的极大值点
D． 是函数 的最小值
【答案】B
【解析】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值
与导数的关系可判断C，D.
由 的图象可知 ，当 时， ，
当 时， ，故 为函数 的极大值点，A错误；
当 时， ，故函数 在 上单调递减，B正确；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，C错误；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，而 也为函数 的极小值点，
与 的大小不定，故 不一定是函数 的最小值，D错误,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
8．（2023·全国·高三对口高考）已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，令 ，得 ，
因为 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，
则必有 ，所以 .
故选：C.
9．（2023春·山东聊城）若函数 在区间( , )内存在最小值，则实数 的取值范围
是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
【答案】C
【解析】由 ，令 ，可得 或 ，
由 得： 或 ，由 得： ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取得极小值 ，
令 ，解得 或 ，
若函数 在( , )内存在最小值，则 ，得 ．
故选：C
10．（2023春·四川眉山）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则实数t
的取值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，
所以当函数在 上有最大值，则 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
11．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数 的最小值是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，函数 的极小值为 ，
因为函数 的最小值为 ，当 时，函数 在 上单调递减，
此时，函数 在 上无最小值，不合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时，函数 在 上的极小值为 ，且 ，则 ，
综上所述， .
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的极小值为______．
【答案】 /-0.5
【解析】函数的定义域为 ，
，
令 ，即 ，得 ，
令 ，即 ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故当 时，函数 取得极小值，极小值为 ．
故答案为: .
13．（2023春·上海）函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
因为函数 在 内有极小值
所以方程 必有一根在 内，
当 时， 的两根为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若有一根在 内，则 ，即 ，
此时当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；
所以 在 处取得极小值，满足题意；
当 时， 的两根相等，均为 ，则 在 内无极小值；
当 时， 无实根，则 在 内无极小值；
综上， ，故实数 的取值范围为
故答案为： .
14．（2023·重庆）如果函数 在 处有极值 ，则 的值为__________．
【答案】2
【解析】因为函数 在 处有极值 ，所以 ， .
由于 ，所以 . ，解得： 或 .
当 时， ， ，所以 单调递减，无极值.
所以 .故答案为：2
15．（2023春·河南南阳）若函数 在 上有且仅有一个极值点，则a的取值范围
是______．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，令 ，
由题意可知， 在 内先减后增或先增后减，
结合函数 的图像特点可知， 在 内先减后增，即 ，或 ，解得 .
所以a的取值范围是
故答案为：
16．（2023春·上海）已知函数 在 处有极大值，则 ______.
【答案】
【解析】由已知 ，
可得 ，
令 ，解得 或 ，
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由 可得， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 是函数 的极大值点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上 ．
故答案为： ．
17．（2023春·安徽）已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，则m的取
值范围是________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 .
由题意得 ，
故 ．
故答案为： .
18．（2023·福建）已知函数 的导数 ，若 在 处取到极大值，则a的取
值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意当 时不成立，当 时 有两个零点 与 .
①当 时， 开口向上，且 ，故当 时 ， 时 ， 在
处取到极大值；
②当 时， 开口向下；
当 时， ， 无极大值；
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极大值；
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极小值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上有 或 .
故答案为：
19．（2023春·吉林长春）若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】 ，令 得 ，
时 ， 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若函数 在 上有最小值，则其最小值必为 ，
则必有 且 ，解得 ，
故答案为： .
20．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．
【答案】 /
【解析】 ，
设 ， ，
令 ，得 或 ， 所以当 时， ，
即在 和 上 单调递减，
当 时， ，即在 上， 单调递增，
又因为 ， ，所以 的最大值为 ，故答案为： ．
21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 在区间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上存在零点，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】设函数的零点为 ，则 ，则点 在直线 上.
因为 表示 与 的距离，所以则 的最小值即为原点到直线 的距
离的最小值平方，即 ，
令 ，
令 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以当 时， ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
22．（2023·陕西西安）若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】 ， ，取 得到 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，取 ，则 或 ，
函数 在 上有最小值，则 ，
解得 ，即 .
故答案为：
23．（2023春·山东聊城）已知函数 在 上的最大值为2，则 ______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 在上 恒成立，即 在区间 上单调递减，
所以 ，得到 ，故 ，
所以 .
故答案为： .
24．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在最小值，则
整数 的取值可以是______．
【答案】 （答案不唯一， 、 均可）
【解析】因为 ，则 .
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
令 ，其中 ，则 ，解得 ，
因为函数 在区间 上存在最小值，则 ，解得 ，
所以，整数 的取值集合为 .
故答案为： （答案不唯一， 、 均可）.
25．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值
范围为________.
【答案】
【解析】 ，所以在 和 上， ，函数 单调递减；
在 上， ，函数 单调递增；且
当 时， ， 即 ，
所以 在区间 上有最小值，则： 解得 .故答案为：
26．（2023春·河南商丘）若函数 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 或 ，则 在区间 和 上单调递增，
由 ，得 ，则 在区间 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使函数 在区间 上存在最大值，又 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
27（2023春·广东）求下列函数的极值：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) .
【答案】(1)极小值为1， 无极大值
(2)极小值为3， 无极大值.
(3)极大值 ；极小值 ；
(4)极小值 ，没有极大值．
【解析】（1）因为 ，定义域是R，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解 可得， 或 .
由 可得 ，所以 在 上单调递增；
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减.
所以 时， 取得极小值为 ， 无极大值.
（2）函数 的定义域为 ， .
解 可得， .
由 可得 ，所以 在 上单调递增；
由 可得 ，所以 在 单调递减.
所以 时， 取得极小值为 ， 无极大值.
（3）函数 的定义域是R， ，
令 ，解得 或 ，
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
由表可知，函数 的极大值为 ； 的极小值为 .
（4）函数 的定义域为 ， .
令 ，得 .
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0
极小值
由表可知， 的极小值为 ，且 没有极大值．
28．（2023春·新疆伊犁）已知函数 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为 ，极小值为 .
【解析】（1）依题可知点 为切点，
代入切线方程 可得， ，
所以 ，即 ，
又由 ，则 ，
而由切线 的斜率可知 ，
∴ ，即 ，
由 ，解得 .
（2）由（1）知 ，则 ，
令 ，得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 变化时， ， 的变化情况如下表:
1
+ 0 0 +
极大 极小
值 值
∴ 的极大值为 ，极小值为 .
29．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知函数 的图象与直线
相切.
(1)求 的值；
(2)求函数 在区间 上的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）依题意设 与 相切于点 ，
又 ，∴ ，①
，②
将①②联立得 ，又 ，
∴ 代入①得 ；
（2）由（1）知： ，且 ，又 在 上单调递增，
∴ ， ，则 单调递减，
∴ 时， ，则 单调递增，
而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
30．（2023·云南）已知函数 ， .求函数 的最值；
【答案】函数 的最大值为 ，没有最小值
【解析】 ，
由于 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递减，由于 ， ，
故存在 ，使 .
故当 ， ，则 ，当 时， ，则 ，
从而存在 ， 的单增区间为 ，单减区间为 .
函数 的最大值为 ，
由于 ，所以 ，
故 .
所以函数 的最大值为 ，没有最小值.
1．（2023春·山东）已知函数 在 处取得极大值1，则 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域为 ，由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为函数 在x＝－1处取得极大值1，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
令 ．解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 处取得极大值，在 处取得极小值，所以 的极小值为 ．故选：C
2．（2023·甘肃金昌）已知函数 在 上单调递增，且 在区间 上既有
最大值又有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1.因为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 恒成立，则 ，解得 ；
2.因为 ，则 ，
①当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 在 单调递增，在 单调递减，所以 为最小值，
若 在 上既有最大值，又有最小值，
则 且 ，解得： ；综上所述： ．故选：B.
3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，
成立，则 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】C
【解析】设 ，可得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，故当 时， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值是 .
故选：C.
4．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数 的两个极值点分别为 ，若过点
和 的直线 在 轴上的截距为 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． 或 D． 或2
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意 有两个不同零点，则 ，
所以 ，即 或 ，
由 ，即 ，
而 ，
同理有 ，
所以 、 均在 上，
令 ，则 ，得 ，
综上， （舍）
故选：B
5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数 ，若
， 在 内有极小值，无极大值，则 可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】已知函数 ，若 ，
所以 ，则 ①，
又 在 内有极小值，无极大值，则 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
又 ，则当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍；
当 得， ，所以 ，由①式可得 ；
当 得， ，所以 ，由①式可得 ；
当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍；
当 得， ，无解，故舍；
易知，当 时， 都无解，故不讨论；
综上， 或 ，则 可能的取值个数为 .
故选：C.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若函数 有两个极值点 ，且
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 有两个极值点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又函数 的定义域为 ，导函数为 ，
所以方程 由两个不同的正根，且 为其根，
所以 ， ， ，
所以 ，
则
，
又 ，即 ，可得 ，
所以 或 （舍去），
故选：C.
7．（2023·河北·模拟预测）若函数 ，则 极值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题得 ,
因为 与 的图象均关于直线 对称,
所以 的图象也关于直线 对称,
又 ,且当 时, ,
所以 0,即 ,所以 在 上单调递增.
令 ,则 ,
又 在 上单调递增,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ,使得 ,
所以当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
又 ,所以在 上, ,即 单调递减.
由 图象的对称性可知,在 上, 单调递增,
在 上, 单调递减,
又 ,
所以 极值点的个数为3.
故选：C.
8．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于 的不等式 对任意
的 恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为 对于任意 恒成立，
等价于 对于任意 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 在 有且仅有一个根 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
时， ，即 ，函数 单调递增，
所以 ，
由对勾函数可知 ，即 ，
因为 ，即 ， ， ，所以 ，
当 时，不等式为 ，因为 ，不合题意；
所以整数 的最大值为0.
故选：B
9（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数 ， 为 的导
函数，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 在 单调递增
C．直线 与曲线 相切 D．直线 与曲线 相切
【答案】ABD
【解析】对于A， ，当且仅当 即 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，令 ， ，故 在 单调递增，即 在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调递增，故B正确；
对于C，设 ， ，
在R上单调递增， ，
，又 ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
又 ， ， ，
所以 ，使得 ，所以方程 有两个实数根 和 ，
所以 与函数 有两个交点，.
又 ， ， ，
所以函数 在与 交点处的切线斜率都不为 .
故C错误.
对于D，设切点为 ，由 ， ，故 ，所以 ，解
得 ，则切点为 ，曲线 的切线方程为 ，故D正确；
故选：ABD.
10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】(1) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)答案见解析.
【解析】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）依题意， ，而 ，则 ，
①当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递增，
则 ， ；
②当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递减，
则 ， ；
③当 时，函数 在 上单调递增，由 ，得 ，当 时，
递减，
当 时， 递增， ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
所以当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023春·吉林长春）已知函数
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求 在区间 的最小值.
【答案】(1) ，
(2)当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
当 时 在R上单调递增；
当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
(3)
【解析】（1）当 时 定义域为R，
且 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
即 ， ；
（2）函数 定义域为R，则 ，
令 ，解得 或 ，
①当 时，则当 或 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
所以 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
②当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增；
③当 时，当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
综上可得当 时 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
当 时 在R上单调递增；
当 时 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（3）因为 ，由（2）可得 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
若 ，即 时 在 上单调递减，
所以 在 上的最小值为 ，
若 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 在 的最小值为 ，
所以 .
12．（2023春·北京海淀）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若函数 在 上存在单调递减区间，求a的取值范围；
(3)若函数 的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当 时， ，则 ，
故 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，
因为函数 在 上存在单调递减区间，
所以 在 上有解，
即 在 上有解，
所以 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
（3）设 ，
①当 时， ， 恒成立，
∴ 恒成立， 在 上单调递增，函数 没有最小值，
②当 时， ，
令 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴当 时， 取得极大值，
当 时， 取得极小值，
∴当 时， ，
∴ ，则 ，
又∵函数 的最小值为 ，
∴函数 的最小值只能在 处取得，
则 ,
∴ ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
