文档内容
4.5 导数的综合运用（精练）
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数a的值；
(2)已知 且 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以函数 定义域为 ， .
因为 ，且 ，所以 是函数 的极小值点，则 ，所以 ，得
.
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，满足条件，故 .
（2）由（1）可得， .令 ，则 ，所以 ，即 ，
，
所以 .证毕.
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求 的取值范围；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求证：对一切的 ， ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）由 知， ， ，
记 ， ，则 ， 在 上单调递增．
当 时， ， 对 恒成立，
在 上单调递增， ，符合题意；
当 时， ，且 在 上单调递增， ，
所以x趋向正无穷 趋向正无穷，故存在 ，使得 ，
从而 ， ， 单调递减， ，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．
（2）当 时，由（1）知 ，
对一切 恒成立，即 对一切 恒成立，
令 ， ，则 ，
， ，…， ，
，
即 ，
3．（2023·四川凉山·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当 ，若两个不相等的正数m，n，满足 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ．
当 时， ，∴函数 在 上为增函数；
当 时，令 ，得 （舍去）或 ，
∴当 时， ；当 时， ；
∴函数 在 上为减函数，在 上为增函数．
（2）当 时， ，∴ ，且 ，
∴函数 在 上为增函数，
∵有两个不相等的整数m，n满足 ，
∴不妨设 ，要证明 ，即证 ，即证 ，
又 ∴即证 ，即证 ，
即证 ，
令 ， ，则 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
∴ 函数 在 上为增函数，∴ ，得证．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1） 时， ；又 ，则 ，
切线方程为： ，即
（2） ，
则 ，又令 ，
①当 ，即 时， 恒成立，∴ 在区间 上单调递增，
∴ ，∴ ，∴ 在区间 上单调递增，
∴ （不合题意）；
②当 即 时， 在区间 上单调递减，
∴ ，∴ ，∴ 在区间 上单调递减，
∴ （符合题意）；
③当 ，即 时，由 ，
∴ ，使 ，且 时， ，
∴ 在 上单调递增，∴ （不符合题意）；
综上， 的取值范围是 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.(2)
【解析】（1）函数 ， ，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
+ 0
↗ 极大值 ↘
综上所述，当 是， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 等价于 ，令 ，
当 时， ，所以 不恒成立，不合题意.
当 时， 等价于 ，
由（1）可知 ，
所以 ，对 有解，所以 对 有解，
因此原命题转化为存在 ，使得 .
令 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ，故 在 上单调递减，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）当 时， ，
，所以曲线 在 处的切线的斜率 ，又 ，
切线方程为 .
与 轴的交点分别是 ，
切线与坐标轴围成的三角形的面积 ·
（2）存在 ，使 即 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即存在 ，使 成立.
令 ，因此，只要函数 在区间 的最小值小于 即可·
下面求函数 在区间 的最小值.
，
令 ，因为 ，
所以 为 上的增函数，且 .
在 恒成立·
在 递调递增，
函数 在区间 的最小值为 ，
，得 .
7．（2023·云南·校联考三模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有2个不同的零点 ，求证： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(2)证明见解析
【解析】（1）当 时 ，则 ，定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以当 时 ，即 单调递减，当 时 ，即 单调递增，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）证明：因为 定义域为 ，
则 有2个不同的零点等价于 有 个不同的实数根，
令 ， ，则 ，
所以当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值，即 ，
又 ，当 时 ，当 时 ，且 时 ，
所以 ，且 ，
因为 ， 是方程 有 个不同的实数根，即 ，
两式相除得 ，令 ，则 ， ，所以 ， ，
又 ， ，因此要证 ，只需证明 ，
又 ，所以只需证明 ，即证 ，
因为 ，所以即证 ，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递增，则 ，
即当 时 成立，命题得证.
8．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数 有两个
零点 ，且 ．
(1)求a的取值范围；
(2)若 在 和 处的切线交于点 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）
当 ， ， 在 上单调递减，不可能两个零点；
当 时，令 得
， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
，
，
时， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
所以 ，即 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，
所以 ，
而 ，
所以 ； ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 有唯一零
点且 有唯一零点，满足题意，
综上： ；
（2）曲线 在 和 处的切线分别是
，
联立两条切线得 ，∴ ，
由题意得 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，
令 ， ，∴ 在 单调递减，∴ ，
∴ 得证．综上： ．
9．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.(2)证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，
令 ，得 或 ，
在 上， ，在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知 ，
设 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ， 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ，即 .①
设 ， ，
则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ，即 .②
由①得 ，由②得 ，所以 .
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）解：函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：
增 极大值 减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
（2）证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)证明见解析
【解析】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）若函数 有两个零点，则 ，
即 ，两式相减，可得 ，两式相加得 ，
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】只须证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则由 得 ，故须证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 成立，
故原不等式 成立.
12．（2023·陕西·统考二模）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求a的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解．
【解析】（1）当 时， ，定义域为
令 ，则
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，得 ；
（2）因为 有两个不同的零点 ，则 在定义域内不单调；
由
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在 恒成立，则 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，在 上有 ，在 上有 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．不妨设
令
则
当 时， ，则 在 上单调递增
所以
故 ，因为
所以 ，又 ，
则 ，又 在 上单调递减，
所以 ，则 ．
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由 有意义可知， .
由 ，得 .
令 ，即有 .
因为 ，所以 ，令 ，
问题转化为存在 ，使得 .
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， .
因为存在 ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 .
故选： .
2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ，若对于定义
域内的任意实数 ，总存在实数 使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， 的定义域为 ，
因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以函数 在 上没有最小值，
，
当 时，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 取得最大值为 ，
值域为 ， 在 内无最小值，因此 .
当 时，令 ， ，
，当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 取得最大值为 ，显然 ，
即 ，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图所示
当 时， 有两个根 ，不妨设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 或 时， ；
当 或 时， ；
所以 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增.
所以 在 与 处都取得极小值，
所以 ，不符合题意，
当 时， ，当且仅当 ， 时取到等号，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得最小值为 ，不符合题意，
综上所述，实数a的取值范围为
故选：D.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 有两个大于1的零点，则
的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 有两个大于1的零点，所以 在 不单调.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，显然 在 上单调递增，而 ，
当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增，不符合题意，此时可排
除ABC；
当 时，因为 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值.
而 ，当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，
所以当函数 有两个大于1的零点时，只要 即可，
，
设 ，则 ，所以 单调递增；
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
对于D，当 时，由 知 ，
当 时， ，所以 ，满足题意；
故选：D.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）已知 ，当 时，存在b， ，使得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对A，由 ,令 ,
所以 ,
令 ,其对称轴为 ,故函数 在 上单调递增,
所以 ,
当 时,即 时, ,
则函数 单调递增,所以 .
当 时,即 时,存在 ,使得 ,即 ,
当 时, ,则函数 单调递减,
所以 0,与 矛盾,综上, ，A正确;
对B，由 可得 与 在 上存在分隔直线,
， ， ， ， ， ，
则 在 处的切线方程分别为: ,
所以 ,可得 ,故B正确;
对C，取 得 ,所以 ,得 ,故C正确,
对D，由C知 ，故D错误.
故选：ABC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】曲线 在点 处的切线方程为 ，
由于直线 与圆 相切，得 （*）
因为曲线 与圆 有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程 有三个不相等的实数根.
令 ，则曲线 与直线 有三个不同的交点.
显然， .
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
且当 时， ，当 时， ，
因此，只需 ，即 ，
解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)当 时，求函数 的极值点的个数；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
【答案】(1)极值点的个数为2
(2)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，
定义域为 ， ，
令 ，则 .
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以存在唯一的 ， ，使得 ，
所以当 时 ，
时， ，
时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
所以函数 的极值点的个数为2.
（2） .
因为函数 有两个零点 ，不妨设 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
解得 .
要证明 ，
即证明 ，
分式上下分别除以 ，
即证明 ，
令 ，即证明 ，
即证明 .
令 ， ， ，
则 ，
令 ， ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以对 ， ，
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 成立.
7．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且
.
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1） 在 上有两个变号零点，即 有两个不等实根，
设 ，当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，且当 ，恒有 成立，于是 ，且 ，
即有 ，又 ，
则 ，
令 ，求导得 ，即 在 上单调递减，
从而 ，所以 .
（2）由（1）知，方程 的两个实根 ，即 ，
亦即 ，从而 ，设 ，又 ，即 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，
设 ，
则 在 上单调递增，有 ，
于是 ，即有 在 上单调递增，因此 ，即 ，
所以 成立.
8．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数 ，
，其中 ， .
(1)证明： ；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递增，
所以 ；
（2） ，
令 ，因为 ，
又
，
所以 ，
若 在 上恒成立，则 为必要条件，即 .
下证充分性
当 时， ，
由（1）知 ， ，
所以只需证明 ，也只需证明 ，
令 ，
令 ，所以 ，
令
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
所以 ，所以 成立.
综上可得a的取值范围为 .
9．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1） ， ，
①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增．
②当 ，即 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减．
③当 ，即 时，
若 ，则 ， 在区间 单调递增．
若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增．
综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减；
时， 在区间 单调递增
时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）证明：要证 ，即证 ，
即证 ．
令 ， ，则 ，
所以 在区间 单调递增，所以 时， ，
即 时， ．
令 ， ，则 在 时恒成立，
所以 ，且 时， 单调递增，
因为 时， ， ，且 ，
所以 ，且 时， ，即 ．
所以 ，且 时， ．
10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）必要性： 在 上恒成立， ，
则 ，故 ，故 ，
若 ，则 ，则存在区间 使函数单调递减，
故 ，不成立；
充分性：当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 在 恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，成立.
综上所述： .
（2） ，即 在 上恒成立，
取 ， ，则 ，
即 ，
， ， ， ，
累加得到 ，
即 ，得证.
11．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在点 处的切线经过坐标原点；
(2)若 ，证明： 有两个零点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得 ，
所以 ，又因为 ，
由导数的几何意义，可知曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，恒过坐标原点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，令 ，得 .
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增.
所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，由零点存在定理知 在 上有一个零点，即 在 内只有一个零点.
因为 ，所以 ，
令 ，当 时， 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，
又 ，由零点存在定理知 在 上有一个零点，即 在 内只有一个零点，
综上， 有两个零点.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【解析】（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
13．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)判断 和 的单调性；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）解：由函数 ，可得 ，
若 时， ， 在定义域 上单调递减；
若 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
又由函数 的定义为 ，且 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也为最大值 ，
所以 ，所以 在 上单调递减.
（2）解：由不等式 ，即 在 内恒成立，
即 在 内恒成立，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又由 ，
， ，
所以在 中存唯一的 使得 ，在 中存在唯一的 使得 ，
即有 ，
因为 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
又由 ，
所以当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，
时， ，
因为 ，可得
所以 ，即 ，所以 ，
代入 和 ，则有 ，
同理可得 ，
所以 ，所以函数 在 上的最小值，既可以在 处取得，也可以在 处
取得，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
14．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)判断函数 的零点个数.
【答案】(1)证明见详解
(2)答案见详解
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
所以 在 上单调递增.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
所以 ，即 在 上恒成立.
（2） ，其定义域为： .
.
当 时，令 得： .
若 ， ，所以 为减函数；
若 ， ，所以 为增函数.
所以 ，
所以此时 没有零点；
当 时，令 得： ，或 .
若 ， ，所以 为增函数；
若 ， ，所以 为减函数；
若 ， ，所以 为增函数.
所以 的极大值为 ，
极小值为 .
此时 时， ， 时， .
所以此时 有 个零点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 在 单调递增.
此时 时， ； 时， .
所以此时 有 个零点；
当 时，令 得： ，或 .
若 ， ，所以 为增函数；
若 ， ，所以 为减函数；
若 ， ，所以 为增函数.
所以 的极大值为 ，
极小值为 .
此时 时， ， 时， ，
所以 有 个零点.
综上所述：当 时， 没有零点；当 时， 有 个零点.
15．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论方程 实数解的个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由 可得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，令 ，可得 ，
当 ，函数 单调递减，
当 ，函数 单调递增，
所以函数 在 时取得最小值 ，
所以当 时，方程 无实数解，
当 时，方程 有一个实数解，
当 时， ，故 ，
而 ， ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 有两个零点即方程 有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式 可化为， ，
即当 时， 恒成立，
所以 ，即 ，
令 ，
则 在 上单调递增，而 ，
当 即 时， 在 上单调递增，
故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题设可得 ，
设 ，则该函数在 上为减函数，
而 ，故 .
当 即 时，因为 ，
故 在 上有且只有一个零点 ，
当 时， ，而 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
而 ，故 ，故
因为 ，故 ，故 符合，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在 处取得最小值，
(2)
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值， .
（2）因为函数 对 恒成立
所以 对 恒成立，
令 ，则 ，
①当 时， ， 在 上单调递增，
所以，由 可得 ，即满足 对 恒成立；
②当 时，则 ， ， 在 上单调递增，
因为当 趋近于 时， 趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
③当 时，令 得
令 ， 恒成立，故 在 上单调递增，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，当 趋近于 时， 趋近于负无穷，
所以 ，使得 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以，只需 即可；
所以， ， ，因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，所以， ，
综上所解，实数a的取值范围为 ．
17．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 有两个极值点，求整数a的值；
(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数 的切线的斜率不小于b，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题设 ，令 ，
所以 ，又 有两个极值点，
所以 有两个不同零点，即 在 上有两个根，
所以 与 有两个交点，而 ，
令 ，易知 在 上递减， ， ，
所以 使 ，即 ，故 上 ，即 ， 上 ，即
，
故 在 上递增， 上递减， 趋向于 时 趋向 ， 趋向于 时 趋向 ，
， ，
所以 ，则 ，且 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上， ，即 ， ，又 为整数，
所以 ，经检验满足题设.
（2）由题设， 使 恒成立，
令 ，即 使 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，在 上递增，且 ，
所以 ， ，故 在 处的切线为 ，
令 ，则 在 上递增，
而 ，故 上 ， 递减， 上 ， 递增，
所以 ，即 在 上恒成立，
综上， 对任意 恒成立，只需 ，
即 ，仅当 时等号成立，故 的最大值 .
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求a的最大整数值．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
①当 ，即 时， 恒成立，此时 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 ，即 时，由 解得， ，
由 解得， ，由 解得 或 ，
此时 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
③当 ，即 时，由 解得 或 (舍)，
由 解得 ，由 解得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
此时 在 上至多有一个笭点，不待合题意，
由于 是整数，必有 ，
当 时，由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
取 ，有 ，当 时， ，
若 在 上有两个零点，则 ，
因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，则存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，此时 ，
若 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
当 时， ，此时 ，因此 ，则当 时， 成立，
所以 的最大整数值为 .
19．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ；
(3)讨论函数 在 上零点的个数.
【答案】(1) 的增区间是 ，减区间是
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）当 时， ， .
当 ， ，所以 在 上单调递增；
当 ， ，所以 在 上单调递减.
所以 的增区间是 ，减区间是 .
（2）当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
设 ，则 .
由（1）知 时 ，所以 ，
所以， ，即 在 单调递增，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 .
（3）
当 时， ， ，
所以 .
由（2）知，此时 ，所以 没有零点.
若 时， 的导函数 .
令 ，则 .
令 ，则 .
①当 时， 在 上恒成立，
所以 ，即 在 上单调递增.
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点，记作 .
则当 时， ，所以 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 在 上单调递增.
②当 时， ，所以 在 上恒成立，所以 在
上单调递增.
综合①②，可得当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
又因为 ，所以，当 时， ， ；
又 ，所以存在唯一实数 ，使得 .
所以当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增.
又因为 ，所以 时， ，所以 在 上没有零点.
由（1）知 时， ，则 .
又 ， 在 上单调递增，所以 在 上存在唯一零点.
所以， 在 上存在唯一零点.
综上，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上存在唯一零点.
20．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)讨论函数 的零点个数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)答案见解析
【解析】（1）解：由 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时，则 ，可得 ， 在 单调递减；
当 时，则 ，可得 ， 在 单调递增；
故函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（2）解：由 ，得 ，
因此函数 的零点个数等价于函数 与 的图象的交点个数，
因为 ，所以 的递增区间是 ，递减区间是 ，
所以当 时， 取最大值 ，
由（1）可知，当 时， 取最小值 ，
当 ，即 时，函数 与 的图象没有交点，即函数 没有零点；
当 ，即 时，函数 与 的图象只有一个交点，即函数 有一个零点；
当 ，即 时，函数 有两个零点，
理由如下：
因为 ，
所以 ， ，
由函数零点存在定理，知 在 内有零点.
又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递增，
所以 在 上只有一个零点.
又因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，
因为 的图象关于直线 对称，所以 与 的图象都关于直线 对称，
所以 在 上只有一个零点.
所以，当 时， 有两个零点.
21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若关于 的方程 在 内有解，求 的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）已知 在 内有解，设 为 在 内的一个零点，
由 ，知 在 ， 内都不单调
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 在 ， 内均存在零点，即 至少有两个零点.
，
当 时， ， 在 上单调递减， 不可能有两个及以上零点，舍去；
当 时， ， 在 上单调递增， 不可能有两个及以上零点，舍去；
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上存在最小值 .
若 有两个零点，则 ， ， ，
而 ，
令 ，则 ，
则 ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，即 恒成立，
由 ， ，得 ，即 的取值范围是 .
22．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)选①， ；选②， 的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 ，无极小值.
（2）若选①：由 恒成立，即 恒成立，
整理得： ，即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 处取得极大值， 的最大值为 ，故 ，即 .
故当 时， 恒成立.
若选择②：由关于 的方程 有两个实根，
得 有两个实根，
整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，即 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 处取得极大值，
的最大值为 ，又因为
所以要想 有两个根，只需要 ，
即 ，所以 的取值范围为 .
23．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由题意可得： ，显然 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最大值 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最小值 ，不合题意；
综上所述： ， 在 处取到最大值 .
因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最大值 ；
由题意可得： ，解得 .
（2）由（1）可得： 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值
，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 上单调递增，在 上单调递减，在 处取到最大值 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
若直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，则 ，
此时直线 与曲线 、 均有两个交点，
构建 ，
构建 ，且 ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值 ，
构建 ，则 ，
因为 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得：当 时， ，则 ，
所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，且 在 上单调递增，
则 ，可得 ，
所以 ；
当 时， ，且 在 上单调递减，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述：当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
结合题意可得：直线 与曲线 的两个交点横坐标为 ， 与 的两个交点横坐标
为 ，且 ，
当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得
所以 ；
当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述： ，即 .
24．（2023·湖南·校联考二模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明：方程 有三个不等实根．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【解析】（1）设 ， ，则 ，
∴当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
因为 在定义域内单调递增，所以 的最小值为 ；
（2）由 可得 ，整理可得
，
设 ，
令 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，由 得 ．
因此，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调
递增．
由于 ，故 ，又由 ，由零点存在定理，存在
，使得 ，
∴ 有两个零点1和 ，方程 有两个根 和 ，
则如图， 时，因为 ，故方程 有一个根 ，
下面考虑 解的个数，其中 ，
设 ，结合 的单调性可得：
在 上为减函数，在 上为增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ， ， ，
故 在 上有且只有一个零点，
，设 ，
故 ，故 即 ，
而 ，故 在 上有且只有一个零点，
故 有两个不同的根 且 ，
综上所述，方程 共有三个不等实根
25．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 （其中 ）， ．
(1)证明：函数 在区间 上单调递增；
(2)判断方程 在R上的实根个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1） ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上为增函数，
所以 ，当且仅当 时，取得等号，
所以函数 在区间 上单调递增.
（2）方程 在R上的有且仅有1个实根.
证明如下：
方程 ，即 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
因为当 时， ，则 在区间 上无零点，
所以只需证明 在区间 上有且只有一个零点.
①若 ，
当 时， ，则 在区间 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 在区间 上有且只有一个零点；
②若 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又因为 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，所以 在区间 上为增函数，
所以 ，
所以 在区间 上为增函数，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上有且只有一个零点.
综上所述：当 时， 在区间 上有且只有一个零点.
即方程 在R上的有且仅有1个实根.
26．（2023·广东汕头·统考三模）设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： ， ， 成等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ， ，所以 等价于 ，
即 ，
令 ，则只需证 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故 ，即 成立，
所以 成立，即 得证；
（2）记 ，则 ，
当 时， ；当 时， ．
故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 ；
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 .
所以函数 与函数 有相同的最大值，画出 与 的图象如下图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可知， 且 ，又当 时， ，故 ，
当 时，直线 与两条曲线 和 各有两个不同的交点，
则直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ，
而直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ，
构造 ，当 时， ；当 时， ，
当 时，1-x<0， ， ， ，
故 在 内单调递减，又 ， ，
结合零点存在性定理可知： 在 内存在唯一零点，
故曲线 和 在 有唯一一个公共点，
由图可得：若直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点 ， ， ，
其中 ，即 ，即 ，
， ， ，
由 ，又 ，
结合 在 内单调递增，故 ，
由 ，又 ， ，
结合 在 内单调递减，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，故 ， ， 成等比数列.
27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
【答案】(1) 递减区间为 ，递增区间为 .
(2)证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，所以 ，得 ，
当 ， ，当 ， ，
故函数 递减区间为 ，递增区间为 .
（2）因为函数 在 处取得极值，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
令 ，
因为 ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
且当 时, ,当 时, ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 .
先证 ，需证 .
因为 ，下面证明 .
设 ,
则 ,
故 在 上为增函数,故 ,
所以 ,则 ,
所以 ,即得 ，
下面证明：
令 ，当 时 ，所以 成立,
所以 ，所以 .
当 时，记 ,
所以 时 ，所以 为减函数得 ,
所以 ,即得 .
所以 得证，
综上， .
28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为 ，其中 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，对任意的 ， ，即 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以， ，故 ，所以， 的最大值为 .
（2）解：由题意可知， ，设 ，
由 可得 ，则 ，
可得 ， ，所以， ，令 ，其中 ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 且 ，
所以，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， .
29．（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为 ， ， ，
设 ，则 ，
若 有两个极值点，则 有 个变号零点．
当 时， ， 在 上递增， 至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
若使得 有 个变号零点，则 ，即 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，此时， ，
，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，故 ，
由零点存在定理可知，函数 在 、 上各有一个变号的零点，
设函数 在 、 上的零点分别为 、 ，
当 或 时， ；当 时， .
此时函数 有两个极值点，合乎题意.
综上所述， .
（2）证明：欲证 ，即证 ，
由于 、 为 的零点，
则 ，可得 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
所以只需证明： ，即证： ，
构造函数 ，其中 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 得证，故 .
30．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
【答案】（1）当 时， ；当 时， ；当
时， ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为 ， ，
①当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；
②当 ，即 时， ， ，
所以函数 在 上单调递增，则 ；，
③当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则
；
④当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递减，则 ．
综上，当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ；
当 时， .
（2）要证 ，只需证： ，
若 有两个极值点 ，即函数 有两个零点，又 ，
所以 是方程 的两个不同实根，
即 ，解得 ，
另一方面，由 ，得 ，
从而可得 ，
于是 ．不妨设 ，
设 ，则 ．因此， ．
要证 ，即证： ，
即当 时，有 ，
设函数 ，则 ，
所以 为 上的增函数．注意到， ，因此， ．
于是，当 时，有 ．
所以 成立， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
