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2025-2026学年高一上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题
1．集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象
的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 （ ）的最大值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
6．已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．已知函数 是定义在 上的增函数，且 ， ，则不等式
（ ）
A． B． C． D．
8．若存在 使函数 在区间 的值域为 ，则称函数 为区间 的“限
定函数”，m为函数 的“限定数”．已知定义在 上的奇函数 满足当 时， ，
且 为区间 的“限定函数”，则“限定数”m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数 是一次函数，满足 ，则 解析式可能为
B． 与 表示同一函数
C．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
D．若函数 ，则 511．定义在 上的偶函数 满足： ，且对于任意 ， ，若
函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上单调递增 B．
C． 在 上单调递减 D．若正数 满足 ，则
三、填空题
12．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ．
13．已知函数 满足对任意 ，且 ，都有 成立，则
实数a的取值范围是 ．
14．已知 且 恒成立，则实数 的最大值是 ．
四、解答题
15．设全集 ，集合 .
(1)当 时，求 .
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
16．函数 满足对于 都有 ，且 .
(1)求 的解析式；
(2)证明 在 上为增函数.
17．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动
全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有
一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万
元；②材料成本： 万元．x为每月生产人形机器人的个数．
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？
附：利润=售价×销量-成本．
18．设函数
(1)若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；
(2)若不等式 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；
(3)解关于x的不等式：f（x）＜a-1．
19．若函数G在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 则称函数G
是在 的“美好函数”
(1)已知函数 ；
①函数G是在 上的“美好函数”，求a的值；
②当 时，函数G是在 上的“美好函数”，请直接写出t的值；
(2)已知函数 若函数G是在 （ 为整数）上的“美好函数”，
且存在整数k，使得 ，求 的值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D A D B ACD ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
先用列举法写出集合 ，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.
【详解】由已知得集合 ，共有3个元素，所以其子集个数为 .
故选：D.
2．C
根据函数解析式的结构得到不等式组，求解即得.
【详解】 有意义，等价于 ，
解得 且 ，故函数的定义域为 .
故选：C.
3．C
根据全称命题的否定为特称命题，直接写出其否定即可.
【详解】因为命题“ ， ”为全称命题，所以其否定为： ， .
故选：C.
4．B
由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据 不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
函数 与 的定义域均为 .
由图知 的定义域为 ，排除选项A、D，
对于 ，当 时， ，不符合图象 ，所以排除选项C.故选：B.
5．D
利用配凑法，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等号.
所以 ，即 （当 时取等号），
所以 的最大值为
故选：D
6．A
利用 为偶函数关于 轴对称，故 越靠近 轴，函数值越小，从而解出不等式.
【详解】因为偶函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减，故 越靠近 轴，函数值越小，
因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：A.
7．D
根据 且 可得 ， ，则 可化为
，然后根据单调性求解.
【详解】根据 可得， 可转化为 ，
又 ，
所以 ，即 ，因为 是定义在 上的增函数，所以只需满足 ，解得： .
故选：D.
8．B
先根据奇函数的性质求出 在 时的表达式，再结合题干和函数的单调性列出等式，最后通过构造
不等式求解 的取值范围即可.
【详解】由 是 上的奇函数得 ，
当 时， ， ，故 ，
， 在 单调递减，
又存在 使函数 在 的值域为 ， ， ，
即 ， ，
令 ，则 在 有两个不相等的实数根a，b，
又对称轴为直线 ，故需满足 ，
故m的取值范围是 ．
故选： .
9．ACD
利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解.
【详解】对于ACD，因为 ，
所以 ， ， ，故ACD正确；
对于B，取 ，则 ，故B错误.故选：ACD.
10．ACD
利用待定系数法求解析式判断A，根据定义域不同判断B，求得函数的定义域判断C，根据分段函数解析
式求值判断D.
【详解】对A，设 ，
则 ，
即 ，解得 ，或 ，
所以 或 ，故A正确；
对B， 定义域为 ， 定义域为 ，
所以不是同一函数，故B错误；
对C，函数 的定义域为 ， 的定义为 ，
函数 的定义域为 ，
最终得到的定义域为 ，故C正确；
对D，由解析式 ，故D正确
故选：ACD
11．ABD
根据函数的单调性判断 、 的单调性判断AC，根据单调性 比较大小判断B，根据 单调性
解不等式判断D.
【详解】对于任意 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，故选项A正确；因为 的定义域为 ，所以 ，
所以 为奇函数，所以 ，由 在 上单调递增，
所以 ，故选项B正确；
对于任意 ，
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，故选项C错误；
，即 ，
又 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
解得 ，即 ，故选项D正确.
故选：ABD
12．
根据函数所过点可得解析式，代入 即可求得结果.
【详解】 ， ， ， .
故答案为： .
13．
根据题意可得 在 上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】因为对任意 ，且 ，都有 成立，所以 在 上单调递减.
所以 ，解得 .
故答案为: .
14．
不等式变形为 ，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论．
【详解】∵ ，∴ ， ， ，
，
，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 的最大值是 ．
故答案为： ．
15．(1) ，
(2) 或 ．
（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ， .（2）因为 是 的充分条件，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 或 ．
16．(1)
(2)证明见解析
（1）由条件列出关于 的方程，解出 即可得到函数的解析式；
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性.
【详解】（1）∵函数 满足对于 都有 ，
∴ ，可得 ，∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2） ，设 ，
∴
，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上为增函数.
17．(1) 台，最低为 万元
(2)不低于 台
（1）根据题意，得到平均每个人形机器人的成本为 ，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，得到每月的利润 ，结合 ，结合一元二次不等式
的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由题意得，生产 台人形机器人的总成本为 ，
所以每个人形机器人的平均成本为 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以该企业每月的产量为 台时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为 万元.
（2）解：由题意得，每月的利润 ，
令 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 为正整数，所以 ，
所以该企业应每月制订生产的人形机器人不少于 台时，才能确保每月的利润不低于 万元.
18．(1) ，
(2){1}
(3)答案见解析（1）由题意可得0和 是方程 的根，且 ，进而结合韦达定理求解即可；
（2）转化问题为 对于实数 时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可；
（3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由题意知，0和b是方程 的根，且 ，
所以 ，解得 ，
（2）由 ，即 ，
即 对于实数 时恒成立，
则 ，解得 ，则x的取值范围为{1}
（3）由 ，则 ，
当 时，不等式可化为 ，即 ，解集为 ，
当 时，不等式可化为 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ；综上所述，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为
19．(1)① 或 ；② 0或1.
(2)
（1）①分 和 两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用 列方程可求出
的值；②求出二次函数的对称轴，然后分 ， ， 和 四种情况求函数在给定范围上
的最值，然后利用 列方程可求出 的值；
（2）由二次函数的性质可知当 时，函数G为增函数，从而可求出 ， ，然后由
为整数可求出 ，再由 列方程可求出 .
【详解】（1）① 因二次函数 的对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， .
（Ⅰ）当 时，则当 时，函数G为增函数，
依题意，由 ，解得 ；
（Ⅱ）当 时，则当 时，函数G为减函数，
依题意，由 ，解得 .综上， 或 ；
② 当 时，函数 的对称轴为直线 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， .
(Ⅰ)若 ，则由 ，解得 （舍去）；
（Ⅱ）若 ，则由 ，解得 或 （舍去）；
（Ⅲ）若 ，则由 ，解得 或 （舍去）；
（Ⅳ）若 ，则由 ，解得 （舍去）.
综上，t的值为0或1；
（2）因二次函数 的对称轴为直线 ，
又 ，则 ，于是 ，
故当 时，函数 为增函数，
即当 时，函数取得最大值，当 时，函数取得最小值，
于是， ，
因 为整数，且 ，则 ，即 ，
