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第 77 讲 带电粒子在磁场中的动态圆模型
1．（2021•乙卷）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量为q（q＞0）
的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为 v ，
1
离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v ，离开磁场时速度方向偏转60°。
2
不计重力。则v 为（ ）
1
v
2
1 √3 √3
A． B． C． D．√3
2 3 2
一.知识回顾
1．模型构建
此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等。因
为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积，最长、最短
时间等问题。
2．模型条件
(1)在匀强磁场中做匀速圆周运动。(2)磁场有一定范围。
3．模型分类
(一)动态放缩法
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入
速度方向一定、大小不同 匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
的轨道半径与粒子速度大小有关
适用条
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越
件
大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁
轨迹圆圆心共线
场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上界定方
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临
法
界条件，这种方法称为“放缩圆”法
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点：
(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。
(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场；
④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。
综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、速度范围等的问
题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可知在磁场边界上还有粒子不能达到
的区域即“盲区”。
(二)定圆旋转法
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入
匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相
同，若射入初速度大小为v，则圆周运动半径为r
0
＝，如图所示
适用条 速度大小一定，方向不同
件
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上
界定
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种
方法
方法称为“旋转圆”法
(1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定
临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心
建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
(2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、
直观。
(三)平移圆法
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不
同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀
强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若
速度大小一定，方向一定，但入射 入射速度大小为v，则运动半径r＝，如图
0
适用条 点在同一直线上 所示
件
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
轨迹圆圆心共线
同一直线
界定方
将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
法
二.例题精析
题型一： 动态放缩圆
（多选）例1．如图所示，在正方形区域abcd内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀
强磁场．在t＝0时刻，位于正方形中心O的离子源向平面abcd内各个方向发射出大量带正电的
粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形的边长，
不计粒子的重力以及粒子间的相互作用力．已知平行于 ad方向向下发射的粒子在t＝t 时刻刚好
0
从磁场边界cd上某点离开磁场，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在该磁场中匀速圆周运动的周期为6t
0π
B．粒子的比荷为
6Bt
0
C．粒子在磁场中运动的轨迹越长，对应圆弧的圆心角越大
D．初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动时间最长
题型二：旋转圆
（多选）例2．如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离
荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为 q，质量为m的带正
电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为2√3d
πd
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
v
πd
C．粒子从发射到达到绝缘板上的最长时间为
v
7πd
D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差
6v
题型三：平移圆
（多选）例3．如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），
π
AB边长度为d，∠B= ．现垂直AB边射入一质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的
6
带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁
0
4
场中的运动时间为 t （不计重力）．则下列判断中正确的是（ ）
0
3A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
0
πm
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
2qt
0
2
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 d
5
√3πd
D．粒子进入磁场时速度大小为
7t
0
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁
场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x
轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。
mv
下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中 R= ，正确的图是
qB
（ ）
A． B．
C． D．
2. 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
a^b为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间
的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）7πm 5πm 4πm 3πm
A． B． C． D．
6qB 4qB 3qB 2qB
3. （2020•浙江）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放
置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以
相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运
动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子
数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均
为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离L ；
max
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到
HG距离L的关系。
4. 如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，
大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率
为v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 v ，相应的出
1 2
射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子
从P点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t ：t 为（ ）
1 2A．1：2 B．2：1 C．√3：1 D．1：1
5. 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向
与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电
子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圈围成的区域内，
磁场的磁感应强度最小为（ ）
3mv mv 3mv 3mv
A． B． C． D．
2ae ae 4ae 5ae
6. （多选）如图所示，在x0y平面的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向里的匀强磁场。两个相同的带电粒子，先后从y轴上的P点（0，a）和Q点（纵坐标b未
知），以相同的速度v 沿x轴正方向射入磁场，在x轴上的M点（c，0）相遇。不计粒子的重
0
力及粒子之间的相互作用，由题中信息可以确定（ ）
A．Q 点的纵坐标b
B．带电粒子的电荷量
C．两个带电粒子在磁场中运动的半径
D．两个带电粒子在磁场中运动的时间
7. （2021•湖南）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电
粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子
之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。（1）如图（a），宽度为2r 的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r ）、半径为r 的圆
1 1 1
形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B 的大小；
1
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r 的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r ）。在虚线框内
2 2
设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r ，并
2
沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出
2
面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于 r 的正
3 4
方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r 的带电粒子流
3
沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r ，并沿x轴正方向
4
射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀
强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
