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4.2 利用导数求单调性（精讲）
函数的单调性与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下
关系：
①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调增区间；
②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调减区间．
③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
一．利用导数求函数单调区间的方法
法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间．
法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定
各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”
“和”隔开．
二．根据函数单调性求参数的一般思路
法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个
值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则
转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
三．含参函数单调性的分类讨论
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分②判别式Δ分③两根的大小分
四．单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再
进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小
或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在 f(x)与f′(x)的不等关系
时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而
求解不等式．
五．易错点
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上
的任何子区间内都不恒为零．
注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
考法一 利用导数求函数的单调区间（无参）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-1】（2023春·湖北）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 .故选：B
【例1-2】（2023春湖南）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 令 ，得 ，∴当 时， 单调递增.故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河南）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 的定义域为 ， ，
由 ，可得 ，故 的单调递减区间为 .故选：C．
2．（2023春·吉林长春）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意得 ，令 ，解得 或 ，故其单调增区间为
，故选：A.
3．（2023春·山东）若函数 ，则函数 的单调递减区间为（ ）．
A． ， B． ，
C． D．
【答案】C
【解析】 ，函数定义域为 ， ，
令 ，解得 ，则函数 的单调递减区间为 .故选：C.
考法二 导函数图像判断原函数图像
【例2-1】（2023春·广东）已知函数 的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上单调递增
C．当 时， >0
D．当 时， =0
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由图像可知函数 的增区间为 ，减区间为 ，故AB正确；
由单调性可知，函数 在 处取得极值，所以 ，D正确；
当 时，函数 单调递减，所以 ，C错误.故选：C
【例2-2】（2023·广西）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象
最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
只有C选项的图象符合.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·山东）已知函数 的导函数 图像如图所示，则 的图像是图四个图像中的
（ ）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， 单调递增，则 在 上增的越来越快，
当 时， 单调递减，则 在 上增的越来越慢，
当 时， 单调递减，则 在 上减的越来越快，
当 时， 单调递增，则 在 上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
2．（2023·山西）函数 的图象如图所示，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D． 的符号不确定
【答案】B
【解析】
如图所示， 在 上单调递减，所以 故选：B
3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，
则（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C．曲线 在 处的切线的斜率为0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． 最多有3个零点
【答案】D
【解析】设 ，且 ．由图可得，当 时， ，
当 时， ．所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
故 最多有3个零点．排除ABC.故选：D
4．（2023·海南）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图象如下图所
示，则该函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由导函数图象知， ， 恒成立，即函数 在 上单调递增，
而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此在 上，函数 的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，
在 上，函数 的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.
故选：B.
考法三 已知函数单调性求参数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围是___________；若 在区间 上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为 ， ，
在区间 内单调递增， 在 上恒成立，
在 上恒成立， 在 上恒成立，
， ，因为在 ，
，则 的取值范围是： .
若 在 上存在单调递增区间，则 在 上有解，
即 在 上有解， ，
又 ， .则 的取值范围是： .
故答案为： ； .
【例3-2】（2023·天津）若函数 有三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，因为函数有三个单调区间，所以 ，解得： .故选：A
【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数 在区间 上不单调，则
实数m的取值范围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 ，因为 在区间 上不单调，所以 ，解得： 故选：
B.
【一隅三反】
1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，所以 .所以 的取值范围是 .故选：B
3．（2023春·四川成都）若函数 的单调递减区间为 ，则实数k的值为
（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由 ，由已知递减区间，则 得： ，
故 ，1是 的两根， ， ，
故选：A
4．（2023春重庆）（多选）已知函数 在 上有三个单调区间，则实数 的取
值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在 上有三个单调区间，等价 在 有两个不同的根.
，令 ，则 ，
即 在 有唯不为1的一根，则有 有唯一不为1的根，
令 ，则 ，故当 单调递增，
当 单调递减，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，故选：BD
5．（2023·陕西）函数 在区间 上不单调，实数 的范围是____________.
【答案】
【解析】 ， ，令 ，得 .
当 或 时， ；当 时， .
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的极大值点为 ，极小值点为 .
由题意可得 或 ，解得 或 .
所以实数 的范围是 .故答案为： .
考法四 单调性的应用--比较大小
【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，可得函数 为偶函数，
当 时，则 ，可得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又因为 ，且 ，
所以 ，即 .
故选：D.
【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【答案】D
【解析】设 ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，则 .
故选：D.
【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，所以 ，当 时取等号.
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
故 ，所以 ，当 时取等号.
所以 ，即 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以构造函数 ，
因为 ，由 有： ，
由 有： ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ， ,
因为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】易知 ， ， ，令 ，则 ，
，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ．故选：D.
3．（2023·河北·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
因为 ，故 ，即 ，
故选：B
考法五 单调性的应用--解不等式
【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数 ，则 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 均为偶函数，故函数 为偶函数，
令 则 ，
，即 在R上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 在 恒成立，
故函数 在 上递减，在 递增.
.故选：C.
【例5-2】（2023春·四川凉山·）已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，因为 ，所以 ，即函数
在 上单调递减，则 ，即 ，即 ，
所以 ，即 的解集为 .故选：D
【一隅三反】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
______.
【答案】
【解析】因为函数 ，所以 ，即函数 为奇函数，
且 ，则函数 为增函数，
则不等式 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023春·江苏盐城）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且 ，则不
等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造函数 ，则 ，
所以函数 在R上单调递增，又 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 .故选：D.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数 ， ，若
，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】由 ，
函数 是定义在 上的偶函数，又 ，
令 且 ，则 ，故 在 上递增，
所以 ，即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
所以 在 上递增，则 上递减，
，则 ，
，即 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上单调递增， ，即 ，解得 ．故答案为： ．
考法六 含参函数单调性的分类讨论
【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析.
【解析】函数 ， ，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
+ 0
↗ 极大值 ↘
综上所述，当 是， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数 ，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
综上所述：当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为减函数，在
上为增函数.
【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数 ，讨
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 ，
令 ，则两根分别为 .
1.当 时， 在 恒成立，故 的单调递增区间为 ，无单调递减区
间；
2.当 时，令 得 或 ，令 得 ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
3.当 时，令 得 或 时，令 得 ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 单调递增区间为
，单调递减区间为 ；当 时， 单调递增区间为 ，单调递减
区间为 .
【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数 ，讨论
函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为 ，该函数的定义域为 ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，由 得： 或 .
①当 ，即 时， 对任意的 恒成立，且 不恒为零，
此时，函数 的增区间为 ，无减区间；
②当 ，即 时，由 得 或 ；由 得 .
此时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
③当 ，即 时，由 得 或 ；由 得 .
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
综上所述：当 时，函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数 ，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为R，
， ，对于 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时，由 得 ，
当 和 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
在 单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单增，
当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；.
【一隅三反】
1．（2023·陕西咸阳）已知 ，讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题知， .
当 时，当 时， ；当 时， ，
在区间 上是㺂函数，在区间 上是增函数；
当 时， ；当 或 时， ；当 时， ；
在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
当 时， 在区间 上是增函数；
当 时， ；当 或 时， ；当 时， ；
在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
综上所述，当 时， 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；
当 时， 在区间 上是增函数；
当 时， 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数.
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ， ，讨论 的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为 ，
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间
3（2023·贵州）已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域是 ， ，
（i）当 时， ， 在 递减，无增区间；
（ii）当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上递减，在 上递增；
（iii）当 时，令 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 ，
故 在 递减，在 递增；
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 .
4．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】 的定义域为 ，
①当 时， ，此时函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得 ，由 得
此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递
减，在 上单调递增.
5．（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，又 ，所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域是 ，
， ，
令 ，则 ．
①当 或 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
②当 ，即 时，由 ，得 或 ；
由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
