4.3利用导数求极值与最值（精讲）（学生版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）_学生版

4.3 利用导数求极值与最值（精讲） 一．函数的极值 1.定义 满足条件 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， 极小值点 f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝ 与极小值 f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b) 极大值点 ＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 与极大值 大值点，f(b)叫做函数y＝f (x)的极大值 极值与 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 极值点 2.求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二．函数的最值 1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函 数的最值必在极值点或区间端点处取得． 2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值． 一．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号； 0 (5)求出极值． 二．根据函数极值求参数 1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2.验证：求解后验证根的合理性． 注意：对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件． 0 0 三．导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤 1.求函数f(x)的导数f′(x)； 2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 3.求f(x)在给定区间上的端点值； 4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值． 四．恒成立问题向最值转化的方法 1.要使不等式 f(x)f(x) ，则不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小值f(x) ，只要 min f(x) >h，则不等式f(x)>h恒成立． min 考法一 利用导数求函数的极值或极值点【例1-1】（2023春·新疆）函数 有（ ） A．极小值0，极大值2 B．极小值 ，极大值4 C．极小值 ，极大值3 D．极小值0，极大值4 【例1-2】（2023春·湖北武汉）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图 象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A． 有三个极值点 B． 为函数的极大值 C． 有一个极大值 D． 为 的极小值 【一隅三反】 1．（2023春·湖南）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ） A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0 2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的 图象如图所示，则（ ）A． 在 上有增也有减 B． 有2个极小值点 C． D． 有1个极大值点 3．（2023春·天津武清）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递增 f x 1 C． 为 的极小值点 f x 2 D． 为 的极大值点 考法二 已知极值（点）求参数 【例2-1】（2023春·吉林）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ） A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0 【例2-2】（2023春·内蒙古）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0 b c f xalnx  a0 【例2-3】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小 x x2 值，则（ ）． bc0 ab0 b28ac0 ac0 A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·海南）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ） A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0 C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0 f x fxa(x1)(xa) f x x=1 2．（2023·辽宁）已知函数 的导数 ，若 在 处取到极大值，则a的取值 范围是__________． 3．（2023春·黑龙江）已知函数 f x xxc2 在x2处有极大值，则 c ______. 考法三 利用导数求函数的最值 3 【例3】（2023春·云南）函数 f(x)x3 x 在区间 (0,) 上的最小值是（ ） A．4 B．5 C．3 D．1 【一隅三反】 ysin2x2sinx 1．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．1 1 2．（2023春·湖北）已知函数 f(x) xlnx 2 x2 ax 2 的图象与直线 y=2 相切. (1)求a的值； 1  ,2   (2)求函数 f(x)在区间2 上的最大值. f(x)x33x29xa. 3．（2023春·重庆永川）设 f x (1)求函数 的单调递增区间； f x f x 2，2 10 (2)若函数 的极大值为 ，求函数 在 上的最小值． 考法四 已知最值求函数的参数 f(x)x33x (a,8a2) a 【例4-1】（2023春·吉林长春）若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是 _____.  1 【例4-2】（2023春·新疆）已知 y f x 是奇函数，当 x0,2 时， f xlnxax  a 2  ，当 x2,0 f x 时， 的最小值为1，则a的值等于（ ）a 【例4-3】（2023·甘肃金昌）已知函数 f xx3ax23x在 上单调递增，且 gxx 在区间1,2 R 2x 上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ） 3,4 2,3 3,4 2,3 A． B． C． D． 【一隅三反】 1 x 1．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 f(x)(axb)ex在 2 时取得最值 2 e ，则 f(x)图象在点 (0, f(0)) 处的切线方程为（ ） xy30 xy30 2xy30 2xy30 A． B． C． D． 1 2 2．（2023春·山东聊城·高二山东省聊城第三中学校考期中）若函数 f(x) x3x2 在区间( , ) 3 3 a1 a5 内存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A．[－5,1) B．(－5,1) C．[－2,1) D．(－2,1) b f xalnx 3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当 x1 时，函数 x 取得最大值 2 ，则 f(4) （ ） 3 3 A． B． C． D．1 1 8 8 考法五 极值最值综合运用 y f x y fx 【例5-1】（2023春·上海松江）函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列命题：y f x 3 ① 是函数 的极小值点； y f x ②1是函数 的最小值点； y f x 3,1 ③ 在区间 上严格增； 3 ④y f x在 x 处切线的斜率小于零. 2 以上所有正确命题的序号是__________. f xexex fx 【例5-2】（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数 ， 为 f x 的导函数，则（ ） f x fx , A． 的最小值为2 B． 在 单调递增 y  ee1 x y f x y2x y fx C．直线 与曲线 相切 D．直线 与曲线 相切 f x2x3ax2b 【例5-3】（2023春·吉林）已知函数 f x a3 (1)当 时，求 的极值； f x (2)讨论 的单调性； a0 f x 0,1 (3)若 ，求 在区间 的最小值.【一隅三反】 f xx33x29xm n, 1．（2023春·北京海淀）已知函数 在区间 的极小值也是最小值，则n的取值 范围是________． 2．（2023春·上海松江）函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列命题： ① 是函数 的极小值点； ② 是函数 的最小值点； ③ 在区间 上严格增； ④ 在 处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是__________. xalnx 3．（2023·广东广州）已知函数 f x x ， aR .讨论函数 f x在区间  0,e2  上的最大值；