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4.3 利用导数求极值与最值（精讲）
一．函数的极值
1.定义
满足条件
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，
极小值点
f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝
与极小值
f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)
极大值点
＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极
与极大值
大值点，f(b)叫做函数y＝f (x)的极大值
极值与
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点
极值点
2.求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二．函数的最值
1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函
数的最值必在极值点或区间端点处取得．
2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
一．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值．
二．根据函数极值求参数
1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2.验证：求解后验证根的合理性．
注意：对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件．
0 0
三．导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
1.求函数f(x)的导数f′(x)；
2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
3.求f(x)在给定区间上的端点值；
4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．
四．恒成立问题向最值转化的方法
1.要使不等式 f(x)f(x) ，则不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小值f(x) ，只要
min
f(x) >h，则不等式f(x)>h恒成立．
min
考法一 利用导数求函数的极值或极值点
【例1-1】（2023春·新疆）函数 有（ ）
A．极小值0，极大值2 B．极小值 ，极大值4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．极小值 ，极大值3 D．极小值0，极大值4
【答案】D
【解析】 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 内单调递减，
当 时， ， 在 内单调递增，
当 时， ， 在 内单调递减，
所以当 时，函数 有极小值 ，
当 时，函数 有极大值 .
故选：D.
【例1-2】（2023春·湖北武汉）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图
象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 有三个极值点 B． 为函数的极大值
C． 有一个极大值 D． 为 的极小值
【答案】C
【解析】 ，并结合其图象，可得到如下情况，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
∴ 在 取得极小值，在 处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D错，C正确；
故选: C.
【一隅三反】
1．（2023春·湖南）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）
A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0
C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图形与 轴相切与点 ，可得 ，
解得 ，即 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数 取得极大值，极大值为 ，
当 ，函数 取得极小值，极小值为 .
故选：C.
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上有增也有减
B． 有2个极小值点
C．
D． 有1个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当 ， 时， ，当 时， .
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而 ，C错误.
故选：D
3．（2023春·天津武清）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上单调递增
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f x
1
C． 为 的极小值点
f x
2
D． 为 的极大值点
【答案】D
x1,0 fx0 x0,1 f�( x) >0
【解析】对于A，当 时， ；当 时， ；
\ f ( x) 1,0 0,1
在 上单调递减，在 上单调递增，A错误；
x2,0 fx0 \ f ( x) 2,0
对于B，当 时， ， 在 上单调递减，B错误；
f x 2,0 f x
x1
对于C， 在 上单调递减， 不是 的极小值点，C错误；
x0,2 f�( x) >0 x2,3 fx0
对于D，当 时， ；当 时， ；
\ f ( x) 0,2 2,3 x2 f x
在 上单调递增，在 上单调递减， 是 的极大值点，D正确.
故选：D.
考法二 已知极值（点）求参数
【例2-1】（2023春·吉林）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）
A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0
C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图形与 轴相切与点 ，可得 ，
解得 ，即 且 ，
当 时， ， 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数 取得极大值，极大值为 ，
当 ，函数 取得极小值，极小值为 .
故选：C.
【例2-2】（2023春·内蒙古）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）
A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0
C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图形与 轴相切与点 ，可得 ，
解得 ，即 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数 取得极大值，极大值为 ，
当 ，函数 取得极小值，极小值为 .
故选：C.
b c
f xalnx a0
【例2-3】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小
x x2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】值，则（ ）．
bc0 ab0 b28ac0 ac0
A． B． C． D．
【答案】BCD
b c a b 2c ax2bx2c
【解析】函数 f(x)alnx 的定义域为 ，求导得 f(x) ，
x x2 (0,) x x2 x3 x3
f(x) f(x) (0,) a0
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程ax2bx2c0有两个不等的正根x,x ，
1 2
Δb28ac0
b
x x 0
于是 1 2 a ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
2c
xx 0
1 2 a b28ac0 ab0 ac0 a2bc0 bc0
故选：BCD
【一隅三反】
1．（2023春·海南）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则 的（ ）
A．极小值0，极大值 B．极小值 ，极大值0
C．极小值0，极大值 D．极小值 ，极大值0
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 的图形与 轴相切与点 ，可得 ，
解得 ，即 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数 取得极大值，极大值为 ，
当 ，函数 取得极小值，极小值为 .故选：C.
f x fxa(x1)(xa) f x
x=1
2．（2023·辽宁）已知函数 的导数 ，若 在 处取到极大值，则a的取
值范围是__________．
0,,1
【答案】
fx
a0 a0 x=1 xa
【解析】由题意当 时不成立，当 时 有两个零点 与 .
a0 fx 1a x,1 f�( x) >0 x1,a fx0 f x
①当 时， 开口向上，且 ，故当 时 ， 时 ， 在
x=1处取到极大值；
fx
a<0
②当 时， 开口向下；
fx0 f x
a1
当 时， ， 无极大值；
a1
xa,1 f�( x) >0 x1, fx0 f x
x=1
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极大值；
1a0
x,1 fx0 x1,a f�( x) >0 f x
x=1
当 时，在区间 上 ， 上 ，故 在 处取到极小值.
综上有a0或a1.
0,,1
故答案为：
3．（2023春·黑龙江）已知函数 f xxxc2 在x2处有极大值，则 c ______.
【答案】6
f(x)x32cx2c2x
【解析】由已知 ，
f(x)3x24cxc2 (xc)(3xc)
可得 ，
令 f(2)(2c)(6c)0，解得c2或c6，
由c2可得， f(x)(x2)(3x2)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2 2
当x 3 时， f�( x) >0 ，函数 f x在 , 3 上单调递增，
2
当 2 x2时， ，函数 在 ,2上单调递减，
3 f(x)0 f(x) 3
x2 f(x)0 f(x) 2,
当 时， ，函数 在 上单调递增，
x2不是极大值点，舍去；
由c6可得， f(x)3(x2)(x6)，
x2 f(x)0 f(x) ,2
当 时， ，函数 在 上单调递增，
2x6 f(x)0 f(x)
2,6
当 时， ，函数 在 上单调递减，
x6 f(x)0 f(x) 6,
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以x2是函数 f(x)的极大值点综上c6．故答案为：6．
考法三 利用导数求函数的最值
3
【例3】（2023春·云南）函数
f(x)x3
x
在区间
(0,)
上的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．3 D．1
【答案】A
3 3(x41)
【解析】 f(x)3x2 ,
x2 x2
0x1 f(x)0 x1 f(x)0
当 时， ，当 时， ，
所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，
f(x) (0,) f(1)4
所以 在区间 上的最小值是 .故选：A
【一隅三反】
ysin2x2sinx
1．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．
3 3 3
3
【答案】 2 /2
y2cos2x2cosx2(2cos2x1)2cosx4cos2x2cosx2
【解析】 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】cosxt[1,1] f(t)4t22t2
设 ， ，
1
令 ，得 t 或 ，
f(t)0 2 t 1
1
所以当
t(1, )
时， ，
2 f(t)0
π π
即在(π2kπ,
3
2kπ)和(
3
2kπ,π2kπ)(kZ)上y单调递减，
1
t( ,1)
当
2
时， f(t)0，
π π
即在(
3
2kπ,
3
2kπ)
(kZ)
上，y单调递增，
π 3 3
又因为 ， f( 2kπ) ，
f(π2kπ)0 3 2
3 3
所以 的最大值为 ，
y 2
3 3
故答案为： ．
2
1 1
f(x)xlnx x2 ax
2．（2023春·湖北）已知函数
2 2
的图象与直线
y=2
相切.
(1)求a的值；
1
,2
(2)求函数 f(x)在区间2 上的最大值.
5
【答案】(1) (2) 2ln2
a2 2
y f(x) y=2 (t,2)
【解析】（1）依题意设 与 相切于点 ，
f(x)lnxxa1
ftlntta10
又 ，∴ ，①
1 1
f(t)tlnt t2 at 2
，②
2 2
将①②联立得t22t30，又t0，
∴t 1代入①得a2 ；
f(x)lnxx1 f(1)0 f(x) (0,)
（2）由（1）知： ，且 ，又 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1
∴x ,1， ，则 单调递减，
2 f(x) f(1)0 f(x)
∴x(1,2)时， f(x) f(1)0，则 f(x)单调递增，
1 1 11 5
而 f ln2 f(2)2ln2 ，
2 2 8 2
5
f x f 22ln2
∴ .
max 2
f(x)x33x29xa.
3．（2023春·重庆永川）设
f x
(1)求函数 的单调递增区间；
f x f x 2，2
10
(2)若函数 的极大值为 ，求函数 在 上的最小值．
，1 3，
17
【答案】(1)单调递增区间为 和 ；(2) .
f(x)3x26x93(x3)(x1)
【解析】（1） ，
f�( x) >0
x3 x1
由 得 或 ，
f x ，1 3，
所以 的单调递增区间为 和 ；
( ) f x x=1
（2）由 Ⅰ 知函数 在 处取得极大值，
f 110 a5 f(x)x33x29x5
即 ，得 ，则 ，
f x 2，1 1，2
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
f 23 f 217 f x 2，2
17
又 ， ，所以 在 上的最小值为 ．
考法四 已知最值求函数的参数
f(x)x33x (a,8a2)
a
【例4-1】（2023春·吉林长春）若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是
_____.
2,1
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】f(x)3x23 f(x)0 x1
【解析】 ，令 得 ，
x(,1)(1,) f(x)0 x(1,1) f(x)0
时 ， 时， ，
所以 f(x)在(,1)和(1,)上单调递增，在(1,1)上单调递减，
f(x)x33x (a,8a2) f(1)
若函数 在 上有最小值，则其最小值必为 ，
1(a,8a2) f(a)a33a f(1)2 2a1
则必有 且 ，解得 ，
2,1
故答案为： .
1
【例4-2】（2023春·新疆）已知 y f x 是奇函数，当 x0,2 时， f xlnxax a 2 ，当
x2,0 f x
时， 的最小值为1，则a的值等于（ ）
1 1
1
A． B． C． D．1
4 3 2
【答案】D
1 1
【解析】由奇函数性质知，当x0,2时， f x的最大值为 .令 f(x) a0,x .
1 x a
1
当00 0,1 x1, fx0
因此当 时， ,故函数在 递增； 时， ,
2(14) 3
故函数在1,上递减，
x1
时取最大值，满足题意，即有 f4
42
8
；
故选：C．
考法五 极值最值综合运用
y f x y fx
【例5-1】（2023春·上海松江）函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列命题：
y f x
3
① 是函数 的极小值点；
y f x
②1是函数 的最小值点；
y f x 3,1
③ 在区间 上严格增；
3
④y f x在 x 处切线的斜率小于零.
2
以上所有正确命题的序号是__________.
【答案】①③
y f x
3 3
【解析】有图像可知， 的左侧导数值为负，右侧为正，故 是函数 的极小值点；
y f x
1的左右两侧导数值均为正，故1不是函数 的最值点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3,1 y f x 3,1
在区间 导数值为正，故 在区间 上严格增；
3 3
f 2 0 ，故 y f x 在 x 2处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.
故答案为：①③.
f xex ex fx
【例5-2】（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数 ， 为
f x
的导函数，则（ ）
f x fx ,
A． 的最小值为2 B． 在 单调递增
y ee1 x y f x y2x y fx
C．直线 与曲线 相切 D．直线 与曲线 相切
【答案】ABD
1
【解析】对于A， f(x)exex ex 2，当且仅当 即 时，等号成立，故A正确；
ex ex 1 x0
f(x)ex ex gx fx gxexex 0 gx , fx
对于B， ，令 ， ，故 在 单调递增，即 在
,
单调递增，故B正确；
hx f x ee1 x hxexex ee1 x
对于C，设 ， ，
hxex ex ee1 h1ee1 ee1 2e10
在R上单调递增， ，
1 2 1 1 2
h2e2e22 ee1 e2 e2 2e e ，又 e2.7,e2 7.29,2e5.4, e2 2 , e 1 ，所以h20，
所以存在
x
0
1,2
，使得
hx
0
0
，即
ex0 ex0 ee1
，
x,x hx 0 hx xx , hx 0 hx
当 0 时， 0 ， 单调递减；当 0 时， 0 ， 单调递增；
h10 hx 0 h2=e2e22 ee1 0
又 ， 0 ， ，
所以 tx 0 ,2 ，使得 ht0 ，所以方程 hx0 有两个实数根 x1 和 xt x 0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】y ee1 x f xex ex
所以 与函数 有两个交点，.
f(x)ex ex f(1)ee1 f(t)et et f(x )ex 0 ex 0 ee1
又 ， ， 0 ，
f x y ee1 x
所以函数 在与
交点处的切线斜率都不为ee1
.
故C错误.
对于D，设切点为 x 0 ,y 0 ，由 gx fx ， gxexex ，故 gx 0 ex 0 ex0 ，所以 ex0 ex0 2 ，解
x 0 0,0 y fx y2x
得 0 ，则切点为 ，曲线 的切线方程为 ，故D正确；
故选：ABD.
f x2x3ax2b
【例5-3】（2023春·吉林）已知函数
f x
a3
(1)当 时，求 的极值；
f x
(2)讨论 的单调性；
f x 0,1
a0
(3)若 ，求 在区间 的最小值.
f x b f x 1b
【答案】(1) 极大值 ， 极小值
f x2x33x2b
a3
【解析】（1）当 时 定义域为R，
fx6x26x6xx1
且 ，
x0 x1 f�( x) >0 0x1 fx0
所以当 或 时 ，当 时 ，
f x
x0 x1
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
f x f 0b f x f 11b
即 极大值 ， 极小值 ；
f x2x3ax2b fx6x22ax2x3xa
（2）函数 定义域为R，则 ，
a
令 fx0，解得 或 x ，
x0 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】a
①当
a0
时，则当
x0
或 x
3
时， f�( x) >0，
a
当 0x 时， fx0，
3
a a
所以
f
x的单调增区间为,0，
3
,
，单调减区间为
0,
3
；
fx0 f x
a0
②当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增；
a a
③当
a<0
时，当x
3
或
x0
时， f�( x) >0，当
3
x0时， fx0，
a a
所以
f
x的单调递增区间为
,
3
，0,，单调递减区间为
3
,0
，
a a
综上可得当
a0
时
f
x的单调增区间为,0，
3
,
，单调减区间为
0,
3
；
f x
a0
当 时 在R上单调递增；
a a
当
a<0
时
f
x的单调递增区间为
,
3
，0,，单调递减区间为
3
,0
；
a a
（3）因为a0，由（2）可得 f x 的单调增区间为 ,0 ， 3 , ，单调减区间为 0, 3 ，
a
若 1 ，即 时 f x在0,1上单调递减，
3 a3
f x 0,1 f x f 12ab
所以 在 上的最小值为 min ，
a a a
若0
3
1，即
00 f x 1x3 fx0 f x x3
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，当 时
f�( x) >0 f x
，函数 单调递增.
f x f 327m f 3 f 327m
所以 的极小值为 ，又 ，
f x
作出 的大致图象如图所示：
f xx33x29xm n,
因为函数 在区间 的极小值也是最小值，
由图可知3n3.
3,3
故n的取值范围是 .
3,3
故答案为: .
2．（2023春·上海松江）函数 的导函数 的图像如图所示，给出下列命题：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】① 是函数 的极小值点；
② 是函数 的最小值点；
③ 在区间 上严格增；
④ 在 处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是__________.
【答案】①③
【解析】有图像可知， 的左侧导数值为负，右侧为正，故 是函数 的极小值点；
的左右两侧导数值均为正，故 不是函数 的最值点；
在区间 导数值为正，故 在区间 上严格增；
，故 在 处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.
故答案为：①③.
xalnx
3．（2023·广东广州）已知函数 f x ， .讨论函数 f x在区间 0,e2上的最大值；
x aR
【答案】答案见解析
xalnx
【解析】由题意可得函数 f x 的定义域为0,，
x
1
fx xalnx xxalnx 1 x xxalnx 1alnx ，
x2 x2 x2
fx0
xe1a
令 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x 0,e1a f�( x) >0 f x
所以当 时， ，函数 单调递增；
x e1a, fx0 f x
当 时， ，函数 单调递减，
e1a e2 a1 f x 0,e2
当 ，即 时，函数 在区间 上单调递增，
e2a2 2a
故函数
f
x的最大值为 f
e2
e2
1
e2
，
当e1a e2 ，即a 1时，函数 f x 在区间 0,e1a 上单调递增，
e1a,e2
在 上单调递减，
e1a a1a 1
故函数
f
x的最大值为 f
e1a
e1a
1
e1a
，
2a
综上，当 a1 时，函数 f x在区间 0,e2 上的最大值为 1 e2 ；
1
当 a 1 时，函数 f x在区间 0,e2 上的最大值为1 e1a .
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