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4.5 导数的综合运用（精练）
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数a的值；
(2)已知 且 ，求证： .
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证：对一切的 ， ．3．（2023·四川凉山·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 ，若两个不相等的正数m，n，满足 ，证明： ．
4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数
．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．5．（2023·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在 ，使 成立，求a的取值范围.7．（2023·云南·校联考三模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有2个不同的零点 ，求证： .
8．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数 有两个
零点 ，且 ．
(1)求a的取值范围；
(2)若 在 和 处的切线交于点 ，求证： ．9．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证： .
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
12．（2023·陕西·统考二模）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求a的取值范围，并证明： ．1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数 ，若对于定义
域内的任意实数 ，总存在实数 使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 有两个大于1的零点，则
的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）已知 ，当 时，存在b， ，使得成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是____．
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)当 时，求函数 的极值点的个数；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
7．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且
.(1)求 的取值范围；
(2)若 ，证明：
8．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数 ，
，其中 ， .
(1)证明： ；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
9．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)证明：当 ，且 时， ．
10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围；
(2)证明： ．11．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在点 处的切线经过坐标原点；
(2)若 ，证明： 有两个零点.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
13．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知函数 ， ．(1)判断 和 的单调性；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
14．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)判断函数 的零点个数.15．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论方程 实数解的个数；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．17．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 有两个极值点，求整数a的值；
(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数 的切线的斜率不小于b，求 的最大值．
18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求a的最大整数值．19．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ；
(3)讨论函数 在 上零点的个数.
20．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)讨论函数 的零点个数．21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若关于 的方程 在 内有解，求 的取值范围.
22．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.23．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
24．（2023·湖南·校联考二模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明：方程 有三个不等实根．25．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 （其中 ）， ．
(1)证明：函数 在区间 上单调递增；
(2)判断方程 在R上的实根个数．
26．（2023·广东汕头·统考三模）设 ， ，
(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： ， ， 成等比数列.27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
28．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最小值．29．（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
30．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
